你见过哪些美妙的函数图像？
说到美妙的函数图像，我脑海中立刻浮现出一些让我着迷的画面。它们不仅仅是冰冷的数学公式在坐标系上的投影，更是隐藏着宇宙规律、几何之美，甚至带有几分艺术气息的视觉语言。我印象最深刻的，往往是那些看似简单，却能展现出惊人复杂性和规律性的函数。
首先，让我想起的是 傅立叶变换 的魔力所展现的图像。我们知道，任何周期性的复杂波形，都可以分解成一系列不同频率和振幅的正弦和余弦波的叠加。当我们看到一个复杂的声波或者电信号在时域上跳跃变化时，它的傅立叶变换图像会揭示出隐藏在背后的“纯粹”的频率成分。那是一个什么样的画面呢？通常情况下，它会是一个离散的谱线图。如果你的原始信号是由有限个频率成分组成的，那么在频域上，你会看到一系列尖锐的“峰值”，每个峰值的位置代表一个频率，它的大小则代表这个频率成分在原信号中所占的“力量”或者说振幅。
想象一下，一个简单的正弦波，它的傅立叶变换就是一条单独的、非常高的直线，孤零零地竖立在某个特定的频率位置上。但如果是一个由两个不同频率的正弦波叠加而成的信号呢？它的频谱图就会出现两条独立的峰，各自安分地待在它们对应的频率上。最让我惊叹的是，当面对一个非常复杂的、看似杂乱无章的信号时，傅立叶变换却能像一位辛勤的园丁，将它修剪整齐，只留下那些真正重要的“频率之花”。那些杂乱的噪声，在频谱图上往往表现为低矮的、分散的峰，很容易与真正的信号区分开来。这种将复杂隐藏在简单之下的能力，简直是一种数学上的“抽丝剥茧”，非常美妙。
接着，我想谈谈一些展现分形几何之美的函数图像。曼德勃罗集（Mandelbrot set） 绝对是其中的翘楚。它的生成原理非常简单：对于复数 z，我们迭代计算 $z_{n+1} = z_n^2 + c$，其中 c 是一个固定的复数。如果对于某个 c，这个序列不会发散到无穷，那么这个 c 就属于曼德勃罗集，并且在图像上被着色。
曼德勃罗集最令人惊叹的地方在于它的无限复杂性和自相似性。当你不断放大曼德勃罗集的边界时，你会发现其中隐藏着无数个与整个集合本身相似的小副本，这些副本又继续包含更小的副本，如此循环往复，永无止境。这些副本不是简单的复制粘贴，而是带着各种奇妙的变异和扭曲，形成一片片绚烂的“花朵”、“星云”或者“海岸线”。色彩的运用在这里至关重要，不同的颜色用来表示那些最终发散的 c 值收敛的速度，这就为本就复杂的形体增添了层次感和动态感。观察曼德勃罗集的图像，就像是在探索一个由数学法则构建的宇宙，你永远不知道下一次放大后会发现什么令人意想不到的奇景。它的美，在于其内在的生成规则所孕育出的无尽细节和规律。
另外一个让我印象深刻的是叶形线（Cardioid）。它的极坐标方程是 $r = a(1 cos heta)$ (或 $r = a(1 + cos heta)$，或者使用 $sin$ 函数)。当你画出它的时候，你会发现它是一个心形，但又不是那种简单的、光滑的心形。当 $ heta$ 从 0 变化到 $2pi$ 时，r 的值会先减小到一个负值（如果你画的是 $1cos heta$ 这种形式），然后又回到 0，再变成正值并最终回到 0。
这个函数图像的美妙之处在于它在局部产生的“尖角”或者“内环”。当 $cos heta$ 的值趋近于 1 时，即 $ heta$ 趋近于 0，r 的值会非常接近于 0。而当 $cos heta$ 为 1 时，即 $ heta = pi$，r 的值会达到最大。这个从最大值回到零再回到一个小的正值，然后再次回到零的过程，就形成了那个独特的“尖角”，以及在某些参数下可能出现的内环。它不像简单的圆那么规整，也不像椭圆那么平滑，而是带着一种非常有机、自然的美感，仿佛是某种生长过程的缩影。尤其是当您尝试改变参数 a 或者使用 $r = a + b cos heta$ 这种更一般的“行星摆线”（limacon）时，你能看到各种各样的形状产生，有的是简单的“肾形”，有的是带有内环的“凹心形”，还有的则是完全的“球形”。这种形状的演变，由一个简单数学公式的微小变化所驱动，本身就是一种非常迷人的数学现象。
