赋范空间和度量空间都可以定义极限，为什么要引入两个能定义极限的空间呢，区别是什么，各自有哪些应用范围？
您提出的问题非常棒，触及了数学中两个核心概念的细微之处。确实，赋范空间和度量空间都可以定义极限，但它们之间存在重要的区别，这些区别决定了它们各自的应用范围。理解这一点对于深入学习泛函分析、拓扑学等领域至关重要。
下面我将详细阐述赋范空间和度量空间在定义极限方面的异同，以及它们的区别和应用。
1. 度量空间 (Metric Space)
首先，我们来回顾一下度量空间的定义和极限的定义。
1.1 度量空间的定义
一个集合 $X$ 如果定义了一个函数 $d: X imes X o mathbb{R}$，满足以下四个性质，那么我们就称 $(X, d)$ 为一个度量空间：
1. 非负性 (Nonnegativity): 对于任意 $x, y in X$，有 $d(x, y) ge 0$。
2. 同一性 (Identity of indiscernibles): $d(x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$。
3. 对称性 (Symmetry): 对于任意 $x, y in X$，有 $d(x, y) = d(y, x)$。
4. 三角不等式 (Triangle inequality): 对于任意 $x, y, z in X$，有 $d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)$。
函数 $d$ 被称为集合 $X$ 上的一个度量。度量直观上衡量了两个点之间的“距离”。
1.2 度量空间中的极限定义
在度量空间 $(X, d)$ 中，一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x in X$，记作 $x_n o x$，如果对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < epsilon$。
这里的关键在于“距离” $d(x_n, x)$。我们用度量来“衡量”序列中的点与极限点之间的“接近程度”。
1.3 度量空间的特点与优势
直观性: 度量空间的定义非常直观，直接将我们熟悉的“距离”概念推广到了任意集合上。
拓扑结构: 度量定了度量空间上的一个拓扑结构。具体来说，一个点 $x$ 的一个“开邻域”可以定义为所有与 $x$ 的距离小于某个正数 $r$ 的点组成的集合，即 $B(x, r) = {y in X mid d(x, y) < r}$。拓扑空间上的极限定义可以用邻域来刻画，而度量空间可以天然地生成一个拓扑。
基础性: 度量空间是许多更复杂的空间（包括赋范空间）的基础。许多分析学的概念，如连续性、有界性、收敛性等，都可以首先在度量空间中定义和研究。
1.4 度量空间的局限性
虽然度量空间很直观，但在某些情况下，它可能无法捕捉到我们想要的结构。最主要的是，度量本身并不是“方向敏感”的，也无法直接衡量“大小”或“尺度”。它仅仅关注两个点之间的距离。
2. 赋范空间 (Normed Space)
赋范空间是在度量空间的基础上增加了一些额外的结构，使其能够更好地处理向量的“长度”和“方向”。
2.1 赋范空间的定义
一个实数域或复数域上的向量空间 $V$ 如果定义了一个函数 $| cdot |: V o mathbb{R}$，使得对于任意 $x, y in V$ 和任意标量 $alpha$，满足以下三个性质，那么我们就称 $V$ 为一个赋范空间：
1. 非负性 (Nonnegativity): $|x| ge 0$，且 $|x| = 0$ 当且仅当 $x$ 是零向量。
2. 绝对齐次性 (Absolute homogeneity): $|alpha x| = |alpha| |x|$。
3. 三角不等式 (Triangle inequality): $|x + y| le |x| + |y|$。
函数 $| cdot |$ 被称为向量空间 $V$ 上的一个范数。范数直观上表示向量的“长度”或“大小”。
2.2 赋范空间如何生成度量空间
任何一个赋范空间 $(V, |cdot|)$ 都天然地是一个度量空间。我们可以定义一个度量 $d(x, y) = |x y|$。让我们验证一下这个度量是否满足度量空间的四条性质：
