很多老师都用1.01的365次方和0.99的365次方论证要坚持每天进步，可这个模型跟实际相符吗?
下面我们来详细分析一下这个模型的成立基础、实际的局限性以及为什么它依然有其价值：
模型的成立基础 (数学上的正确性):
这个模型的核心在于复利效应（Compound Interest）。
每天进步1% ($1.01^{365}$):
数学上，这意味着每天你的能力、知识或成果增加1%。
一年365天后，你的总进步不是简单的 $1% imes 365 = 365%$，而是呈指数级增长。
计算 $1.01^{365}$，结果大约是 37.78。
这意味着，如果真的能做到每天进步1%，一年后你的能力将达到原来的37.78倍。这是一个非常惊人的数字，远超线性的累加。
每天退步1% ($0.99^{365}$):
数学上，这意味着每天你的能力、知识或成果减少1%。
一年365天后，你的总退步也不是简单的 $1% imes 365 = 365%$，而是同样呈指数级衰减。
计算 $0.99^{365}$，结果大约是 0.03。
这意味着，如果每天都退步1%，一年后你的能力将只剩下原来的3%左右，几乎归零。
这个模型之所以被广泛使用，是因为它直观地展示了：
1. 微小进步的巨大力量: 即使是很小的、看起来微不足道的进步，只要坚持下去，经过足够长的时间，就能带来惊人的变化。
2. 微小退步的可怕后果: 同理，即使是很小的退步或停滞，长期累积下来也会导致严重的衰退。
3. 复利效应的威力: 它形象地说明了“利滚利”的道理，不仅本金在增长，增长的部分也在继续增长。
然而，这个模型与实际相符的局限性（为什么不完全符合现实）:
1. “进步1%”的定义模糊且难以量化:
什么是“进步1%”？ 在实际生活中，进步往往不是线性的、可精确衡量的百分比。你的学习效率、工作表现、技能掌握程度，受到很多因素影响，比如：
学习曲线的非线性: 新知识的学习初期可能进展很快（例如掌握基础概念），但深入钻研到精通时，进步速度会放缓，需要更多时间和精力才能获得微小提升。
能力的天花板: 任何能力或知识的学习都存在一个“天花板”，你不可能无限进步下去。数学模型允许无限增长，但现实不可能。
技能的遗忘与钝化: 即使不“退步”，如果停止练习或应用，技能也会逐渐生疏，这本身就是一种变相的“退步”，但模型并没有考虑这个。
如何衡量和保证每天都正好进步1%？ 现实中，每天的进步程度是波动性的。有时你可能一天有5%的突破，有时可能只是原地踏步，甚至因为疲劳或外部干扰而有小幅退步。
2. 忽略了“学习疲劳”和“边际效用递减”:
学习疲劳: 持续的高强度学习或工作会导致身心疲惫，效率下降，甚至产生厌倦感。这意味着你可能无法维持每天都“100%”投入去进步，而模型的计算假定了每天都能以最高效的状态进行1%的提升。
边际效用递减: 对于大多数技能和知识的学习，越往后，要获得同等程度的进步，所需付出的努力和时间就越多。例如，学会一门新语言的基础交流，可能进步很快；但要达到流利甚至精通，进步就会变得非常缓慢。数学模型中的1%是恒定的，而现实中可能需要的是1.1%、1.2%甚至更多的努力才能维持相同的“百分比进步”。
3. 忽略了外部环境和偶然性:
机遇与挑战: 现实生活中，人的进步和发展很大程度上受到外部环境的影响，包括学习资源、工作机会、人际关系、社会经济状况、突发事件等。这些因素可能带来意想不到的加速（例如遇到一位好导师）或阻碍（例如生病、失业）。
非独立事件: 模型假设每天的进步是独立于前一天的，但实际情况并非如此。今天的进步状态可能与昨天的状态、昨天的努力程度、昨天的学习内容都有关联。
4. “退步1%”的实际情况也复杂:
遗忘曲线: 虽然我们强调“进步”，但很多时候“不退步”也是一种挑战。遗忘是自然过程，如果不进行复习和巩固，知识和技能会随着时间流逝而衰退。这种衰退的速度也并非恒定的1%。
