不查表，如何求 sin36 度？

这个问题很有意思，不查表求 $sin 36^circ$，这得回到一些经典的几何和代数技巧上。这不是一个初等几何里能随便拿出来就证的题目，需要一些巧妙的构造和方程求解。

咱们一步步来拆解。

核心思想：构建一个与 $sin 36^circ$ 相关的等式

我们的目标是 $sin 36^circ$。关键在于，我们知道 $5 imes 36^circ = 180^circ$。这个关系非常有用，因为 $180^circ$ 是我们熟悉的角度（例如 $sin 180^circ = 0$）。利用这个关系，我们可以把 $sin 36^circ$ 和其他我们可能知道（或者更容易求得）的角度联系起来。

步骤一：利用角度关系构建方程

设 $ heta = 36^circ$。那么 $5 heta = 180^circ$。
我们可以把 $5 heta$ 分解成 $2 heta$ 和 $3 heta$。
所以，$2 heta = 180^circ 3 heta$。

现在，我们可以对等式两边取正弦函数：
$sin(2 heta) = sin(180^circ 3 heta)$

回想一下三角函数的性质：
$sin(2alpha) = 2 sin alpha cos alpha$ （二倍角公式）
$sin(180^circ eta) = sin eta$ （诱导公式）

将这两个公式应用到我们的等式上：
$2 sin heta cos heta = sin(3 heta)$

接下来，我们需要 $sin(3 heta)$ 的三倍角公式：
$sin(3alpha) = 3 sin alpha 4 sin^3 alpha$

代入我们的 $ heta$：
$2 sin heta cos heta = 3 sin heta 4 sin^3 heta$

步骤二：化简并求解关于 $sin heta$ 的方程

现在，我们有一个关于 $sin heta$ 和 $cos heta$ 的方程。由于 $ heta = 36^circ$，它是一个锐角，所以 $sin heta eq 0$。我们可以将方程两边同时除以 $sin heta$：

$2 cos heta = 3 4 sin^2 heta$

这里又出现了 $cos heta$ 和 $sin^2 heta$。我们可以利用 $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$ 的关系，把 $sin^2 heta$ 换成 $1 cos^2 heta$：

$2 cos heta = 3 4 (1 cos^2 heta)$
$2 cos heta = 3 4 + 4 cos^2 heta$
$2 cos heta = 1 + 4 cos^2 heta$

整理一下，得到一个关于 $cos heta$ 的二次方程：

$4 cos^2 heta 2 cos heta 1 = 0$

这是一个标准的二次方程，形如 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $x = cos heta$，$a=4$, $b=2$, $c=1$。

我们可以用求根公式来解它：
$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$

代入数值：
$cos heta = frac{(2) pm sqrt{(2)^2 4(4)(1)}}{2(4)}$
$cos heta = frac{2 pm sqrt{4 + 16}}{8}$
$cos heta = frac{2 pm sqrt{20}}{8}$
$cos heta = frac{2 pm 2sqrt{5}}{8}$
$cos heta = frac{1 pm sqrt{5}}{4}$

现在我们有两个可能的值给 $cos 36^circ$：$frac{1 + sqrt{5}}{4}$ 和 $frac{1 sqrt{5}}{4}$。

步骤三：判断哪个是 $cos 36^circ$ 的值

我们知道 $36^circ$ 是一个锐角（$0^circ < 36^circ < 90^circ$）。在第一象限，余弦值是正的。
同时，我们知道 $cos 0^circ = 1$，$cos 60^circ = 0.5$。由于 $36^circ < 60^circ$，所以 $cos 36^circ > cos 60^circ = 0.5$。

让我们看看两个解：
1. $frac{1 + sqrt{5}}{4}$: $sqrt{5}$ 大约是 $2.236$。所以 $frac{1 + 2.236}{4} = frac{3.236}{4} approx 0.809$。这个值大于 $0.5$，符合我们的预期。
2. $frac{1 sqrt{5}}{4}$: $frac{1 2.236}{4} = frac{1.236}{4} approx 0.309$。这个值是负的，不可能是 $cos 36^circ$ 的值。

所以，$cos 36^circ = frac{1 + sqrt{5}}{4}$。

步骤四：从 $cos 36^circ$ 求 $sin 36^circ$

我们已经得到了 $cos 36^circ$ 的值，现在很容易根据 $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$ 来求 $sin 36^circ$。

