为什么弱Lp空间不是赋范线性空间？
弱 $L^p$ 空间（Weak $L^p$ spaces），通常表示为 $L^{p,infty}(X)$，在 $p in (0, infty)$ 的情况下，确实不是赋范线性空间（normed linear space）。这主要是因为它们不能被一个连续的、满足所有范数性质的函数所定义和度量。虽然弱 $L^p$ 空间可以定义一个满足正定性、齐次性和三角不等式部分性质的“广义范数”或“准范数”（seminorm/quasinorm），但齐次性或三角不等式中的一个会因为尺度伸缩或绝对值的性质而失效。
下面我们将详细解释为什么弱 $L^p$ 空间不是赋范线性空间，并从定义、性质以及与标准 $L^p$ 空间的对比来阐述。
1. 弱 $L^p$ 空间的定义
我们首先回顾弱 $L^p$ 空间的定义。设 $(X, mu)$ 是一个测度空间，对于一个可测函数 $f: X o mathbb{C}$，其弱 $L^p$ 范数定义为：
$$ |f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |f(x)| > epsilon}) $$
其中 $p in (0, infty)$。这个定义衡量的是函数“尾部”衰减的速度。具体来说，$mu({x in X : |f(x)| > epsilon})$ 是函数值大于 $epsilon$ 的集合的测度。如果这个测度随着 $epsilon$ 的增大衰减得越快，那么函数的“尾部”就越“轻”，其弱 $L^p$ 范数就越小。
弱 $L^p$ 空间 $L^{p,infty}(X)$ 是所有满足 $|f|_{L^{p,infty}} < infty$ 的可测函数 $f$ 的集合，并且我们通常会将其与几乎处处相等的函数进行等价，即在 $L^{p,infty}$ 空间中，函数被视为其等价类。
2. 为什么弱 $L^p$ 空间不是赋范线性空间？
一个赋范线性空间需要满足以下几个关键性质：
线性空间 (Linear Space): 集合对于加法和标量乘法是封闭的。
范数 (Norm): 定义一个函数 $| cdot | : V o mathbb{R}$，满足以下性质：
非负性 (Nonnegativity): $|v| ge 0$ 对所有 $v in V$。
正定性 (Positive definiteness): $|v| = 0$ 当且仅当 $v = 0$。
齐次性 (Absolute homogeneity): $|alpha v| = |alpha| |v|$ 对所有标量 $alpha$ 和 $v in V$。
三角不等式 (Triangle inequality): $|u+v| le |u| + |v|$ 对所有 $u, v in V$。
弱 $L^p$ 空间在满足前两个性质（经过等价类处理后）和第三个性质的一部分后，会因为“尺度伸缩”而失败。
核心问题在于弱 $L^p$ 范数的定义方式，它涉及到了一个“supremum”操作，并且没有直接依赖于函数值本身的绝对值。
我们来逐一分析弱 $L^p$ 范数如何失败范数性质：
a) 齐次性失效：$|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| |f|_{L^{p,infty}}$
这是弱 $L^p$ 范数最直接的失效点。让我们计算 $|alpha f|_{L^{p,infty}}$：
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |alpha f(x)| > epsilon}) $$
令 $delta = epsilon / |alpha|$。当 $epsilon$ 遍历 $(0, infty)$ 时，$delta$ 也遍历 $(0, infty)$。所以：
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} (delta |alpha|) , mu({x in X : |alpha f(x)| > delta |alpha|}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} |alpha| delta , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| sup_{0 < delta < infty} delta , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| |f|_{L^{p,infty}} $$
等等！上面我写的是正确推导，似乎表明齐次性成立？
事实上，问题并不在这里。 在上面的推导中，我假设了 $p$ 的值。但是，弱 $L^p$ 范数的定义中，指数 $p$ 出现在了对 $epsilon$ 的幂次上，我上面的推导忽略了这一点！
让我们回到正确的定义，弱 $L^p$ 范数是为了衡量 $f$ 的 $p$th power 的尾部行为，而不是 $|f|$ 本身。对于 $p in (0, infty)$，一个更标准的定义（或者说，与标准 $L^p$ 空间相关联的弱范数）是：
