如何理解海森堡的「不确定性原理」？ 第1页

两个版本的Uncertainty Principle

Uncertainty Principle至少存在两个版本，一个是原来Heisenberg的版本，另一个是现在广为接受的版本。现在存在的两种中文译名“测不准原理”和“不确定性原理（关系）”大致分别对应这两种版本。

Heisenberg的版本：噪声与扰动的关系（NDR）

量子力学认为，对于一个系统，测量一个可观测量（比如位置 ）会引发另一个可观测量（比如动量 ）的随机扰动。←这句话是没问题的。

Heisenberg认为，在测量 的过程中存在的噪声， ，与这一测量行为引发的 的扰动， ，的乘积至少为 。即： 。这一表述没有严格推导。我们在这里把它称为Noise-Disturbance Relationship (NDR)。

现代的版本：量子态内禀的不确定性（HUP）

而现在通常被称为“Heisenberg Uncertainty Principle (HUP)”的关系实际上并非Heisenberg原来所提出的版本，而是之后由Weyl，Kennard, 和Robertson所推导得到的版本。它可以在很多现在的量子力学教材中找到。其内容如下所述。

假设我们以相同的方式制备多个处于相同状态的系统。对于某个可观测量 ，我们对其中一个系统测量它，会存在一个测量结果的理论值（也就是不包含测量噪声），然后把这个用过的系统扔掉。然后再拿一个新的一样的系统，再测一次，会出现一个新的理论值，再把用过的系统扔掉。不断重复这一过程，我们会得到一个可观测量 的理论值的分布，这一分布有一个标准差（ ）。HUP断言，对于任意一个处于某一量子态的系统，任何两个可观测量 经过以上过程得到的分布的标准差 和 的乘积满足关系

。

HUP已经在很多情况下被实验所验证。如果这两个可观测量是位置和动量，那么这一关系就是 。

NDR和HUP之间有何不同

NDR与HUP是不同的。第一，它们所描述的对象不同：HUP所描述的是量子状态内禀的不确定性，而Heisenberg的NDR描述的则是噪声与扰动之间的关系。第二，HUP指出标准差之间的关系，其关心的并非某次单一的测量，而NDR关心的则是具体的某次测量。

Heisenberg的NDR是错的

实际上，Heisenberg的NDR不仅适用性不如现代的HUP，而且是错的。NDR对应的推广为

，

而最近，Ozawa^[1]推导得到，其正确形式应该是

.

根据这一结论，因为不等式左边多出来的这两项，在某些情况下，Heisenberg的NDR可能不成立。同样是在最近，Steinberg^[2]等人所进行的实验发现了Heisenberg的NDR不成立的证据。Ozawa的理论和Steinberg的实验的具体内容请看下面的参考文献的链接。

总结

如果把“测不准”定义为“某一可观测量的测量噪声和它所引发的另一可观测量的扰动的乘积具有一个正的下界”，那么根据目前的实验证据，“测不准”暂时没有错误（也就是确实可能存在一个下界），但是Heisenberg原来的NDR所给出的下界 （也有说 的）则已经被实验验证为错误。

而另一个HUP，则目前被广泛接受，并存在于各类量子力学教材中。

现在，对于Uncertainty Principle从理论和实验上的考察与诠释依然是一个活跃的研究领域，若感兴趣可以移步至相关研究。

参考

1. ^M. Ozawa, Phys. Rev. A 67, 042105 (2003). https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.67.042105
2. ^Lee A. Rozema, Ardavan Darabi, Dylan H. Mahler, Alex Hayat, Yasaman Soudagar, and Aephraim M. Steinberg Phys. Rev. Lett. 109, 189902 (2012) https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.109.100404

有人提到了Stein的书，那我做个搬运工(*• . •*)

刚看到时觉得好神奇，原来傅里叶分析这么厉害_(:* ｣∠)_

物理带佬别骂我了(⋟﹏⋞)，我不懂物理(╥_╥)

海森堡提出了著名的“不确定性原理”：一个运动粒子的位置和它的动量不可被同时确定。

我是物理科学的民科，下面关于物理学的内容是个人的理解，望各位同学指正。

1 测不准原理

“不确定性原理”有另外一个名字：“测不准原理”。

1926年，海森堡任聘为哥本哈根大学尼尔斯·波耳研究所的讲师，协助尼尔斯·波耳做研究。隔年，他发表了论文《论量子理论运动学与力学的物理内涵》（On the physical content of quantum theoretical kinematics and mechanics）：

在这篇论文里提到，使用显微镜来测量电子的位置，需要通过测量光子，会不可避免地搅扰了电子的动量，造成动量的不确定性：

海森堡紧跟着给出“测不准原理”：越精确地知道位置，则越不精确地知道动量，反之亦然。

看过一本科普书，举了个例子：房间内有一个皮球，但是你蒙着眼睛，为了寻找皮球的位置，就用脚去试探。当用脚确定球的位置的时候，球必然被踢到，动量也就必然被改变。

看了对“测不准原理”的解释，我其实不太能接受，产生原因是因为技术限制？

那以后要是技术不限制了，是不是“测不准原理”得出的一系列推论全部要推翻？

比如，现在工艺的限制，没有办法在质子上面刻电路图，可是《三体》里面提到把质子降维之后展开，可以在上面刻画电路图，生产出“智子”。虽然是科幻小说，万一以后实现了呢？