1. 非负性: $|x y| ge 0$ （由范数的非负性）。当 $x=y$ 时，$|xy| = |0| = 0$ （由范数的非负性和零向量性质）。
2. 同一性: $|x y| = 0 iff x y = 0 iff x = y$ （由范数的非负性和零向量性质）。
3. 对称性: $d(x, y) = |x y| = |(y x)| = |1| |y x| = |y x| = d(y, x)$ （由范数的绝对齐次性）。
4. 三角不等式: $d(x, z) = |x z| = |(x y) + (y z)| le |x y| + |y z| = d(x, y) + d(y, z)$ （由范数的三角不等式）。
所以，从赋范空间到度量空间总是可以自然地转换的。
2.3 赋范空间中的极限定义
在赋范空间 $(V, |cdot|)$ 中，一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x in V$，记作 $x_n o x$，如果对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|x_n x| < epsilon$。
这个定义与度量空间中的极限定义形式上完全相同，只是这里的“距离”是 $|x_n x|$，它源自向量的范数。
2.4 赋范空间的特点与优势
结构更丰富: 赋范空间比度量空间具有更丰富的代数结构。范数不仅仅是一个距离函数，它还与向量空间本身的运算（加法和标量乘法）紧密相关。
对线性结构的友好性: 范数与向量加法和标量乘法的性质相结合，使得赋范空间在处理线性代数问题时非常方便。例如，范数可以衡量向量的和与差的长度。
衡量“大小”和“方向”: 范数直接衡量向量的“长度”，而 $|x y|$ 可以看作是向量 $x$ 和 $y$ 之差的长度。这使得我们可以讨论向量的大小、方向以及它们之间的相对位置和差异。
线性算子分析: 在泛函分析中，我们常常研究定义在赋范空间上的线性算子（如微分算子、积分算子）。范数允许我们定义算子的“大小”或“范数”，这是研究算子性质（如有界性、收敛性）的关键。
3. 为什么引入两个能定义极限的空间？区别是什么？
核心区别在于赋范空间在度量空间的基础上增加了“向量空间”的代数结构，并且范数与这个代数结构是兼容的。这导致了以下几点关键区别：
1. 结构丰富性:
度量空间: 仅仅关注点之间的“距离”。它不关心这些点是否能进行加法、标量乘法等向量运算。例如，实数集合 $mathbb{R}$ 上的标准距离 $d(x, y) = |x y|$ 是一个度量，但我们也可以考虑一个集合，其元素不是向量，但它们之间有某种“距离”，例如图论中的节点之间的最短路径距离。
赋范空间: 必须是一个向量空间，并且范数必须与向量的加法和标量乘法兼容。这意味着在赋范空间中，我们可以谈论向量的“长度”、“方向”，以及它们的“线性组合”的长度。
2. “距离”的来源:
度量空间: 度量 $d$ 可以是任意满足条件的函数。
赋范空间: “距离” $d(x, y)$ 必须来源于向量差的范数，即 $d(x, y) = |x y|$。
3. 对“大小”和“方向”的侧重:
度量空间: 主要关注点之间的“远近”。
赋范空间: 除了“远近”，更强调向量本身的“大小”以及向量“差”的“大小”。这是因为范数是向量固有的属性。
4. 对线性算子的友好性:
度量空间: 研究度量空间上的“映射”通常使用度量来定义收敛性或连续性。
赋范空间: 尤其适用于研究定义在向量空间上的“线性算子”。例如，我们可以在赋范空间中定义线性算子的范数 $|T| = sup_{x eq 0} frac{|Tx|}{|x|}$，这使得我们能够量化算子的“强度”或“压缩因子”。这是研究算子谱理论、算子代数等领域的基础。
简而言之，赋范空间是在度量空间的基础上，赋予了点（向量）更多的“代数身份”和“几何属性”（长度）。
4. 各自的应用范围
4.1 度量空间的应用范围
度量空间的应用非常广泛，尤其是在基础数学和计算机科学中：
拓扑学: 度量空间是生成拓扑结构的最基本方式之一。许多重要的拓扑性质（如连通性、紧致性）都可以用度量来研究。
