为什么浮力等于排开水的重量？ 第1页

记得我上初中的时候，物理老师说这个问题无法在数学上证明，因为物体形状太复杂，只有简单形状才能证明。

高中之后，发现其实就是个数学上的高斯定理(梯度形式)。

通俗说一下，就是一个面积积分(压强在表面的面积积分，就是浮力)，等于梯度的体积积分。这里取负号是因为 在数学上一般习惯上是指向外的，但是水的压力是指向内的。

这个证明有一点缺陷，那就是，如果物体浮在水面上的话，积分将不是环路。但是你可以凑一个压强为零放在水面上，让它变成环路。

学物理的过程中，掌握定理的证明过程极其重要。因为它可以帮助你解决很多疑惑。例如举个例子，如果把一块砖的下面沾满水泥，然后放在盛满水的游泳池里面。过几天砖就跟游泳池凝固在一起了。请问，阿基米德原理能否继续对砖成立？表面上看起来“物体所受的浮力等于其排开水的重力”这句话并没有否定砖仍然排开了水。可是按照以上的证明过程，一个二维积分转化成三维积分的过程中，必须保证是环路积分 。这样子的话，一旦水泥凝固，水进不去砖块的下面，围绕砖的环路被水泥破坏了，阿基米德原理不再成立。但是浮力仍然可能存在，不等于排开水的重力。因此，学物理的时候，千万不要死记硬背，要搞清楚定理的证明过程和成立条件。没有任何物理定律可以无条件成立，物理的定律适用范围非常窄，不清楚证明过程，往往就用错了地方。这是物理和数学的最大区别。

高斯定理是最伟大的数学定理，它把两个不同维度的积分联系在一起，这种定理直击微积分的本质。

一个物体受到的浮力二维的，它排开水的重力正比于体积是三维的。打个比方就是说，你们班第一名男孩表面散发的魅力(二维)，等于他内在的才华(三维)。再打个比方，一个灯泡的玻璃的表面接收到多少光(二维)，等于灯丝发出了多少光（三维）。

从某种意义上说微积分基本定理

也是把1重积分与0重积分联系在一起。在微分几何领域有个万能公式

这个定理叫做斯托克斯定理，可以直接推导出高斯定理。这是数学中最美的定理. 这个定理是把两个不同维度的形式(form)联系在一起。这是微积分中最本质的东西，是大量物理现象的之母。从某种意义上说，由于这个公式的存在，物理定律出现了微分形式和积分形式。

阿基米德原理的微分形式可以这么推导，假设 为浮力密度，则

所以

就是浮力的密度，大小等于压强的梯度，方向相反。一个物理原理的微分形式，往往比积分形式更靠近物理实质。比如说这个阿基米德原理的微分形式告诉我们，浮力产生的根源，在于压强存在梯度。按照这个说法，哪怕不存在重力场，只要存在压强梯度，就会有浮力。

如果同学们意识不到这个微分形式的威力，我们不妨做一道题看看。在无重力场的太空中，一个装满水瓶子装满水，瓶子水平放置，瓶口固定在一个竖直的轴上，轴以 角速度快速旋转。请问瓶子里的一个物体受到多大的浮力？

由于存在惯性离心力，可以算出距离轴 距离处的压强为 ，所以压强在 处的梯度为 . 所以一个体积为 的物体说受到的浮力大约为 ，其中 为物体质心距离轴的距离。所以物体受到的浮力，竟然跟位置有关，还跟旋转的速度有关。这个结论，用传统的阿基米德原理是得不出来的。

这道题看似远离实际生活，其实不然。在新闻中，我们经常看到一种提纯铀制作核武器的机器，叫做离心机。离心机，就是通过高速旋转，制造气体的压强梯度，从而产生浮力。由于根据我们刚才的推导，浮力跟转速相关，所以浮力的大小可以调整，使得不同的物质可以上浮(靠近转轴)或者下沉(远离转轴)，从而起到提纯铀元素的效果。

再出一道题：一个水柜的的右侧有个出水口，因为出水口的位置，导致水柜内水的流速随着深度的函数关系是 , 一个物体悬浮在深度为 处与水柜相对静止，求它的密度。

这个题不是静止液体，需要利用帕斯卡定律。帕斯卡定律认为，流动的液体满足一个恒等式 由此可以求出压强随深度的关系是 所以压强的梯度就是 。所以如果物体保持悬浮，它的重力和浮力应当平衡，它的密度应当是 。也就是说，在这道题里面，由于液体存在流速，浮力跟深度有关。

这个题跟现实生活关系更加紧密，这个场景，工程上叫做风洞试验。飞机设计中，就是故意让上下机身的形状不同，使得空气的流速不同，而产生了额外的压强梯度，从而产生浮力，也就是升力。从这个角度来说，飞机也是利用了阿基米德原理。

从更本质的角度说，这个高斯定理实际上跟 cohomology 上同调有渊源。直指数学前沿。

阿基米德原理，是数学和物理的合体，背后的本质，足可以完成一个博士学位！

阿基米德原理，是初中生在学物理的过程中遇到的第一个非平庸的定理，从某种意义上说，到了阿基米德原理，让初中物理从“文科”变成了“理科”。这是初中物理最精华的地方。高中会遇到更多的非平庸定理，真正进入物理学世界。

最后补充一个笑话：

俺初中物理老师说，有同学说幸亏中国在地球上半边，可为啥南极的企鹅不会往下掉？因为地球太大啦！