哪些看上去很先进的事物其实早就发明了？ 第1页

凑个趣。截至写作时间为止，估计没有比这个更早的了。以下正文。

拜现代社会满街走的码农所赐，现在估计很多人都知道这么一段程序：

         float Q_rsqrt( float number ) {  long i;  float x2, y;  const float threehalfs = 1.5F;    x2 = number * 0.5F;  y  = number;  i  = * ( long * ) &y;                       // evil floating point bit level hacking  i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?  y  = * ( float * ) &i;  y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration //      y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed    return y; }       

这是一段据说来自quake 3源代码的函数，功能是计算平方根。这段程序特别神奇的地方是，他比公版平方根函数要快得多，基本上迭代一两次就能得到很高的精度；而更为神奇的地方是，这段程序之所以能做到这一点，全是因为一个看上去很像胡说八道的怪数。

请看程序中注释里面写作what the fuck读作我艹发生了什么那一行。0x5f3759df这个16进制32位数就是我们谈到的那个怪数。想当年老夫在水木看到一个帖子想学习一下有史以来最伟大的几个程序是怎么编的，看到此处就傻眼了。

不过今天我们不谈这个怪数，谈谈这个程序是怎么求平方根的。

平方根函数是不能用有限次加减乘除计算的。计算这类函数的方法一般有两种，一种是我们中学里学过的查表法，另一大类是以牛顿-拉夫逊法为代表的数值方法。

计算器不算，因为计算器一般使用的CORDIC算法是这两者的一种折衷。

一般来说介绍这个程序的文章都会重点介绍为什么上面提到的那个怪数这么有效，是怎么算出来的，人们如何试图改进而不得，以及如何考证出这个怪数不是如同传闻所言来自著名程序员John Carmack，作者已不得而知，等等；至于程序使用的计算方法（即程序的主要内容），一般只是一笔带过的说是牛顿-拉夫逊迭代。

上过高等数学的读者可以知道，牛顿-拉夫逊迭代基于函数的泰勒展开，是微积分对数值方法的一大贡献；而微积分是初等数学和高等数学的分界线，等等。

亲爱的读者，把这段程序称为牛顿-拉夫逊迭代是不错的，因为这段程序使用的迭代方法是牛顿-拉夫逊法的一个特例；但是在英语文献里这个方法一般叫做巴比伦法。

是的，你没看错，就是指那个古巴比伦。这个程序使用的迭代求解平方根方法是古巴比伦人发现的。

生活在公元前21-17世纪的古巴比伦人。

纸都没有，在泥板上写字的古巴比伦人。

下面这张照片中是考古发现的一块古巴比伦泥板，通称YBC 7289泥板。考古学家认为这泥板中的内容是一个巴比伦学生的作业。

这片泥板上写的东西是什么意思呢？可以看见泥板中画的是一个正方形。

正方形对角边上用楔形文字标明了一些数字，这些数字的值上图中有翻译，分别是1,24,51,10。我们知道古巴比伦人使用六十进制，所以这条斜边上的数是1+24/60+51/60^2+10/60^3。

翻译成十进制，这个数的值约为1.41421296。对，就是根号2。

直角边上的值是30，所以这位巴比伦学生算出斜边的长度是42+25/60+35/60^2，约等于42.4263888。

古巴比伦人显然没表可查。剩下的可能是，他们已经知道了如何使用迭代法求解平方根。

这块泥板的另一个标志是表明古巴比伦人已经知道了勾股定理。在这个姓名早已不可考的巴比伦学生刻出这块泥板的一千多年以后，古希腊的毕达哥拉斯重新发现了这个定理。他的学生希帕索斯证明了根号2不是有理数，因此被毕达哥拉斯判决扔到水里淹死。

如果古巴比伦人知道如何用迭代法计算平方根，一个合理的推断是他们说不定也知道有无限不循环小数这回事。这是公元前21-17世纪。

印度人发明阿拉伯数字两千年以前。

阿拉伯数学家解决一元二次方程问题的两三千年以前。

牛顿-拉夫逊法发现三千多年以前。

有时候我想，某个姓名已不可考的巴比伦数学家发现这个方法以后，会不会高兴得手舞足蹈？会不会用当时先进的耕田技术，把他发现的这个方法命名为牛拉法？

在巴比伦人发现迭代法之后四千年，公元二十世纪，一个姓名已不可考的计算机工程师找到了一个魔数0x5f3759df，改进了这个方法，使得无论求解任何数的平方根，都可以在两步以内达到四位以上的精度。

除了这个数，我们文章开头里提到的这个程序的其他部分，其起源可以追溯到四千年以前。

参考文献：

Chris Lomont, "

"

David Fowler and Eleanor Robson, "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context",