实分析和复分析: 许多经典的分析概念，如收敛、连续性、紧致性、完备性等，都可以在度量空间中定义和研究。例如，$mathbb{R}^n$ 上的欧几里得距离是度量。
概率论: 随机变量的收敛性（依概率收敛、依分布收敛等）可以用度量来定义。例如，Lévy 度量用于刻画概率测度之间的距离。
计算机科学:
算法分析: 衡量两个输入或输出之间的“距离”，例如编辑距离（用于字符串比较）、Hausdorff 距离（用于形状比较）。
机器学习: 在聚类分析中，需要度量样本点之间的相似度或差异度，可以使用各种度量（如欧几里得距离、余弦相似度等）。
数据库和信息检索: 用于衡量文档或查询之间的相似度。
几何和计算机图形学: 描述三维模型之间的相似性或形变。
度量空间适合于任何需要衡量“距离”或“差异”但不需要向量加法和标量乘法性质的场景。
4.2 赋范空间的应用范围
赋范空间是泛函分析的核心，并广泛应用于数学、物理、工程等领域：
泛函分析: 这是赋范空间最核心的应用领域。
巴拿赫空间 (Banach Space): 完备的赋范空间是泛函分析的基石，是许多定理的讨论对象，例如谱理论、不动点定理等。
希尔伯特空间 (Hilbert Space): 特殊的赋范空间，具有内积，可以进一步引入“角度”的概念，在量子力学、信号处理中极为重要。
线性算子理论: 研究有界线性算子、紧算子、自伴算子等的性质，这些算子在描述物理系统、微分方程等中扮演重要角色。
微分方程: 许多偏微分方程的解空间是赋范空间（如 Sobolev 空间），其性质通过赋范空间的范数来研究。
信号处理和图像处理: 信号（函数）的能量或幅度可以用范数来衡量。例如，$L^p$ 空间（包括 $L^2$ 空间）在信号处理中非常重要。
量子力学: 量子态由希尔伯特空间中的向量表示，范数表示状态的概率幅，内积用于计算观测值。
统计学: 在函数空间统计学中，对函数（如回归函数）的估计和推断会用到赋范空间。
优化理论: 许多优化问题是在赋范空间中进行的，例如求解约束优化问题。
赋范空间特别适合于处理带有“长度”概念的向量结构，尤其是在研究线性变换（算子）以及对向量进行代数运算的场景。
总结
| 特征 | 度量空间 (Metric Space) | 赋范空间 (Normed Space) |
| : | : | : |
| 核心结构 | 集合 + 度量函数 $d(x, y)$ | 向量空间 + 范数函数 $|x|$ |
| 性质 | 非负性, 同一性, 对称性, 三角不等式 | 非负性, 绝对齐次性, 三角不等式 (对向量加法和标量乘法兼容) |
| 定义极限 | 基于距离 $d(x_n, x) < epsilon$ | 基于范数差 $|x_n x| < epsilon$ |
| “距离”来源 | 任意满足条件的函数 | 向量差的范数 $d(x, y) = |x y|$ |
| 强调点 | 点之间的“远近” | 向量的“大小”、“长度”，以及向量差的“大小” |
| 与代数结构 | 不必与代数结构兼容 | 必须与向量空间的代数结构（加法、标量乘法）兼容 |
| 主要应用 | 拓扑学基础，字符串比较，聚类分析，算法分析 | 泛函分析，线性算子理论，量子力学，微分方程，信号处理 |
| 关系 | 赋范空间是特殊的度量空间 (通过 $|xy|$ 定义度量) | 度量空间不一定是赋范空间 |
举个例子：
度量空间但非赋范空间:
考虑实数集 $mathbb{R}$，定义度量 $d(x, y) = |x y|$。这是一个度量空间。这个度量可以由范数 $|x| = |x|$ 导出。
考虑一个图上的顶点集合，定义 $d(u, v)$ 为顶点 $u$ 和 $v$ 之间的最短路径长度。这是度量空间，但顶点集合通常没有自然的向量空间结构，因此不能是赋范空间。
考虑一个集合，其元素不是向量，但我们可以定义它们之间的“距离”，例如两个不同形状的形状之间的差异程度。
赋范空间 (自然也是度量空间):
$mathbb{R}^n$ 配备欧几里得范数 $|x| = sqrt{x_1^2 + dots + x_n^2}$。
无穷可微函数集合 $C^infty([0,1])$ 配备最大范数 $|f|_infty = sup_{x in [0,1]} |f(x)|$。
$L^p$ 空间（例如 $L^2$ 空间）是函数空间，配备相应的 $L^p$ 范数。
