有哪些高中教材不要求但高考解题时非常好用的知识？ 第1页

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• 圆锥曲线中神奇的“e²-1”

首先介绍几个圆的性质

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦
圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角
切线定理：圆的切线垂直于过其切点的半径

考虑到仿射变换中的斜率比不变，我们可以在椭圆与双曲线中类比推得

为椭圆（双曲线）的一条弦， 为 中点，则有

分别为椭圆（双曲线）上关于中心对称的两点， 为椭圆（双曲线）上任意一点，则有

为椭圆（双曲线）的切线，切点为 ,则有

证明：仿射变换/点差法

• 射影定理

射影定理:又称“第一余弦定理” 在 中，三边分别为 ，其对角分别为 ，则有

证明：

• 圆锥曲线的统一极坐标方程

可推导出焦点弦长公式

以及离心率与焦点弦比例的关系

对于焦点弦 ,若 ，则有

• 可以写在试卷上的“洛必达法则”

首先简单介绍（很粗糙）一下洛必达法则

​洛必达(L 'Hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法

若函数 和 满足下列条件：

且在点 的某去心邻域内两者都可导，则

(显然 构型也可用洛必达法则求极限)

给一个粗糙的“证明”

显然这是不可以写在试卷上的!!!

那我们没有解决办法吗？

换个角度想，但凡是我们需要用到洛必达法则的场景

通常都是做导数大题（选择填空你爱怎么用怎么用）分离参数后无法精准描述不含参函数某点的极限值

也就是说，这些极限值就是我们要求参数的端点

通常我的建议是草稿纸上使用洛必达法则猜出大致答案，然后再分类讨论进行证明

不妨设A是参数范围的下界

也就是 且

对于 做个简单的变形

令那么我们只需要证明在对应的区间内恒有 即可

• 法向量速算

法向量:如果一个非零向量n与平面A垂直，则称向量n为平面A的法向量

由于平面法向量不唯一性

关于平面法向量的计算一直是该话题的热门回答

向量积（叉乘）：是一种在向量空间中向量的二元运算。它的运算结果是一个与两个向量都垂直的向量

在进行数据较为难看的平面求法向量时

叉乘就有它相对解方程的优越性了

为了简便记忆不妨记下这个口诀：抄两遍，掐头去尾；交叉相乘，再相减。

鉴于高中阶段的立体几何不难

不推荐大家率先使用向量积（叉乘）

事实上对于高中题，建系得当的话（部分点、线在坐标轴上）

平面内的两向量会出现含零的情况

这种情况下就请不要使用叉乘

直接解方程来的更为快些

• 点关于直线的对称点公式

点 关于直线 对称

设对称点为 则有

不难发现这个公式高度对称，并有很明显的几何意义

讲到这里不得不提一句

我个人是非常讨厌那些所谓的圆锥曲线硬解定理

我也不建议你们去记忆

我认为这种“定理”的出现实际上是一种悲哀

它并没有很明显的美感与意义

说直白一点就是背题

你以为你会做了圆锥曲线？

你只是把这一类题型背下来啦

从近几年来的高考课标卷来看

自从14年出现了那道完美符合你们背诵的圆锥曲线硬解定理模板的题后（也正是这道题被各大辅导老师奉为经典）

此后的圆锥曲线越来越趋于计算简单化

考查的是对条件的转换以及题目的翻译

至于那些所谓的硬解定理？

呵呵

齐次式联立

轮换对称式↔等价思维

极限思维

隐函数求导

常见的切线放缩

线性规划速算

错位相减速算

特征根求数列通项

构造等差数列求通项

虚数几何意义

这个贴大概也许是不会更了，但是也说不定。。。

大家也可看看最近整的新回答，一些创新题目：

(大学的课业压力越来越大了QWQ，以后更新可能没那么有规律了，假期争取多更一点......)

