为什么度量空间中聚点等同于极限点？
在数学的严谨世界里，度量空间中的“聚点”和“极限点”这两个概念，虽然叫法不同，但指的其实是同一个东西。理解这一点，需要我们深入剖析这两个概念的定义，并看看它们是如何在度量空间的结构下达成一致的。
首先，我们得明确什么是度量空间。简单来说，一个度量空间就是一个集合，上面定义了一个“距离”函数（叫做度量），这个距离函数满足一些基本性质，比如距离非负、两点距离为零当且仅当两点相同、距离对称以及三角形不等式。这个距离函数给了我们衡量点之间“远近”的标准，这使得我们可以在集合中谈论“邻近”和“收敛”的概念。
现在，让我们来看看“聚点”这个概念的定义。一个点 $x$ 是集合 $A$ 的一个聚点，如果 $x$ 的任何一个邻域都至少包含集合 $A$ 中的一个不同于 $x$ 本身的点。
听起来有点绕，我们把它拆解一下：
邻域 (Neighborhood): 在度量空间里，一个点的邻域通常是指以这个点为圆心，某个正半径 $r$ 为半径画出的开球。也就是说，一个点 $y$ 在点 $x$ 的一个半径为 $r$ 的邻域内，意味着 $x$ 和 $y$ 之间的距离小于 $r$，即 $d(x, y) < r$。
任何一个邻域: 这意味着无论我们选择多小的正数 $r$，以 $x$ 为圆心、半径为 $r$ 的开球都必须满足下面的条件。
至少包含集合 $A$ 中的一个不同于 $x$ 本身的点: 这就是关键所在。即使我们把邻域的范围缩小到无限小（只要不是零），这个小邻域里也总能找到属于集合 $A$ 并且不是 $x$ 本身的一个点。
如果一个点 $x$ 满足了这个条件，我们就说 $x$ 是 $A$ 的一个聚点。这意味着 $x$ 非常靠近集合 $A$ 的其他点，甚至可以说，集合 $A$ “堆积”在 $x$ 的周围。
接下来，我们看“极限点”的定义。一个点 $x$ 是集合 $A$ 的一个极限点，如果存在一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 使得：
1. 序列中的所有项 $x_n$ 都属于集合 $A$。
2. 序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x$（即 $lim_{n o infty} x_n = x$）。
3. 序列中的项 全部不同于 $x$ 本身（即对所有 $n$，都有 $x_n eq x$）。
我们再次细化这个定义：
序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x$: 在度量空间中，这表示对于任何一个正数 $epsilon$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < epsilon$。换句话说，随着序列项的序号增大，这些项离 $x$ 的距离会越来越小，最终可以任意接近 $x$。
序列中的项全部不同于 $x$ 本身: 这是为了排除那种最简单的情况，就是序列的每一项本身就是 $x$。我们关心的是集合 $A$ 中那些“非 $x$”的点如何逼近 $x$。
现在，让我们来证明聚点和极限点这两个定义在度量空间中是等价的。我们需要证明两个方向：
方向一：如果 $x$ 是集合 $A$ 的一个聚点，那么 $x$ 是 $A$ 的一个极限点。
假设 $x$ 是集合 $A$ 的一个聚点。根据聚点的定义，对于任何一个正数 $r$，点 $x$ 的半径为 $r$ 的邻域（即开球 $B(x, r) = {y in X mid d(x, y) < r}$，其中 $X$ 是度量空间）都包含集合 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
我们可以构造一个序列来证明 $x$ 是极限点。
考虑 $x$ 的一个 $1/1$ 的邻域，即 $B(x, 1)$。根据聚点定义，它包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。我们取其中一个点，记作 $x_1$。所以，$x_1 in A$ 且 $x_1 eq x$ 且 $d(x, x_1) < 1$。
再考虑 $x$ 的一个 $1/2$ 的邻域，即 $B(x, 1/2)$。它也必须包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。我们取其中一个点，记作 $x_2$。所以，$x_2 in A$ 且 $x_2 eq x$ 且 $d(x, x_2) < 1/2$。
