1+0.1+0.01+0.001+0.0001... 一直下去会在实际中到达 2 吗？
数学上的答案是：不会到达 2。
数学上，这个数列是一个无限几何级数：
$$1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + dots$$
我们可以把它写成更紧凑的形式：
$$sum_{n=0}^{infty} left(frac{1}{10} ight)^n$$
这是一个首项 $a = 1$（即 $0.1^0$），公比 $r = 0.1$ 的无限几何级数。
对于一个公比的绝对值小于 1 的无限几何级数（ $|r| < 1$ ），其和有一个明确的公式：
$$S = frac{a}{1 r}$$
在这个例子中：
$a = 1$
$r = 0.1$
所以，级数的和是：
$$S = frac{1}{1 0.1} = frac{1}{0.9} = frac{10}{9} = 1.11111dots$$
这个结果是 1.11111...，也就是一个循环小数，而不是 2。
为什么大家会觉得它会接近 2？
你可能会觉得这个数列会接近 2，可能是因为你看到了它在不断累加，而且每一项都比上一项小很多，但仍然是正数。 这种“越来越接近”的感觉是正确的，但数学上的“到达”和“无限接近”是有区别的。
让我们更详细地看看这个过程：
1. 第一项： $1$
2. 第二项： $1 + 0.1 = 1.1$
3. 第三项： $1.1 + 0.01 = 1.11$
4. 第四项： $1.11 + 0.001 = 1.111$
5. 第五项： $1.111 + 0.0001 = 1.1111$
...依此类推
你可以看到，每增加一项，结果都会更接近 1.11111...，并且永远不会超过这个值。 差距在缩小，但永远不会变成零。
类比思考：芝诺悖论
这个问题在某种程度上与古希腊哲学家芝诺的悖论有关，例如著名的“阿喀琉斯追乌龟”悖论。 芝诺认为，一个运动物体要到达目的地，必须先走完一半的距离，再走完剩下的一半，再走完剩下的一半，如此循环往复，这意味着它需要经过无限多的步骤，所以永远也到达不了。
虽然芝诺的悖论在直觉上让人困惑，但数学已经清晰地证明，无限个越来越小的项的加和是可以收敛到一个有限值的，就像我们上面计算的 $1.11111dots$ 那样。
那么，在实际中会怎样？
在实际应用中，我们永远无法真正“无限地加下去”。 无论你的计算工具多么强大，总会存在精度限制。
计算器和计算机的精度： 当你用计算器或计算机计算这个级数时，它们会存储一个有限数量的小数位。 随着你加到非常非常小的项（例如，$10^{15}$ 或 $10^{20}$），这些项相对于已经累加的总和来说，可能已经小到超出了计算机能够精确表示的范围，或者对结果的影响微乎其微。 它们会“四舍五入”或者直接被忽略。
例如，如果你加到 $10^{16}$，而计算器只能显示 15 位小数，那么 $1.111111111111111 + 10^{16}$ 在很多情况下会直接显示为 $1.111111111111111$。
物理世界的限制： 即使我们不考虑计算精度，物理世界本身也存在极限。 普朗克长度（Planck length）是理论上最小的可测量长度单位，大约是 $1.6 imes 10^{35}$ 米。 你无法将一个物体分割到比普朗克长度更小的程度。
总结：
1. 数学上： 这个级数的和是 $1.11111dots$，即 $frac{10}{9}$，不是 2。 它会无限地接近 $frac{10}{9}$，但永远不会到达或超过它。
2. 实际应用中： 由于计算设备的精度限制以及物理世界的底层限制，你永远不可能真正地“无限地加下去”。 你会得到一个非常接近 $frac{10}{9}$ 的结果，但永远无法达到 2，也无法精确地达到 $frac{10}{9}$ 本身（除非在某些理想化的数学软件中）。
所以，虽然你的直觉是它在“增长”，但它的增长是有上限的，这个上限就是 $frac{10}{9}$。