高考数学145的路过～

现在我上大学也有几个月了，高中用得炉火纯青的一班套路也慢慢忘记了，勉强说一点吧。首先，不管什么牛逼结论，重点在于用。所以，最重要的还是做题培养题感。以下知识没有特别的顺序。

本回答的受众群体是数学分数达到120-135，希望更上一层楼达到140的同学们。如果基础不牢，建议先看书。

目录：解析几何-解三角形-数列-立体几何-导数(微积分)

• 解析几何类

1.定比分点坐标公式
一条有向线段 上一点 满足 ，则

这个式子显然可以用来求分点的坐标；而且在下一个内容中也有用武之地。

2.阿波罗尼斯圆

平面内与两个定点的距离之比为定值(不是 )的点的轨迹是一个圆，叫做阿波罗尼斯(Appllonius)圆。可简称「阿氏圆」。

首先，在坐标系中，设两个定点的坐标为 与 ，定比为 ，则圆的方程可以依下式求出：

重要的结论：(请大家画个图)设动点 是以 为定点的阿波罗尼斯圆上的点，设 的内角和外角平分线分别与 交于 ，则点 的轨迹实际上就是以 为直径的圆。由角平分线定理可以得到 的坐标。并且有结论： 。(角平分线定理是指，三角形 中角 的(内外角)平分线与 交于点 ，则 。这个定理有时也有用)

3.二次曲线切线问题

任何一个二次曲线(不考虑 项)都可以表示成 的形式，其中 是一个线性函数(即 )。其在 的切线可以表示成下列形式：

特别地，椭圆/双曲线 在点 切线为 。另外，设椭圆外一点为 ，则椭圆关于此点的切点弦方程为 。(为什么？)

抛物线 在点 切线为 。

(隐函数求导对于求切线也是很有帮助的，看个人喜好吧)

4.圆锥曲线的三个定义

圆锥曲线大家很熟悉，但是很多高中生不知道的是，圆锥曲线有三种定义。(除了三种以外还有「圆锥曲线」的由来：平面截圆锥得到的曲线。不过这在高中用处不大，就一笔带过好了～)

先是大家都知道的第一定义，三种曲线都不同。我们来举一个应用栗子。

已知椭圆 与点 。椭圆的左焦点为 。求 的最大值与最小值。

最小值好办，两边之差大于第三边的相反数，所以就是 。最大值呢？我们设右焦点为 ，则 。从而 。问题解决！第一定义在这里起到了转化问题的桥梁作用，让问题变成熟悉的问题。请大家试一试，另外两种曲线的情况。

然后是第二定义！所谓圆锥曲线，是指平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数的点的轨迹。这个常数叫做离心率。定点叫焦点，定直线叫准线。请大家证明，第一与第二定义里的离心率其实是一样的～

对于椭圆和双曲线，它们都有两个焦点，所以也有两条准线，分为左准线和右准线。使用通常的定义，他们的方程是 。左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。对于抛物线，只有一个焦点和一条准线，与第一定义一样。

因为三种曲线统一在一个定义之下，所以也有统一方程。以某一个焦点为极点建立极坐标系，与准线垂直且从焦点出发的射线为极轴，可以得到极坐标方程

其中 是焦点到对应准线的距离。这个方程的方便之处在于处理焦半径与 轴夹角之类问题。第二定义应用不少，比如椭圆的焦半径公式：

设椭圆 的左右焦点分别为 。设椭圆上一点 。则有 。这用第二定义容易证明，关键在于把斜的线段转化成横的。请大家试着推导一下双曲线的类似结论。

关于这些东西的实践运用，辅导书和网上有很多例题，大家可以自行查找并练习。

第三定义只有椭圆和双曲线有。到两个定点斜率之积为定值的点的轨迹与这两个点的并集。无论是椭圆还是双曲线，这个定值都等于 。(所以对于抛物线，可以看成其中一个定点在无穷远处)一般而言，我们所说的两个定点就是长轴(实轴)的两个端点。

然而，这个问题还有更多可挖掘的地方。事实上，对于椭圆(双曲线)的任意一条直径的端点(直径是指经过中心，端点在曲线上的线段)上述结论都成立。

给一个练习，让大家体会一下第三定义的使用。(注意找一条直径)

在椭圆 上有两个点 ，直线 与 轴交于点 。设点 关于原点的对称点为 。若 ，证明 与 的斜率之比为定值，并求之。

另外，设 是椭圆的弦， 为其中点，用点差法容易算出 的斜率之积也是 。事实上这与第三定义是等价的，试着推导一下。(提示：找一个中心对称点)