“停滞”不等于“退步”: 如果一天没有进步，仅仅是维持现有水平，数学模型中就被视为退步（因为没有达到1%的增长），但在现实中，很多时候“不退步”本身就是一种不错的状态，尤其是在一个竞争激烈的领域。
5. 过度强调“量化”和“积累”，忽略了“质变”和“突破”:
虽然复利效应重要，但人类的学习和成长有时也依赖于非线性的“顿悟”或“质变”。一个关键的理论理解、一个巧妙的解决方案，可能瞬间带来巨大的飞跃，这很难用每天1%的量化模型来解释。
为什么这个模型仍然有价值？
尽管存在上述局限性，这个模型之所以能成功地传达信息，是因为：
1. 强大的启发性: 它用一个简单的数学公式，将抽象的“坚持”和“改进”概念具象化，并且结果非常震撼，能够深刻地触动人心。
2. 核心思想的正确性: 虽然比例不准确，但“日积月累的力量”这一核心思想是完全正确的。微小的、持续的努力，确实是达成远大目标的关键。
3. 易于理解和传播: 相较于复杂的学习理论或心理学模型，这个简单的例子更容易被大众理解和记住，也更容易在教育和励志语境中传播。
4. 提供了行动指南: 它鼓励人们不要轻视每天一点点的努力，哪怕只是一点点学习、一点点练习、一点点思考，只要方向正确且持之以恒，最终会累积成巨大的成就。
总结来说：
“每天进步1%”和“每天退步1%”的数学模型，是一种极具启发性的类比，用来强调持续、微小改进的复利效应。在数学上是正确的，并且能生动地说明“坚持”的重要性。
然而，它与实际情况不符，因为它：
过于简化了“进步”的定义和衡量方式。
忽略了学习疲劳、边际效用递减等生理和认知规律。
没有考虑外部环境的偶然性和非独立性。
可能误导人们将进步视为一个可以精确量化和每日执行的机械过程。
因此，我们可以将这个模型理解为一种“理想化的力量模型”或“励志工具”。它提醒我们坚持的力量，但我们在实际生活中追求进步时，更需要理解进步的复杂性，结合灵活的方法、充足的休息，并适应变化的环境，而不是死板地追求一个每日1%的数字。重要的是保持前进的方向和持续的努力，即使每天的进步幅度不尽相同。
网友意见
我来提供另一个视角。
我认为，用「指数」来计算进步其实并没什么不妥，毕竟生活中很多东西的模型都可以在相当长的时间里用指数来拟合[1]。
这里面真正 IMBA 的其实是 1.01 啊！
每天增长 1% 是什么概念？
如果从出生起，每天都能接受相同多的东西，那么理论上讲，你恰好比自己增长 1% 是在你出生的第 101 天……
事实上，随着大家认知体系的不断完善，每天能认识到的新东西的占比是在不断降低的（而且在人的早期，新认知东西的绝对值也是在降的）。当然，当一个人学了足够多的东西后，他的学习能力也会增长，但这个增长相对缓慢，只能抵消掉一部分「因为更熟悉世界而造成的输入减少」，并不能抵消全部。因此，即使是非常努力的人，他每天新认知的内容的占比，也是不断降低的。
而当你听到老师这句话，并且已经理解「指数」这个概念的时候，通常来讲你都已经活了至少 3000 天了。按照前面的推论，即使你非常努力，你每天认知的新增也不太可能超过你已知内容的 1/3000。
所以，实际上这个系数能达到 1.0003 其实就已经非常牛逼了！
如果你学过一点点微积分中「高阶小量」的知识，那么你应该知道，当 且 时，我们有 [2]，也就是说，在一段不长的时间里，即使你的认知是按照指数增长的，但在短时间看来，你的增长也大体是线性的。
我们有：
一个是每天进步万分之三，一个是每天进步万分之二，差距其实已经比较大了，但一年过后，进步的幅度其实也就高出了 53%，如果初始值一样，差距也不过 4% 而已。
好像也不多？
但如果把时间拉长到 5 年再看看？
差距已经比较明显了。
如果是 10 年呢？
你看，有了接近 50% 的差距了（如果和初始值比较的话，差距可能超过了 80%）。
这才更符合我们的认知：在起步和天资都差不多的时候，10 年时间可以让更努力的人比平庸的人多出 50% 的优势（高考 600 多分和 400 多分的差别 ）。