$sin^2 36^circ = 1 cos^2 36^circ$
$sin^2 36^circ = 1 left(frac{1 + sqrt{5}}{4} ight)^2$
$sin^2 36^circ = 1 frac{1 + 2sqrt{5} + 5}{16}$
$sin^2 36^circ = 1 frac{6 + 2sqrt{5}}{16}$
$sin^2 36^circ = 1 frac{3 + sqrt{5}}{8}$
$sin^2 36^circ = frac{8 (3 + sqrt{5})}{8}$
$sin^2 36^circ = frac{5 sqrt{5}}{8}$

现在我们对它开平方。由于 $36^circ$ 是锐角，$sin 36^circ$ 应该是正的。

$sin 36^circ = sqrt{frac{5 sqrt{5}}{8}}$

这个形式看起来有点复杂，我们还可以尝试化简一下它。通常，我们会尝试将根号内的表达式化成一个完全平方的形式，或者寻找更简洁的表示。

我们先不急着化简这个根式，先回顾一下整个过程。

另一种角度：黄金分割与正五边形

还有一个更直观的几何解释，它涉及到正五边形和黄金分割。

如果你画一个正五边形，它的内角是 $(52) imes 180^circ / 5 = 3 imes 180^circ / 5 = 108^circ$。
将正五边形连接其顶点，可以形成一个五角星。
在五角星中，每个顶点连接到另外两个顶点的线段会形成一个等腰三角形。这些等腰三角形的顶角就是正五边形的边心角，也就是 $360^circ / 5 = 72^circ$。
而底角就是 $(180^circ 72^circ) / 2 = 108^circ / 2 = 54^circ$。

考虑正五边形的一个顶点。从这个顶点出发的对角线将其分成一个等腰三角形和一个四边形。这个等腰三角形的顶角是 $36^circ$（可以通过内角和除以2得到），底角是 $(18036)/2 = 72^circ$。

更直接地，在正五边形的顶点上考虑。假设正五边形的边长为 $a$。连接一条非相邻的顶点，会形成一个等腰三角形。这个三角形的底角是 $72^circ$，顶角是 $36^circ$。这条对角线的长度，我们设为 $d$。

在正五边形中，对角线和边的长度之间存在黄金分割比例。具体来说，对角线长度与边长之比等于黄金分割数 $phi = frac{1+sqrt{5}}{2}$。

现在，让我们考虑这个顶角为 $36^circ$ 的等腰三角形。如果我们从顶点画一条高，它将这个三角形分成两个全等的直角三角形。这个直角三角形有一个角是 $36^circ$（另一角是 $90^circ 36^circ = 54^circ$）。

假设这个等腰三角形的腰长为 $d$，底边长为 $a$。那么在这个直角三角形中，我们有：
$sin 36^circ = frac{ ext{对边}}{ ext{斜边}}$

我们需要找到这个直角三角形的边长关系。

考虑一个正五边形，其边长为 $a$。在它的一条边上（例如 AB），连接另一顶点 C，构成一个等腰三角形 ABC，其中 $angle BAC = 36^circ$，$angle ABC = angle ACB = 72^circ$。
现在，考虑从 C 点画一条线段 CD 到 AB 边上，使得 $angle BCD = 36^circ$。
那么 $angle ACD = 72^circ 36^circ = 36^circ$。
由于 $angle CAD = 36^circ$ 和 $angle ACD = 36^circ$，三角形 ACD 是一个等腰三角形，所以 $AD = CD$。
又因为 $angle BCD = 36^circ$ 和 $angle CBD = 72^circ$，我们可以得出 $angle CDB = 180^circ 36^circ 72^circ = 72^circ$。
因此，三角形 BCD 是一个等腰三角形，所以 $CD = BC$。

所以我们有 $AD = CD = BC$。如果设正五边形的边长为 $a$，那么 $BC = a$。
考虑对角线 AC。在三角形 ABC 中，它是一个等腰三角形，$angle BAC = 36^circ$。
在三角形 BCD 中，$angle CBD = 72^circ$, $angle BCD = 36^circ$, $angle CDB = 72^circ$。所以三角形 BCD 和三角形 ABC 是相似的（AA 相似）。

