能否从博弈论角度来解释生活中的商业聚集现象？ 第1页

这个问题能够有很复杂的交叉学科解释，但是应题主要求，也可以给出一个很直观的简单经济学模型进行初步分析。在这个模型中，只有销售者数量为 时不存在均衡，且所有均衡都必有销售者聚集的情况。

模型建立在以下假设之上：

• 考虑一个地区的消费者都均匀地居住在一条线上，比如，一条街道。
• 每个消费者都喜欢到距离最近的销售者那里消费，这符合题中所谓「同质化竞争」的要求。
• 有大于一位的销售者。
• 销售者想要最大化自己的消费者的数量。

这些销售者会如何选择它们的销售地点？

两个销售者竞争的情形：

参与者集合

设开店位置离原点的距离为 ，

参与人 的行动集合

参与人 的偏好关系用效用函数 表示为

此时，我们已经表述出一个无限策略式博弈 。

此博弈的纳什均衡是指如下一个结果 ，对每一个参与人 ，满足

.

换言之，在给定状态下每一个参与人都没有改变自己行动的动机。

不难发现， 是该博弈的一个纳什均衡。读者还可以简单地尝试证明：这是该博弈的唯一一个纳什均衡。

结论就是，两竞争者都将在道路中点处开店，并平分客流量。

三个销售者竞争的情形：

参与者集合

设开店位置离原点的距离为 ，

参与人 的行动集合

参与人 的效用函数 显然较二人情况更为复杂，不妨分情况加以考察：

(1) 三博弈者共处一点的情况

(2) 三博弈者分处两点的情况

可能有两种形态，分别称为 (2.1), (2.2)。

(3) 三博弈者分处三点的情况

此时，我们已经表述出一个无限策略式博弈 。

为了读者熟悉效用函数的形式，我在上面分别列出了各情况各位置的支付。我们可以用这些 对相应的决策变量 求偏导，或与邻态比较，以辨别各情形是否均衡。

但事实上以上的情况能够通过类比，化归到两人博弈的情况中进行分析。也就是说，我们其实可以不必把这些支付全部列出。一个简化的分析如下：

情况 (3) 中， 和 两个位置的博弈者分别可视为两人博弈中分处左、右两侧的博弈者，它们有向对方位置调整的趋势，情况不均衡。

情况 (2) 中，单独的那个博弈者可视为两人博弈中博弈者不处于同一点时的某一博弈者，我们已经知道，同样的，它有向对方位置调整的趋势，情况不均衡。

情况 (1) 中，为辨别是否有纳什均衡，我们不妨比较 与其邻态的最大值 ，显然有

此时博弈者有改变行动的趋势，情况不均衡。

以上便证明，三个销售者竞争时，不存在均衡。

四个销售者竞争的情形：

博弈者分散在四点的情况中，两侧位置的博弈者分别可视为两人博弈中分处左、右两侧的博弈者，已知情况不均衡。这已说明在此模型中，不可能出现所有博弈者皆分散的均衡。

博弈者以一个、三个的形态分布在两点的情况，或以一个、一个、两个的形态分布在三点的情况中，必有至少一个单独的博弈者处于两侧位置，此博弈者可视为两人博弈中博弈者不处于同一点时的某一博弈者，已知情况不均衡。这已说明在此模型中，不可能出现一个或两个单独的博弈者处于两侧位置的均衡。

博弈者以两两的形态分布在两点的情况中，以 代表两位置，有

比较 与 ，发现，令

即解 ，得

由对称性知， 位置的博弈者将采取的策略为

联立解得一纳什均衡为

博弈者聚在一点的情况中，有 。类似地有 ，故不均衡。事实上，此式说明了此模型中，任何博弈者数量大于 的情况下，所有博弈者聚在一点的情况皆不均衡。

以上便证明，四个销售者竞争时，存在唯一均衡为销售者以两两聚合的形态分布在 与 两点上，并平分客流量。

读者可尝试自行证明，博弈者数量 大于等于 的情形下，都有均衡存在。

其中偶数情况下， 时，存在一均衡为销售者以两两聚合的形态分布在 这些点上；

奇数情况下则较为复杂。

建立博弈部分可参阅：博弈论笔记：定义策略式博弈，及纳什均衡

2019.4.27