正是由于赋范空间能够捕捉到向量的“大小”和“方向”信息，并与向量空间本身的代数运算紧密结合，它成为了研究许多高级数学和科学问题的强大工具，尤其是在分析和应用数学领域。
下面我将详细阐述赋范空间和度量空间在定义极限方面的异同，以及它们的区别和应用。
1. 度量空间 (Metric Space)
首先，我们来回顾一下度量空间的定义和极限的定义。
1.1 度量空间的定义
一个集合 $X$ 如果定义了一个函数 $d: X imes X o mathbb{R}$，满足以下四个性质，那么我们就称 $(X, d)$ 为一个度量空间：
1. 非负性 (Nonnegativity): 对于任意 $x, y in X$，有 $d(x, y) ge 0$。
2. 同一性 (Identity of indiscernibles): $d(x, y) = 0$ 当且仅当 $x = y$。
3. 对称性 (Symmetry): 对于任意 $x, y in X$，有 $d(x, y) = d(y, x)$。
4. 三角不等式 (Triangle inequality): 对于任意 $x, y, z in X$，有 $d(x, z) le d(x, y) + d(y, z)$。
函数 $d$ 被称为集合 $X$ 上的一个度量。度量直观上衡量了两个点之间的“距离”。
1.2 度量空间中的极限定义
在度量空间 $(X, d)$ 中，一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x in X$，记作 $x_n o x$，如果对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $d(x_n, x) < epsilon$。
这里的关键在于“距离” $d(x_n, x)$。我们用度量来“衡量”序列中的点与极限点之间的“接近程度”。
1.3 度量空间的特点与优势
直观性: 度量空间的定义非常直观，直接将我们熟悉的“距离”概念推广到了任意集合上。
拓扑结构: 度量定了度量空间上的一个拓扑结构。具体来说，一个点 $x$ 的一个“开邻域”可以定义为所有与 $x$ 的距离小于某个正数 $r$ 的点组成的集合，即 $B(x, r) = {y in X mid d(x, y) < r}$。拓扑空间上的极限定义可以用邻域来刻画，而度量空间可以天然地生成一个拓扑。
基础性: 度量空间是许多更复杂的空间（包括赋范空间）的基础。许多分析学的概念，如连续性、有界性、收敛性等，都可以首先在度量空间中定义和研究。
1.4 度量空间的局限性
虽然度量空间很直观，但在某些情况下，它可能无法捕捉到我们想要的结构。最主要的是，度量本身并不是“方向敏感”的，也无法直接衡量“大小”或“尺度”。它仅仅关注两个点之间的距离。
2. 赋范空间 (Normed Space)
赋范空间是在度量空间的基础上增加了一些额外的结构，使其能够更好地处理向量的“长度”和“方向”。
2.1 赋范空间的定义
一个实数域或复数域上的向量空间 $V$ 如果定义了一个函数 $| cdot |: V o mathbb{R}$，使得对于任意 $x, y in V$ 和任意标量 $alpha$，满足以下三个性质，那么我们就称 $V$ 为一个赋范空间：
1. 非负性 (Nonnegativity): $|x| ge 0$，且 $|x| = 0$ 当且仅当 $x$ 是零向量。
2. 绝对齐次性 (Absolute homogeneity): $|alpha x| = |alpha| |x|$。
3. 三角不等式 (Triangle inequality): $|x + y| le |x| + |y|$。
函数 $| cdot |$ 被称为向量空间 $V$ 上的一个范数。范数直观上表示向量的“长度”或“大小”。
2.2 赋范空间如何生成度量空间
任何一个赋范空间 $(V, |cdot|)$ 都天然地是一个度量空间。我们可以定义一个度量 $d(x, y) = |x y|$。让我们验证一下这个度量是否满足度量空间的四条性质：
1. 非负性: $|x y| ge 0$ （由范数的非负性）。当 $x=y$ 时，$|xy| = |0| = 0$ （由范数的非负性和零向量性质）。
2. 同一性: $|x y| = 0 iff x y = 0 iff x = y$ （由范数的非负性和零向量性质）。
