请问自旋为二分之一粒子有俩个态-1/2，1/2。自旋为1的粒子有三个态1，0，-1。是怎么求出来的?
这背后其实是量子力学中角动量的一个核心概念——自旋量子化。我们来一点点拆解，看看是怎么得出这些态的。
首先，得明白一点：自旋不是一个粒子在空间中真实地“转动”，虽然名字叫自旋，但它的行为方式和经典转动有很大的不同。它是一种内禀的、量子化的属性，就像粒子的电荷、质量一样，是它固有的性质。
1. 自旋的本质：角动量
自旋本质上是角动量的一种。在我们经典世界里，有轨道角动量，比如行星绕着太阳转，这就是轨道角动量。而自旋，则是粒子自身的“角动量”，不依赖于它在空间中的运动。
角动量在量子力学中，是用算符来描述的。最常见的自旋角动量算符我们记作 $vec{S}$。它是一个向量算符，包含三个分量：$S_x$, $S_y$, $S_z$。
2. 量子化：为什么不是连续的？
经典世界里，角动量的大小和方向可以是任意的。但量子世界就不一样了，很多物理量都是量子化的，也就是说，它们只能取一系列离散的特定值。自旋就是其中一个最典型的例子。
3. 为什么只有一个方向是“特别”的？
在描述自旋时，我们通常会选择一个特定的方向作为“参考方向”。最方便的就是 z轴。这是因为，我们可以同时精确测量粒子在z轴方向上的自旋分量，而不影响它在x轴和y轴上的自旋分量（当然，x和y轴之间互相有影响，但z轴是独立选定的）。
所以，我们主要关注的是 z轴上的自旋分量，记作 $S_z$。
4. $S_z$ 的可能取值
量子力学告诉我们，$S_z$ 算符的本征值（也就是它能测量出来的可能值）是量子化的。这些可能值与一个叫做自旋量子数（通常记作 $s$）的数有关。
对于任意一个具有自旋 $s$ 的粒子，其 $S_z$ 的本征值只能是：
$m_s hbar$
其中：
$m_s$ 是一个叫做磁量子数（或自旋磁量子数）的数。
$hbar$ 是约化普朗克常数（Planck常数除以 $2pi$），它是一个基本常数，用来表示量子化的大小。
这个磁量子数 $m_s$ 的取值范围是非常确定的：
$m_s = s, s+1, s+2, ..., s1, s$
也就是说，$m_s$ 的取值是从 $s$ 开始，以1为步长，一直增加到 $s$。
5. 自旋为二分之一粒子 ($s = 1/2$)
现在我们来套用上面的规则：
自旋量子数 $s = 1/2$。
那么，磁量子数 $m_s$ 的可能取值就是：
$m_s = 1/2, (1/2)+1 = +1/2$
所以，$S_z$ 的可能取值是：
$m_s = 1/2$ 时，$S_z = (1/2) hbar = frac{1}{2}hbar$
$m_s = +1/2$ 时，$S_z = (+1/2) hbar = +frac{1}{2}hbar$
我们常常为了简化，就直接用 $m_s$ 的值来代表这个状态，所以说自旋为1/2的粒子有两个态：$1/2$ 和 $+1/2$。
态 $1/2$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $frac{1}{2}hbar$。
态 $+1/2$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $+frac{1}{2}hbar$。
6. 自旋为1粒子 ($s = 1$)
再来看看自旋为1的粒子：
自旋量子数 $s = 1$。
那么，磁量子数 $m_s$ 的可能取值就是：
$m_s = 1, (1)+1 = 0, 0+1 = +1$
所以，$S_z$ 的可能取值是：
$m_s = 1$ 时，$S_z = (1) hbar = hbar$
$m_s = 0$ 时，$S_z = (0) hbar = 0$
$m_s = +1$ 时，$S_z = (+1) hbar = +hbar$
同样，我们用 $m_s$ 的值来表示状态，所以自旋为1的粒子有三个态：$1, 0, +1$。
态 $1$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $hbar$。
态 $0$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $0$。
态 $+1$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $+hbar$。
7. 为什么是 $hbar$？
$hbar$ 的出现是因为角动量算符的对易关系。如果两个算符（比如 $S_x$ 和 $S_y$）不能同时被精确测量，它们之间就会有一个非零的对易子。对于自旋算符，这个对易关系导致了在z轴方向上的分量 $S_z$ 的本征值必然是 $hbar$ 的整数倍（或半整数倍）。
总结一下，整个过程是这样的：
1. 自旋是内禀的角动量：粒子自带的一种角动量属性。
2. 量子化：这个角动量不是连续的，只能取特定值。
3. 选择参考方向（z轴）：我们关注z轴方向的自旋分量 $S_z$。
4. 自旋量子数 $s$ 决定了 $S_z$ 的可能值：
$S_z$ 的本征值是 $m_s hbar$。
$m_s$ 的取值范围是 $s, s+1, ..., s$。
5. 根据 $s$ 计算 $m_s$ 的数量和值：
对于 $s=1/2$， $m_s$ 是 $1/2, +1/2$，所以有 2 个态。
对于 $s=1$， $m_s$ 是 $1, 0, +1$，所以有 3 个态。
这些态用波函数来描述，描述的是粒子在z轴方向自旋投影的概率幅。例如，对于自旋为1/2的粒子，它的状态可以是一个叠加态，比如 $a|+1/2 angle + b|1/2 angle$，其中 $|a|^2 + |b|^2 = 1$。当你测量它的z轴自旋时，就会以 $|a|^2$ 的概率得到 $+frac{1}{2}hbar$，以 $|b|^2$ 的概率得到 $frac{1}{2}hbar$。
所以，这个“求出来”的过程，实际上是量子力学基本原理在角动量上的体现。