如果你想问的是 $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + dots$ 这个级数，那么它的和确实是 2！ 这是另一个著名的几何级数，首项 $a=1$，公比 $r=1/2$。
$$S = frac{1}{1 1/2} = frac{1}{1/2} = 2$$
这个级数在数学上是等于 2 的，并且在实际应用中也非常接近 2。
你最初的例子是 $1 + 0.1 + 0.01 + dots$，它的上限是 $frac{10}{9}$，不是 2。
网友意见
你去问拼多多呀，这个他最懂了！拼多多玩剩下的。
一个200的红包，先给你199.9元，拉10个人即可提现。
你拉了9个人，凑到199.9元，然后拉一个人0.01元，10个人0.1元。
你又拉了9个人，凑到199.99元，然后拉1个人给1个金币，10个金币0.01元。
你又拉了9个人，凑到199.99元加9个金币，然后拉1个人给1个银币，10银币等于1金币。
你又拉了9个人，凑到了199.99元加9金币9银币，然后拉1个人给1个铜币，10铜币等于1银币。
你又拉了9个人，凑到了199.99元加9金币9银币9铜币，然后拉1个人给1铁币，10铁币等于1铜币。
。。。。。。
最后你挂了，200块你还是没拿到！
所以，1+0.1+0.01+0.001+0.0001... 能等于2吗？我也不知道啊！
嗯，这种问题能成热搜，自证985/211不是平均水平，平均水平显然处于买菜阶段。
小学生解法：把求和结果写成1.111111…，连1.2都不到，再聪明点可以知道1.111111…=10/9
中学生解法：把求和式子看做无穷递缩等比数列求和，套公式，和为1/(1-0.1)=10/9
大学生解法：数列 {1 , 1.1 , 1.11 , 1.111 ...} 显然收敛于10/9
脑经急转弯解法：在二进制，1.111111…=10，相当于十进制的2（进制杂糅）
所以原则上来讲，但凡上过学的稍微动动脑筋都可以知道答案。
九年义务强制教育，我想各位小学肯定上过，但有的人就是不肯动脑筋。
毕竟高考完之后，太多人都累了，智力反弹到幼儿园水平。
这样简单的问题能上热搜，就是信息时代的悲哀，因为信息时代大家脑子被不停刷新的信息塞满，没时间动脑筋。
越反智的话题越有受众，越反智的话题越上热搜。
拼嘻嘻骗的也就这类人（拼嘻嘻砍一刀，越砍数字越小，你砍到地老天荒也就那样）
现在你还敢说学数学只能买菜了吗？
请您欣赏：
更新：
看到评论区有人提出语文解法：庄子好基友惠子的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。
首先我肯定这种具象思维。
但是，具象思维不一定正确。
尤其是在物理世界，宏观层面的具象思维，不能推广到微观层面。
宏观上我们觉得一尺之捶可以无限分下去，微观上却只能分到夸克（目前）。
所以建议大家，数学问题就用数学逻辑思考，避免形象思维的臆测。
惊呆了，这不是一道小学数学的题目吗？题目如果是 1+0.9+0.09+0.009+0.0009... 和 2 比较那还差不多，而竟然是 1+0.1+0.01+0.001+0.0001...，就是 1.1111111111... 啊，也太夸张了吧，1.2、1.1111111112、1.3、1.4、1.5 都没到，怎么可能到达 2。看来得给题主补补小学数学了。请翻开人教版数学四年级下册课本 35 页和 41 页，好好复习复习。
① 小数的表示
打开 35 页（见图1)，“做一做”中习题看到没，这就是小数各数位组成的概念，对于题目的：
就是1个一，1个十分之一，1个百分之一，1个千分之一，1个万分之一...的和，这正是无限小数各数位的组成，即：
显然，这是一个循环小数。 和 谁更大呢，也就是 1.1111111111... 和 2 比较谁大谁小，你会判断了吗？
② 小数的大小比较
方法一（直接比较）：
翻到 41 页（见图2），复习怎么比较小数大小，先比较整数部分，整数部分相同就比较十分位，十分位相同就比较百分位，依此类推。
