你有没有超级难的物理题，只有你自己会做，其他人都不会的那种？ 第1页

最近在调研文献的时候，发现有一道物理题可能比较适合这个问题，贴出来让大家围观一下吧。

一滴水最多能携带多少电量？

为什么说这道题比较适合这个问题？

第一，题干非常简单，不像很多竞赛题一样冗长复杂。

第二，贴近实际，有种让人一看就想解决的冲动。

第三，也是最重要的一点，这个问题是电流体力学的开山之作，任何涉及到电流体力学的综述

文章基本上会追溯到这个问题。而解决这个问题的人更是卓尔不凡，他就是大名鼎鼎的

瑞利勋爵（Lord Rayleigh），1904年第四届诺贝尔物理学奖得主，以其名字命名的

理论与公式数不胜数。

第四，稍稍加一点条件，就可以让题目达到“只有自己会做，其他人都不会”的要求。

可以认为这是一个开放性的问题，我们先假设无重力作用，液滴呈球状。相关的符号定义为

表示电量， 表示液滴半径， 表示真空介电常数， 表示表面张力系数。液滴最多能

携带的电量值 一般称为带电液滴的瑞利极限（Rayleigh Limit of Charged

Droplet）.从物理图像上来看，表面张力使得液滴收缩，而液滴表面上的电荷由于排斥

作用，使得液滴膨胀，当带电量超过一定值时，液滴就会破碎，分裂成更小的液滴。

下面我们使用多种方法来解决这个问题。

（1）最小作用量原理

液滴的总能量可以表示为电能与表面能之和（这里的第一个难点是，需要了解

表面能的公式，查阅资料便可知道表面能=表面积*表面张力系数),

当系统能量最低时， ,可求出临界的 值，将电量用 表示，

可得到临界电量值为

这种方法是最受学生党欢迎的，简单实用，节省时间，是考场上的不二之选。但这种方法

的缺点在于，无法揭示更多的内涵。因此想要更深入地理解这类问题，还需另寻角度。

（2）虚功原理

液滴的电能为

表面能为

当液滴的半径从 增加到 时，由虚功原理可知电场力与表面张力做功之和为 ，即

故临界电量值为

这种方法在数学上与前一种方法是相同的。但在物理上却不完全相同，相当于提供了

另外一种视角。

（3）受力分析

在液滴表面上取一微元，表面张力导致的附加压力（指向液滴内部）为

，如果不清楚这个结论，可以参考这个回答。

液滴上所有电荷在表面附件处产生的电场场强为

而此表面微元的场强贡献为 (常用结论)，对此微元做高斯面，由高斯定理可得，

表面微元上的电荷产生的压力（指向液滴外部）为

当 时，可求得临界电量值为

这是现行科学体系中比较流行的微元分析法，也是我个人最喜欢的一种方法，它揭示了问题

的更多细节，拓展了我们对此问题的认知。如果条件更为复杂，

只需在微元上考虑额外的受力，简单说就是适用性广，实用性强，在前沿科学研究中也是

十分常见。

（4）扰动法（Perturbation Method）

扰动法才是瑞利勋爵那篇4页论文里的方法。这种方法后来发展成了现代稳定性分析中的主要方法，

意义深远。由于其篇幅较长，这里只是简述一下思路，具体过程可参见文末参考文献。

扰动法主要是分析液滴的扰动变化，在电量满足一定条件时，扰动会无限增长，此时我们便可求出

临界电量值。

根据推导结果，扰动频率 满足如下关系

当扰动频率为虚数时，扰动会无限增长，此时令 ,且 ，

此时的临界电量值为

这种方法是较为高等的方法，也是很多研究领域的必备工具，值得有志于科研的学生掌握。

我相信，看了答案后，很多人会觉得这个问题也不是很难，尤其是这个问题还有多种解答方法，很

容易就被其他人想出来。这时候，可以这么修改一下问题，

一滴水最多能携带多少电量？请使用至少四种方法求解这个问题。

参考文献

【1】Rayleigh, Lord. "XX. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity."The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science14.87 (1882): 184-186.

【2】Rayleigh, Lord. "On the capillary phenomena of jets."Proc. R. Soc. London29.196-199 (1879): 71-97.

【3】Vantzos O. Mathematical modeling of charged liquid droplets: Numerical simulation and stability analysis[J]. 2005.