4.5.一个计算技巧

这就是评论区里一位朋友说到的双根法，确实挺好用的，不过我是很晚才知道这个，以前做解析几何的时候都是大力出奇迹......(捂脸(*/ω＼*))

我们都知道一个简单的结论：无论虚实，设二次三项式 有两个根 ，则 。在解析几何的哪里会出现这样的式子？比如，一条直线截椭圆，交点为 ，需要考虑点积 ，其中 是定点，而这个值是 。第二项利用点在直线上也可以化为类似第一项的形式： 。平时我们都是大力出奇迹拆开这个式子，但是其实可以不这么做。假设直线与椭圆联立之后方程为

则

因为 是已知点，第一项就这么算出来了。第二项也一样。

看一个简单的例子。椭圆 ，点 。过点 的直线与椭圆交于点 。若 ，求直线方程。

设直线方程 。联立得 。题目条件是说 。而

，

故 ，以及

。代入计算得 。

感觉很爽有没有（

• 解三角形类

5.三角形面积公式合集

设三角形 的三边为 ，三点坐标为 ，外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，半周长为 ，三条切线长为 。则

这些公式也可以自己推一下，当做代数计算的练习。(PS：这些公式我或多或少都用过，不过有的用得很少)

5.5.一些三角公式

教材已经削了关于三角的内容了，但是高考时不时还会文艺复兴(在我印象里有)。所以介绍一点扩展的三角公式，觉得有用的话推一推记一记吧。

对任何问题都成立的公式：

积化和差

右边是 还是 ，由正余弦的和差角公式的结构决定。

把上面的公式做一些小代换就得到

和差化积

把这些等式左右倒置一下，你就知道是怎么代换的了。

这些等式容易推导出下面的平方差公式：

这两个偶尔也会出现。请问 是什么东西？

半角公式

其中带绝对值的，符号由 所在象限决定。注意，其实第三个最有用。

这些都容易用二倍角公式推出。另外，关于第三个公式还有变体：

万能公式

这有时用于求三角函数式子的最值。

在三角形 内成立的公式：

射影定理

另外两个可以类似写出。想象从点 向边 作垂线，垂足把 分成两个部分，这个式子的意义就很明显了。

另外还有一些别的小玩意儿：

这俩在有关正切的问题里有时候有用。证明直接用正切的和角公式就行。

再列就是竞赛了，不列了不列了(

• 数列类

6.等差数列与等比数列之积求和的杀招——交换和号

我们求等差数列与等比数列之积型的数列求和时，一般方法是考虑错位相减法。如果不足够熟悉，这样很容易做错。(以前算错过好几回)经过无数次实践，我自己发现了一种不易错的求法，就是交换和号。我们以和式 为例。注意到

故原式等于 。而 (事实上 ，把和式里的加数一项一项写出来就能验证此式的正确性)，内层和式就是一个标准的等比数列求和： (2的特殊性让我们还可以“放鞭炮”：加 减 引发连锁反应)。求完以后，外层求和也可以求(也是等比数列，不过多了个常数)，就做完了。对于一般的等差数列，把其中常量部分分离出来，就得到一个等比数列求和加上一个类似上面的求和。

这类问题的另一个示例，点击这里。

这种方法不一定能在大题里写，但是可以加快速度，格式按错位相减法写就是了。自使用此法以后我再也没做错过数列求和。

————————私はlineです————————

有许多同学反映这里不太懂。那我就说一下二重和号是怎么回事。(你们以后在线性代数里也会遇到的，(ಡωಡ)hiahiahia)

看下面这个图～

这个数表的所有数之和是多少？可以按行相加，即先算出每一行的数之和，再把这些行和相加；也可以按列相加，先算出每一列的数之和，再把这些列和相加。试一试用求和号表达这两个求法。最后，由于求的是同一个数表，这两个结果是一样的！

7.数列不等式的放缩技术

不等式是初等数学里极为深奥的一门学问，脚踩小学奥数，头顶数学分析。如果高考考到数列求和式的估计问题，这一定不会是一道简单题。当然，如果数列是可求和的，问题不难；但是如果遇到了不可求和的数列怎么办(⊙o⊙)？这个时候就需要放缩来把不可求和的数列化为可求和的数列。下面简单地说一些这类技巧。

