无限不循环（如 π、e）的存在是否也一定程度解释了世界的特性？ 第1页

其实的确有一定的联系，虽然题主的问法非常不专业，但是其实题主的直观思维当中有的的确确的可取之处。对于这样单独的数，我们是有办法通过定义来得到它的精确值的，问题在于，我们如何将任意的这样的数表示出来。

那么十进制就是一种表示方式，比如说

3.1415926

它可以用很多种方法表示成一种规范的方法，比如

0.31415926E1

就可以表示为一系列0-9的整数，加上一个十进制数，十进制数也可以用0-9表示。前面的0.是固定的，可以省略，这样我们可以用0-9加上E这些有限的符号来表示出一个有限小数。

对于无限循环小数来说，这种表示方法需要使用无限多的符号，这就头疼了。但这个问题很容易解决，我们知道任意的有理数都可以表示为两个整数的商，所以我们只要改成两个整数来表示就好，比如：

912374231/1292342178219321

使用0-9, /这11个符号，所有的有理数就都可以用有限多的符号表示出来。

甚至还可以进一步扩充可以表示的范围，我们可以用一系列整数来表示一个代数方程：

我们用逗号分隔的整数来表示这个方程，就可以用0-9和,这11个符号表示所有这样的代数方程。我们再加上一个数k用来表示这个方程的根当中模从小到大排列（模相等时按幅角排序）的第k个根，我们就可以用这种方式来表示所有的代数数。这当中已经包括了很多无限不循环小数了，比如。

然而，不管我们怎么设计，当我们使用有限多种类、有限多数量的符号来表示一个数的时候，我们永远不可能表示出所有的实数。这是因为有限多种类、有限多数量的符号所能形成的表示集合，是一个可数集。而实数是不可数的。而从数量上看，可数的部分占全体实数总量的比例为0，也就是说不管我们设计出了怎样的表示方式，任意取一个实数，几乎100%的概率下这个实数是不能用我们设计的表示方式来表示的。

从信息论的角度来说，有限多个有限多种符号表示的信息有有限的信息量，这说明一个任意的实数具有无限多的信息量。

量子力学的测不准原理的确跟这个事情有些关系。题主举的例子说，圆的周长和半径的问题，这其实是个很好的例子，不过我们需要把它更进一步抽象一下。在我们规定一个长度单位之后，我们可以将长度映射到全体实数域，从我们前面的结论中我们可以得到，我们能表示的实数是非常有限的，只有可数集那么多。而圆的条件约束建立了一个从实数到实数的映射，我们会发现在某些约束下，这个映射不可能将我们定义的可数集映射到它自身，并不是因为是个无理数，更重要的是它是个超越数。这个约束是：我们定义的可以表示的可数集满足，也就是说如果两个数都可以表示，则它们的和也可以表示。不难证明我们必须表示出所有的：

而由于是超越数，这个集合是不可数的。

我们可以进一步说，我们想要表示的数的全体集合可以表示为Q上的一个线性空间，而我们的乘以π的操作是一个线性映射，我们没法把Q上线性空间的一个子空间，完全映射到它自身。

更进一步来说，这说明，对于某些从不可数集到不可数集的映射，我们无法在这个不可数集上规定一个符合我们要求的可数集，让这个可数集总是映射到它自身内部。

在量子力学当中，这一点也是类似的。量子系统的可能的状态一般是不可数的，我们的一次测量只能取回有限的信息量，这说明我们只能在量子系统的可数多个状态上测量出精确的值。比方说我们现在要测量动量，则只有可数多个状态上能测量出精确的值，我们将这些可以测量出的状态表示为，它是量子系统的全部状态中的一个子集。

如果我们又想要测量位置，那么也只有可数多个状态上能测量出精确的值，这些状态表示为

量子力学的波函数是个线性空间，这两组集合构成了状态空间的基底，任何一个量子状态既可以表示成前一组基底的线性组合，也可以表示成后一组基底的线性组合，线性组合可以用（无限维的）向量来表示，这样就形成了一个不可数集到不可数集上的映射。事实上这个映射可以用矩阵来表示。而我们选中的可数集则是所有仅有一个元素为1的向量的集合。可以证明，这个映射跟我们前面遇到的情况相似，它不可能将我们选中的可数集映射回它本身，因此对于状态，它一定不等于任意的，既然任意一个状态都不可能既在前一个可数集中又在后一个可数集中，那么任何量子状态都无法同时测准动量和位置。

不仅如此，一般来说对于任意一个，它对应的在中的向量表示在所有的维数上值都不为0，说明相应的物理量有可能是任意值，完全不确定。反而对于混合的状态来说，物理量的不确定度会小一些：考虑，它既不是动量的本征态也不是位置的本征态，但是由于对应的的展开分布到所有的维数上，那么每个维数上的分量都比较小，反过来也是一样，所以这个混合态在上“大致”是，而在上“大致”是，我们可以在允许不确定性存在的情况下得到动量和位置的近似值。进一步可以证明这个不确定度的乘积有个下限，这就构成了不确定性原理（或者测不准原理）。

从测量不能获取足够多信息量的角度来说，其实这个理解是很好的。但要注意并不是说只要测量得更精确就能解决这个问题，从我们前面的推导中可以看出，无论如何测量都只能获取有限的信息量，而有限信息量的信息是可数集，不对易的物理量之间形成的映射不能从可数集映射到可数集，因而不能同时测准。这和具体的测量精度是没有关系的。