$$ |f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in X : |f(x)| > epsilon}) $$
使用这个正确的定义，齐次性将失效。 让我们重新计算 $|alpha f|_{L^{p,infty}}$：
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in X : |alpha f(x)| > epsilon}) $$
令 $delta = epsilon / |alpha|$。则 $epsilon = |alpha| delta$。
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} (|alpha| delta)^p , mu({x in X : |alpha f(x)| > |alpha| delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} |alpha|^p delta^p , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p sup_{0 < delta < infty} delta^p , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}} $$
看到了吗？齐次性变成 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}}$。
当 $p=1$ 时，弱 $L^1$ 范数是 $|f|_{L^{1,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |f(x)| > epsilon})$。 在这种情况下，齐次性 $|alpha f|_{L^{1,infty}} = |alpha| |f|_{L^{1,infty}}$ 是成立的！
但是当 $p e 1$ 时，齐次性就不成立了。 例如，如果 $p=2$，那么 $|alpha f|_{L^{2,infty}} = |alpha|^2 |f|_{L^{2,infty}}$。这显然不是 $|alpha f|_{L^{2,infty}} = |alpha| |f|_{L^{2,infty}}$。
因此，对于 $p in (0, infty)$ 且 $p e 1$，弱 $L^p$ 范数不满足齐次性，所以弱 $L^p$ 空间不是赋范线性空间。
关于 $p=1$ 的情况：
当 $p=1$ 时，弱 $L^1$ 空间 $L^{1,infty}$ 的范数 $|f|_{L^{1,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |f(x)| > epsilon})$ 确实满足齐次性：$|alpha f|_{L^{1,infty}} = |alpha| |f|_{L^{1,infty}}$。
但是，即使对于 $p=1$，弱 $L^1$ 空间也不是一个 Banach 空间（完备的赋范线性空间），尽管它确实是一个赋范线性空间。这里我们讨论的是它是否是赋范线性空间。
进一步探究 $p e 1$ 的情况，让我们尝试理解为什么这个定义会产生这个结果。
这个定义的形式 $epsilon^p , mu({|f| > epsilon})$ 是一个称为 "分布函数" (distribution function) 的概念的变体。分布函数 $F_f(epsilon) = mu({|f| > epsilon})$ 描述了函数值大于 $epsilon$ 的集合的测度。
标准 $L^p$ 范数的定义是：
$|f|_{L^p} = left( int_X |f(x)|^p dmu(x) ight)^{1/p}$
我们可以看到，$int_X |f(x)|^p dmu(x)$ 可以通过积分的定义来理解。而弱 $L^p$ 范数则通过分布函数来“间接”衡量 $|f|^p$ 的大小。
3. 为什么弱 $L^p$ 空间被称为“弱”？
弱 $L^p$ 空间被称为“弱”是因为它们是“更弱”的空间，这意味着：
包含关系: 对于任何 $p, q$ 使得 $1 le p le q < infty$，有 $L^q(X) subset L^p(X)$。 更重要的是，$L^q(X) subset L^{p,infty}(X)$ 对于 $p le q$ 成立。 这意味着任何一个在标准 $L^p$ 空间中的函数，在弱 $L^p$ 空间中也存在（通常是更小的范数）。
性质不如标准 $L^p$ 空间: 例如，弱 $L^p$ 空间中的函数不一定具有良好的局部行为，或者不一定能满足诸如内插不等式这样的重要性质。
4. 举例说明齐次性失效（以 $p=2$ 为例）
考虑一个在 $mathbb{R}$ 上，令 $dmu = dx$（勒贝格测度）。
考虑函数 $f(x) = 1$ 对于所有 $x in mathbb{R}$。
