用正方形逼近圆，得到 π 值为 4 的结论，错在哪里？
用正方形逼近圆，得到 $pi$ 值为 4 的结论，这个说法确实有很大的误导性，而且从数学角度来说，这是完全错误的。我们来仔细分析一下，为什么会有人产生这样的想法，以及它错在哪里。
要理解这个问题，我们首先要明确“逼近”在数学中的含义，以及 $pi$ 的真正定义。
1. $pi$ 的真正定义是什么？
$pi$（Pi）是一个数学常数，它代表了圆的周长与直径之比。无论圆的大小如何，这个比值始终是一个固定的数。更精确地说，$pi$ 是一个无理数，它的小数点后有无数个不重复的数字，我们常用的近似值是 3.14159。
2. 用正方形“逼近”圆，这个“逼近”是怎么实现的？
通常，当我们说用多边形逼近圆时，会用到两种方法：
内接多边形： 在圆内画一个多边形，多边形的顶点都在圆周上。随着多边形边数的增加，它的周长和面积会越来越接近圆的周长和面积。
外切多边形： 在圆外画一个多边形，多边形的边都与圆相切。同样，随着多边形边数的增加，它的周长和面积也会越来越接近圆的周长和面积。
这两种方法都能让我们越来越精确地估算出 $pi$ 的值。例如，用内接正方形和外切正方形来估算 $pi$：
内接正方形： 假设圆的半径是 $r$，直径是 $2r$。一个内接正方形，其对角线等于圆的直径 $2r$。根据勾股定理，正方形的边长是 $frac{2r}{sqrt{2}} = rsqrt{2}$。那么这个正方形的周长是 $4 imes rsqrt{2} approx 5.657r$。这个周长小于圆的周长 $2pi r$。
外切正方形： 假设圆的半径是 $r$，直径是 $2r$。一个外切正方形，其边长等于圆的直径 $2r$。那么这个正方形的周长是 $4 imes 2r = 8r$。这个周长大于圆的周长 $2pi r$。
从上面可以看出，内接正方形的周长小于圆的周长，外切正方形的周长大于圆的周长。如果只看周长，我们知道 $5.657r < 2pi r < 8r$，也就是 $2.828 < pi < 4$。这离 $pi approx 3.14159$ 还有相当大的距离。
3. 问题出在哪里？为什么会有人说 $pi$ 是 4？
产生 $pi$ 值为 4 这个结论的根本原因，是对“逼近”概念的误解，或者说，是用一种错误的方式在“逼近”。
一种可能产生这个错误结论的方式是混淆了周长和边长，或者选择了错误的“测量点”。让我们设想一种非常简单粗暴的“逼近”方式，也许能解释这个 4 的来源：
思考一个最简单的“四边形”和“圆形”的关系。 如果我们考虑一个边长为 2 的正方形，它的周长是 8。如果我们试图在这个正方形内部画一个“最圆”的图形，最直观的可能是画一个内切圆。这个内切圆的直径就是正方形的边长，也就是 2。那么这个圆的周长是 $pi imes 2$。
现在反过来思考，如果我们要用正方形来近似一个圆，而不是用圆来近似正方形。设想我们有一个边长为 2 的正方形，它的周长是 8。如果我们在 这个正方形的中心 画一个圆，并且让这个圆的直径等于正方形的边长 2，那么这个圆的周长是 $2pi$。
这里并没有出现 4。
另一种更可能导致“$pi = 4$”结论的误解，是来自对“外切正方形”的某种简化理解。
想象一下，我们有一个半径为 $r$ 的圆。
外切正方形： 如果我们在圆的外面画一个正方形，让这个正方形的四条边都与圆相切，那么这个正方形的边长就是圆的直径 $2r$。这个正方形的周长是 $4 imes (2r) = 8r$。
如果有人错误地认为圆的周长等于其外切正方形的周长，那么就有：
$2pi r = 8r$
两边同时除以 $2r$，我们就得到了 $pi = 4$。
为什么这个想法是错误的？
这个错误的根源在于：