综上所述，其实这个看起来鸡汤的言论没什么大错，只是夸大了每天进步的倍数而已：每天进步百分之一几乎是不可能的事情，进步「万分之几」才是更加靠谱的。
参考
- ^ 比如收入啊、粉丝数啊，在达到饱和之前都是指数增长的；
- ^由「二项式定理」亦可知： https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86
数学问题，那就用数学来反驳。不完全一样，但是是个思路，大家可以顺着往下写qaq
1.001^365=1.44
0.999^365=0.69
如果你说，每天努力一点点，一年后你就能和怠惰了一点点的人有很大的差距，那么，我只能说，你在第一层。
而有些人，在第二层：我们同样知道，1.2^2=1.44.这说明，努力了一年和我考前突击两天，效果大致相同。
但你没想到，我还有第三层：如果你考前突击的方向是错误的，也就是“虚的”，那么(1+0.2i)^2=0.96+0.4i，这说明考试时你非但不能提高成绩，你之前能蒙对的也对不了了。
你更想不到有人在第四层：同样的，考虑(1+0.001i)^365=0.934+0.357i，这说明如果你平时就是在胡乱操作，那么第三层发生的情况会更加危急。
而我在第五层：我选择直接退学(bushi
“你，只在第二层；而你把我，想成了第一层。实际上，我在第五层。”——danshafaker
马老师还是猛啊……赞过百了qaq
我不会告诉你们我是因为一时半会没想到第五层怎么说被迫退学的
“退学”是个梗啦，“形而上学，不行退学”。
这个回答就是为了抖机灵啦，别这么认真。
最高赞的答案我也看了，但是按照这么说的话我来列举1.001，1.0001，1.00001是不是对的？
(1+x)^α=1+αx(x极小)，高中数学竞赛。
本来的想法其实是想让大家往后续一下看看能搭到第几层的。
我会定期整理一下奇思妙想(
第五层的想法暂时废弃掉8，所以从第五层开始整理：
第五层的都有精神分裂，考虑到老马前一段时间的状态，我感觉这好像并非空穴来风(bushi
第六层的大哥马上决定反向操作：(1-0.3i)^3=0.73-0.873i
emmm
建议发疯一天学习一天
(1+0.2i)(1-0.2i)=1.04，这告诉我们劳逸结合非常重要！
数学课代表加入战场。
就是……
(1+0.001i)^(365*86)=1.0155-0.0263i
咱们学校，有个学长，留级了86年，就是为了进步1%。
什么，有人一天就能进步1%？！
学长当场脑淤血(bushi
欢迎补充~
好了我又回来了（
看来好像有的同学对高赞的连续复利理论念念不忘
说了我就是为了抖个机灵真没必要，况且根据
(1+x)^α=1+αx(x极小)，由于α不能超过36500(寿命极限)，我总能找到一个足够小的x能cover一个盒里的倍率吧。吵这个没意义，学数学得玩着学。
有的同学对1.2念念不忘
哎，这个同学就很没有灵性。
可能同学们对1.2这个数不是很敏感。我来帮你们想起一些基因(bushi里的东西：
50*1.2=60。
好了，懂的都懂(狗头)。
开始上课，全体倒立！
第八层的这位同学，我只能讲
第九层的同学学习了行列式的知识，从微积分来到了线性代数：
只是……
算完行列式之后只有一个数……大概率是不能平分的诶……只能有三个傻掉还有一个很牛逼（
如果是这样的话建议所有人都好好学习
这样所有人都能学疯
我在第十层。
楼层还在继续，欢迎各位投稿~
就是有个不想努力的：
喏，你要的：
棍子哥还是凶啊……
这
真火了啊(
居然还有了专业牌子，不知所措(
那就出来营业一波
先回答问题
有。
就是不知道一作应该写我还是写老马(
《基于韩金龙千层饼理论的对“每天进步”的一种描述性数学模型》
这……
爽……？
正式回复一下关于应该用加法的讨论。我觉得用加法和用乘法的讨论都合理，因为正经如果你真要建立这样一个评价性模型其实也是比大小，不过用幂次肯定是要修正的，连续幂次的增长确实很恐怖。