其实上面对“测不准原理”的解释是错误的，错在用粒子模型对它进行解释。后面会使用波粒二象性重新解释。

2 波粒二象性

往下面讲之前，先非常简单地解释下什么是波粒二象性。

关于光子、电子等，我们的认知经历了几个阶段（当然还有什么弦论，这些不懂了）：

• 粒子
• 波
• 波粒二象性

2.1 粒子

经典的波尔模型，把电子和质子、中子都看成一个个的粒子：

2.2 波

著名的“双缝干涉”实验，光子经过双缝之后，会在荧幕上形成水波特有的干涉条纹：

更详细的可以参看这个影片：

出处： “双缝干涉”实验

这个实验说明，光子与水波类似，具有波的特性。

2.3 波粒二象性

光确实有粒子性，但是也有波的特征，最后就有了波粒二象性：就是说光子、电子，既是波、又是粒子，真让人糊涂啊。

德布罗意在1924年完成了博士论文《量子理论研究》。在这篇论文里，他详细地解释他所创建的的电子波理论。这包括了，根据阿尔伯特·爱因斯坦和马克斯·普朗克对于光波的研究，而推论出来的关于物质的波粒二象性：任何物质同时具备波动和粒子的性质。

由于论文的题目与内容相当先进，让当时许多学者都直摇头，因为这份报告的创造了一个新观念，而德布罗意的老师朗之万其实也很难相信这个论点，但论文的内容实在是太过让人惊叹，不能确定是否有瑕疵，所以寄给爱因斯坦一份，寻求他的意见。

爱因斯坦那时候很忙，正在研究玻色-爱因斯坦统计，抽不出时间仔细阅读，只能稍微翻了一下。立刻，他意识到这论文很有重量，乐意为波粒二象性背书，兴奋地回信：“他已经掀起了面纱的一角”！并且将论文送去柏林科学院，因而使得这理论广知于物理学界。德布罗意获得了梦寐以求的博士学位。后来，埃尔温·薛定谔从这篇论文里，得到很多宝贵的灵感。既然电子是波动，那么，什么是电子的波动方程？两年后，薛定谔发表了薛定谔方程，也从此开启了量子力学的新纪元。

波粒二象性的解释大概是这样的：光子是以概率波的形态存在的。

比如说，下面是一个正态分布，横坐标表示的是位置：

光子会在正态分布的范围内活动（其实这个范围是从正无穷到负无穷，理论上光子可以出现在宇宙中的任意位置，但是概率很低很低，可以视作0概率）：

但具体在哪并不太清楚，只知道光子出现在正态分布中间的概率高，两边的概率低。

或者可以知道在下面这个区域内发现光子的概率为：

下面这个动图很好的阐述了波粒二象性，可以看到，光子在空中传播的时候，弥漫在整个空间，这也是概率波的意思，在每个位置都有可能出现。但是撞到墙上后，位置就确定了，此时表现的就像一个粒子：

