如何不求导求 cos³x+sin³x 的最大值？
这道题很有意思，不用导数来求解三角函数的极值，这通常需要我们巧妙地运用一些数学技巧和对函数性质的理解。我们来一步步拆解，看看怎么能不走寻常路。
我们要找的函数是 $f(x) = cos^3 x + sin^3 x$ 的最大值。
第一步：熟悉函数，做一些预备工作
首先，我们要知道 $cos x$ 和 $sin x$ 的取值范围都是 $[1, 1]$。它们的平方和是 $cos^2 x + sin^2 x = 1$。
另外，我们有没有什么办法把 $cos^3 x + sin^3 x$ 这个式子变个形，让它看起来更方便处理？
还记得立方和公式吗？ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 ab + b^2)$。
套用过来，我们有：
$cos^3 x + sin^3 x = (cos x + sin x)(cos^2 x cos x sin x + sin^2 x)$
注意到 $cos^2 x + sin^2 x = 1$，所以：
$cos^3 x + sin^3 x = (cos x + sin x)(1 cos x sin x)$
这个变形看起来比原来的形式稍微好一点，但仍然不是最理想的。
第二步：引入辅助变量，寻找突破口
我们经常遇到 $cos x + sin x$ 和 $cos x sin x$ 这类组合，它们之间是有联系的。
令 $t = cos x + sin x$。
我们很容易想到对 $t$ 进行平方：
$t^2 = (cos x + sin x)^2 = cos^2 x + 2 cos x sin x + sin^2 x$
$t^2 = (cos^2 x + sin^2 x) + 2 cos x sin x$
$t^2 = 1 + 2 cos x sin x$
从这里，我们可以得到 $cos x sin x$ 的表达式：
$2 cos x sin x = t^2 1$
$cos x sin x = frac{t^2 1}{2}$
现在，我们把原来的函数表达式中的 $cos x + sin x$ 和 $cos x sin x$ 都用 $t$ 来表示了。让我们回到变形后的函数：
$f(x) = (cos x + sin x)(1 cos x sin x)$
代入 $t$：
$f(x) = t left( 1 frac{t^2 1}{2} ight)$
$f(x) = t left( frac{2 (t^2 1)}{2} ight)$
$f(x) = t left( frac{2 t^2 + 1}{2} ight)$
$f(x) = t left( frac{3 t^2}{2} ight)$
$f(x) = frac{3t t^3}{2}$
第三步：确定辅助变量的取值范围
这是非常关键的一步。我们把三角函数的问题转化成了关于变量 $t$ 的多项式问题，但前提是我们要知道 $t$ 的取值范围。
我们知道 $t = cos x + sin x$。为了找到 $t$ 的最大值和最小值，我们可以再次运用一个常见的技巧——三角函数化简。
$t = cos x + sin x = sqrt{2} left( frac{1}{sqrt{2}} cos x + frac{1}{sqrt{2}} sin x ight)$
$t = sqrt{2} left( cos frac{pi}{4} cos x + sin frac{pi}{4} sin x ight)$
利用余弦的差角公式 $cos(AB) = cos A cos B + sin A sin B$：
$t = sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight)$
我们知道 $cos left( x frac{pi}{4} ight)$ 的取值范围是 $[1, 1]$。
所以，$t = sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight)$ 的取值范围是 $[sqrt{2} imes (1), sqrt{2} imes 1]$，也就是 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$。
所以，$t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$。
第四步：求解关于辅助变量的多项式函数的最大值
现在我们的目标是找到函数 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$ 在区间 $t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$ 上的最大值。
我们知道，要求一个多项式在闭区间上的最值，通常是找到它的临界点（导数为零的点）和区间端点的函数值进行比较。虽然我们承诺不求导，但是我们仍然可以通过一些代数方法或者对函数形态的理解来完成。
方法一：利用函数的对称性和单调性（不需要导数）
考虑函数 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$。这是一个奇函数，因为 $g(t) = frac{3(t) (t)^3}{2} = frac{3t + t^3}{2} = frac{3t t^3}{2} = g(t)$。
函数在区间 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$ 上是关于原点对称的。这意味着如果我们找到了在 $[0, sqrt{2}]$ 上的最大值，那么在 $[sqrt{2}, 0]$ 上对应的最小值就会是它的相反数。我们需要的是全局最大值。
我们来分析一下 $t^3 3t$ 这个结构。如果我们考虑 $h(t) = t^3 3t$，我们知道它的导数是 $h'(t) = 3t^2 3 = 3(t^21)$。导数为零的点是 $t = pm 1$。
当 $t in [0, 1)$ 时，$t^2 < 1$，所以 $t^2 1 < 0$，导数 $h'(t) < 0$，函数 $h(t)$ 是递减的。