那么 $|f(x)| > epsilon$ 的集合是：
如果 $epsilon ge 1$，集合为空集，测度为 0。
如果 $0 < epsilon < 1$，集合为整个 $mathbb{R}$，测度为 $infty$。
我们来计算 $|f|_{L^{2,infty}}$：
$$ |f|_{L^{2,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^2 , mu({x in mathbb{R} : |1| > epsilon}) $$
当 $0 < epsilon < 1$ 时，$mu({x in mathbb{R} : |1| > epsilon}) = mu(mathbb{R}) = infty$。 所以 $epsilon^2 cdot infty = infty$。
当 $epsilon ge 1$ 时，$mu({x in mathbb{R} : |1| > epsilon}) = mu(emptyset) = 0$。 所以 $epsilon^2 cdot 0 = 0$。
因此，$|f|_{L^{2,infty}} = sup(infty, 0) = infty$。 这意味着常数函数 $f(x)=1$ 不属于 $L^{2,infty}(mathbb{R})$ 空间。
这并没有直接展示齐次性失效，但说明了范数计算的复杂性。我们换一个例子，一个函数它“存在”于弱 $L^p$ 空间中。
考虑函数 $f(x) = 1/x^{1/p}$ 在 $(0, 1]$ 上，在其他地方为 0。
我们计算 $|f|_{L^{p,infty}}$：
$mu({|f(x)| > epsilon}) = mu({x in (0, 1] : 1/x^{1/p} > epsilon}) = mu({x in (0, 1] : x^{1/p} < 1/epsilon}) = mu({x in (0, 1] : x < (1/epsilon)^p})$
这是一个长度为 $(1/epsilon)^p$ 的区间（如果 $(1/epsilon)^p le 1$）。
那么 $epsilon^p , mu({|f(x)| > epsilon}) = epsilon^p cdot (1/epsilon)^p = 1$，只要 $(1/epsilon)^p le 1$，即 $1/epsilon le 1$ 或 $epsilon ge 1$。
当 $epsilon < 1$ 时，$(1/epsilon)^p > 1$，所以 $mu({|f(x)| > epsilon}) = mu((0, 1]) = 1$。
这时 $epsilon^p cdot 1 = epsilon^p$。
所以 $|f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p cdot mu({|f(x)| > epsilon}) = sup (sup_{0 < epsilon < 1} epsilon^p, sup_{1 le epsilon < infty} 1) = sup(1, 1) = 1$。
所以 $f(x) = 1/x^{1/p}$ 是在 $L^{p,infty}(0, 1]$ 中的，其范数为 1。
现在考虑 $alpha f(x) = alpha/x^{1/p}$。
那么 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in (0, 1] : |alpha/x^{1/p}| > epsilon})$
$= sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in (0, 1] : x < (|alpha|/epsilon)^p})$
假设 $|alpha| > 1$ 且 $epsilon$ 足够小，使得 $(|alpha|/epsilon)^p > 1$。例如，令 $epsilon < |alpha|$.
$mu({x in (0, 1] : x < (|alpha|/epsilon)^p}) = 1$ (因为 $(|alpha|/epsilon)^p > 1$, 区间 $(0, (|alpha|/epsilon)^p)$ 包含 $(0, 1]$)。
此时 $epsilon^p cdot 1 = epsilon^p$.
若令 $epsilon$ 足够大，使得 $(|alpha|/epsilon)^p le 1$. 例如，令 $epsilon > |alpha|$.
$mu({x in (0, 1] : x < (|alpha|/epsilon)^p}) = (|alpha|/epsilon)^p$.
此时 $epsilon^p cdot (|alpha|/epsilon)^p = epsilon^p cdot |alpha|^p / epsilon^p = |alpha|^p$.
所以 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p$.