首先，得明白一点：自旋不是一个粒子在空间中真实地“转动”，虽然名字叫自旋，但它的行为方式和经典转动有很大的不同。它是一种内禀的、量子化的属性，就像粒子的电荷、质量一样，是它固有的性质。
1. 自旋的本质：角动量
自旋本质上是角动量的一种。在我们经典世界里，有轨道角动量，比如行星绕着太阳转，这就是轨道角动量。而自旋，则是粒子自身的“角动量”，不依赖于它在空间中的运动。
角动量在量子力学中，是用算符来描述的。最常见的自旋角动量算符我们记作 $vec{S}$。它是一个向量算符，包含三个分量：$S_x$, $S_y$, $S_z$。
2. 量子化：为什么不是连续的？
经典世界里，角动量的大小和方向可以是任意的。但量子世界就不一样了，很多物理量都是量子化的，也就是说，它们只能取一系列离散的特定值。自旋就是其中一个最典型的例子。
3. 为什么只有一个方向是“特别”的？
在描述自旋时，我们通常会选择一个特定的方向作为“参考方向”。最方便的就是 z轴。这是因为，我们可以同时精确测量粒子在z轴方向上的自旋分量，而不影响它在x轴和y轴上的自旋分量（当然，x和y轴之间互相有影响，但z轴是独立选定的）。
所以，我们主要关注的是 z轴上的自旋分量，记作 $S_z$。
4. $S_z$ 的可能取值
量子力学告诉我们，$S_z$ 算符的本征值（也就是它能测量出来的可能值）是量子化的。这些可能值与一个叫做自旋量子数（通常记作 $s$）的数有关。
对于任意一个具有自旋 $s$ 的粒子，其 $S_z$ 的本征值只能是：
$m_s hbar$
其中：
$m_s$ 是一个叫做磁量子数（或自旋磁量子数）的数。
$hbar$ 是约化普朗克常数（Planck常数除以 $2pi$），它是一个基本常数，用来表示量子化的大小。
这个磁量子数 $m_s$ 的取值范围是非常确定的：
$m_s = s, s+1, s+2, ..., s1, s$
也就是说，$m_s$ 的取值是从 $s$ 开始，以1为步长，一直增加到 $s$。
5. 自旋为二分之一粒子 ($s = 1/2$)
现在我们来套用上面的规则：
自旋量子数 $s = 1/2$。
那么，磁量子数 $m_s$ 的可能取值就是：
$m_s = 1/2, (1/2)+1 = +1/2$
所以，$S_z$ 的可能取值是：
$m_s = 1/2$ 时，$S_z = (1/2) hbar = frac{1}{2}hbar$
$m_s = +1/2$ 时，$S_z = (+1/2) hbar = +frac{1}{2}hbar$
我们常常为了简化，就直接用 $m_s$ 的值来代表这个状态，所以说自旋为1/2的粒子有两个态：$1/2$ 和 $+1/2$。
态 $1/2$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $frac{1}{2}hbar$。
态 $+1/2$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $+frac{1}{2}hbar$。
6. 自旋为1粒子 ($s = 1$)
再来看看自旋为1的粒子：
自旋量子数 $s = 1$。
那么，磁量子数 $m_s$ 的可能取值就是：
$m_s = 1, (1)+1 = 0, 0+1 = +1$
所以，$S_z$ 的可能取值是：
$m_s = 1$ 时，$S_z = (1) hbar = hbar$
$m_s = 0$ 时，$S_z = (0) hbar = 0$
$m_s = +1$ 时，$S_z = (+1) hbar = +hbar$
同样，我们用 $m_s$ 的值来表示状态，所以自旋为1的粒子有三个态：$1, 0, +1$。
态 $1$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $hbar$。
态 $0$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $0$。
态 $+1$：表示粒子在z轴方向上的自旋分量是 $+hbar$。
7. 为什么是 $hbar$？
$hbar$ 的出现是因为角动量算符的对易关系。如果两个算符（比如 $S_x$ 和 $S_y$）不能同时被精确测量，它们之间就会有一个非零的对易子。对于自旋算符，这个对易关系导致了在z轴方向上的分量 $S_z$ 的本征值必然是 $hbar$ 的整数倍（或半整数倍）。
总结一下，整个过程是这样的：
1. 自旋是内禀的角动量：粒子自带的一种角动量属性。
2. 量子化：这个角动量不是连续的，只能取特定值。
3. 选择参考方向（z轴）：我们关注z轴方向的自旋分量 $S_z$。
4. 自旋量子数 $s$ 决定了 $S_z$ 的可能值：
$S_z$ 的本征值是 $m_s hbar$。
$m_s$ 的取值范围是 $s, s+1, ..., s$。
5. 根据 $s$ 计算 $m_s$ 的数量和值：
对于 $s=1/2$， $m_s$ 是 $1/2, +1/2$，所以有 2 个态。
对于 $s=1$， $m_s$ 是 $1, 0, +1$，所以有 3 个态。
这些态用波函数来描述，描述的是粒子在z轴方向自旋投影的概率幅。例如，对于自旋为1/2的粒子，它的状态可以是一个叠加态，比如 $a|+1/2 angle + b|1/2 angle$，其中 $|a|^2 + |b|^2 = 1$。当你测量它的z轴自旋时，就会以 $|a|^2$ 的概率得到 $+frac{1}{2}hbar$，以 $|b|^2$ 的概率得到 $frac{1}{2}hbar$。
所以，这个“求出来”的过程，实际上是量子力学基本原理在角动量上的体现。
网友意见
自旋算符（泡利矩阵）的本征态对应的本征值。
但是本质上讲，还是实验发现的结果，粒子的磁矩就是这么几个值。于是什么泡利矩阵，本征值这些玩意才被认为是对的
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