3. 对称性: $d(x, y) = |x y| = |(y x)| = |1| |y x| = |y x| = d(y, x)$ （由范数的绝对齐次性）。
4. 三角不等式: $d(x, z) = |x z| = |(x y) + (y z)| le |x y| + |y z| = d(x, y) + d(y, z)$ （由范数的三角不等式）。
所以，从赋范空间到度量空间总是可以自然地转换的。
2.3 赋范空间中的极限定义
在赋范空间 $(V, |cdot|)$ 中，一个序列 ${x_n}_{n=1}^infty$ 收敛于 $x in V$，记作 $x_n o x$，如果对于任意的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|x_n x| < epsilon$。
这个定义与度量空间中的极限定义形式上完全相同，只是这里的“距离”是 $|x_n x|$，它源自向量的范数。
2.4 赋范空间的特点与优势
结构更丰富: 赋范空间比度量空间具有更丰富的代数结构。范数不仅仅是一个距离函数，它还与向量空间本身的运算（加法和标量乘法）紧密相关。
对线性结构的友好性: 范数与向量加法和标量乘法的性质相结合，使得赋范空间在处理线性代数问题时非常方便。例如，范数可以衡量向量的和与差的长度。
衡量“大小”和“方向”: 范数直接衡量向量的“长度”，而 $|x y|$ 可以看作是向量 $x$ 和 $y$ 之差的长度。这使得我们可以讨论向量的大小、方向以及它们之间的相对位置和差异。
线性算子分析: 在泛函分析中，我们常常研究定义在赋范空间上的线性算子（如微分算子、积分算子）。范数允许我们定义算子的“大小”或“范数”，这是研究算子性质（如有界性、收敛性）的关键。
3. 为什么引入两个能定义极限的空间？区别是什么？
核心区别在于赋范空间在度量空间的基础上增加了“向量空间”的代数结构，并且范数与这个代数结构是兼容的。这导致了以下几点关键区别：
1. 结构丰富性:
度量空间: 仅仅关注点之间的“距离”。它不关心这些点是否能进行加法、标量乘法等向量运算。例如，实数集合 $mathbb{R}$ 上的标准距离 $d(x, y) = |x y|$ 是一个度量，但我们也可以考虑一个集合，其元素不是向量，但它们之间有某种“距离”，例如图论中的节点之间的最短路径距离。
赋范空间: 必须是一个向量空间，并且范数必须与向量的加法和标量乘法兼容。这意味着在赋范空间中，我们可以谈论向量的“长度”、“方向”，以及它们的“线性组合”的长度。
2. “距离”的来源:
度量空间: 度量 $d$ 可以是任意满足条件的函数。
赋范空间: “距离” $d(x, y)$ 必须来源于向量差的范数，即 $d(x, y) = |x y|$。
3. 对“大小”和“方向”的侧重:
度量空间: 主要关注点之间的“远近”。
赋范空间: 除了“远近”，更强调向量本身的“大小”以及向量“差”的“大小”。这是因为范数是向量固有的属性。
4. 对线性算子的友好性:
度量空间: 研究度量空间上的“映射”通常使用度量来定义收敛性或连续性。
赋范空间: 尤其适用于研究定义在向量空间上的“线性算子”。例如，我们可以在赋范空间中定义线性算子的范数 $|T| = sup_{x eq 0} frac{|Tx|}{|x|}$，这使得我们能够量化算子的“强度”或“压缩因子”。这是研究算子谱理论、算子代数等领域的基础。
简而言之，赋范空间是在度量空间的基础上，赋予了点（向量）更多的“代数身份”和“几何属性”（长度）。
4. 各自的应用范围
4.1 度量空间的应用范围
度量空间的应用非常广泛，尤其是在基础数学和计算机科学中：
拓扑学: 度量空间是生成拓扑结构的最基本方式之一。许多重要的拓扑性质（如连通性、紧致性）都可以用度量来研究。
实分析和复分析: 许多经典的分析概念，如收敛、连续性、紧致性、完备性等，都可以在度量空间中定义和研究。例如，$mathbb{R}^n$ 上的欧几里得距离是度量。
概率论: 随机变量的收敛性（依概率收敛、依分布收敛等）可以用度量来定义。例如，Lévy 度量用于刻画概率测度之间的距离。
计算机科学:
算法分析: 衡量两个输入或输出之间的“距离”，例如编辑距离（用于字符串比较）、Hausdorff 距离（用于形状比较）。