我们可以继续这个过程，对于每一个正整数 $n$，考虑 $x$ 的一个 $1/n$ 的邻域 $B(x, 1/n)$。根据聚点定义，这个邻域包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。我们从中选取一点 $x_n$。
这样，我们就构造了一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$，满足：
1. 对所有 $n$， $x_n in A$ （因为我们是从 $A$ 中选取的点）。
2. 对所有 $n$， $x_n eq x$ （因为我们选取的是邻域内“不同于 $x$ 本身的点”）。
3. 对所有 $n$， $d(x, x_n) < 1/n$。
由第三点可知，当 $n o infty$ 时，$d(x, x_n) o 0$，这意味着 $lim_{n o infty} x_n = x$。
因此，我们找到了一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$，它满足极限点定义的所有条件：所有项都在 $A$ 中，且都不同于 $x$，并且序列收敛于 $x$。所以，$x$ 是 $A$ 的一个极限点。
方向二：如果 $x$ 是集合 $A$ 的一个极限点，那么 $x$ 是 $A$ 的一个聚点。
假设 $x$ 是集合 $A$ 的一个极限点。根据极限点定义，存在一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 使得：
1. 对所有 $n$， $x_n in A$。
2. 对所有 $n$， $x_n eq x$。
3. $lim_{n o infty} x_n = x$。
我们要证明的是， $x$ 的任何一个邻域都包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
取 $x$ 的任意一个邻域。在度量空间中，一个邻域总是包含一个以 $x$ 为圆心，某个正半径 $r$ 的开球 $B(x, r)$。所以，我们只需要证明这个开球 $B(x, r)$ 包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
根据序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x$ 的定义，对于我们选择的任意正数 $r$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < r$。
这意味着，序列 ${x_n mid n > N}$ 中的所有项都满足 $d(x, x_n) < r$。换句话说，这些项都落在了以 $x$ 为圆心、半径为 $r$ 的开球 $B(x, r)$ 中。
同时，根据极限点定义的第二点，这些序列项 $x_n$（对于所有 $n$）都满足 $x_n eq x$。
因此，开球 $B(x, r)$ 包含了序列 ${x_n mid n > N}$ 中的所有点。由于这些点都属于集合 $A$（条件1）并且都不同于 $x$（条件2），所以开球 $B(x, r)$ 确实包含了 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
因为我们取的 $r$ 是任意的，所以 $x$ 的任何一个邻域都包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。这就证明了 $x$ 是 $A$ 的一个聚点。
总结一下：
我们看到，无论是从“邻域总是包含附近点”的角度出发的聚点定义，还是从“可以找到一个趋近于它的点序列”的角度出发的极限点定义，它们描述的都是同一个现象：点 $x$ 处于集合 $A$ 的“边缘”，或者说集合 $A$ 的点“无穷多地逼近”$x$。
度量空间提供的“距离”概念是这一切的基础。正是这个距离让我们能够精确地定义“邻域”的大小和“收敛”的快慢。没有了距离，我们可能就无法如此清晰地界定这两个概念了。
因此，在度量空间这个良好的框架下，这两个看似描述角度不同的定义，实际上是同一枚硬币的两面，都精准地捕捉了点与集合之间那种“无限接近”的核心关系。它们是同义词，是同一个概念的不同表述方式。
首先，我们得明确什么是度量空间。简单来说，一个度量空间就是一个集合，上面定义了一个“距离”函数（叫做度量），这个距离函数满足一些基本性质，比如距离非负、两点距离为零当且仅当两点相同、距离对称以及三角形不等式。这个距离函数给了我们衡量点之间“远近”的标准，这使得我们可以在集合中谈论“邻近”和“收敛”的概念。