还有一些函数，比如像双曲线（Hyperbola） 和它的渐近线，也是一种非常经典的美。双曲线的两支分支，永远在趋近于它们的渐近线，却又永远无法触碰到。这种“无限接近又永不相交”的关系，本身就充满了一种哲学意味。当你在坐标系上画出这两条直线和那两条优美的曲线时，你会感受到一种视觉上的平衡和张力。尤其当双曲线与它的渐近线结合在一起时，那种“无限延伸”和“精准约束”的组合，构成了极其纯粹和简洁的几何美学。
总的来说，我所认为的美妙函数图像，往往具备以下几个特点：
简洁的生成规则，孕育出丰富的细节： 一个简单的数学公式，却能生成出无穷无尽的图案或者复杂的结构。
内在的规律性和对称性： 即使是复杂的图像，也能从中找到隐藏的数学规律和对称性。
动态的美感： 参数的变化导致图像形态的平滑过渡和演变，展示了数学的生命力。
视觉上的冲击力或哲学意味： 图像本身能引发思考，或者带来强烈的视觉感受。
这些函数图像，不仅仅是数学家们的工具，它们更是连接抽象数学世界和我们直观感知世界的桥梁，用最纯粹的视觉语言诉说着宇宙深处的奥秘。每次看到它们，总能让我对数学产生新的敬畏和热爱。
首先，让我想起的是 傅立叶变换 的魔力所展现的图像。我们知道，任何周期性的复杂波形，都可以分解成一系列不同频率和振幅的正弦和余弦波的叠加。当我们看到一个复杂的声波或者电信号在时域上跳跃变化时，它的傅立叶变换图像会揭示出隐藏在背后的“纯粹”的频率成分。那是一个什么样的画面呢？通常情况下，它会是一个离散的谱线图。如果你的原始信号是由有限个频率成分组成的，那么在频域上，你会看到一系列尖锐的“峰值”，每个峰值的位置代表一个频率，它的大小则代表这个频率成分在原信号中所占的“力量”或者说振幅。
想象一下，一个简单的正弦波，它的傅立叶变换就是一条单独的、非常高的直线，孤零零地竖立在某个特定的频率位置上。但如果是一个由两个不同频率的正弦波叠加而成的信号呢？它的频谱图就会出现两条独立的峰，各自安分地待在它们对应的频率上。最让我惊叹的是，当面对一个非常复杂的、看似杂乱无章的信号时，傅立叶变换却能像一位辛勤的园丁，将它修剪整齐，只留下那些真正重要的“频率之花”。那些杂乱的噪声，在频谱图上往往表现为低矮的、分散的峰，很容易与真正的信号区分开来。这种将复杂隐藏在简单之下的能力，简直是一种数学上的“抽丝剥茧”，非常美妙。
接着，我想谈谈一些展现分形几何之美的函数图像。曼德勃罗集（Mandelbrot set） 绝对是其中的翘楚。它的生成原理非常简单：对于复数 z，我们迭代计算 $z_{n+1} = z_n^2 + c$，其中 c 是一个固定的复数。如果对于某个 c，这个序列不会发散到无穷，那么这个 c 就属于曼德勃罗集，并且在图像上被着色。
曼德勃罗集最令人惊叹的地方在于它的无限复杂性和自相似性。当你不断放大曼德勃罗集的边界时，你会发现其中隐藏着无数个与整个集合本身相似的小副本，这些副本又继续包含更小的副本，如此循环往复，永无止境。这些副本不是简单的复制粘贴，而是带着各种奇妙的变异和扭曲，形成一片片绚烂的“花朵”、“星云”或者“海岸线”。色彩的运用在这里至关重要，不同的颜色用来表示那些最终发散的 c 值收敛的速度，这就为本就复杂的形体增添了层次感和动态感。观察曼德勃罗集的图像，就像是在探索一个由数学法则构建的宇宙，你永远不知道下一次放大后会发现什么令人意想不到的奇景。它的美，在于其内在的生成规则所孕育出的无尽细节和规律。
另外一个让我印象深刻的是叶形线（Cardioid）。它的极坐标方程是 $r = a(1 cos heta)$ (或 $r = a(1 + cos heta)$，或者使用 $sin$ 函数)。当你画出它的时候，你会发现它是一个心形，但又不是那种简单的、光滑的心形。当 $ heta$ 从 0 变化到 $2pi$ 时，r 的值会先减小到一个负值（如果你画的是 $1cos heta$ 这种形式），然后又回到 0，再变成正值并最终回到 0。