机器学习: 在聚类分析中，需要度量样本点之间的相似度或差异度，可以使用各种度量（如欧几里得距离、余弦相似度等）。
数据库和信息检索: 用于衡量文档或查询之间的相似度。
几何和计算机图形学: 描述三维模型之间的相似性或形变。
度量空间适合于任何需要衡量“距离”或“差异”但不需要向量加法和标量乘法性质的场景。
4.2 赋范空间的应用范围
赋范空间是泛函分析的核心，并广泛应用于数学、物理、工程等领域：
泛函分析: 这是赋范空间最核心的应用领域。
巴拿赫空间 (Banach Space): 完备的赋范空间是泛函分析的基石，是许多定理的讨论对象，例如谱理论、不动点定理等。
希尔伯特空间 (Hilbert Space): 特殊的赋范空间，具有内积，可以进一步引入“角度”的概念，在量子力学、信号处理中极为重要。
线性算子理论: 研究有界线性算子、紧算子、自伴算子等的性质，这些算子在描述物理系统、微分方程等中扮演重要角色。
微分方程: 许多偏微分方程的解空间是赋范空间（如 Sobolev 空间），其性质通过赋范空间的范数来研究。
信号处理和图像处理: 信号（函数）的能量或幅度可以用范数来衡量。例如，$L^p$ 空间（包括 $L^2$ 空间）在信号处理中非常重要。
量子力学: 量子态由希尔伯特空间中的向量表示，范数表示状态的概率幅，内积用于计算观测值。
统计学: 在函数空间统计学中，对函数（如回归函数）的估计和推断会用到赋范空间。
优化理论: 许多优化问题是在赋范空间中进行的，例如求解约束优化问题。
赋范空间特别适合于处理带有“长度”概念的向量结构，尤其是在研究线性变换（算子）以及对向量进行代数运算的场景。
总结
| 特征 | 度量空间 (Metric Space) | 赋范空间 (Normed Space) |
| : | : | : |
| 核心结构 | 集合 + 度量函数 $d(x, y)$ | 向量空间 + 范数函数 $|x|$ |
| 性质 | 非负性, 同一性, 对称性, 三角不等式 | 非负性, 绝对齐次性, 三角不等式 (对向量加法和标量乘法兼容) |
| 定义极限 | 基于距离 $d(x_n, x) < epsilon$ | 基于范数差 $|x_n x| < epsilon$ |
| “距离”来源 | 任意满足条件的函数 | 向量差的范数 $d(x, y) = |x y|$ |
| 强调点 | 点之间的“远近” | 向量的“大小”、“长度”，以及向量差的“大小” |
| 与代数结构 | 不必与代数结构兼容 | 必须与向量空间的代数结构（加法、标量乘法）兼容 |
| 主要应用 | 拓扑学基础，字符串比较，聚类分析，算法分析 | 泛函分析，线性算子理论，量子力学，微分方程，信号处理 |
| 关系 | 赋范空间是特殊的度量空间 (通过 $|xy|$ 定义度量) | 度量空间不一定是赋范空间 |
举个例子：
度量空间但非赋范空间:
考虑实数集 $mathbb{R}$，定义度量 $d(x, y) = |x y|$。这是一个度量空间。这个度量可以由范数 $|x| = |x|$ 导出。
考虑一个图上的顶点集合，定义 $d(u, v)$ 为顶点 $u$ 和 $v$ 之间的最短路径长度。这是度量空间，但顶点集合通常没有自然的向量空间结构，因此不能是赋范空间。
考虑一个集合，其元素不是向量，但我们可以定义它们之间的“距离”，例如两个不同形状的形状之间的差异程度。
赋范空间 (自然也是度量空间):
$mathbb{R}^n$ 配备欧几里得范数 $|x| = sqrt{x_1^2 + dots + x_n^2}$。
无穷可微函数集合 $C^infty([0,1])$ 配备最大范数 $|f|_infty = sup_{x in [0,1]} |f(x)|$。
$L^p$ 空间（例如 $L^2$ 空间）是函数空间，配备相应的 $L^p$ 范数。
正是由于赋范空间能够捕捉到向量的“大小”和“方向”信息，并与向量空间本身的代数运算紧密结合，它成为了研究许多高级数学和科学问题的强大工具，尤其是在分析和应用数学领域。
网友意见
谢邀，很多答主都提到了线性结构的问题，也就是度量本身不具备线性结构。但是这带来造多结构上的差别，我就举个例子，比如在赋范空间中闭球是开球的闭，也就是
的闭包恰好是 .