题目要比较 和 的大小关系，显然整数部分 1 比 2 要小，而且十分位的数字 1 比 9 小[注：因为1.111...为循环小数，我们要再判断此小数下一位是不是数字9]，故
我们还可以使用小数性质和数字大小关系来更严格地证明以上大小关系：
由 得
练习题：我们已知圆周率的具体数值为，那么和比较的形式一样吗？你能说出和之间的一个数字吗？如何用上面的证明方法证明（大家动手试一试）？
方法二（化成分数比较）：
那万一碰到类似 和 比较的情况呢？
别急，请打开人教版五年级下册课本第 77 页（见图3），复习怎么将小数转为分数，然后再比较大小。
我们继续拿 和 比较作例子说明：
由 ，得
即
练习题： 如何转化为分数和 比较呢？
③ 拓展内容（小学超纲知识，可跳过，若感兴趣可进一步钻研）
（1）如何严谨证明 和 相等
上面提到的用分数论证 和 相等的证明方法是对的吗？有没有更严谨的证明方法呢？请参见知乎上已有的详细解答：为什么 0.9 的循环等于 1？，如何严谨地证明 0.9999…=1？。这里不再赘述。
注：数学证明各有不同的严谨性、背景假设和目标受众。对于非数学研究人员来说，将 转化为分数相乘等于1的形式，或将整体看作一个未知变量乘10之后求差得到未知变量为1的证明形式，均是正确的证明方法；而对于基础数学研究来说，对 = 最严谨的论证则需要用到实数理论。
这些论证形式在奥数教材或数学期刊中都有给出过，维基词条上更是有词条 「0.999...」（ https://en.wikipedia.org/wiki/0.999... ），从最简单到最复杂的近十种证明，都全部列出来，本词条上也强调这些证明都是正确的，只是严谨性和受众目标各不同而已。法国数学家 Jean-Paul Delahaye 也发表过文章《0.999...=1?》（0.999...= 1？），系统性地介绍了从初等数学到高等数学的各种论证形式。
（2）用图形直观表示
如图4所示，最大的正方形面积为单位1，小一点是0.1（边长等于单位1对应正方形边长的 ），再小一点的是0.01（边长等于0.1对应正方形边长的 ），依次画下去，全部粉红色部分就代表小数的大小。
白色部分则是第二个单位1的正方形剩下的空间，从直观上看 比 小得多，而且越到后面的正方形越挤到下面箭头位置的角落中，也无法收敛于 ，毕竟中间还有 等等数字。
鉴于等比数列求和一般是高中内容，题主可能是初中生，甚至很有求知欲望的小学生，我尽量用简单一点的方法来解释。
设想你手上有两个苹果，记做S=2，
现在挑一个苹果，均匀切五瓣，丢掉四瓣，现在你还剩下一个完整苹果，一个五分之一苹果，S=1.2，
再把刚才那一瓣挑出来，对半切，其中一半均匀切五瓣，丢掉四瓣，现在你还剩下一个完整苹果，一个十分之一苹果，一个十分之一苹果的五分之一，S=1.12
再把刚才最小那一瓣挑出来，对半切，其中一半均匀切五瓣，丢掉四瓣，现在你还剩下一个完整苹果，一个十分之一苹果，一个百分之一苹果，一个百分之一苹果的五分之一，S=1.112
......
反复操作之后，你会得到一系列苹果（和渣），也就是一个完整苹果，一个十分之一苹果，一个百分之一苹果，一个千分之一苹果，一个万分之一苹果......，S=1.11111111...
现在，你想想，你已经丢掉了这么多苹果，剩下的苹果有两个苹果这么多么？
你都不大于1.2，怎么能到2啊？
可以的。
0.1虽然小，但是无限加下去，总会到2的。
这个故事告诉我们，只要坚持努力，总有一天你会成功。
如果限于小学数学，有：
往下以此类推，每行公式右式的最右项，都可以被下一行公式的最左项抵消。
以此代入原式得到：
也就是说原式跟2的差距至少是0.8，所以不能达到2。
我们来算一下这个数列求和的精确解.
咦, 这个数列好像是我们高中学过的等比数列呀.
那我们用一下等比数列求和公式?
所以
所以啦, 用高中的知识(和一点点极限的知识), 我们就能证明这个数列的极限是 .
是肯定达不到 的啦.
另外注意哦, 并不是一直加一个大于零的数就一定会达到某个值.