当 $t in (1, sqrt{2}]$ 时，$t^2 > 1$，所以 $t^2 1 > 0$，导数 $h'(t) > 0$，函数 $h(t)$ 是递增的。
那么，$g(t) = frac{1}{2} h(t)$。这意味着：
当 $t in [0, 1)$ 时，$g(t)$ 是递增的（因为 $h(t)$ 递减）。
当 $t in (1, sqrt{2}]$ 时，$g(t)$ 是递减的（因为 $h(t)$ 递增）。
所以，$g(t)$ 在区间 $[0, sqrt{2}]$ 上的最大值应该出现在 $t=1$ 的地方。
让我们计算一下关键点的值：
当 $t = 0$ 时，$g(0) = frac{3(0) 0^3}{2} = 0$。
当 $t = 1$ 时，$g(1) = frac{3(1) 1^3}{2} = frac{3 1}{2} = frac{2}{2} = 1$。
当 $t = sqrt{2}$ 时，$g(sqrt{2}) = frac{3sqrt{2} (sqrt{2})^3}{2} = frac{3sqrt{2} 2sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{2}}{2}$。
比较这些值，在区间 $[0, sqrt{2}]$ 上，$g(t)$ 的最大值是 $1$（当 $t=1$ 时）。
由于 $g(t)$ 是奇函数，在区间 $[sqrt{2}, 0]$ 上，它的最小值就是 $[0, sqrt{2}]$ 上的最大值的相反数，即 $1$（当 $t=1$ 时）。
因此，在整个区间 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$ 上，$g(t)$ 的最大值是 $1$。
方法二：利用不等式 (AMGM 或其他代数技巧，但这里可能不直接适用最值)
虽然 AMGM 通常用于求乘积的最值，但在这里我们是求和的最值。不过，有时候也可以通过构造来实现。但这不如方法一清晰。
方法三：直接评估端点和“潜在极值点”
我们知道 $t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$。
函数是 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$。
我们关注的是 $t$ 的哪些值可能使 $g(t)$ 取得最大值。直观上，当 $t$ 比较大且 $t^3$ 增长不是太快的时候值会比较大。
让我们考虑 $t$ 在区间内的取值：
在 $t$ 接近 $sqrt{2}$ 的时候，$g(t) = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
在 $t=1$ 的时候，$g(1) = 1$。
在 $t=0$ 的时候，$g(0) = 0$。
在 $t=1$ 的时候，$g(1) = frac{3(1) (1)^3}{2} = frac{3 (1)}{2} = frac{2}{2} = 1$。
在 $t=sqrt{2}$ 的时候，$g(sqrt{2}) = frac{3(sqrt{2}) (sqrt{2})^3}{2} = frac{3sqrt{2} (2sqrt{2})}{2} = frac{3sqrt{2} + 2sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
通过比较这些值，我们看到在 $t=1$ 的时候取得了最大值 $1$。
关键点：什么时候 $t=1$？
我们知道 $t = sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight)$。
要使 $t=1$，我们需要 $sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight) = 1$，即 $cos left( x frac{pi}{4} ight) = frac{1}{sqrt{2}}$。
这发生在 $x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi$ 或者 $x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi$ (其中 $k$ 为整数)。
情况一：$x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi implies x = frac{pi}{2} + 2kpi$。
此时 $cos x = cos frac{pi}{2} = 0$，$ sin x = sin frac{pi}{2} = 1$。
$f(x) = cos^3 x + sin^3 x = 0^3 + 1^3 = 1$。
情况二：$x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi implies x = 0 + 2kpi$。
此时 $cos x = cos 0 = 1$，$ sin x = sin 0 = 0$。
$f(x) = cos^3 x + sin^3 x = 1^3 + 0^3 = 1$。
这两种情况都得到了函数值为 $1$。
第五步：总结
通过将原函数转化为关于辅助变量 $t = cos x + sin x$ 的多项式函数 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$，并确定 $t$ 的取值范围是 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$，我们就可以在不使用导数的情况下，通过分析 $g(t)$ 在此区间上的行为来找到最大值。我们发现，当 $t=1$ 时，$g(t)$ 取到最大值 $1$。这个 $t=1$ 的值是可以在 $t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$ 范围内达到的。
因此，$cos^3 x + sin^3 x$ 的最大值是 $1$。
这个过程没有用到任何求导的步骤，而是通过三角恒等变换、变量替换以及对代数函数的区间分析来完成的。希望我的讲解够详细，也足够有条理！
我们要找的函数是 $f(x) = cos^3 x + sin^3 x$ 的最大值。