完整的影像在这里，阐述了粒子、波、波粒二象性三种观点：

出处： 波粒二象性

3 不确定性原理

下面用波粒二象性重新解释“测不准原理”。这个时候，“测不准原理”被更名为“不确定性原理”。“不确定性原理”是粒子的内在属性，跟测量没有关系。

重复下，“不确定性原理”的意思是：一个运动粒子的位置和它的动量不可被同时确定。

首先看位置和动量怎么来求？

3.1 位置与动量

刚才说了光子的位置是一个正态分布：

那么动量怎么计算呢？

德布罗意指出，粒子的动量可以如下计算：

其中， 为粒子动量， 为普朗克常数， 为概率波的波长。

波长和频率很容易转换：

其中， 为概率波的波长， 为波速， 为频率。

这些粒子的波速一般可以认为是光速，所以：

问题就变成了，怎么确定频率？傅立叶变换啊！

3.2 傅立叶变换

关于傅立叶变换，这里不再解释，之前写过三篇文章，可供参考：

• 傅立叶级数、变换的直观理解
• 傅立叶级数的代数细节
• 从傅立叶级数到傅立叶变换

为了计算方便，假设 ，因此光子位置的正态分布的代数形式为：

对 进行傅立叶变换，就可以得到频域分布（ 证明见此 ）：

通过傅立叶变换和逆变换，位置分布和频域分布可以相互转换：

画出频域分布图来就是这样：

把位置分布图和频域分布图放在一起，可以看出一些端倪：

位置分布图与频域分布图的变换方向是相反的。

也就是说，当位置分布图越窄，频域分布图越宽：

而频域分布图越窄，位置分布图越宽：

解读一下：

• 位置分布图越窄的意思是，光子的能活动的范围越窄，也就是说越确定光子的位置
• 频域分布图越宽的意思是，频域可能的范围宽，也就是说频域很难被确定

换句话说，越来确定光子的位置，越不能确定光子的频率（动量）。

咦，这不就是不确定性原理：越精确地知道位置，则越不精确地知道动量，反之亦然。

原来傅立叶变换就蕴含了不确定性原理啊。

当光子撞到墙上变为一个光点的时候：

光子的位置确定了，可以用狄拉克 函数来表示（可以参考 维基百科 ）：

上图的意思就是说，位置确定在了 点。

狄拉克 函数的代数是：

对狄拉克 函数进行傅立叶变换，得到频域图：

画出频域图来就是这样：

这幅图的可以解读为，没有办法确定频率到底是多少。可以进一步诠释，什么叫做“越精确地知道位置，则越不精确地知道动量”。

4 总结

“不确定性原理”可以通过波粒二象性以及傅立叶变换来解释。

下面是一个物理实验，展示“不确定性原理”的：

出处： 不确定性原理

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我认为uncertainty principle 应该翻译为“不确定原理”，而不是“测不准原理“。

不确定原理是波的本征属性，和测量没有关系，甚至和量子力学都没有关系，机械波也存在不确定性原理。

假设有一个波包，它在现实（坐标）空间中长这样：

做一个傅里叶变换，它在倒（频率）空间中长这样：

假设有另一个波包，他在现实（坐标）空间中精度较低，较为弥散：

那么相应的，他在倒（频率）空间中就会更精确，更集中：

假如你把波包无限展宽，在现实空间的精度无限低，它就变成了一个无限大简谐波：

相应的，它在倒（频率）空间就变成了无限精确的一个点：

也就是说，你无法同时精确测量波包的坐标和频率。

精确的坐标和精确的频率，在逻辑上是互不兼容的，你把测量精度提高到普朗克量级也不顶用。

由于微观物质都是以概率波的形式存在，其频率对应着动量。所以坐标/频率的不确定性就变成了坐标/动量不确定性。这并不是量子力学独有的概念，而是波的本征属性。

作为民科编外人员，还是写个普通人能看懂的吧。

这个不确定性原理，可以用这句话来反映它的特点：吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已！已而为知者，殆而已矣！

这句庄子的心理学描述重点是两个词：有涯和无涯。而这个就是理解不确定性的关键。

量子力学当前的理论，已经被大量的专业工作者装饰得精巧无比，毕竟有好的大框架和精于联系的科学人才。为什么要讲这句话呢？因为海森堡的不确定性，在当初出来的时候，可能是相对简陋的，不像现在解读的角度这么丰富。而且科学精神似乎也应该支持民科不同角度的解读，虽然这只是原则上的。

以下为个人猜测的内容。

第一个，海森堡被盐选小广告李淼描述成数学很差的博士，但是又经常性的在学术上有闪光点，尤其在数学逻辑上很跳跃。而海森堡的专业又是流体力学，成天要偏导的人。

基于上面的冲突，我怀疑海森堡这个很聪明的人，很可能归纳了前人的思维模式。不确定性原理是他采用在现在看来是标准的科学空间构建方法，找取两个正交量，动量和位置，也即对称不变性的应用，要描述一个动态变化的东西，就找到一个不变点为基点来进行拓展。按照他发表理论的时间看，上述的科学方法当时应该还不是很成熟，他领悟到了并成功了。而这种逻辑思维方法在很多地方，给了他能发现捷径的能力，导致其很多想法让当时同业者不是很理解，并评价为跳跃。这一科学方法到上世纪70年代可能才大行其道。

第二个，回到了开篇的有涯和无涯，现代物理最困难的地方应该是没能讲清楚时间是什么，而不确定性原理则是对时间现象的一种新的表达。

当一个物质处在时间洪流之中的时候，它的作为和不作为，都将在时间上留下涟漪。当把时间看做是无涯的时候，这个涟漪就是一种波，当把时间看做是有涯的时候，这个时候涟漪成为了某种瞬态或者自谐振，看上去是粒子。浪漫点的说法就是：你给一个美女送了一个秋波，它将会永远的做用于时间长流之中，直至宇宙的终结，而你可能迎娶美女的芳心，直至生命的终结。

有一个回答用傅里叶转换解释了波包的形态，跟我的这个回答本质是一样的。但是可能有人对傅里叶还是没太懂，这里就补充一个实际生活的例子，一只小鸟在扇翅膀飞行，请告知它扇翅膀的频率。按照日常的生活习惯，我们很快就能给出一个数，比如一秒10次，但是如果我们把频率计算的时间颗粒减小，前面给的频率数还对吗？还是一个定值吗？如果我们把这个时间颗粒取极限设置到普朗克时间，我们看到的扇翅膀频率又会是怎么样的？每两个普朗克之间的那个逻辑边界，我们如何处理？所以很多时候我怀疑除法这个运算法则，不能广泛用于物理领域。这也是为什么物理界不支持无穷，但是数学界经常给你算出来。

最后yy一下时间，按照科学上通常采用的对称不变性，当前我们的宇宙还在膨胀，要想用我们的科学解释时间，只能等到宇宙回到原点并再次爆炸的时候，因为那个时候，时间经历了一次封闭，出现了不变点。