现在，让我们来看看“聚点”这个概念的定义。一个点 $x$ 是集合 $A$ 的一个聚点，如果 $x$ 的任何一个邻域都至少包含集合 $A$ 中的一个不同于 $x$ 本身的点。
听起来有点绕，我们把它拆解一下：
邻域 (Neighborhood): 在度量空间里，一个点的邻域通常是指以这个点为圆心，某个正半径 $r$ 为半径画出的开球。也就是说，一个点 $y$ 在点 $x$ 的一个半径为 $r$ 的邻域内，意味着 $x$ 和 $y$ 之间的距离小于 $r$，即 $d(x, y) < r$。
任何一个邻域: 这意味着无论我们选择多小的正数 $r$，以 $x$ 为圆心、半径为 $r$ 的开球都必须满足下面的条件。
至少包含集合 $A$ 中的一个不同于 $x$ 本身的点: 这就是关键所在。即使我们把邻域的范围缩小到无限小（只要不是零），这个小邻域里也总能找到属于集合 $A$ 并且不是 $x$ 本身的一个点。
如果一个点 $x$ 满足了这个条件，我们就说 $x$ 是 $A$ 的一个聚点。这意味着 $x$ 非常靠近集合 $A$ 的其他点，甚至可以说，集合 $A$ “堆积”在 $x$ 的周围。
接下来，我们看“极限点”的定义。一个点 $x$ 是集合 $A$ 的一个极限点，如果存在一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 使得：
1. 序列中的所有项 $x_n$ 都属于集合 $A$。
2. 序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x$（即 $lim_{n o infty} x_n = x$）。
3. 序列中的项 全部不同于 $x$ 本身（即对所有 $n$，都有 $x_n eq x$）。
我们再次细化这个定义：
序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x$: 在度量空间中，这表示对于任何一个正数 $epsilon$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < epsilon$。换句话说，随着序列项的序号增大，这些项离 $x$ 的距离会越来越小，最终可以任意接近 $x$。
序列中的项全部不同于 $x$ 本身: 这是为了排除那种最简单的情况，就是序列的每一项本身就是 $x$。我们关心的是集合 $A$ 中那些“非 $x$”的点如何逼近 $x$。
现在，让我们来证明聚点和极限点这两个定义在度量空间中是等价的。我们需要证明两个方向：
方向一：如果 $x$ 是集合 $A$ 的一个聚点，那么 $x$ 是 $A$ 的一个极限点。
假设 $x$ 是集合 $A$ 的一个聚点。根据聚点的定义，对于任何一个正数 $r$，点 $x$ 的半径为 $r$ 的邻域（即开球 $B(x, r) = {y in X mid d(x, y) < r}$，其中 $X$ 是度量空间）都包含集合 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
我们可以构造一个序列来证明 $x$ 是极限点。
考虑 $x$ 的一个 $1/1$ 的邻域，即 $B(x, 1)$。根据聚点定义，它包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。我们取其中一个点，记作 $x_1$。所以，$x_1 in A$ 且 $x_1 eq x$ 且 $d(x, x_1) < 1$。
再考虑 $x$ 的一个 $1/2$ 的邻域，即 $B(x, 1/2)$。它也必须包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。我们取其中一个点，记作 $x_2$。所以，$x_2 in A$ 且 $x_2 eq x$ 且 $d(x, x_2) < 1/2$。
我们可以继续这个过程，对于每一个正整数 $n$，考虑 $x$ 的一个 $1/n$ 的邻域 $B(x, 1/n)$。根据聚点定义，这个邻域包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。我们从中选取一点 $x_n$。
这样，我们就构造了一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$，满足：
1. 对所有 $n$， $x_n in A$ （因为我们是从 $A$ 中选取的点）。
2. 对所有 $n$， $x_n eq x$ （因为我们选取的是邻域内“不同于 $x$ 本身的点”）。