误解了“逼近”的含义： 用外切正方形来“逼近”圆的周长，是因为正方形的周长是圆周长的“上界”，并且随着外切多边形边数的增加，这个上界会越来越接近圆周长。但 “上界”不等于“等于”。外切正方形的周长永远大于圆的周长。用一个大于真实值的数值去“代表”真实值，是错误的测量方法。
混淆了周长和“某个特征尺寸”： 可能是把外切正方形的边长（直径）与圆的周长混淆了，或者把外切正方形的周长与圆的周长混淆了，并且错误地假设了两者相等。
更形象的比喻：
想象你有一根绳子，你想知道它的长度。
正确的测量方法： 用尺子直接量绳子的长度。
错误的“逼近”方法（可能产生 $pi=4$ 的思维）： 你把绳子绕在一个边长为 2 米的正方形的外部，让绳子刚好紧贴着正方形的四条边，形成一个“圆形”的形状。然后你计算这个正方形的周长是 8 米。如果你错误地认为绳子的真实长度就等于这个正方形的周长，那么你就得出了一个错误的结论。
实际上，你绕成圆形的绳子（圆的周长）必然比外切正方形的周长要短。
总结一下，得到 $pi$ 值为 4 的结论，错在：
1. 概念混淆： 错误地将圆的周长与外切正方形的周长相等同。
2. 测量方法错误： 没有理解“逼近”是趋近于一个值，而不是简单地将一个边界图形的尺寸“嫁接”到被逼近的图形上。外切正方形的周长是圆周长的一个上界，两者不可能相等。
3. 对 $pi$ 定义的理解偏差： $pi$ 是圆周长与直径的比值，一个固定的常数，而不是某个简单多边形周长的一个随机“估算值”。
我们用内接正方形和外切正方形来估算 $pi$ 是为了展示当多边形的边数趋于无穷大时，它们的周长会越来越接近圆的周长，从而让我们能更精确地估计出 $pi$ 的值。但仅用一个简单的正方形（无论是内接还是外切），都无法得到 $pi=4$ 这个准确的结论。
所以，任何声称通过“用正方形逼近圆”得出 $pi=4$ 的说法，都属于对数学概念的误解或断章取义，是一个错误的推论。
要理解这个问题，我们首先要明确“逼近”在数学中的含义，以及 $pi$ 的真正定义。
1. $pi$ 的真正定义是什么？
$pi$（Pi）是一个数学常数，它代表了圆的周长与直径之比。无论圆的大小如何，这个比值始终是一个固定的数。更精确地说，$pi$ 是一个无理数，它的小数点后有无数个不重复的数字，我们常用的近似值是 3.14159。
2. 用正方形“逼近”圆，这个“逼近”是怎么实现的？
通常，当我们说用多边形逼近圆时，会用到两种方法：
内接多边形： 在圆内画一个多边形，多边形的顶点都在圆周上。随着多边形边数的增加，它的周长和面积会越来越接近圆的周长和面积。
外切多边形： 在圆外画一个多边形，多边形的边都与圆相切。同样，随着多边形边数的增加，它的周长和面积也会越来越接近圆的周长和面积。
这两种方法都能让我们越来越精确地估算出 $pi$ 的值。例如，用内接正方形和外切正方形来估算 $pi$：
内接正方形： 假设圆的半径是 $r$，直径是 $2r$。一个内接正方形，其对角线等于圆的直径 $2r$。根据勾股定理，正方形的边长是 $frac{2r}{sqrt{2}} = rsqrt{2}$。那么这个正方形的周长是 $4 imes rsqrt{2} approx 5.657r$。这个周长小于圆的周长 $2pi r$。
外切正方形： 假设圆的半径是 $r$，直径是 $2r$。一个外切正方形，其边长等于圆的直径 $2r$。那么这个正方形的周长是 $4 imes 2r = 8r$。这个周长大于圆的周长 $2pi r$。
从上面可以看出，内接正方形的周长小于圆的周长，外切正方形的周长大于圆的周长。如果只看周长，我们知道 $5.657r < 2pi r < 8r$，也就是 $2.828 < pi < 4$。这离 $pi approx 3.14159$ 还有相当大的距离。