(1)裂项

裂项法的使用相当广泛，不仅可以用来求数列的和，还可以用于证明不等式。首先看一个经典问题。

证明： 。

这是一个现阶段不可求和的数列。(大数学家欧拉证明了此式在 时的极限为 )我们怎么做呢？应该把 放大为另一个数列，而它们可以裂项相消。有了这样的想法，我们马上可以发现 。从而 。( 就是left hand side，式子左边)这个问题虽然简单，但是已经揭示了裂项估计的基本精神：对于数列 ，我们致力于寻找数列 使得 的情况尤多 。下面是一些常见裂项式子。

证明留作习题。(滑稽)

其实还有三角函数裂项与组合数裂项等等，但是现行高考没有出现，就不写了～

再举两个应用栗子作为练习。

问题一：数列 满足 。(1)求 的通项公式。(2)证明： 。(提示：考虑第五个常见裂项)

问题二：证明： 。(这次是第四个)

(2)等比化

可求和数列里极常见的一类就是等比数列，这在高考中经常出现。我们在估计时也经常把数列放缩成等比数列后求和，得到估计结果。

我们先考虑下面的问题：证明 。

这个数列不可求和。我们发现每一个分母的主要部分是 ，但是比它小。这时一个想法是，把每一项放缩成更“低级”的等比数列，即比它小的等比数列。这里有两种不同思路。

证明一：利用糖水不等式： 。在这里，我们有 。所以 。

证明二：注意到 (把 写成 ，用二项式定理)，我们有 。

如果要证明小于 ，可以在证明一中保留第一项不作处理，后面的项同样放缩。

如果要证明小于 怎么办？(想一下什么等比数列的前 项和在 时趋于 。可以考虑把分母里的 变得高级一些。)

下面的问题作为练习。

问题：数列 的前 项和为 ，满足 ，且 。(1)求 通项公式；(2)证明 。

• 立体几何类

8.四面体的性质

四面体和三角形一样，是三维空间的基本研究对象。我们列举一些高中可能有用的四面体理论知识，在看的时候请画个图。使用时，按照“判断类型→联想公式或解题链路→计算”进行。下面考虑一个四面体 。

(1)一般四面体

一般四面体性质比较少。现在已经知道的是，四面体一定存在一个外接球，球心称为外心；一定存在一个内切球，球心称为内心；四个点与对面的重心的连线交于同一点，称为重心。不一定有垂心，有垂心的四面体叫垂心四面体。我们容易知道：四面体体积 ，其中 为内切球半径。设四面体 的重心为 ， 对面的重心为 ，则 。(可类比三角形的类似结论，该结论一般在特殊四面体问题中使用)

另外，四面体还有一个体积公式： 。 为一组对边， 为它们的距离， 为它们所成的角。如果 和 都容易从题目中得到，这将是极好的算法。

(2)垂心四面体

过四面体顶点作对面的垂线，若四条垂线交于一点，则称其为垂心四面体。由一些证明(这并不容易)可得：垂心四面体的对棱互相垂直，且顶点在对面的射影是对面三角形的垂心。这三者是等价的。另外，垂心四面体的对棱平方和相等。

有一种特别的垂心四面体在高中阶段经常见到，就是交于一点的三条棱两两垂直的四面体。由上可知其顶点到对面的射影是底面的垂心。设这个四面体的三条棱长为 ，高为 。则有公式 (试写出直角三角形中类似的结论；事实上这提供了本结论的证明)。底面三角形面积的平方等于另外三个三角形面积的平方和，即 。另外，这种四面体可以看成空间直角坐标系的一隅，所以建系计算问题也是很好的选择。

(3)拟腰四面体与等面四面体

有两组对棱相等的四面体叫拟腰四面体。假设四面体 中， ， 。设 中点为 ， 的中点为 ，则 是 的公垂线。(事实上， 。)在这个模型中，计算中点连线长的问题经常出现。还有，外心在另一组对棱的中点连线上，这或许有助于外接球半径的计算。