//以下事后评论：

人来的不少，我很欣慰。

集中回答一下正文没说清楚的问题。

1. 有知友指出能计算平方根不代表就一定是迭代法。

的确，这个正文中说得不清楚。实际上正文中贴出的YBC7289泥板里面的根号二很可能是查表所得。当然，这个表也是巴比伦人自己算出来的，不是得到外星启迪的产物。学界认为巴比伦人掌握迭代法的证据请参看我的第二个引用文献，里面提到了记录在BM96957和VAT6598两块泥板上的习题和题解，详细说明了巴比伦人使用的逼近方法。这道题是专门讲怎样求正方形对角线长度的。

2. 有知友指出fast inverse square root 求的是平方根倒数不是平方根。

这个属于我没说清楚。实际上计算机算法求平方根倒数和求平方根一般是用同一套算法，先求平方根倒数再乘以原数得到平方根。两者原理是一样的，但是求平方根的迭代算法中有一步需要使用变量除法，求平方根倒数则不需要。如果读者有硬件算法实现的经验就能知道计算机算变量除法是很麻烦的一件事，比变量乘法要慢得多，而且电路结构更复杂。所以计算机迭代一般是算平方根倒数，这样要比直接迭代算平方根快得多。

现在看来原文里面写四千年来就魔数法一个改进是不准确的，如评论所说写的时候激动了。

3. 关于两河文明究竟多先进。

其实老夫是个程序猴，并不懂考古。这篇文章的起源是五年前做混沌映射的FPGA实现的时候查到的。当时需要做cusp映射，需要用到平方根。熟悉离散混沌映射的朋友知道它对计算精度很敏感，硬件混沌发生器对运算速度要求不低，但是FPGA上又不可能做一个巨大的表来查。老夫头疼了半天，最后被魔数法搭救了，中间偶然看到了迭代计算平方根的历史沿革。所以如果有朋友想了解两河文明的就只好抱歉了，真的不懂。

如果有其他问题，欢迎继续留言评论。

水准测量

在古代中国，应该是战国时期，有一条河，奔流不息。

先民们准备在河上建一个水坝，将河流驯服，方便农业灌溉，顺便建一个漂亮的游泳池。

但是在村庄附近，地势险要，并且落差比较大，会造成工程量较大，工程质量以及施工安全不容易控制。

村里有个小伙，30多岁了，还没有媳妇。。。。天天不务正业，不事农作，唯独喜欢整一些不切实际的幻想。。。例如，造个东西能带着人一起飞（这个东西，现代人叫飞机），相聚很远能够通话的东西（现在我们叫手机）。。。。但是没有一个想法能够实现。。。。

村长

，带领着村民在村口建设水坝，而这个地方正是上文说的不利于建设水坝的地方。。。。经过漫长的建设过程，依然没有完工。。。村长死了。。。村长的儿子又带领大家伙建水坝。。。。。就这样一直循环。。。当然村长临时前，留下这样一句话,"汝心之固，固不可彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？"

有一天，村里的的那个小伙。。对！就是30岁还没有结婚的那个。。。。（别问我，他为啥还没有死）。。。躺在石头上嘲笑村民干的是无用功。。。（这个小伙就叫智叟吧）。。。。村民就不乐意了，你小子天天不干活，躺着石头上流哈喇子，还他妈来笑话我。。。

智叟，在他的一系列发明幻想和实践过程中，也是有收获的，懂得了水准传递的道理，知道如何找到合适的建坝位置。但这小子坏啊，一肚子坏水。。。想到自己打了这么多年的光棍，也想开开荤。。。

就和现任村长打赌，如果自己半年之内能够把水坝建设好，就把村长的三个闺女嫁给他。。。。

于是智叟就带着几个马仔（脑子不够用）开始了寻找合适的水坝位置。。。。

具体的原理，如下图：

其实，原理很简单，就是找到河床的标高比村口附近河床的标高高就行了。最大的问题就是如何找到这个点。看看智叟的做法是这样的。。。

（是不是惊呆了，跟水准高程测量的原理一模一样。。。比西方的水准仪提前了几千年。。。）

只需要知道a和b的差值就可以将高程从B点传递到A点，村民在实际操作中，将竖着的杆用等长的一节一节的竹竿来代替，只需要知道竹竿的个数差，就可以知道相对高程，然后不断传递。。。直到找到合适的建坝地点。

通过现在测量发现，建坝地点距离村口有5km的距离。是不是惊呆了，这么远的距离，而且误差还比较小。

当然，最终的结局是圆满的。智叟光荣的将村长的三个闺女取回了假。不过，大闺女叫如花，二闺女叫凤姐；三闺女叫河狸老师。。。

还忘说了一点，在智叟将要去世的时候，将自己对飞行器，远距离通话，无马马车的假想，以及对于宇宙万物、基础科学的思考，刻在了竹子上面。。。

这些竹子，最终分散在不同的地球的各个角落，指引着人类文明的进步。。。

专注于建造师资料分享以及相关资讯！免费的。。。赶紧关注我把！

微博：

微博ID：河狸老师

QQ：2823415933