3. 对所有 $n$， $d(x, x_n) < 1/n$。
由第三点可知，当 $n o infty$ 时，$d(x, x_n) o 0$，这意味着 $lim_{n o infty} x_n = x$。
因此，我们找到了一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$，它满足极限点定义的所有条件：所有项都在 $A$ 中，且都不同于 $x$，并且序列收敛于 $x$。所以，$x$ 是 $A$ 的一个极限点。
方向二：如果 $x$ 是集合 $A$ 的一个极限点，那么 $x$ 是 $A$ 的一个聚点。
假设 $x$ 是集合 $A$ 的一个极限点。根据极限点定义，存在一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 使得：
1. 对所有 $n$， $x_n in A$。
2. 对所有 $n$， $x_n eq x$。
3. $lim_{n o infty} x_n = x$。
我们要证明的是， $x$ 的任何一个邻域都包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
取 $x$ 的任意一个邻域。在度量空间中，一个邻域总是包含一个以 $x$ 为圆心，某个正半径 $r$ 的开球 $B(x, r)$。所以，我们只需要证明这个开球 $B(x, r)$ 包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
根据序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x$ 的定义，对于我们选择的任意正数 $r$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < r$。
这意味着，序列 ${x_n mid n > N}$ 中的所有项都满足 $d(x, x_n) < r$。换句话说，这些项都落在了以 $x$ 为圆心、半径为 $r$ 的开球 $B(x, r)$ 中。
同时，根据极限点定义的第二点，这些序列项 $x_n$（对于所有 $n$）都满足 $x_n eq x$。
因此，开球 $B(x, r)$ 包含了序列 ${x_n mid n > N}$ 中的所有点。由于这些点都属于集合 $A$（条件1）并且都不同于 $x$（条件2），所以开球 $B(x, r)$ 确实包含了 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。
因为我们取的 $r$ 是任意的，所以 $x$ 的任何一个邻域都包含 $A$ 中一个不同于 $x$ 的点。这就证明了 $x$ 是 $A$ 的一个聚点。
总结一下：
我们看到，无论是从“邻域总是包含附近点”的角度出发的聚点定义，还是从“可以找到一个趋近于它的点序列”的角度出发的极限点定义，它们描述的都是同一个现象：点 $x$ 处于集合 $A$ 的“边缘”，或者说集合 $A$ 的点“无穷多地逼近”$x$。
度量空间提供的“距离”概念是这一切的基础。正是这个距离让我们能够精确地定义“邻域”的大小和“收敛”的快慢。没有了距离，我们可能就无法如此清晰地界定这两个概念了。
因此，在度量空间这个良好的框架下，这两个看似描述角度不同的定义，实际上是同一枚硬币的两面，都精准地捕捉了点与集合之间那种“无限接近”的核心关系。它们是同义词，是同一个概念的不同表述方式。
网友意见
a为A的聚点：任意a的邻域都有A中除a以外的点。这个定义一般没啥问题。
关键的问题，a为A的极限点，怎么定义的？绝大多数的教材的定义方式与a为A的聚点的定义方式是一样的。但是我猜题主的理解的极限点是这样定义的：
a为A的极限点：存在A中的一个元素都不为a的序列a_{n}，它收敛于a。元素都不为a的目的是为了排除掉那些A的孤立点。
这种理解下，极限点肯定都是聚点。但是反过来不对，聚点未必能找到一个序列来逼近。比如说实数集R的不可数次幂，用乘积拓扑，A为除有限个分量外每个分量都取1的子集。那么每个分量都为0的元就是A的聚点，但是你不可能在A中找到序列收敛于它。（正因为如此所以才会引入网收敛及滤子收敛这种概念来扩充序列收敛）
当然如果是第一可数空间（度量空间都是第一可数的），两个概念就一致了。因为每个点都有可数邻域基了，这时如果a是A是聚点，就可以在每个a的可数邻域基的每个邻域中，取出A中不同于a的一点，这就是造出了A中收敛于a的但又不是a序列。
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