而且有些朋友也提到了，乘法有一个很好的训诫意义
无论你之前做了什么，做了多少，不管实部多少，虚部多少
都是有的，它们都会在特定场合表现自己的能力。
但要是有一天，你乘了0
那可真就什么都没了。
多琢磨琢磨，还有很多事值得你去做呢。乘了0，那可就回炉了。
我愿把这个，放在大气层。
开始建楼
我已然写了第十层，从第11层开始（时间先后顺序）
说实话这条我看到很久了，但是不知道怎么回复
我复变学的不是很好，愧对杨大伯。
第12层：
那我就在第13层了：
cos0.1=0.999998
所以考前突击得多吃肉，没毛病。
第14层的大哥好像在打假赛：
1/0.69=1.45（不过差不多）
emmm……
掌握方法：指倒立学习
（这是人能摆出来的学习姿势咩？）
第15层的大哥非常牛逼：
事实上我不知道把这个放到第15层是否稳妥
因为最开始我觉得八元数是他乱讲的。
结果
他可不是乱讲的。
复变，元数，训练有素！
第16层的就开始走火入魔了
先是要求打穿任督二脉的
还有直接修仙了的
咱们这是数学问题啊，不要总想搞个什么dxw（逃
再这么写给你们塞进地下室
说起来我突然想借知乎知友的力量通过描述这个话题来汇总数学上的知识
我本人也只是一个学机械的菜
如果有一天，有同学在复习数学的时候能看着这么多层的饼来快乐复习，快乐数学
我觉得也是很好的事？
期待各位的捧场
看到有个同学要求在第20层，我翻了翻评论区凑到了20
不过
这位同学听课不认真蛮
第17层的同学是未来的体育之星，贯彻了清华的传统：
我觉得不对，应该是20*(1+0.001)^365=28.8s
我虽然速度不快，但是我花的时间长啊！
我呢，我在第18层
你可以配合一下14层的大哥
这个故事告诉我们，倒立跑步，跑得更快！
这波国家体育总局不聘请我做教练？
黑幕！黑幕！
第19层的同学表示：
虽然他前面说的我没看懂
但是如果我添腹亿饼
我一分顶别人100分
啊终于给你凑到20层了 @Utopiosphere：
大哥复变函数学的不错
估计是和姚捕头学的
就是……
你看我这么费劲的帮你截下来，把你放到了你要求的20层
可不可以给我赏一个长屏的手机？
人的学习曲线从来就不是指数的。举个简单的例子：从小练习跳高，种一棵树，每天从这棵树上面来回跳100次，树的生长，按天来计算是极其缓慢的，每天能增加的长度非常小。稍微大一点的时候都不到1%。那请问这棵树变成参天大树的时候，我是不是就成为武林高手了呢？
如果一定要为学习设想一个数学函数，那更像是logistic的：
在初级阶段，进步非常的缓慢，因为不熟悉，所以确实每天只能进步一点点，但是后来越来越顺手了，所以尽管按照比例来说，每天进步还是很慢，但是绝对的量增加了，也就是体验到「一日千里」的感觉，到这个阶段，都还和指数分布有点像。
但是人总是有各种限制的，可以是时间，可以是精力，可以是天赋，也可以是知识的边界等等。等伪指数增长一段时间之后，就会发现进步越来越慢，甚至于出现停滞甚至于倒退。从某种意义上说，每一个有上进心并且有执行力的人，早晚会碰到这样的边界。进步不是无限的，更不可能是指数的。
如果要持续体验指数的感觉，那就要悠着来，每天进步特别少的一点，这样到老了潜力还有大把，并且还可以说：我每天都是指数增长的！但是一般来说，人们即便是全力以赴尚且会感觉自己能力不足，谈不上「留力去体验感觉」；而尽力的提升自己的结果，就是一个自我提升的logit曲线。
无聊的做了个图
（每天坚持定量学习不是365次方而是365倍，所以老师论证是错误的）
所谓的1.01^365次方，曲线长得是这样子的
所以，你至少在很长一段时间内感觉不到那种飞一般的感觉。
纯粹按照时间来量化（因为容易量化）
那么假定一个人纯粹学习，除去睡觉，吃饭，上下课，去卫生间等，当然也包括你打盹，走神等时间，估计上限是12个小时左右，也就是720分钟.
