不可压缩流速度散度为什么是0？
想象一下你正在洗澡，水流从淋浴头喷出，然后在浴缸里扩散开来。你有没有想过，为什么水在浴缸里似乎不会凭空消失，也不会突然变得更多？这背后其实隐藏着一个重要的物理原理，那就是“不可压缩流速度散度为零”。
听起来有点绕口，我们一步一步来拆解它。
什么是“流体”？
首先，我们说的“流体”不仅仅是水，它还包括空气、油、甚至是熔岩等等，任何能够流动的东西都属于流体。
什么是“速度”？
速度我们都很熟悉，就是物体在单位时间内移动的距离和方向。对于流体来说，速度不是一个静止的点，而是流场中的每一个微小粒子都有自己的速度。我们可以想象成无数个看不见的小箭头，它们描绘了流体在空间中各个位置的流动方向和快慢。
什么是“散度”？
散度是用来描述一个向量场（比如我们刚才说的流速场）在一个点的“发散”或“汇聚”程度的。你可以把它理解成一个“源头”或者“漏斗”。
如果一个点的散度是正的，说明从这个点有东西在“涌出来”，就像一个喷泉的源头。
如果一个点的散度是负的，说明有东西在“流进去”，就像一个漏斗的底部。
如果一个点的散度是零，就意味着从这个点出去的量和进来的量正好相等，没有净的产生或消失。
那么，“不可压缩流”又是什么意思？
“不可压缩”这个词是关键。它意味着流体的密度在流动过程中是恒定不变的。想象一下你用力挤压一块石头，它的大小几乎不变；但如果你用力挤压一块海绵，它的体积会迅速缩小。气体通常是可压缩的（比如你往气球里充气），但水在大多数情况下，尤其是在低速流动时，可以近似看作是不可压缩的。
现在，我们把它们组合起来：不可压缩流速度散度为零
如果一个流体是不可压缩的，并且我们正在描述它的流动（也就是它的速度场），那么这个流体在任何一点的速度散度都必须为零。
为什么会这样呢？
让我们再次回到洗澡的例子。想象一下浴缸里的水。水流不断地涌入浴缸，但浴缸里的水位并没有无止境地升高，也没有突然下降。这是因为进入浴缸的水的体积（或者说质量）与离开浴缸的水的体积（或者说质量）是相等的。
更精确地来说，我们可以从一个质量守恒的角度来理解。
假设我们有一个非常小的、封闭的立方体空间在流体中运动。由于流体是不可压缩的，这意味着这个小立方体内部的流体密度始终保持不变。
根据质量守恒定律，在这个小立方体里，任何时刻流入的质量必须等于离开的质量，再加上这个立方体内部质量的变化。
如果流体是不可压缩的，那么它的密度（ρ）是恒定的。立方体内部的质量就是密度乘以体积（m = ρV）。
在一个恒定的时间间隔 Δt 内，有多少流体“流过”这个立方体？这取决于流体在立方体各个面上的速度。
假设我们考虑立方体沿 x 方向的流动。流入立方体的一个面的流体的质量率是 ρ (流速在 x 方向的分量 v_x) (这个面的面积 Δy Δz)。
从立方体的另一侧（即出口）离开的流体的质量率是 ρ (流速在 x 方向的分量 v_x 加上在 x 方向上的微小变化 Δv_x) (这个面的面积 Δy Δz)。
如果立方体非常非常小（我们用微积分的语言来说，就是一个无限小的体积元 dV），那么：
流入的质量率减去离开的质量率在 x 方向上可以表示为 ρ (∂v_x / ∂x) dV。这里的 ∂v_x / ∂x 是速度在 x 方向上的变化率。
同理，在 y 方向上，流入减去离开的质量率为 ρ (∂v_y / ∂y) dV。
在 z 方向上，流入减去离开的质量率为 ρ (∂v_z / ∂z) dV。
总的质量变化率，就是这三个方向上的净质量流入率之和。
然而，由于流体是不可压缩的，这意味着在任何给定的体积元内，流体的体积是不变的，并且由于密度也是恒定的，所以质量也是不变的。
