「量子」是什么？ 第1页

所谓量子 就是光子能量本征值的差分

首先我们要建立一个量子体系，这是一个Hilbert空间。设 是一个Hilbert复数矢量空间，其中的元素 是一个复数矢量，我们将其共轭值记作 ，那么由 中所有元素的共轭值组成的集合也是一个Hilbert空间。我们把内积定义为

（明显具有共轭对称性）

其中 或 表示记作。

我们把同一个元素的内积定义为其范数，即

两个矢量平行（共线）还是一如既往的定义为

所有共线的矢量表示同一个量子态，我们把其中的范数为1的矢量成为归一化矢量，归一化矢量组成 中的一个单位球。我们下面只考虑归一化矢量。

一般的，量子力学中的力学量 是一个算子 ， 如果态 满足本征方程

那么我们称态 为力学量 的本征态，本征值 称为 下 的观测值。

这里说明一下，一般的，量子力学中两个力学量是无法准确测定的，不是实验干扰，而是两个力学量一般的在同一个量子态下不具备准确值，这就是Heisenberg不确定性原理。如果我们在某个力学量的本征态下测量该力学量，那么会得出准确值，就是本征值。注意本征值下有角标 ，如果

我们称力学量 为 重简并量。

容易得知，量子力学中动量算子和坐标算子为

体系的能量就是体系的Hamilton量

令

那么我们就得出了Hamilton算子

其本征值就是能量。我们在经典力学中作用变换(Q)，那么就会得到量子力学的方程，我们把(Q)式成为一次量子化。

如果考虑相对论效应，光子的本征方程 的本征值为

就是一个量子的能量， 。

如果力学量 与时间无关，那么这个量称为守恒量。通过计算我们知道，一个量为守恒量等价于方程 ，我们把 成为对换子，如果两个量的对换子为0，我们称两个量可交换。与Hamilton量可交换的量就是守恒量。

如果我们给出一组力学量 ，存在某个态 让对于每一个 都有本征方程，那么这个态就是力学量组 的共同本征态。如果力学量组 中任何两个力学量可交换，且力学量组 的所有共同本征态组成Hilbert空间 的一组基底，那么这组力学量就称为可观测量完全集(CSCO)，如果CSCO中存在Hamilton量，我们把这个CSCO称为

可交换守恒量完全集(CSCCO)。

补一点矩阵力学的东西。 的一组主量子数（能量）基底 ，这个基底正交归一（可以证明）组成 的一个 维直角坐标系（能量坐标系）。考虑态 ，展开可知

（这是因为归一化条件 ）

那么系数 就是这个量子态的能量坐标。我们也可以用其它坐标表示。

两个态的能量坐标为 ，力学量 ，展开得

也就是 ，其中 ，矩阵

就刻画了能量坐标系下力学量 的表示。写开来就是

由本征方程 ，在能量坐标系下展开

，代入本征方程得

两边约去 ，故得到

如果存在解 ，那么系数行列式必须为0，即

这个方程就是久期方程。

这是在能量坐标系下推导的久期方程，我们也可以用其它坐标系推导。这种坐标系在量子力学中称为表象。

HaHaHa 知乎的LaTeX居然可以直接输中文。