3. 问题出在哪里？为什么会有人说 $pi$ 是 4？
产生 $pi$ 值为 4 这个结论的根本原因，是对“逼近”概念的误解，或者说，是用一种错误的方式在“逼近”。
一种可能产生这个错误结论的方式是混淆了周长和边长，或者选择了错误的“测量点”。让我们设想一种非常简单粗暴的“逼近”方式，也许能解释这个 4 的来源：
思考一个最简单的“四边形”和“圆形”的关系。 如果我们考虑一个边长为 2 的正方形，它的周长是 8。如果我们试图在这个正方形内部画一个“最圆”的图形，最直观的可能是画一个内切圆。这个内切圆的直径就是正方形的边长，也就是 2。那么这个圆的周长是 $pi imes 2$。
现在反过来思考，如果我们要用正方形来近似一个圆，而不是用圆来近似正方形。设想我们有一个边长为 2 的正方形，它的周长是 8。如果我们在 这个正方形的中心 画一个圆，并且让这个圆的直径等于正方形的边长 2，那么这个圆的周长是 $2pi$。
这里并没有出现 4。
另一种更可能导致“$pi = 4$”结论的误解，是来自对“外切正方形”的某种简化理解。
想象一下，我们有一个半径为 $r$ 的圆。
外切正方形： 如果我们在圆的外面画一个正方形，让这个正方形的四条边都与圆相切，那么这个正方形的边长就是圆的直径 $2r$。这个正方形的周长是 $4 imes (2r) = 8r$。
如果有人错误地认为圆的周长等于其外切正方形的周长，那么就有：
$2pi r = 8r$
两边同时除以 $2r$，我们就得到了 $pi = 4$。
为什么这个想法是错误的？
这个错误的根源在于：
误解了“逼近”的含义： 用外切正方形来“逼近”圆的周长，是因为正方形的周长是圆周长的“上界”，并且随着外切多边形边数的增加，这个上界会越来越接近圆周长。但 “上界”不等于“等于”。外切正方形的周长永远大于圆的周长。用一个大于真实值的数值去“代表”真实值，是错误的测量方法。
混淆了周长和“某个特征尺寸”： 可能是把外切正方形的边长（直径）与圆的周长混淆了，或者把外切正方形的周长与圆的周长混淆了，并且错误地假设了两者相等。
更形象的比喻：
想象你有一根绳子，你想知道它的长度。
正确的测量方法： 用尺子直接量绳子的长度。
错误的“逼近”方法（可能产生 $pi=4$ 的思维）： 你把绳子绕在一个边长为 2 米的正方形的外部，让绳子刚好紧贴着正方形的四条边，形成一个“圆形”的形状。然后你计算这个正方形的周长是 8 米。如果你错误地认为绳子的真实长度就等于这个正方形的周长，那么你就得出了一个错误的结论。
实际上，你绕成圆形的绳子（圆的周长）必然比外切正方形的周长要短。
总结一下，得到 $pi$ 值为 4 的结论，错在：
1. 概念混淆： 错误地将圆的周长与外切正方形的周长相等同。
2. 测量方法错误： 没有理解“逼近”是趋近于一个值，而不是简单地将一个边界图形的尺寸“嫁接”到被逼近的图形上。外切正方形的周长是圆周长的一个上界，两者不可能相等。
3. 对 $pi$ 定义的理解偏差： $pi$ 是圆周长与直径的比值，一个固定的常数，而不是某个简单多边形周长的一个随机“估算值”。
我们用内接正方形和外切正方形来估算 $pi$ 是为了展示当多边形的边数趋于无穷大时，它们的周长会越来越接近圆的周长，从而让我们能更精确地估计出 $pi$ 的值。但仅用一个简单的正方形（无论是内接还是外切），都无法得到 $pi=4$ 这个准确的结论。
所以，任何声称通过“用正方形逼近圆”得出 $pi=4$ 的说法，都属于对数学概念的误解或断章取义，是一个错误的推论。
网友意见
正确地逼近出来的成果“圆”应该是一个“滴溜溜光滑”的圆，上面不存在任何毛燥的端点，这样才符合圆的定义；
你逼近出来的这个“圆”是一个磨砂圆，处处都不光滑。根据生活常理，磨砂的东西表面积就是会比光滑的大，没毛病。