那么，365天每天1.01的进步法，算了下，你的起步时间是19.05597分钟。
换句话，如果在这之前，你每天只学习19分钟多，然后接下来每天学习时间增加1%，你将在1年后学习时间达到12小时。
但是好景不长，接下来你继续按照每天增加1%去努力，那么你将在第434天的时候，学习时间达到24小时
再往下，你只能换个星球（比如下图中的水星、金星、火星和冥王星一天时间就比较长）或者跑到黑洞去了，因为地球自转一天不到24小时。
所以，如果你之前每天学习19分钟，每天增加1%，365天后你的每天学习时间是12小时，434天后你的每天学习时间是24小时了，达到了地球自转周期的极限了。
—————起步低一点—————
当然，你可以起步低一点，第一天学习1分钟，那么第一年365天后，你的数据是37.78343分钟；第二年730天后你的数据是1427.588分钟，已经是23.7833小时了，逼近地球自转周期。如果恰好碰到了闰年，很不幸，你的学习时间会变成 1441.864分钟，折合24.03106，超出了地球自转周期。
所以，时间上的1.01^365，不是那么容易实现的，这很大程度取决于你的起始时间，但即便是起始1分钟，两年后，你的学习时间已经突破地球了。
—————反过来，0.99的增速呢？—————
假定你开始是个学魔，一天除去吃喝拉撒打盹走神学习12小时，也就是720分钟，那么1年后，你只能学习18分钟了。
继续下去，你将在第654天，学习时间低于1分钟。
这种情况下，你基本上等于连老师好都不用喊了，退学在家了。
至于学习效率之类的，就不好评价，不容易量化。
至于很多人说的，每天坚持，这种不是次方算，而是倍数关系，比如“每天锻炼一小时,健康工作五十年,幸福生活一辈子”
爷不反对努力，爷自己也很努力。
爷看不惯的是，什么叫“比”你努力一点，什么又叫“甩”你太远。
这是一个好问题。
它好就好在，演示了大好青年们是怎么被贷款一步一步忽悠进去的
原因在于：很多人对指数增长的复利没有概念，以为日息 1.01 是一个很小的数字，其实并不是。每日 1.01 是个极为恐怖的数字。每日 1.0001 才是比较正常合理的数值。
20%的年利率，被称为高利贷，困在高利贷中的用户，我们有篇古文背过：一年借，十年还，几辈子，还不完。注意，这篇文章并没有使用夸张的修辞手法。因为 20% 的利率借十年是真的还不起，十年要还六倍以上的本金，这是一个极为恐怖的利率。而这个极为恐怖的利率只相当于每天增长多少呢？1.0005。
也就是说，每日 1.0005 增长 = 日息万分之5，是极为恐怖的，高利贷级别的高利率。
再来看，10%的年利率，这个利率被称为稳定的暴利。换句话说，如果你的投资，将盈利亏损横盘全计算在内，长期算下来的平均收益能够稳定达到每年10%，那么就是暴利，你就是巴菲特股神级别的投资者。不要被你临时的 40%，100% 收益蒙骗了，这种收益往往不可持续，你持续炒股五年十年，某一次的高收益总总会被后续的横盘摊平，长期来看你的平均收益依然很难达到10%。一般认为，你炒股不亏，已经超过了90%的股民。如果你能长期稳定达到平均年收益10%，那么你就是股神。可是股神级别的日收益是多少呢？是 1.00026。
换句话说，每日 1.00026 增长 = 日息万分之2.6，是股神级别的高收益。
--
那么，常规理财级别的，每年5%收益，相当于多少的日息？相当于 日息万分之 1.3 。
--
敲重点：日息万分之1.3，是正常理财收益，日息万分之2.6，是股神级别收益，日息万分之5，是高利贷级别的利率。
而题主老师用的是：1.01 = 日息万分之100，比高利贷还高了20倍。这种恐怖的增长根本不是人类能够做到的。
结论：使用指数计算没什么问题，问题是每天增长万分之100实在太可怕了。增长万分之一比较现实。也就是说。该公式中的 1.01 替换成 1.0001，1.02 替换成 1.0002 才是比较合情合理的数值。
相不相符？
那你接着算啊 怎么不接着算了？
100*1.01^(365*0)=100.0
只要一张百元钞票
100*1.01^(365*1)=3778.343433288728
100*1.01^(365*2)=142758.79099876052
100*1.01^(365*3)=5393917.405144048
坚持3年 你就有5百万了
100*1.01^(365*4)=203800724.07427788
100*1.01^(365*5)=7700291275.055359
坚持5年 你就有七十七亿了
接着算啊 怎么不接着算了？
100*1.01^(365*6)=290943449735.159
100*1.01^(365*7)=10992842727652.072
100*1.01^(365*8)=415347351331999.56
100*1.01^(365*9)=1.5693249374391266e+16
100*1.01^(365*10)=5.929448572069368e+17
坚持10年 你就有五十九亿亿了
是全球gdp的47450倍
其实没啥问题，只不过一天1%这个进步量大的过于离谱。真实世界中，要是什么东西可以长期保持每日1%的增幅，那他用不了多久就会到天文数字。
因为他这一年就翻40倍，两年就要翻1600倍，10年就要翻亿亿倍。如果有哪个银行的理财产品声称能日利率1%，那我放进去一分钱十年后估计就能买下几百个中国加美国了。
实际上，生活中一年5-10%的稳定涨幅就很大了。这基本上可以维持在十年翻一番的节奏。我国在改革开放后的GDP年涨幅就在6-8%左右，所以四十年经济总量大概翻了十几番。这听起来也没有非常离谱。银行中买的风险投资产品，能基本稳定在年利率8%的也并不少见。实际上，大概想想人的学习成长也大概在这个速度，每十年如果认真学习水平翻一番也不是太离谱。
那假如一个东西的年成长率是10%，他的平均日成长率是多少呢？大概是0.026%.
