为何电功率计算公式为 P=UI？ 第1页

反对 @Patrick Zhang 的回答，因为里面有大量的错误。 @Patrick Zhang 对于Poynting vector（坡印廷向量）、导线内部磁场等等电磁学中的基础概念和知识并没有正确的理解，甚至连抄书都抄错了。

先回答题主的问题。在电流恒定的情况下，我们可以认为电路中负载电荷的粒子（比如电子）在统计意义上拥有恒定的动能，因此其在电场中的势能的变化量便对应着对外做功的大小。所以就有：

【注意这里第一步的负号来自于电势能变化量与对外做功量之间的相反关系，第二步开始的 我们取的是电势差的绝对值因此前面的负号已经被抵消了】

接着稍微说一下 @Patrick Zhang 的回答中的各种错误：

1. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

为了表述电磁波沿着导线传输电磁能量，坡印廷定义了能流密度S的概念。
能流密度S的大小等于单位时间内通过垂直于能量传播方向的单位面积上的能量。S的方向指向波的传播方向。

是不对的。

Poynting在他1884年的论文 On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field 中讨论了Poynting vector的概念。Poynting并不是为了『表述电磁波沿着导线传输电磁能量』所以定义的Poynting vector，电磁波的存在也不是能量传输的必要条件。比如在Poynting的论文中的章节Applications of the Law of Transfer of Energy中的第一个例子A straight wire conveying a current中，电场和磁场都是不随时间变化的，也不存在任何电磁波，但仍然有由Poynting vector所描述的能量传输。

从Poynting vector的定义式 （以真空情况为例）也可以清楚地看出，只要有不共线的电场和磁场就会有非零的Poynting vector，也就会有能量传递，并不一定要存在电磁波。另外，在 @Patrick Zhang 自己在回答中举的能量传输例子里也不存在电磁波。 @Patrick Zhang 所谓的『S的方向指向波的传播方向』只是对相关概念一知半解后的过度脑补。

2. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

根据图2，在导线内部的磁场强度为：，其中：是电阻率，它是电导率的倒数。

完全是错的，而且很明显是抄书抄错的。

对于承载恒定电流的导线内部的磁场强度 （即 ），我们可以很容易地利用Ampère's circuital law直接得到：在默认半径为 的圆柱状导线内部电流均匀分布的理想前提下，对于导线横截面上的任意一个与截面同心且半径为 的圆，我们有 ，因此

其中的 指的是圆柱坐标系中环绕圆柱截面的单位向量。

在一些教科书中，半径变量被用 所表示。 @Patrick Zhang 在这里显然是从某本书上抄来了磁场强度 的公式，然后想当然地将其中的半径 臆想为电阻率，还特意为读者『解释』一下什么是 。有意思的是， @Patrick Zhang 在其回答中紧接着的对功率的计算中又把公式抄对了（因为此时变量 等于导线半径所以不用再写 ）。可以看出 @Patrick Zhang 并没有理解磁场强度 的表达式是怎么来的，更没有自己推导回答中所写下的这个公式。

3. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

流入导线内外的能量分布又如何？我们继续用坡印廷矢量来推导一番，看看结果是什么：
把坡印廷矢量罗列如下：
，式5
我们把导线分成内外两部分，两部分的半径分别是R1和R2，然后来做如下积分：
，式6

也是错的。

@Patrick Zhang 在这里明显又抄错书了。因为 并不适用于圆柱状导线的情况（即 @Patrick Zhang 自己在回答图中所画的情况），这个式子描述的是电流沿径向流过空心圆柱导体的情景。对于内外半径分别为 和 的长度为 的空心圆柱导体，径向电流所对应的电阻为 ，其中 是电导率，于是我们便有

此时空心圆柱导体两端的Poynting vector垂直横截面向内，因此才有后面的在圆环区域上对Poynting vector的积分。
对于普通的圆柱导线的情况，Poyting vector在导线表面是沿着半径方向向内的，计算能量传输功率时对Poynting vector的积分区域是圆柱面而不是 @Patrick Zhang 所写的圆环区域。

4. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

计算中完全没有涉及到电子。可见导线传递能量的主体并不是电子，而是电场。

是错误的。

首先，计算中已经涉及到电子（或相应的带电粒子）了，这体现在计算过程中多次出现的电流 上。

其次，导线传递能量并不能缺少电子（或相应的带电粒子）。这一点是很显然的。单纯的一对不共线的电场和磁场就已经有不为零的Poynting vector了，但如果没有电子（或相应的带电粒子）的话，由Poynting vector垂直于导线表面输入导线中的能量并不能在导线中传递。

希望 @Patrick Zhang 知之为知之 不知为不知，不要抄多了书就自以为懂了，至少先学会把书抄对。