就比如说这个数列, 就达不到
也不是后一项比前一项小就一定会趋于某个值.
比如说
就会加到正无穷去, 虽然后一项永远比前一项小.
这不就是一又九分之一吗……
这种简单的数学问题，之所以会在一些人的头脑中变成一种“悖论”，就是因为混淆了数学问题和现实世界中的物理问题。
类似的有龟兔赛跑问题，用一种无限切分时间的方式来证明兔子永远都无法追上乌龟。
还有把苹果无线切，这种问题。
只要涉及到类似思路的问题，联系到现实世界中的一个例子，都能推向最终乍一看好像还有点对的悖论。
之所以会犯这些问题的本质都是因为，人们觉得，把无数个很小的东西加在一起，总能像聚沙成塔一样变得很大，最终超越某个指标。
而现实中早就证明过了，无论是时间，还是物质，都是无法被无限切分的。
数学是绝对的理想世界里的逻辑推理，而物理等学科则是在研究现实的世界，这两者存在一定程度的交叉，却不能绝对等同。
类似犯错的，还有试图完全用数学公式来描述现实世界的经济金融等学科中的数学邪教派。
这不就是1.11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111循环到底么，别说2了，连1.2，1.12，1.112，1.1112，1.11112，1.111112，1.1111112，1.11111112，1.111111112，1.1111111112，1.11111111112也到不了吧
看你用的十进制还是二进制了，当然二进制没有2……
类似的话题
-
你提出的这个问题，涉及到无限级数求和的数学概念，以及它在实际应用中的一些有趣的思考。数学上的答案是：不会到达 2。数学上，这个数列是一个无限几何级数：$$1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + dots$$我们可以把它写成更紧凑的形式：$$sum_{n=0}^{infty............. -
微博上那则关于“1元等于1分”的说法，说实话，乍一看挺绕的，把人脑子都搅浑了。其实这玩意儿就像是玩魔术，表面上看起来天衣无缝，但背后藏着个小把戏，而且这把戏还挺明显的。这事儿错在哪儿呢？就错在它在关键的“换算”环节里，偷换了概念，把单位给弄乱了，导致最后算出来的结果完全驴头不对马嘴。咱们一步一步拆解.............
-
这确实是一个很有意思的现象，让人觉得有些“混乱”。 之所以出现这种情况，要从汉语数字体系的历史演变以及和外来文化的融合说起。在没有现代科学计数法和西式小数概念之前，中国古代的计量单位体系非常发达，而且层层递进。 比如在长度上，我们有“尺”、“寸”、“分”、“厘”、“毫”等等。 这些单位之间是有明确比.............
-
“每天进步1%”和“每天退步1%”的例子，即 $1.01^{365}$ 和 $0.99^{365}$，确实是一种非常生动且广为流传的论证方式，用来强调日积月累、持续改进的重要性。然而，这个模型在很大程度上是一个理想化的比喻，与现实世界的复杂性存在较大的差距，因此不能完全照搬来理解个人进步。下面我们来.............
-
在很多励志类的文章或者效率提升的讨论中，我们经常会看到这样一组计算： 每天进步1%： $(1 + 0.01)^{365} approx 37.78$ 每天退步1%： $(1 0.01)^{365} approx 0.03$并以此来强调“日积月累”的力量，说明每天哪怕微小的进步，经过一年的时.............
-
好的，我们来聊聊怎么把一个正方形（单位正方形）映射到一个线段（单位区间）上，并且保证这个映射是“一对一且覆盖全部”的，也就是双射。这听起来有点匪夷所思，因为一个二维的区域怎么可能和一个一维的线段一一对应呢？但数学就是这么奇妙，我们可以做到。要构造这样一个双射，我们首先要明白什么是双射。简单来说，它有.............
-
假设真的发生了一个不可思议的瞬间，所有编程语言在执行 `0.1 + 0.2` 时，都能精确地返回 `0.3`，那么这件事的影响，绝不会像我们表面上看到的那么简单。这绝不是一句“皆大欢喜”就能概括的，它会像在平静的湖面投下一颗深水炸弹，掀起滔天巨浪，重塑我们对计算的认知，甚至动摇整个数字世界的根基。首.............