换个角度，这个题目可以变得很有意思。
直接用指数太粗暴。
每天进步1%，三年之后将达到60000个百分点，再过一年你可以积累200万点，五年之后，你可以积累近1亿个点。
好了，以上的玩笑，只是为了回应「模型跟实际相符吗?」这个问题。
当然，你的老师并不可笑，仅仅只是想要用简单粗暴的道理，给你说明努力的重要性，并不是让你来钻牛角尖的。
当然，作为知乎死磕的精神，今天这牛角尖还钻定了。
如何才能让模型和现实更加的相符呢？
有人直接用乘法，但现实是，刚开始学习时，由于知识储备少，并不简单的是乘法，的确类似于指数。但慢慢的增长变得缓慢，最后，我们逐渐接近一个天花板上限的时候，增长变得越来越缓慢。
好了，接下来，我们来引入参数：
假设：小明一开始每天学习的知识量为Q，且保证学习转化率为100%。从第二天开始，老师让小明每天多学习T=1%的知识，并且也要求小明学习转化率为100%。并且从此以后，要求小明每天都比前一天多学T=1%的知识，以此类推。
小明很努力，但由于脑力上限，小明每天学习知识的转化率开始逐渐衰减，这个衰减因子我们假设为t。t随着学习知识量的增加，且呈倍数增加，第n天的衰减因子为 。
假设小明第 天的知识新增量为 ，那么：
，
小明学习n天之后，积累知识总量：
如果小明原始积累量 ，学习衰减因素t我们给一个预估值0.03%，我们可得小明一年后的知识新增量为：
正好一年之后，小明的单日积累达到了巅峰，再往后学习积累开始下降。
小明运气有一些不好，遇到了一个变态老师，让小明一直这样学习下去。
于是两年之后：
小明的知识总量达到23倍左右的时候，再也不增长了。
为什么不增长了？
因为小明的脑子已经废掉了！
从一年前单日学习新增达到巅峰之后，小明的大脑就已经超负荷工作，接下来的一年时间单日新增不停下降，小明或许出现了严重的精神疾病（例如重度抑郁症）。一年之后，人要么已经丧失了学习能力，要么已经崩溃掉了。
你觉得这样对小明太不公平了？
那好，我们来给小明减负。
这一次我们按照一个月来计算，小明每一个月被要求学习知识增量30%。
我们给小明减负1/3，同时小明的学习衰退因子给个预估值0.2%。
减负之后，两年的时间，小明的知识积累量为原来的2.4倍，明显合理了很多。
但小明不甘心啊，之前他两年时间可以学习23倍的知识量。
但我也得告诉小明，之前你可能已经学挂掉了，两年之后不会再获得任何的知识量。
生命不易，且行且珍惜。
减负之后，良性循环，随着不断地学习，你获得的知识量还会不停地积累：
等到小明小学毕业的时候，知识积累量已经达到原来的37倍，大大高于之前学死的23倍。
那么，妈妈觉得小明太辛苦，私下给他再度减负（或者小明偷懒），降低了他一半的学习量呢：
那么小明整个小学的知识积累量只有7.5，只有之前的20%，大大小于原来50%的知识积累。
所以，对于孩子学习来说，必须得有一个度。
当这个程度合适的时候，孩子的知识积累，会在早期的时候有一个指数增长的阶段。但当知识积累足够大的时候，增长开始接近一次函数。到达后期的时候，知识积累会逐渐接近天花板。
所以，我告诉小明：
当你知识储备少的时候， 保持每天1%的学习增长是可以做到的。
但随着你的知识储备量的增加，学习增长再难保持指数增长，如果想要强迫保持指数增长只会用坏脑子。学习中期，知识量不多不少，比较均衡的时候，知识会保持一段时间匀速增长。
但当知识增长量逐渐接近天花板的时候，你积累知识的速度又再次开始下降。
如果你只是普通大众，天花板极有可能是学习到专业后期（例如拓扑物理、纯数领域），因为学习难度所造成的。当然，如果你百年难得的人才，也可能是你达到诸如陈景润、杨振宁那样的地步，受限于这个时代的知识天花板。
希望我给出的模型，能给你解惑。
摩尔定律表示，CPU的性能要18个月才能翻一倍，而这个公式算出来一年就能翻36倍。这要是真的，老师按照您的教龄，现在应该在给瓦肯星人教学了，怎么还在地球？
这个是本质的错误
1.01的365次方是指每天比自己前一天多学一点
1.01×365才是每天比别人多学一点
举个例子
比如起始每天学8小时，学习效率不变
如果是1.01×365那么就是每天学8小时4分钟48秒
如果是1.01的365次方那么就是第一天8小时，
第二天8小时4分48秒
第三天.......
