看到很多理论大牛都回答了这个问题。我决定从最初实验的角度来说一下,毕竟这些理论也都是在最初的实验结果上推导的。我之前回答过类似的问题,在此引用一下
我们不得不提到第一个观测到了自旋的实验——斯特恩-盖拉赫实验。在这个实验中,施特恩和格拉赫观测到了银原子在不均匀磁场中的裂分成了两条。在实验刚做出来时,没人意识到这证明了自旋——他们以为这个实验验证了索末菲提出的空间量子化。
但是随着理论的不断完善,他们发现并不能用空间量子化来解释:一方面,银原子的总轨道角量子数J等于0,不应该裂分;另一方面,就算能够裂分,条数也应该等于2J+1,也就是说,裂分成两条说明有一个等于1/2的量子数。而后来这个1/2的量子数就被克勒尼希、乌伦贝克和古德斯米特提出是电子自旋。所以自旋量子数就是1/2