两本书按页交叠，用手拉不开，为什么？ 第1页

两书交叠受拉时的锁定现象

按：多少有点令人意外的是，两书交叠受拉，并不见得总能拉开。当参数满足一定条件，会出现受拉锁定，受拉锁定的意思是，如果不考虑纸张拉断，无论施加多大的拉力，纸张之间都不会出现相对滑动。

讨论方便起见，考虑两本完全相同的书的交叠受拉，并忽略重力影响。部分几何参数如图 1 所示。记纸张的单张厚度为 ，每本书有 页，书厚度 。图1只是粗略的示意，实际上每张纸从书脊到交叠区之间跨度为 的部分，并非呈直线，而是大体呈三次挠曲线形状，中间交叠区也不是绝对平直，而是微有曲度、呈近似平直。具体可参见实物照片图1a。

1、相互插入导致的交叠区初始压力

考虑两本书均为胶装，书脊部分可以看作嵌固边界条件；此外假定交叠部分近似呈平行状态（图1），从而抬起端亦为嵌固端。考虑每页纸都是理想的Euler梁，那么单页纸从嵌固端到抬起端的刚度为：

其中EI为单张纸的抗弯刚度。由对称性，考虑图1中的上半本书，记上半本书位于整本书中心的纸张为第1页，依次到最外部为第N页。一般性地考虑第n（n=1,2,…,N）页纸，其左右端相对位移为：

记第n页纸在跨度 范围内的剪力为 ，其下表面压力 ，上表面压力 ，那么：

籍此求和可得第n页纸下表面的左侧压力：

这里： 。因左右对称，第n页纸由两书相互插入引起的下表面总压力为 。

2、张拉导致的交叠区附加压力

一般性地考虑第n页纸的受拉状态，各参数如图2所示。记总拉力为 ，则单张纸的水平拉力近似均为 ，另记第n张纸的倾斜段拉力为 。张拉时会产生交叠区的附加压力，记第n页纸在抬起端的不平衡力为 ，由张拉产生的下表面压力 ，上表面压力 ，那么由平衡条件：

籍此可解出：

由此计算拉力 导致的第n页纸的下表面压力：

同理因左右对称，第n页纸下表面由张拉力T导致的总压力为 。

3、张拉的滑动条件和锁定条件

如果施加总拉力 使得两书产生相对滑动，应有总拉力不低于总摩擦抵抗力，即：

其中 表示纸张间的摩擦系数。此不等式成立则两书产生滑动。考虑到 ，上式几乎可不失精度地近似简化为：

也即：

式（1）即两书的滑动条件。同时不难看出，欲使式（1）成立，须有：

否则无论拉力多大，滑动条件（1）都不可能满足。那么立即得到锁定条件为：

具体计算：

则锁定条件化为：

利用条件 ，锁定条件可以进一步化简：

文字表述即：纸张摩擦系数与单本书总页数的乘积，大于或等于单本书非交叠区域跨高比的3倍。也就是说：纸张摩擦系数越大、书的页数越多，越容易锁定；单本书非交叠区域跨高比越小（相当于交叠区域越大），越容易锁定。如果系统不满足锁定条件，则可以借助式（1）求出临界滑动拉力。当然，锁定条件也可以等价地写成对于纸张摩擦系数的限制：

4、锁定条件及临界滑动拉力计算举例

4.1 锁定条件

案头随手取书一本，纸张数 页，厚度 ，宽度 ，进深 。假使这样两本相同的书逐页交叠，取 ，则由式（6）计算锁定条件：

当然也可以根据式（4）更为精确地计算锁定条件：

这就是说，如果纸张间的摩擦系数超过 ，这两本书即出现锁定，这时无论如何是拉不开的（不考虑纸张拉断的情况）。

4.2 临界滑动拉力

既然摩擦系数超过0.117系统锁定，这里不妨取 计算临界滑动拉力。百度可知，各类纸张的弹性模量差别很大，白卡纸弹性模量大约在 之间，瓦楞纸弹性模量大约 ，竹皮纸弹性模量则可高达 左右。这里取刚度最小的白卡纸，不妨令 。依次计算单张纸厚度：

单张纸截面惯性矩：

单张纸刚度：

参数 :

那么根据式（1）计算临界滑动拉力得：

代入几个摩擦系数的具体数值计算相应的临界拉力：

直观起见，绘出临界滑动拉力与摩擦系数的关系图像（参见图3）。从图像可见，在锁定摩擦系数附近，临界拉力剧烈变化。当摩擦系数逼近锁定摩擦系数时，临界拉力趋于无限大。

5、说明

1）要从理论上精确地讨论两本书的交叠受拉问题，因素很多，不太容易。文中采用了必要的简化，比如假定了交叠段均保持平直，使得每张纸的刚度有简单统一的公式，也假定了每张纸的水平拉力均相等。但这些假定与实际情况还算比较符合，并不改变问题的主要影响因素。

2）锁定条件式（5）中，不含交叠区尺寸参数 ，其原因主要是摩擦力计算只与法向压力的大小相关，与接触面积无关，这基本是符合纸张的实际情况的。若纸张换成带有粘性的材料，滑动应力计算则应更一般地采用Mohr-Coulomb准则：

这样一来，其中参数 部分是与接触面积相关的，锁定条件必然将包含交叠区面积。

3）为什么会出现受拉锁定呢？尽管文中已给出详细的推导过程，但仍有必要解释一下其直观的物理意义：两书交叠，造成了交叠纸张呈现曲线状态受拉，从而增大总拉力时，纸张之间的压力也随之变大，那么最大静摩擦力同步增大。在一定的参数条件下，出现拉力的增大速度低于最大静摩擦力的增大速度时，即出现受拉锁定。

附录A：更精细的锁定条件公式

今天发一点考据癖，拟将锁定条件改进一下。正文中假定每张纸的水平拉力均相等，虽然不影响锁定现象的定性讨论，但从计算精度上看还比较粗糙。这里换一种比较“力学”的纸张拉力分布模式。记第 张纸非交叠区域长度 ,两端竖向相对位移已知为定值 ，那么由勾股定理：

针对张拉取变分，得到应变关系：

故有：

由平衡关系：

得到：

那么：

代入滑动条件：

也即：

令系数：

立得锁定条件：

其中：

定性分析易知，由式（A.2）确定的临界锁定摩擦系数会大于由式（4）确定的临界锁定摩擦系数，更为准确一些。式（A.2）虽然准确，但系数 不宜手工计算，为此做一些简化。考虑角度 均为小量，利用泰勒展开可以得到如下近似公式：

这样一来手算就简单多了。现在用新的公式重算一下第 4 小节的例题：

可见对于本算例，式（A.2）得到的临界锁定摩擦系数 比式（4）得到的 略大一点，正在意料之中。意料之外的是，式（A.2）得到的临界锁定摩擦系数与式（6）结果非常接近，均约为 0.119。实际观察式（A.8）不难发现：

由此可见，采用更为合理的拉力分布模式之后，临界锁定摩擦系数直接逼近于式（6），从而再次印证了式（6）的合理性。此式简单干净，应用起来相当方便。当然，对于 不能视为小量的一般情况，仍建议联合应用式 ，如此最为妥当。