曲线长度的定义，是所有从曲线中选取有限个点连起来的折线长度的上确界。
这个定义的思路确实是用折线逼近曲线，但有一个要求：折线上的所有顶点必须都在曲线上。
图中的折线不满足这个要求。
类似的话题
-
用正方形逼近圆，得到 $pi$ 值为 4 的结论，这个说法确实有很大的误导性，而且从数学角度来说，这是完全错误的。我们来仔细分析一下，为什么会有人产生这样的想法，以及它错在哪里。要理解这个问题，我们首先要明确“逼近”在数学中的含义，以及 $pi$ 的真正定义。1. $pi$ 的真正定义是什么？$pi............. -
这种情况下，关于你的行为是否构成正当防卫，以及哪几下属于正当防卫，这是一个非常复杂且需要具体分析的问题。法律上，正当防卫的认定非常讲究“必要限度”和“时间性”。首先，我们来拆解一下“正当防卫”的核心要素。在绝大多数法律体系中，正当防卫的成立需要满足几个关键条件：1. 存在不法侵害： 暴徒持刀砍人，.............
-
这个问题很有意思，我们来好好琢磨一下。首先，我们有一个边长为 $a$ 的正方形。想象一下，这个正方形的四个角都像是坚固的锚点，我们要用三个直径也为 $a$ 的圆去“罩住”它。如果只用一个圆，直径为 $a$ 的圆，它能覆盖的最大区域是一个边长为 $a$ 的正方形的内切圆。这个内切圆的直径就是 $a$，.............
-
.......
-
.......
-
.......
-
用正切函数的连分数展开式证明圆周率 $pi$ 是无理数，这是一个非常巧妙且具有历史意义的数学证明。它依赖于我们对正切函数的一个特定形式的连分数展开以及一些数论的基本概念。下面我将尽可能详细地为您阐述这个过程，力求让它听起来像是一位数学爱好者娓娓道来，而不是冰冷的机器生成。核心思想：这个证明的核心在于.............
-
圆周率 π 的一个有趣表示：正切半角无穷级数展开式我们都知道圆周率 $pi$ 是一个神秘而迷人的数字，它的出现贯穿于数学的许多分支，尤其是在几何和分析学中。除了我们熟知的 $pi approx 3.14159$ 之外，数学家们也为它找到了许多精妙的表达方式，其中一个尤其引人注目的是通过正切函数的半角.............
-
.......
-
.......
-
.......
-
我使用的听歌软件？嗯，说起来也挺有意思的，我算是经历了好几代音乐播放器的变迁。如果非要说“现在”在用的是什么，那其实有点复杂，因为我并没有一个固定的、唯一的“播放器”。更像是我会根据场景和需求来选择。不过，如果把“听歌软件”这个概念稍微放宽一点，不仅仅是播放列表里的歌曲，而是指我能获取和欣赏音乐的“.............
-
.......
-
.......
-
.......
-
.......
-
CDPR（波兰开发商The Witcher系列开发公司）确认使用虚幻引擎5（Unreal Engine 5）开发《巫师》新作的消息无疑引发了玩家和业界的广泛关注。作为一款以开放世界、深度叙事和庞大世界观著称的经典IP，此次转向UE5将带来哪些突破？以下是基于目前信息和技术趋势的详细分析： 一、技术层.............
-
用“三观正不正”来衡量电视剧、电影的品质，这是一个非常普遍但也颇具争议的现象。要详细探讨这个问题，我们可以从以下几个层面来分析：一、 “三观”的含义及其在影视评价中的体现首先，我们需要明确“三观”在这里通常指的是什么。在当下语境中，人们讨论影视作品的“三观”，往往涵盖了： 世界观 (Worldv.............
-
.......
-
.......
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有