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考完第十三届全国大学生数学竞赛后你有什么想说的吗? 第1页

  

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我看没啥人说数学类,就说一下吧。题目可以看这边。我写几道我有兴趣的问题。

如何看待2021年全国大学生数学竞赛(数学A类)试题? - 知乎 (zhihu.com)

第二题:令 。条件可以化为

注意

我们得到

而且 。因为 是紧集,所以 在 取到最大值。设最大值点为 。

如果 ,则 。这样

得到 。

如果 ,则 ,显然成立。

第四题:令 , 为实矩阵。 对称意味着 也对称。因为 是酉矩阵,所以

所以 。

[引理]若 为可以对角化的矩阵,且 ,则 可以同时对角化。

用得很多的引理,这里不证明了。因为实对称矩阵可以对角化,所以存在可逆的实矩阵 使得对角化

且 。令 ,则 。实际上,

令 ,则

令 ,则 。所以 。

第六题:(1)如果对任意 都有 。

取 ,令 。则

得到 ,矛盾。

(2)反设 对某个 成立。根据(1),存在 使得 。根据微分中值定理,存在 使得

得到 。

我们证明,不存在这样的 ,使得在区间 内恒成立 。假设存在,设 表示所有这样的 的下确界。之前的结果说明 ;并且 。如果 ,根据 的连续性,存在 使得在 内都有 ,这与 的定义矛盾。所以 。现在用中值定理:存在 使得

得到 。这依然与 的定义矛盾。所以以上定义的数并不存在。

现在可以设 如下定义: ,且 。则 。根据连续性, ,矛盾。

(3)反设存在 使得对任何 有 。不妨设 。我们有

令 ,则 。所以

当 充分小时,右边小于零,得到 ,矛盾。

(4)与(2)同样做法。




  

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