-
这背后其实是量子力学中角动量的一个核心概念——自旋量子化。我们来一点点拆解，看看是怎么得出这些态的。首先，得明白一点：自旋不是一个粒子在空间中真实地“转动”，虽然名字叫自旋，但它的行为方式和经典转动有很大的不同。它是一种内禀的、量子化的属性，就像粒子的电荷、质量一样，是它固有的性质。1. 自旋的本质.............
-
127.0.0.1和127.0.0.2，这两个IP地址在网络世界里，就像孪生兄弟一样，都属于同一个特殊的“家族”——环回地址（Loopback Address）。但是，它们之间存在一些细微却重要的区别，而对于127.0.0.2能否使用，答案是肯定的，而且各有其用途。咱们先来聊聊它们共同的“家族背景”.............
-
关于你提到的证明“(0, 1) = [0, 1]”，我想说，这个证明是错误的，并且从根本上说，它也不可能是正确的。让我详细解释一下为什么会这样，以及其中的误区在哪里。首先，我们需要清晰地理解这两个符号代表的集合的含义： (0, 1)：这通常表示一个开区间。它包含了所有大于0且小于1的实数。也就是.............
-
好的，咱们来掰扯掰扯 `localhost`、`127.0.0.1` 和“本机IP”这三个概念，希望能说得明白透彻，而且尽量不带AI的那种生硬感。想象一下，你的电脑就像一个家。 1. `localhost`：你家的“自己人”称呼`localhost` 这个词，你可以理解为你的家内部对“自己”的一个亲.............
-
.......
-
这个问题很有趣，因为通常情况下，Unix Domain Socket（UDS）被认为在本地进程间通信时比 TCP/IP 回环（`127.0.0.1`）具有更低的延迟和更高的性能。但是，在 Go 中测试 MySQL 查询时，你可能观察到它们之间的差异不大，甚至差不多。这背后可能有多种原因，我们可以从多.............
-
.......
-
香港政府最近宣布了一项备受瞩目的计划，打算将股票交易的印花税从目前的千分之一（0.1%）提高到千分之零点三（0.13%）。这个消息一出来，市场上的反应可谓是五味杂陈，大家都在仔细琢磨这看似微小的数字调整，究竟会对香港这个国际金融中心产生多大的连锁反应。为什么香港要提高股票印花税？香港财政司司长陈茂波.............
-
.......
-
这个问题很有意思，它触及到了数学中一个非常核心的概念：基数，也就是我们衡量集合“大小”的标准。简单来说，基数就是集合中元素的个数。当谈论无穷集合的时候，这个问题就变得不那么直观了。我们要比较的是两个区间内的数，分别是开区间 $(0, 1)$ 和开区间 $(1, +infty)$。用更数学的语言来说，.............
-
哎，FPX这场输得太憋屈了，看着都让人心疼。0:1输给RGE，这小组赛三场比赛打下来，一场没赢，出线这事儿现在想想，真跟大海捞针差不多了。本来对FPX的期待挺高的，毕竟他们之前的表现也是有目共睹的，能一路走到S12的世界赛，这实力肯定是在的。结果呢？小组赛这几场比赛看下来，感觉完全没找到节奏，甚至可.............
-
2024年欧洲杯1/8决赛，葡萄牙01负于比利时，结束了本届赛事的征程。这场失利也意味着克里斯蒂亚诺·罗纳尔多在第五次欧洲杯之旅中，最终止步八强，也大概率是他最后一次以球员身份亮相欧洲杯的舞台。回看C罗在本次欧洲杯上的表现，可以从几个维度来评价：数据层面：虽有贡献，但效率有所下滑在本届欧洲杯上，C罗.............
-
中国队0:1不敌日本队，这无疑给国足冲击世界杯的道路蒙上了一层厚重的阴影。赛后，关于“国足出线概率还有多大”的讨论甚嚣尘上，而冷静分析，留给我们的时间和机会都已不多。首先，我们要认识到本次失利的直接影响。 这场比赛的失利意味着我们不仅丢掉了宝贵的3分，更重要的是，将主动权拱手让给了日本队，并在积分榜.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有