三组对棱分别相等的四面体叫等面四面体。首先，等面四面体一定具有拟腰四面体的性质。其次，等面四面体的对棱中点连线可以直接计算。设三组对棱长为 ， 并令

，则两组 的中点连线长为 。余类推。等面四面体的体积 ，外接球半径 。(第二个公式看自己能力，不是很必要)。

还有，等面四面体可以看成平行六面体的三组相对且不平行的面对角线组成的四面体。这个模型也很有用。

(4)有一个二面角是直二面角的四面体

这种四面体中最多的问题就是计算外接球半径。设二面角的边长为 ，两个面的外接圆半径为 。则外接球半径为 。(四面体外心在面上的射影是面三角形的外心，依勾股定理即可得知。)具体题目中更多的是有些面是特殊三角形的情况，这时计算就更容易了。

(5)正三棱锥与正四面体

正三棱锥是指有一个面是正三角形，且对应顶点在面上的射影是三角形的中心的四面体。容易发现，正三棱锥的内外重垂四心都在四面体的高上。同样，计算内切球和外接球半径是一个重要的问题。内切球半径由一般四面体的第一个体积公式即可计算出来。对于外接球半径，设底面的外接圆半径为 ，四面体的高为 ，外接球半径为 ，则由勾股定理知

除此以外也没有很多性质。

牛逼的是正四面体，公式很多。首先，四面体的四心重合。设正四面体的棱长为 ，则其高为 ，外接球半径为 ，内切球半径为 ，体积为 ，两条外接球半径的夹角 满足 ，(即化学里说的 )侧棱与底面的夹角 满足 ，任一个二面角的大小 满足 。

8.5.空间解析几何

本节内容请谨慎使用，最好不要在任何大题中出现。

(1)平面的方程

法向量是 ，经过点 的平面可以用一个三元一次方程表示：

。(点法式方程)

另一方面，如果平面与 轴的交点分别是 ，则平面方程为 。(截距式方程)

点 到平面 的距离：

。(与平面解析几何中点到直线的距离公式类比，很好理解吧？)

空间直线一般用两个方程表示，因为可以看成两个平面的交线；不过也可以用下面的点向式方程：设直线方向向量为 ，经过 ，则直线可以表示为

或者用参数方程：

为参数。

一般用处是可以快速解决一些问题。比如：求一些四面体的体积，如果方便的话，求出底面的面积以及平面方程，高用上面的距离公式计算。最爽的是上面一条说的三条棱两两垂直的四面体，直接以这三条棱为坐标轴建系，用截距式秒解。

直线方程有什么作用呢？如果你有做过一些点在直线上滑动的立体几何问题，这会有点用，方便设动点的坐标，就是上面参数方程那样子。

(2)向量叉乘与应用

两个空间向量 的叉乘定义为

。

这个看起来很奇怪，不知道有什么用，但是有一个关键点是，可以验证它与 都垂直。而且， ， 为夹角。这样的话就有一些可用之处。比如：

两个平面的法向量分别为 ，则它们的交线的一个方向向量

。

然后这又可以与之前的直线方程挂钩。

一个点到一条直线的距离也可以利用叉乘来计算。考虑直线 外一点 和 上一点 。 与直线方向向量 的夹角设为 。则距离：

。

还有，可以证明，如果一个平行六面体的一个顶点发出的三条棱对应向量 ，则体积

。

这三个向量也可以组成一个四面体的三条棱，四面体的体积是平行六面体的六分之一：

。

这些公式可以拿来算体积。当然，方便建系才好用。

最后提一下那个叉乘的定义式如何记忆。把第一个坐标记下来(对，死记硬背)，然后第二个的下标是第一个全部往后推一个，后推的顺序 。第三个则是第二个这么做。

• 准微积分类

这节挺难写的，导数问题的核心思想其实并不在于记了多少结论，而在于代数变形能力和化归思想。不过有一些常用结论知道了还是大有裨益的。我可以告诉你这些有用，却难以告诉你怎么用。

btw，等你们上了大学学到高等数学(有些院系是数学分析)，就会知道，高中导数题都是垃圾。。。数学领域里有一些人专门研究分析不等式，高中导数问题大约就属于这一类中最最基本的。