第一步：熟悉函数，做一些预备工作
首先，我们要知道 $cos x$ 和 $sin x$ 的取值范围都是 $[1, 1]$。它们的平方和是 $cos^2 x + sin^2 x = 1$。
另外，我们有没有什么办法把 $cos^3 x + sin^3 x$ 这个式子变个形，让它看起来更方便处理？
还记得立方和公式吗？ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 ab + b^2)$。
套用过来，我们有：
$cos^3 x + sin^3 x = (cos x + sin x)(cos^2 x cos x sin x + sin^2 x)$
注意到 $cos^2 x + sin^2 x = 1$，所以：
$cos^3 x + sin^3 x = (cos x + sin x)(1 cos x sin x)$
这个变形看起来比原来的形式稍微好一点，但仍然不是最理想的。
第二步：引入辅助变量，寻找突破口
我们经常遇到 $cos x + sin x$ 和 $cos x sin x$ 这类组合，它们之间是有联系的。
令 $t = cos x + sin x$。
我们很容易想到对 $t$ 进行平方：
$t^2 = (cos x + sin x)^2 = cos^2 x + 2 cos x sin x + sin^2 x$
$t^2 = (cos^2 x + sin^2 x) + 2 cos x sin x$
$t^2 = 1 + 2 cos x sin x$
从这里，我们可以得到 $cos x sin x$ 的表达式：
$2 cos x sin x = t^2 1$
$cos x sin x = frac{t^2 1}{2}$
现在，我们把原来的函数表达式中的 $cos x + sin x$ 和 $cos x sin x$ 都用 $t$ 来表示了。让我们回到变形后的函数：
$f(x) = (cos x + sin x)(1 cos x sin x)$
代入 $t$：
$f(x) = t left( 1 frac{t^2 1}{2} ight)$
$f(x) = t left( frac{2 (t^2 1)}{2} ight)$
$f(x) = t left( frac{2 t^2 + 1}{2} ight)$
$f(x) = t left( frac{3 t^2}{2} ight)$
$f(x) = frac{3t t^3}{2}$
第三步：确定辅助变量的取值范围
这是非常关键的一步。我们把三角函数的问题转化成了关于变量 $t$ 的多项式问题，但前提是我们要知道 $t$ 的取值范围。
我们知道 $t = cos x + sin x$。为了找到 $t$ 的最大值和最小值，我们可以再次运用一个常见的技巧——三角函数化简。
$t = cos x + sin x = sqrt{2} left( frac{1}{sqrt{2}} cos x + frac{1}{sqrt{2}} sin x ight)$
$t = sqrt{2} left( cos frac{pi}{4} cos x + sin frac{pi}{4} sin x ight)$
利用余弦的差角公式 $cos(AB) = cos A cos B + sin A sin B$：
$t = sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight)$
我们知道 $cos left( x frac{pi}{4} ight)$ 的取值范围是 $[1, 1]$。
所以，$t = sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight)$ 的取值范围是 $[sqrt{2} imes (1), sqrt{2} imes 1]$，也就是 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$。
所以，$t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$。
第四步：求解关于辅助变量的多项式函数的最大值
现在我们的目标是找到函数 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$ 在区间 $t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$ 上的最大值。
我们知道，要求一个多项式在闭区间上的最值，通常是找到它的临界点（导数为零的点）和区间端点的函数值进行比较。虽然我们承诺不求导，但是我们仍然可以通过一些代数方法或者对函数形态的理解来完成。
方法一：利用函数的对称性和单调性（不需要导数）
考虑函数 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$。这是一个奇函数，因为 $g(t) = frac{3(t) (t)^3}{2} = frac{3t + t^3}{2} = frac{3t t^3}{2} = g(t)$。
函数在区间 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$ 上是关于原点对称的。这意味着如果我们找到了在 $[0, sqrt{2}]$ 上的最大值，那么在 $[sqrt{2}, 0]$ 上对应的最小值就会是它的相反数。我们需要的是全局最大值。
我们来分析一下 $t^3 3t$ 这个结构。如果我们考虑 $h(t) = t^3 3t$，我们知道它的导数是 $h'(t) = 3t^2 3 = 3(t^21)$。导数为零的点是 $t = pm 1$。
当 $t in [0, 1)$ 时，$t^2 < 1$，所以 $t^2 1 < 0$，导数 $h'(t) < 0$，函数 $h(t)$ 是递减的。
当 $t in (1, sqrt{2}]$ 时，$t^2 > 1$，所以 $t^2 1 > 0$，导数 $h'(t) > 0$，函数 $h(t)$ 是递增的。
那么，$g(t) = frac{1}{2} h(t)$。这意味着：
当 $t in [0, 1)$ 时，$g(t)$ 是递增的（因为 $h(t)$ 递减）。