换句话说，在一个无限小的体积元里，流入的流体质量必然等于离开的流体质量。这就意味着，在任何一点，都没有流体质量凭空产生或消失。
将上面算出的总质量变化率设为零：
ρ (∂v_x / ∂x) dV ρ (∂v_y / ∂y) dV ρ (∂v_z / ∂z) dV = 0
由于密度 ρ 不为零，并且我们考虑的是一个体积元 dV，我们可以将 ρ 和 dV 都约掉，剩下：
(∂v_x / ∂x) + (∂v_y / ∂y) + (∂v_z / ∂z) = 0
这就是速度散度的数学表达式！
所以，不可压缩流速度散度为零，本质上是质量守恒原理在不可压缩流体中的体现。它告诉我们，在任何空间点，流入一个无限小的体积元的流体的体积（或者质量，因为密度恒定）必须等于流出该体积元的体积（或质量）。没有净的“源”或“汇”在那里。
生活中的例子还能说明什么？
管道流动： 如果你用一根水管往一个水桶里注水，而且水桶没有漏水，那么水管里每秒钟流入多少水，水桶里的水位就会相应地上升多少。如果没有水管注水，水桶里的水也不会自己变多或变少。
船在水中的运动： 一艘船在水中航行时，它会排开一部分水，但它所占据的水的空间并没有被压缩。从宏观上看，船体周围的水流运动也遵循散度为零的原则。
空气流动： 在一个封闭的房间里，如果门窗都关着，空气在房间里流动，那么在任何一个小区域里，流入的空气体积都等于流出的空气体积。尽管空气可以被压缩，但在这种低速、低压差的情况下，可以近似看作是不可压缩的。
理解了这一点，你就能更好地理解许多流体力学现象，比如为什么水不会在管道里堆积，为什么飞机翅膀周围的空气流动是如此有序等等。这是一个非常基础但极其重要的概念。
听起来有点绕口，我们一步一步来拆解它。
什么是“流体”？
首先，我们说的“流体”不仅仅是水，它还包括空气、油、甚至是熔岩等等，任何能够流动的东西都属于流体。
什么是“速度”？
速度我们都很熟悉，就是物体在单位时间内移动的距离和方向。对于流体来说，速度不是一个静止的点，而是流场中的每一个微小粒子都有自己的速度。我们可以想象成无数个看不见的小箭头，它们描绘了流体在空间中各个位置的流动方向和快慢。
什么是“散度”？
散度是用来描述一个向量场（比如我们刚才说的流速场）在一个点的“发散”或“汇聚”程度的。你可以把它理解成一个“源头”或者“漏斗”。
如果一个点的散度是正的，说明从这个点有东西在“涌出来”，就像一个喷泉的源头。
如果一个点的散度是负的，说明有东西在“流进去”，就像一个漏斗的底部。
如果一个点的散度是零，就意味着从这个点出去的量和进来的量正好相等，没有净的产生或消失。
那么，“不可压缩流”又是什么意思？
“不可压缩”这个词是关键。它意味着流体的密度在流动过程中是恒定不变的。想象一下你用力挤压一块石头，它的大小几乎不变；但如果你用力挤压一块海绵，它的体积会迅速缩小。气体通常是可压缩的（比如你往气球里充气），但水在大多数情况下，尤其是在低速流动时，可以近似看作是不可压缩的。
现在，我们把它们组合起来：不可压缩流速度散度为零
如果一个流体是不可压缩的，并且我们正在描述它的流动（也就是它的速度场），那么这个流体在任何一点的速度散度都必须为零。
为什么会这样呢？
让我们再次回到洗澡的例子。想象一下浴缸里的水。水流不断地涌入浴缸，但浴缸里的水位并没有无止境地升高，也没有突然下降。这是因为进入浴缸的水的体积（或者说质量）与离开浴缸的水的体积（或者说质量）是相等的。
更精确地来说，我们可以从一个质量守恒的角度来理解。
假设我们有一个非常小的、封闭的立方体空间在流体中运动。由于流体是不可压缩的，这意味着这个小立方体内部的流体密度始终保持不变。
根据质量守恒定律，在这个小立方体里，任何时刻流入的质量必须等于离开的质量，再加上这个立方体内部质量的变化。