由于 $AD = BC = a$，那么 $BD = AC AD = d a$。
在相似三角形 BCD 和 ABC 中，对应边的比相等：
$frac{BC}{AB} = frac{CD}{AC} = frac{BD}{BC}$
代入我们设定的边长：
$frac{a}{a} = frac{a}{d} = frac{da}{a}$

从 $frac{a}{d} = frac{da}{a}$：
$a^2 = d(da)$
$a^2 = d^2 ad$
$d^2 ad a^2 = 0$

这是一个关于 $d/a$ 的二次方程。两边同除以 $a^2$：
$(frac{d}{a})^2 (frac{d}{a}) 1 = 0$

令 $x = d/a$，则 $x^2 x 1 = 0$。
解这个方程：
$x = frac{(1) pm sqrt{(1)^2 4(1)(1)}}{2(1)}$
$x = frac{1 pm sqrt{1+4}}{2}$
$x = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$

由于 $d/a$ 是长度比，必须是正数，所以 $frac{d}{a} = frac{1 + sqrt{5}}{2}$。这就是黄金分割数 $phi$。
也就是说，正五边形的对角线长度是其边长的 $phi$ 倍。

现在，回到我们最初的等腰三角形 ABC，它的顶角是 $36^circ$，腰长是 $d$，底边长是 $a$。
我们在这条腰上（比如 AC）做一个高。或者，我们从 C 点向 AB 边作垂线。
更方便的是，我们从 A 点向 BC 边作垂线，设垂足为 M。
那么 $ riangle ABM$ 是一个直角三角形，$angle BAM = 36^circ$。
在 $ riangle ABM$ 中：
$sin 36^circ = frac{BM}{AB}$

我们需要知道 BM 的长度。
由于 $ riangle ABC$ 是等腰三角形，高 AM 将底边 BC 平分。所以 $BM = MC = a/2$。
而在上面的分析中，我们用到了 AB 的边长是 $a$，对角线 AC 的长度是 $d$。
我们发现 $CD = a$ 且 $AD = a$。所以 $AC = AD + DC = a + a = 2a$? 这里有一个误解。

让我们重新审视几何模型。
在一个等腰三角形 ABC 中，$angle A = 36^circ$，$angle B = angle C = 72^circ$。设 $AB = AC = d$，$BC = a$。
从 C 点画一条线段 CE 到 AB 边上，使得 $angle BCE = 36^circ$。
则 $angle ACE = 72^circ 36^circ = 36^circ$。
由于 $angle CAE = 36^circ$ 且 $angle ACE = 36^circ$，$ riangle ACE$ 是等腰三角形，所以 $AE = CE$。
$angle CBE = 72^circ$ 且 $angle BCE = 36^circ$，则 $angle CEB = 180^circ 72^circ 36^circ = 72^circ$。
所以 $ riangle CEB$ 是等腰三角形， $CB = CE$。
因此，$AE = CE = CB = a$。
又因为 $ riangle ABC sim riangle CEB$ (AA 相似)，
所以 $frac{AC}{CB} = frac{CB}{EB}$。
代入边长：$frac{d}{a} = frac{a}{EB}$。
因为 $AB = AE + EB$，所以 $d = a + EB$。$EB = d a$。
代入比例式：$frac{d}{a} = frac{a}{da}$。
$d(da) = a^2$
$d^2 ad a^2 = 0$
$(frac{d}{a})^2 (frac{d}{a}) 1 = 0$
解得 $frac{d}{a} = frac{1+sqrt{5}}{2} = phi$。

我们现在需要 $sin 36^circ$。
考虑等腰三角形 ABC。从 A 点作高 AH 到 BC。AH 垂直平分 BC。
所以 $ riangle ABH$ 是一个直角三角形。
$angle BAH = 36^circ / 2 = 18^circ$？ 不，顶角是 A，所以是 A 的角平分线，不是高度。
高 AH 将 $angle A$ 平分。所以 $angle BAH = angle CAH = 18^circ$。

让我们从另一个角度来考虑。
在 $ riangle ABC$ 中，$angle B = 72^circ$。我们可以在 AB 上取一点 D，使得 $angle DCB = 36^circ$。
这样 $angle CAD = 36^circ$, $angle ACD = 36^circ$。$ riangle ADC$ 是等腰的， $AD=CD$。
$angle CBD = 72^circ$, $angle CDB = 180 72 36 = 72^circ$。$ riangle CDB$ 是等腰的， $CD=CB$。
所以 $AD = CD = CB = a$。
设 $AC = d$。则 $DB = AB AD = d a$。
由于 $ riangle ABC sim riangle BDC$，（$angle B$ 公共，$angle BAC = angle BCD = 36^circ$）
$frac{AC}{BC} = frac{BC}{BD}$
$frac{d}{a} = frac{a}{da}$
$d(da) = a^2$
$d^2 ad a^2 = 0$
$frac{d}{a} = phi = frac{1+sqrt{5}}{2}$。