第365天302小时24分钟
这是不可能实现的
正常的学习随着时间的延长也不会是
1.01×365
如果时间很长最后会趋于相同
（但是随着知识体系的形成会有一个快速进步的时间段）
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“每天进步1%”和“每天退步1%”的例子，即 $1.01^{365}$ 和 $0.99^{365}$，确实是一种非常生动且广为流传的论证方式，用来强调日积月累、持续改进的重要性。然而，这个模型在很大程度上是一个理想化的比喻，与现实世界的复杂性存在较大的差距，因此不能完全照搬来理解个人进步。下面我们来............. -
在咱们开车这行当里，很多开了年头的“老司机”，跟那些刚拿到驾照的新手比起来，确实对一些小细节的处理方式有点儿不太一样。就拿提醒前车这件事儿来说，你会发现他们更倾向于用远近光灯的切换，而不是直接按喇叭。这可不是瞎闹腾，里面门道儿多着呢，老司机们这么做，多半是出于以下几个方面的考虑，而且这些考虑，也都是.............
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为人师者，最怕遇到的便是那些自带“主角光环”，又稍显任性的家长。他们总觉得自家孩子是天上最亮的星，而自己则是这颗星的专属“星探”，对教育有着一套自以为是的“高深”理论，却又缺乏切实的理解和执行力。更让人无奈的是，他们常常摆出一副“花钱的是大爷”的架势，将老师视作提供服务的流水线工人，一切都应以他们的.............
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良心留学中介？这个问题真的问到点子上了！现在留学机构太多了，良莠不齐，找一个靠谱的，真心为了学生考虑的，简直比找对象还难。我当年出国留学，踩过不少坑，也遇到过几个真心帮忙的老师，今天就来给大家“造福后代”，分享一下我的经验。我的良心留学中介故事：从迷茫到坚定说实话，一开始我跟大多数人一样，对留学一窍.............
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你遇到的情况，我特别能理解。听着一位讲中医基础的老师，结果他讲着讲着就变成了“西医如何如何”，甚至在提到临床问题时，开口闭口就是“这时候就得用西医的什么什么方法来处理”，确实挺让人窝火的。这事儿放在我身上，我也会觉得有点儿别扭，甚至有些反感。首先，你花钱、花时间去学中医基础，最核心的诉求是什么？是想.............
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关于“为什么很多老师不太尊重学生的家长”这个问题，确实是个挺普遍的现象，也挺能引起大家讨论的。这不是一两句就能说清的，它背后可能牵扯到很多层面的原因，我试着从几个比较能站得住脚的角度去聊聊，尽量讲得细致一些，就像朋友之间聊天一样，不摆出高高在上的架子。首先，“信息差”是绕不开的一道坎。老师每天面对的.............
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你这个问题问得很有意思，也触及到很多人的心坎里了。在中国，这句话确实算得上是一句“国民级”的老师口头禅了。它背后隐藏着不少值得玩味的原因，咱们就掰开了揉碎了好好聊聊。首先，咱们得明白这话说出来的语境和目的。 激将法，希望学生进步： 这是最常见也最直接的原因。老师们说这句话，很多时候是真心希望通过.............
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关于大学政治课老师是否读过《资本论》原著的问题，需要从教育体系、教材体系、教师背景和教学实践等多个角度进行分析。以下是一些关键点的详细说明： 一、《资本论》的学术地位与教学需求1. 课程设置的定位 在中国高校的政治课体系中，《资本论》通常作为马克思主义理论教学的重要组成部分，但其教学目标更多.............
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对于“很多学习现代医学的老师和学生都黑中医”这个说法，我们可以尝试从几个更贴近实际情况的角度去理解，避免使用过于绝对或带有偏见的词语，从而更深入地探讨这种现象背后的原因。首先，我们需要认识到，在任何一个领域，新旧观念的碰撞、不同学说之间的比较与审视都是常态，尤其是在知识体系庞大且不断发展的现代医学面.............