这个函数图像的美妙之处在于它在局部产生的“尖角”或者“内环”。当 $cos heta$ 的值趋近于 1 时，即 $ heta$ 趋近于 0，r 的值会非常接近于 0。而当 $cos heta$ 为 1 时，即 $ heta = pi$，r 的值会达到最大。这个从最大值回到零再回到一个小的正值，然后再次回到零的过程，就形成了那个独特的“尖角”，以及在某些参数下可能出现的内环。它不像简单的圆那么规整，也不像椭圆那么平滑，而是带着一种非常有机、自然的美感，仿佛是某种生长过程的缩影。尤其是当您尝试改变参数 a 或者使用 $r = a + b cos heta$ 这种更一般的“行星摆线”（limacon）时，你能看到各种各样的形状产生，有的是简单的“肾形”，有的是带有内环的“凹心形”，还有的则是完全的“球形”。这种形状的演变，由一个简单数学公式的微小变化所驱动，本身就是一种非常迷人的数学现象。
还有一些函数，比如像双曲线（Hyperbola） 和它的渐近线，也是一种非常经典的美。双曲线的两支分支，永远在趋近于它们的渐近线，却又永远无法触碰到。这种“无限接近又永不相交”的关系，本身就充满了一种哲学意味。当你在坐标系上画出这两条直线和那两条优美的曲线时，你会感受到一种视觉上的平衡和张力。尤其当双曲线与它的渐近线结合在一起时，那种“无限延伸”和“精准约束”的组合，构成了极其纯粹和简洁的几何美学。
总的来说，我所认为的美妙函数图像，往往具备以下几个特点：
简洁的生成规则，孕育出丰富的细节： 一个简单的数学公式，却能生成出无穷无尽的图案或者复杂的结构。
内在的规律性和对称性： 即使是复杂的图像，也能从中找到隐藏的数学规律和对称性。
动态的美感： 参数的变化导致图像形态的平滑过渡和演变，展示了数学的生命力。
视觉上的冲击力或哲学意味： 图像本身能引发思考，或者带来强烈的视觉感受。
这些函数图像，不仅仅是数学家们的工具，它们更是连接抽象数学世界和我们直观感知世界的桥梁，用最纯粹的视觉语言诉说着宇宙深处的奥秘。每次看到它们，总能让我对数学产生新的敬畏和热爱。
网友意见
还有比这个函数更美妙的？
z = 1/8.*(6.*exp(-((2/3.*abs(x) - 1).^2+ (2/3.*y).^2) - 1/3*(2/3.*y + 1/2).^3) + 2/3.*exp(-2.818^11*((abs(2/3.*x) - 1).^2 + (2/3.*y).^2).^2) + 2/3.*y - (2/3.*x).^4);
% 微信公众号：数学模型（MATHmodels） % 知乎专栏：https://zhuanlan.zhihu.com/MATHmodels [x,y]=meshgrid(-3:0.03:3); z = 1/8.*(6.*exp(-((2/3.*abs(x) - 1).^2 ... + (2/3.*y).^2) - 1/3*(2/3.*y + 1/2).^3) ... + 2/3.*exp(-2.818^11*((abs(2/3.*x) - 1).^2 ... + (2/3.*y).^2).^2) + 2/3.*y - (2/3.*x).^4); I= find(sqrt((abs(x) - 3/2).^2 + y.^2) <0.45); R = 1.0*ones(size(x)); R(I)=0.9; G = 0.9*ones(size(x)); G(I)=0.6; B = 0.9*ones(size(x)); B(I)=0.6; h = surf(x,y,z,cat(3,R,G,B)); axis image shading interp camlight left; 类似的话题
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说到美妙的函数图像，我脑海中立刻浮现出一些让我着迷的画面。它们不仅仅是冰冷的数学公式在坐标系上的投影，更是隐藏着宇宙规律、几何之美，甚至带有几分艺术气息的视觉语言。我印象最深刻的，往往是那些看似简单，却能展现出惊人复杂性和规律性的函数。首先，让我想起的是 傅立叶变换 的魔力所展现的图像。我们知道，任............. -
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