现在，我们需要在某个直角三角形里找到 $sin 36^circ$ 的关系。
考虑等腰三角形 ABC，腰长 $d$，底边 $a$。顶角 $36^circ$。
我们可以从顶点 A 向底边 BC 作垂线 AH。
在直角三角形 ABH 中，$angle ABH = 72^circ$, $angle BAH = 18^circ$。斜边 $AB = d$，$BH = a/2$。
这里我们求的是 $sin 36^circ$。

我们回到那个代数方法的结果：$cos 36^circ = frac{1 + sqrt{5}}{4}$。
如果我们要用几何方法导出 $sin 36^circ$ 的值，我们需要一个 $36^circ$ 的角，并且能知道其对边和斜边的比例。

回到那个等腰三角形，顶角 $36^circ$，底角 $72^circ$。
边长 $d, d, a$。
我们可以考虑一个内接圆。
或者，在正五边形的边长是 $a$ 的情况下。
考虑五边形的一个顶点 O。连接两个相邻顶点 A, B。$ riangle OAB$ 是一个等腰三角形，$angle AOB = 72^circ$, $angle OAB = angle OBA = 54^circ$。

现在，我们再回到代数方程：$4 cos^2 heta 2 cos heta 1 = 0$。
解得 $cos 36^circ = frac{1 + sqrt{5}}{4}$。
然后 $sin^2 36^circ = 1 cos^2 36^circ = frac{5 sqrt{5}}{8}$。
$sin 36^circ = sqrt{frac{5 sqrt{5}}{8}}$。

我们还可以尝试化简这个表达式。
有时我们会看到 $sin 18^circ$ 的值更容易求得，然后再通过关系求 $sin 36^circ$。

设 $alpha = 18^circ$。则 $5alpha = 90^circ$。
$2alpha = 90^circ 3alpha$。
$sin(2alpha) = sin(90^circ 3alpha)$
$2 sin alpha cos alpha = cos(3alpha)$
$2 sin alpha cos alpha = 4 cos^3 alpha 3 cos alpha$
因为 $alpha = 18^circ$ 不是 $90^circ$ 的倍数，$cos alpha eq 0$。两边除以 $cos alpha$：
$2 sin alpha = 4 cos^2 alpha 3$
$2 sin alpha = 4 (1 sin^2 alpha) 3$
$2 sin alpha = 4 4 sin^2 alpha 3$
$2 sin alpha = 1 4 sin^2 alpha$
$4 sin^2 alpha + 2 sin alpha 1 = 0$

令 $x = sin alpha = sin 18^circ$。
$4x^2 + 2x 1 = 0$
$x = frac{2 pm sqrt{2^2 4(4)(1)}}{2(4)}$
$x = frac{2 pm sqrt{4 + 16}}{8}$
$x = frac{2 pm sqrt{20}}{8}$
$x = frac{2 pm 2sqrt{5}}{8}$
$x = frac{1 pm sqrt{5}}{4}$

因为 $18^circ$ 是锐角，$sin 18^circ$ 是正数。所以：
$sin 18^circ = frac{1 + sqrt{5}}{4}$。

现在我们知道 $sin 18^circ$ 了。我们可以利用关系求 $sin 36^circ$。
$sin 36^circ = sin(2 imes 18^circ)$
$sin 36^circ = 2 sin 18^circ cos 18^circ$

我们需要 $cos 18^circ$。
$cos^2 18^circ = 1 sin^2 18^circ$
$cos^2 18^circ = 1 left(frac{1 + sqrt{5}}{4} ight)^2$
$cos^2 18^circ = 1 frac{1 2sqrt{5} + 5}{16}$
$cos^2 18^circ = 1 frac{6 2sqrt{5}}{16}$
$cos^2 18^circ = 1 frac{3 sqrt{5}}{8}$
$cos^2 18^circ = frac{8 (3 sqrt{5})}{8}$
$cos^2 18^circ = frac{5 + sqrt{5}}{8}$