9.导数中可能有用的一些不等式

(1)

这个不等式大家应该都知道，但是未必知道怎么用。首先，通过各种代换和操作可以得到衍生的不等式：

(取对数)

(令 )

(令 )

(令 )

(令 )

(令 )

(令 )

(令 ，这个手法相当牛逼，在部分隐零点问题中可以用，不一定是这样代入)

另外还有加细的不等式 ，也就是泰勒公式的推论。(根据经验，高中一般用到 是最精细的了)一般来说，这个不等式在降阶(「降维打击」)上用处很大。如果要处理一个指数、多项式、对数混合的不等式，这个很多时候是一个好选择。

给两个练习～

问题1：设函数 。(1)讨论 零点的个数。(2)如果不等式 在定义域内恒成立，求 的取值范围。

问题2：设函数 。(1)若恒成立 ，求 的取值范围。(2)设 。在 的图像上取两个不同点 。记 为直线 的斜率。证明若 ，则 。

(2)对数平均值不等式

这个不等式就是 ， 为正数。中间的式子被称为对数平均值。等号是取不到的，不过如果令 ，由洛必达法则(有同学应该知道这个)可以知道极限值是相等的。可以对不等式变形得到一些其他的形式：

，等号成立当且仅当

(这个上面的推论在一些粗略估计里挺有用的)

以及把 或者 换成指数的一些操作。

大概就这些。。。其实这方面的结论还有很多很多，但是限于本文目的就不放飞自我了。

下面是一些练习题。

问题1(2018全国一卷)：设函数 。若 存在两个极值点 ，证明 。

问题2：设函数 。如果该函数有两个不同极值点 ，证明 。

问题3：(2016全国一卷理)：已知函数 有两个零点 。(1)求 的取值范围。(2)证明 。

问题4：设函数 。(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围。(2)设 ，其中 。设存在 使得 。证明 。

这里会陆续更新前面各种练习题的答案与提示，在答案更新完毕后此回答不再更新。

一、椭圆第三定义的练习题：

由第三定义： 。而 ，所以

。

这个等价于 ，也就解出了 的比例关系。而要用的

，

把比例关系代入，上式可以变成某个常数乘以 ，这就完事了。答案是

。

后面还有一个等价的证明题，是这样：考虑 关于原点的对称点 ，则 是一条中位线， 。然后第三定义， 。

二、数列的三个练习题

1.(1) 。(2)要证明 。我们有

裂项成功（

2. ，累加就对了。

3.(1) 。首先写两个式子相减得到 的递推公式，可以解出来；再用初始条件确定前面的项。(2) ，所以 。这样来个等比数列求和就vans了。

三、导数题

问题1：(1)略；(2)考察不等式

，

会有惊喜。注意到方程 是有解的(用导数和零点定理说明)，答案是 。

问题2：(1)取值范围只有一个元素 。(2)证明 就可以了。事实上这等价于

也就是 。后面就简单了。

这题之前出了点问题，现在做了修改，如果让大家感到困惑，非常抱歉。

2.对数平均值不等式

问题1：求导得 。有两个极值点说明 。由韦达定理 。下面考虑要证明的式子。计算得

，只要证明 。由对数平均值不等式

，

证毕。

问题2： 。它的极值点满足 。也就是

。

由比例的性质

由对数平均值不等式，左边小于 ，就证明了结果。

问题3：(1)略， 。(这一问可以发现零点 )

(2)这题已经有类似极值点偏移的做法，网上都有的。这里我们给出别的做法。

由条件： 。令 ，只要证明 ，其中 。我们有

。

由比例的性质 ：

。

通过计算，这等价于

。

把右边第二个分式乘到左边，然后右边用对数均值不等式，小于 ，代入后一通计算等价于

。

注意到 ，且

，

(用到 )故必须 。证毕。

问题4：(1) 。(2)设 ，则

。

由比例性质，上式变为 。

不妨设 。后面就是传统艺能，注意需要证明 ，直接对其中一个变量求导可以证明。证明后，就有

，

由此可见 。所以由对数均值不等式

，

两边平方就证完了。

本回答正式完结，如果各位兄弟或者集美们还有其他的问题，请通过知乎私信询问~