有人真正理解数列极限的定义吗？ 第1页

回答：

如果你学过高等数学（或数学分析），第一个让你琢磨不透的定义应该就是数列极限了。

如果你有一颗征服的心，你看了定义下面的所有例题，也经过好长一段时间的琢磨，终于有一天，你觉得你理解数列极限的定义了！

那么恭喜你，你的数学之路将迎来极大的提升空间！王者之路即将开启！嘿，大表哥，上题！

（2014 数三）设 ，则当n充分大时，有_____

A、|an| > |a|/2 B、|an| < |a|/2

C、an > a-1/n D、an < a+1/n

［分析］ 如果从理论上排除C和D选项（假设先不举特例），非常困难，因为这是考研数学概念题中最具有迷惑性的干扰答案，没有之一。然而命题人并不够聪明，因为一旦考生觉得C正确，D也觉得正确，所以立即排除CD.

下面大表哥开始正式的分析：

对任意的正数 ,存在N（ ），s.t 当n>N时，有 <

定义中的ε有几点需要说明：

（1）具有任意性，一个大写的However，更强调任意小；

（2）具有暂时的固定性；

（3）ε刻画 与常数a的接近程度

其中（1）与（2）很多学生难以理解，甚至觉得两个含义相互冲突。假设你周末要吃晚饭，你有各种选择，火锅，串串，炒菜米饭，过桥米线，桂林米粉，兰州拉面，凉皮肉夹馍。。。。。。。你有无数种选择，但是一旦选定，你暂时就不能再挑了，大表哥收起菜单，去厨房给您做去！

极限是一种动态的趋势，一种走向，一系列动态的点要与一个固定的点无缝连接！若ε不是任意小，则很难刻画出极限的本质。

如 现在分别取 ,甚至 满足 满足 不存在。这说明ε即使“很小”，也未必能刻画极限的本质，就像你很努力，却仍然很难搞懂这个分析一样，那只能说明你还不够努力，就像 一样，它必须充分小，足够小，小到尘埃里，小到肉眼看不见，才能刻画极限无限趋近的动态本质。这也不难理解，为什么有些证明一开始要限定ε<1。

数列的极限收敛问题，实际过程体现了一静一动原则，收敛到a，其中a 为固定的点。当n充分大时，an可以无限靠近a，那如何刻画“靠近”? 你不能用程度副词去刻画，很靠近，特别靠近，靠近得不能再靠近了，这些话并不能严格去度量他们之间数学上的接近程度，即an与a之间的距离，这时候ε出现了，ε用心良苦，他要测验an与a之间的距离，首先它要安静下来，比如化身为1/100，这时发现可能有一部分an被淘汰出局了，因为可以找到某个项 ,s.t , 之前的项，它们对a点并不忠心，已经在a的1/100邻域之外了。 经综上测验，比如又变成1/9999，这时发现还有更多的项被认定为不忠心。然而 是西西弗斯的化身，它没完没了的使自己变小，有多小呢？只要你能想到一个很小的正数，它就比你想的正数还要小，它可以比我小外甥的小鸡鸡还要小。

现在把C,D选项结合起来考虑，去掉绝对值变为

（1）由定义：对任意的正数 ,存在N( ),s.t 当n>N时，

有 即

而 具有任意性，所以它似乎可以取 ，此时就变为（1）式。

定义中ε不是具有任意性吗？所以当然可以取1/n（而且你不是强调任意小吗？不正好也符合其特质？)这样的逻辑似乎无懈可击！我们不妨回到第（3）条，ε刻画an与a之间的接近程度，那再细致一点，要达到何种程度呢？

答：趋于0的程度；

只要能满足最后趋于0，就可以保证 的极限点为 , 的任意性表现在数值上的任意小，而现在 却以另一副面孔出现，它变得蛮横无理，狭隘自私，它要求 奔向0的速度小于 ,而事实是 跑向 的速度如果慢一点，比如是 （相应地 或是 .....呢？虽然 跑向 的速度慢了些（比如此时取 ），但它们坚持跑到了最后，跑到精疲力竭，却也到达了终点-------极限点 .

本身并不能决定 与 之间的距离提出了一个刚性要求：即你俩之间必须在我给你划

的这个范围内

实际上，若任意 存在N（ ），s.t

此时头尾两个 本来就是矛盾的，尾巴n是动态的“n”，它大于 时才成立。而开头的1/n一旦这么给定，就意味着它其实是某 ，即对给定的 ，存在 .

在本题中，C,D选项试图用形式混淆概念的本质，值得同学们深思。

PS:如果你看完大表哥的分析还是一头雾水，我们不妨从哲学的角度再次认识这个问题。从马哲唯物辩证法观点出发，运动是绝对的，静止是相对的，但只承认绝对运动否认相对静止，就陷入诡辩主义；而只承认静止否认运动又陷入形而上学。而极限的定义中，n是运动的，它从1跑到无穷，而 是相对运动的，一旦给定就暂时被固定下来，把它当成一个静止的参考，从而找到相的N，否则N永远找不到，因为N依赖于 . 本题的CD选项陷入诡辩论的矛盾！

我是大表哥，关注我，考研不翻车！