因为 $18^circ$ 是锐角，$cos 18^circ$ 是正数：
$cos 18^circ = sqrt{frac{5 + sqrt{5}}{8}}$

现在代入 $sin 36^circ = 2 sin 18^circ cos 18^circ$：
$sin 36^circ = 2 left(frac{1 + sqrt{5}}{4} ight) sqrt{frac{5 + sqrt{5}}{8}}$
$sin 36^circ = left(frac{1 + sqrt{5}}{2} ight) sqrt{frac{5 + sqrt{5}}{8}}$

为了化简，我们可以将 $frac{1 + sqrt{5}}{2}$ 移入平方根号内。
$left(frac{1 + sqrt{5}}{2} ight)^2 = frac{1 2sqrt{5} + 5}{4} = frac{6 2sqrt{5}}{4} = frac{3 sqrt{5}}{2}$

所以，
$sin 36^circ = sqrt{frac{3 sqrt{5}}{2}} sqrt{frac{5 + sqrt{5}}{8}}$
$sin 36^circ = sqrt{frac{(3 sqrt{5})(5 + sqrt{5})}{16}}$
$sin 36^circ = sqrt{frac{15 + 3sqrt{5} 5sqrt{5} 5}{16}}$
$sin 36^circ = sqrt{frac{10 2sqrt{5}}{16}}$
$sin 36^circ = frac{sqrt{10 2sqrt{5}}}{4}$

这个结果比我之前算得的 $sqrt{frac{5 sqrt{5}}{8}}$ 要好看一些。让我们验证一下它们是否相等：
$sqrt{frac{5 sqrt{5}}{8}} = sqrt{frac{2(5 sqrt{5})}{16}} = frac{sqrt{10 2sqrt{5}}}{4}$。
是的，它们是相等的。

所以，最终的结果是：
$sin 36^circ = frac{sqrt{10 2sqrt{5}}}{4}$

这个方法通过求 $sin 18^circ$ 并利用二倍角公式来得到 $sin 36^circ$ 的值，也是一种相当经典且详细的推导过程。它比直接从 $cos 36^circ$ 往回推要稍微直观一些，因为 $18^circ$ 和 $36^circ$ 在正五边形和五角星的构造中非常常见。

总结一下求 $sin 36^circ$ 的详细步骤：

1. 利用角度关系建立方程： 设 $ heta = 36^circ$，则 $5 heta = 180^circ$。变形为 $2 heta = 180^circ 3 heta$，两边取正弦得到 $sin(2 heta) = sin(180^circ 3 heta)$。
2. 运用三角函数公式化简： 利用二倍角公式 $sin(2 heta) = 2sin hetacos heta$ 和三倍角公式 $sin(3 heta) = 3sin heta 4sin^3 heta$，以及诱导公式 $sin(180^circ x) = sin x$，将方程化为关于 $sin heta$ 和 $cos heta$ 的关系。
3. 转化为关于 $cos heta$ 的二次方程： 利用 $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$ 将 $sin^2 heta$ 替换为 $1cos^2 heta$，从而得到一个关于 $cos heta$ 的二次方程 $4cos^2 heta 2cos heta 1 = 0$。
4. 求解 $cos heta$ 的值： 使用求根公式解出 $cos heta = frac{1 pm sqrt{5}}{4}$。由于 $36^circ$ 是锐角且 $cos 36^circ > cos 60^circ = 0.5$，确定 $cos 36^circ = frac{1 + sqrt{5}}{4}$。
5. 求 $sin heta$： 利用 $sin^2 heta = 1 cos^2 heta$ 计算出 $sin^2 36^circ = frac{5 sqrt{5}}{8}$，然后开方得到 $sin 36^circ = sqrt{frac{5 sqrt{5}}{8}}$。
6. （可选）化简结果： 将 $sin 36^circ = sqrt{frac{5 sqrt{5}}{8}}$ 化简为更常见的 $frac{sqrt{10 2sqrt{5}}}{4}$ 形式，可以通过先计算 $sin 18^circ$ 再使用二倍角公式来得到这个化简后的形式。

整个过程体现了数学的严谨和巧妙，没有查阅任何现成的数值表，完全依靠数学公式和逻辑推理得出结果。这种方法在古代数学中是很常见的，也是很多几何发现的基础。

利用三倍角公式

可得

化简得

解得

进而