但是你同样定义度量空间上的开球和闭球就没有这个性质。举个例子把，
我们在 定义离散度量： , 然后我们发现开球
, 你会发现闭球 显然不是原开球的闭包。这个细微的区别在应用的是时候差别是不小的。
有人说，不对，你这样定义的度量引导出来的拓扑和原来不一样，所以才出现这个问题。好，我这样定义
,
你会发现这个度量引导出来的拓扑和一般实数空间是一样的，因为局部基是一样的。 但是同样的问题： 的闭包不是
这就是范数这个结构带来的，这个结构很棒。
其实在单纯定义极限这个问题上，度量就够了。但是，如果范数这个结构会给你带来很多漂亮的性质。这里我就不具体展开了，为什么我们要引入某个概念，因为这个概念能把某些性质分离出来方便我们研究。
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《大秦赋》这部剧，说是波澜壮阔、气势磅礴，那是真的没得说，秦始皇统一六国的大业摆在那里，怎么拍都能撑起场子。但要说它是部完美无瑕的史诗级巨作，那可就得打个大大的问号了。细究起来，这剧的槽点还真不少，而且有些还挺扎人的，让我这种看了好几遍的观众，每次重温都忍不住要翻白眼。首先，最让人诟病的，就是吕不韦.............
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《上阳赋》这部剧，说实话，当初放出预告片的时候，我是挺期待的。毕竟章子怡主演，又是古装权谋大剧，冲着这个阵容和题材，感觉怎么也不会差到哪去。结果播出后，那争议声，简直比剧情里的朝堂辩论还激烈。要说问题出在哪儿，我觉得可以从几个层面来掰扯掰扯，而且这些问题，很多时候是相互缠绕，共同作用的。首先，最绕不.............
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《上阳赋》这部剧，网上确实是议论纷纷，褒贬不一。说它“差”，其实有点绝对，但要说它“好”，似乎也难以令人完全信服。所以，咱们不妨就事论事，掰开了揉碎了聊聊这部剧，看看它到底是个什么成色，为什么会引起这么大的争议。先说说为啥有人觉得它“差”： “少女感”的争议，可以说是从开播就没断过。 那个时候，.............
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最近，《大秦赋》这剧真是让不少观众心头百感交集。刚开播的时候，那叫一个风光无两，豆瓣评分一度飙升到9.1，多少人捧着瓜子看嬴政如何一步步登上权力巅峰，秦国又如何扫六合、统一天下。结果呢？看着看着，这评分就跟坐过山车似的往下掉，现在稳定在七点几的样子，虽然不算扑街，但跟当初的“封神”之势相比，落差感还.............
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《大秦赋》这部剧，说实话，看了之后能让人咂摸出不少东西，它不像那种快餐式的爽剧，更像是让你沉浸在那个波澜壮阔的时代里。我个人觉得，里面有很多值得玩味的细节，不是那种一扫而过就能明白的，需要你带着点儿心思去看。首先，就是人物塑造的“真实感”。 很多历史剧喜欢把角色塑造成完美英雄或者纯粹的反派，但《大秦.............
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《大秦赋》中吕不韦的故事，与其说是一部帝王将相的史诗，不如说是一位普通人如何冲破层层壁垒，在复杂社会结构中寻求上升的生动教材。吕不韦的出身，在那个时代是毫不起眼的，没有显赫的家世，没有天生的权柄。然而，他却能从一个普通的商人，一步步走向权倾朝野，甚至影响秦国历史的进程。这其中蕴含的智慧，对于我们今天.............