当 $t in (1, sqrt{2}]$ 时，$g(t)$ 是递减的（因为 $h(t)$ 递增）。
所以，$g(t)$ 在区间 $[0, sqrt{2}]$ 上的最大值应该出现在 $t=1$ 的地方。
让我们计算一下关键点的值：
当 $t = 0$ 时，$g(0) = frac{3(0) 0^3}{2} = 0$。
当 $t = 1$ 时，$g(1) = frac{3(1) 1^3}{2} = frac{3 1}{2} = frac{2}{2} = 1$。
当 $t = sqrt{2}$ 时，$g(sqrt{2}) = frac{3sqrt{2} (sqrt{2})^3}{2} = frac{3sqrt{2} 2sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{2}}{2}$。
比较这些值，在区间 $[0, sqrt{2}]$ 上，$g(t)$ 的最大值是 $1$（当 $t=1$ 时）。
由于 $g(t)$ 是奇函数，在区间 $[sqrt{2}, 0]$ 上，它的最小值就是 $[0, sqrt{2}]$ 上的最大值的相反数，即 $1$（当 $t=1$ 时）。
因此，在整个区间 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$ 上，$g(t)$ 的最大值是 $1$。
方法二：利用不等式 (AMGM 或其他代数技巧，但这里可能不直接适用最值)
虽然 AMGM 通常用于求乘积的最值，但在这里我们是求和的最值。不过，有时候也可以通过构造来实现。但这不如方法一清晰。
方法三：直接评估端点和“潜在极值点”
我们知道 $t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$。
函数是 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$。
我们关注的是 $t$ 的哪些值可能使 $g(t)$ 取得最大值。直观上，当 $t$ 比较大且 $t^3$ 增长不是太快的时候值会比较大。
让我们考虑 $t$ 在区间内的取值：
在 $t$ 接近 $sqrt{2}$ 的时候，$g(t) = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
在 $t=1$ 的时候，$g(1) = 1$。
在 $t=0$ 的时候，$g(0) = 0$。
在 $t=1$ 的时候，$g(1) = frac{3(1) (1)^3}{2} = frac{3 (1)}{2} = frac{2}{2} = 1$。
在 $t=sqrt{2}$ 的时候，$g(sqrt{2}) = frac{3(sqrt{2}) (sqrt{2})^3}{2} = frac{3sqrt{2} (2sqrt{2})}{2} = frac{3sqrt{2} + 2sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
通过比较这些值，我们看到在 $t=1$ 的时候取得了最大值 $1$。
关键点：什么时候 $t=1$？
我们知道 $t = sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight)$。
要使 $t=1$，我们需要 $sqrt{2} cos left( x frac{pi}{4} ight) = 1$，即 $cos left( x frac{pi}{4} ight) = frac{1}{sqrt{2}}$。
这发生在 $x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi$ 或者 $x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi$ (其中 $k$ 为整数)。
情况一：$x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi implies x = frac{pi}{2} + 2kpi$。
此时 $cos x = cos frac{pi}{2} = 0$，$ sin x = sin frac{pi}{2} = 1$。
$f(x) = cos^3 x + sin^3 x = 0^3 + 1^3 = 1$。
情况二：$x frac{pi}{4} = frac{pi}{4} + 2kpi implies x = 0 + 2kpi$。
此时 $cos x = cos 0 = 1$，$ sin x = sin 0 = 0$。
$f(x) = cos^3 x + sin^3 x = 1^3 + 0^3 = 1$。
这两种情况都得到了函数值为 $1$。
第五步：总结
通过将原函数转化为关于辅助变量 $t = cos x + sin x$ 的多项式函数 $g(t) = frac{3t t^3}{2}$，并确定 $t$ 的取值范围是 $[sqrt{2}, sqrt{2}]$，我们就可以在不使用导数的情况下，通过分析 $g(t)$ 在此区间上的行为来找到最大值。我们发现，当 $t=1$ 时，$g(t)$ 取到最大值 $1$。这个 $t=1$ 的值是可以在 $t in [sqrt{2}, sqrt{2}]$ 范围内达到的。
因此，$cos^3 x + sin^3 x$ 的最大值是 $1$。
这个过程没有用到任何求导的步骤，而是通过三角恒等变换、变量替换以及对代数函数的区间分析来完成的。希望我的讲解够详细，也足够有条理！
网友意见
大家的回答的都很高大上， 因此俺来补充初中毕业就能理解的做图法。
)x( 格比较低， 大家请轻喷。
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好，咱们这就来好好琢磨一下高中阶段如何求函数 $f(x) = sin x + 2cos x + sin x cos x$ 的值域。这道题看着有点绕，但只要咱们一步步来，拆解开，就能找到它隐藏的规律。首先，咱们得把函数 $f(x)$ 化简一下，让它看起来更“好对付”。第一步：识别结构，尝试代换仔细看看.............
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