如果流体是不可压缩的，那么它的密度（ρ）是恒定的。立方体内部的质量就是密度乘以体积（m = ρV）。
在一个恒定的时间间隔 Δt 内，有多少流体“流过”这个立方体？这取决于流体在立方体各个面上的速度。
假设我们考虑立方体沿 x 方向的流动。流入立方体的一个面的流体的质量率是 ρ (流速在 x 方向的分量 v_x) (这个面的面积 Δy Δz)。
从立方体的另一侧（即出口）离开的流体的质量率是 ρ (流速在 x 方向的分量 v_x 加上在 x 方向上的微小变化 Δv_x) (这个面的面积 Δy Δz)。
如果立方体非常非常小（我们用微积分的语言来说，就是一个无限小的体积元 dV），那么：
流入的质量率减去离开的质量率在 x 方向上可以表示为 ρ (∂v_x / ∂x) dV。这里的 ∂v_x / ∂x 是速度在 x 方向上的变化率。
同理，在 y 方向上，流入减去离开的质量率为 ρ (∂v_y / ∂y) dV。
在 z 方向上，流入减去离开的质量率为 ρ (∂v_z / ∂z) dV。
总的质量变化率，就是这三个方向上的净质量流入率之和。
然而，由于流体是不可压缩的，这意味着在任何给定的体积元内，流体的体积是不变的，并且由于密度也是恒定的，所以质量也是不变的。
换句话说，在一个无限小的体积元里，流入的流体质量必然等于离开的流体质量。这就意味着，在任何一点，都没有流体质量凭空产生或消失。
将上面算出的总质量变化率设为零：
ρ (∂v_x / ∂x) dV ρ (∂v_y / ∂y) dV ρ (∂v_z / ∂z) dV = 0
由于密度 ρ 不为零，并且我们考虑的是一个体积元 dV，我们可以将 ρ 和 dV 都约掉，剩下：
(∂v_x / ∂x) + (∂v_y / ∂y) + (∂v_z / ∂z) = 0
这就是速度散度的数学表达式！
所以，不可压缩流速度散度为零，本质上是质量守恒原理在不可压缩流体中的体现。它告诉我们，在任何空间点，流入一个无限小的体积元的流体的体积（或者质量，因为密度恒定）必须等于流出该体积元的体积（或质量）。没有净的“源”或“汇”在那里。
生活中的例子还能说明什么？
管道流动： 如果你用一根水管往一个水桶里注水，而且水桶没有漏水，那么水管里每秒钟流入多少水，水桶里的水位就会相应地上升多少。如果没有水管注水，水桶里的水也不会自己变多或变少。
船在水中的运动： 一艘船在水中航行时，它会排开一部分水，但它所占据的水的空间并没有被压缩。从宏观上看，船体周围的水流运动也遵循散度为零的原则。
空气流动： 在一个封闭的房间里，如果门窗都关着，空气在房间里流动，那么在任何一个小区域里，流入的空气体积都等于流出的空气体积。尽管空气可以被压缩，但在这种低速、低压差的情况下，可以近似看作是不可压缩的。
理解了这一点，你就能更好地理解许多流体力学现象，比如为什么水不会在管道里堆积，为什么飞机翅膀周围的空气流动是如此有序等等。这是一个非常基础但极其重要的概念。
网友意见
首先，我们有传输定理：
(Transport Theorem) 设 是 光滑的，同时假设速度场 定义的流映射 也是 的，则
证明：作代换 ，有
所谓不可压(incompressible)，意思就是(流映射保持)体积不变嘛. 令 ，就有
(Incompressibility) 速度场 不可压，当且仅当散度为0，i.e.
证明：由于流映射 是体积不变的，令，对任意的 和开集 有
另一方面，流映射是微分同胚，所以对任意的开集 ，都有 ，从而
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