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《大秦赋》作为一部历史题材的电视剧，在呈现秦国统一六国这段波澜壮阔的历史时，无疑是花费了大量心血进行考据的。然而，要评价其史料可信度，我们需要认识到，即使是最严谨的历史剧，也需要在历史事实与艺术创作之间找到一个平衡点。首先，从宏观的历史脉络和重大事件的还原度来看，《大秦赋》是相当扎实的。剧中关于秦国.............
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《大秦赋》之所以让很多观众如同“老秦人”上身，纷纷为秦国摇旗呐喊，这背后其实有着多重因素的交织。首先，电视剧本身在塑造秦国形象时，就倾注了不少笔墨，力图展现其“励精图治”、“统一六国”的辉煌篇章。剧里，秦国人被描绘成一股充满力量、目标明确、坚韧不拔的群体。从那个略显粗粝但充满朝气的秦孝公，到雄才大略.............
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“赋能”这个词，在当今社会，尤其是在商业、管理、教育、科技等领域，出现的频率非常高，几乎可以用“泛滥”来形容。也正是因为如此高的出现率，很多人会感到困惑：“赋能”到底是个什么鬼？要理解“赋能”，我们可以从字面意思和实际应用两个层面来剖析。一、 字面意思：赋予能力“赋能”的字面意思是“赋予能力”。这是.............
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“为赋新词强说愁”这句话，本身就像一句古老的禅机，又像一个精明的评价，总能引发人们的好奇和思考。要说一道题是否“为赋新词强说愁”，得先明白这句话的来龙去脉，以及它用在一道题上时，究竟是批评还是赞扬，抑或是另有深意。“为赋新词强说愁”的来由与含义这句话出自宋代词人贺铸的《青玉案·横挥玉鞭》。原词写道：.............
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章子怡在电视剧《上阳赋》中的演技，可以说是备受争议、褒贬不一，但总体而言，她凭借其深厚的功底，依然贡献了许多令人印象深刻的表演，但也面临着角色与年龄、表演模式的挑战。为了更详细地评价，我们可以从以下几个方面来分析：一、 优点与亮点： 强大的气场与仪态： 章子怡作为国际巨星，其强大的个人气场是毋庸.............
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你说的这种“逼格高”的感觉，其实是咱们几千年中华文明积淀下来的一种文化自信，一种对先人智慧和审美的天然敬畏。这种感觉不是空穴来风，而是源于这些文学体裁本身独特的气质和它们在中国文化史上的重要地位。咱们一点点掰开了讲，你就明白了：一、 《诗经》：风骨铮铮，情真意切的源头活水首先，《诗经》是咱们中国文学.............
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章子怡在《上阳赋》中出演15岁的少女，这确实是观众们讨论和关注的焦点之一。要深入理解这个问题，我们需要从几个层面来看待：1. 角色设定的考量： 剧情需要： 《上阳赋》的原著小说《帝王业》中，女主角王儇（章子怡饰演的角色）的故事线非常长，从少女时期一直贯穿到中年，经历了家族兴衰、朝堂争斗、爱恨纠葛.............
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章子怡的《上阳赋》，自从开播以来就话题不断，尤其是她饰演的年轻郡主，从十几岁少女演到中年，这年龄跨度本身就够让人议论了。然而，比年龄跨度更让观众们抓马的，大概就是那个让无数人“瞳孔地震”的穿帮镜头——运动鞋。那是在一个看似很正常的场景里，章子怡饰演的王儇，穿着一身华丽的古代服饰，正和别人交谈或者行走.............
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不少人说《大秦赋》不好看，这事儿挺普遍的，尤其是在剧播完之后，关于它的讨论反而更热烈，褒贬不一。我算是看完的，也有一些自己的体会和观察，结合网上大家的看法，大概能总结出几个主要原因。首先，节奏问题和历史厚重感的失衡，这是很多人抱怨的焦点。《大秦赋》的野心很大，想讲秦始皇嬴政的一生，从他还是质子开始，.............
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话说章子怡的《上阳赋》，刚开播那几集，尤其是前八集，还真是让人心情复杂，跟坐过山车似的。要说最直观的感受，就是 “大制作” 这三个字。画面质感没得说，那叫一个考究，从服化道到场景布置，一股子“真金白银”的味道扑面而来。宫殿的恢弘、人物的华服、妆容的精致，都带着一股子匠心。你看着就觉得这剧组是花了心思.............
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