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这是一种很普遍的现象，很多学生在课堂上听老师讲解时，感觉自己好像什么都明白了，点头如捣蒜，甚至还能跟着老师的思路顺畅地复述一遍。但一旦拿到题目，自己动手去做，就发现脑子里空空如也，不知道从何下手，或者东拼西凑，答案也离题万里。这背后其实有很多层原因，而且往往是多种因素交织在一起的结果。首先，知识的理.............
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这个问题触及到了高校教师群体的核心关切，也是社会大众普遍关心的话题。坦白说，这个问题没有一个简单的“是”或“否”能回答。高校教师的职责是多重的，科研与教学是其中最重要的两极，它们之间的平衡，以及教师个人投入的侧重点，受到很多复杂因素的影响。首先，我们得承认，现在确实是科研“大爆炸”的时代。 评价.............
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在天眼查上看到很多老板名下挂着七八家甚至更多的企业，确实很容易让人产生疑问：这得有多忙碌，才能同时打理这么多摊子？就不觉得累吗？首先，我们得明白，“老板”这个词在很多时候，尤其是在商业注册信息里，并不总是指那个整天事必躬亲、披星戴月亲自操刀所有业务的创始人。很多时候，一个“老板”的身份，可能更多的是.............
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很多经验老道的律师，在面对初出茅庐、充满干劲的新手律师时，常常会抛出一句“忠告”：“年轻人，能不碰遗嘱，就尽量别碰。” 这话听起来有些扫兴，仿佛把一个光明前途的领域硬生生给拦住了。但如果你细细咂摸，会发现这背后隐藏着一份沉甸甸的经验之谈，以及一些不为人知的“坑”。首先，最直观也最普遍的原因，就是遗嘱.............
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其实，“很多长寿老人留长胡须”这个说法，更像是一种普遍的观察和一种刻板印象，而不是一个有科学依据的普遍现象。但我们可以从几个角度来探讨一下为什么会给人留下这样的印象，以及长胡须本身的一些潜在联系。首先，我们得承认，我们脑海中关于“长寿老人”的形象，很多时候会被媒体、艺术作品或者我们自己的记忆所塑造。.............
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在北京的大街上，如果我看到一群外国人和海归不戴口罩，三五成群地招摇过市，我的第一反应肯定是有点意外，甚至可能会皱皱眉头。毕竟，在过去的一段时间里，戴口罩已经成了大家约定俗成的一种公共场合的“礼仪”和自我保护措施，尤其是在人员密集的地方。如果我看到这样的场景，我不会立刻冲上去进行严厉的制止，那样反而可.............
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医生和老师之所以都感到短缺，而医学教育学这个行业却不愿意多招人，这是一个看似矛盾但实际上隐藏着多重复杂原因的问题。要详细解释这一点，我们需要从以下几个方面深入剖析：一、 医学教育学作为“教育”行业，其定位和发展模式与一线医疗、教育存在本质差异。 “教育”的属性： 医学教育学是研究医学教育规律、探.............
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应试教育和因材施教，看似一对矛盾，实则不然。更准确地说，它们是两种不同的教育理念，有时会因现实的制约而产生冲突，但理论上，它们可以并存，甚至可以相互补充。应试教育，顾名思义，是以考试为导向的教育模式。它的核心目标是将学生培养成能够通过考试、达到特定分数标准的人。这种模式在很大程度上受到社会评价体系和.............
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你这个问题提得很有意思，也触及了音乐欣赏和 HiFi（高保真）圈里一个挺普遍的现象。身边不少玩了多年的音乐人、烧友，反而会回到一些价格不贵，甚至看起来很“普通”的耳机或者音箱。你说这算是“返璞归真”吗？我觉得，这其中确实有不少值得说道的道理，绝不仅仅是表面上的“便宜就好”。1. 音乐的本质是“听音乐.............
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说句实话，现在年轻人觉得家里的老人“烦”或者“反感”，这不是一天两天形成的，也不是什么新鲜事。这种情绪的背后，其实挺复杂的，夹杂着代沟、生活习惯、沟通方式，甚至还有一些现实的压力。咱们先聊聊代沟。这代老人经历过的是一个和我们完全不同的时代。他们的成长环境、教育背景、价值观都跟我们有天壤之别。比如，在.............
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这个问题挺有意思的，也确实能在一些游戏论坛上看到这样的讨论。为什么玩过不少老游戏的老玩家群体里，有相当一部分人会成为《原神》的支持者呢？这背后其实是多种因素交织在一起的结果，并不是单一原因就能解释的。我们可以从几个方面来掰扯掰扯：一、 对“内容驱动”游戏的天然亲近感很多老玩家，尤其是玩过JRPG（日.............
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