我们看到 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p cdot 1 = |alpha|^p$。
这再次验证了齐次性为 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}}$，当 $p e 1$ 时，这不等于 $|alpha| |f|_{L^{p,infty}}$。
5. 总结
弱 $L^p$ 空间 $L^{p,infty}(X)$ 对于 $p in (0, infty)$，不是赋范线性空间，主要原因是其定义的范数（严格来说是准范数）不满足绝对齐次性。具体来说，当 $p e 1$ 时，有 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}}$，而非 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| |f|_{L^{p,infty}}$。
只有当 $p=1$ 时，弱 $L^1$ 范数满足绝对齐次性。 然而，即使在这种情况下，弱 $L^1$ 空间也不是一个 Banach 空间，因为它不满足完备性。但问题在于问“为什么不是赋范线性空间”，所以核心就在于齐次性失效。
这些空间在调和分析、偏微分方程和概率论等领域有重要的应用，尽管它们不是严格的赋范线性空间，但其性质依然非常有用。它们提供了一种比标准 $L^p$ 空间更广泛的函数类别的衡量方法。
下面我们将详细解释为什么弱 $L^p$ 空间不是赋范线性空间，并从定义、性质以及与标准 $L^p$ 空间的对比来阐述。
1. 弱 $L^p$ 空间的定义
我们首先回顾弱 $L^p$ 空间的定义。设 $(X, mu)$ 是一个测度空间，对于一个可测函数 $f: X o mathbb{C}$，其弱 $L^p$ 范数定义为：
$$ |f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |f(x)| > epsilon}) $$
其中 $p in (0, infty)$。这个定义衡量的是函数“尾部”衰减的速度。具体来说，$mu({x in X : |f(x)| > epsilon})$ 是函数值大于 $epsilon$ 的集合的测度。如果这个测度随着 $epsilon$ 的增大衰减得越快，那么函数的“尾部”就越“轻”，其弱 $L^p$ 范数就越小。
弱 $L^p$ 空间 $L^{p,infty}(X)$ 是所有满足 $|f|_{L^{p,infty}} < infty$ 的可测函数 $f$ 的集合，并且我们通常会将其与几乎处处相等的函数进行等价，即在 $L^{p,infty}$ 空间中，函数被视为其等价类。
2. 为什么弱 $L^p$ 空间不是赋范线性空间？
一个赋范线性空间需要满足以下几个关键性质：
线性空间 (Linear Space): 集合对于加法和标量乘法是封闭的。
范数 (Norm): 定义一个函数 $| cdot | : V o mathbb{R}$，满足以下性质：
非负性 (Nonnegativity): $|v| ge 0$ 对所有 $v in V$。
正定性 (Positive definiteness): $|v| = 0$ 当且仅当 $v = 0$。
齐次性 (Absolute homogeneity): $|alpha v| = |alpha| |v|$ 对所有标量 $alpha$ 和 $v in V$。
三角不等式 (Triangle inequality): $|u+v| le |u| + |v|$ 对所有 $u, v in V$。
弱 $L^p$ 空间在满足前两个性质（经过等价类处理后）和第三个性质的一部分后，会因为“尺度伸缩”而失败。
核心问题在于弱 $L^p$ 范数的定义方式，它涉及到了一个“supremum”操作，并且没有直接依赖于函数值本身的绝对值。
我们来逐一分析弱 $L^p$ 范数如何失败范数性质：
a) 齐次性失效：$|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| |f|_{L^{p,infty}}$
这是弱 $L^p$ 范数最直接的失效点。让我们计算 $|alpha f|_{L^{p,infty}}$：
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |alpha f(x)| > epsilon}) $$
令 $delta = epsilon / |alpha|$。当 $epsilon$ 遍历 $(0, infty)$ 时，$delta$ 也遍历 $(0, infty)$。所以：
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} (delta |alpha|) , mu({x in X : |alpha f(x)| > delta |alpha|}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} |alpha| delta , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| sup_{0 < delta < infty} delta , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| |f|_{L^{p,infty}} $$
等等！上面我写的是正确推导，似乎表明齐次性成立？
事实上，问题并不在这里。 在上面的推导中，我假设了 $p$ 的值。但是，弱 $L^p$ 范数的定义中，指数 $p$ 出现在了对 $epsilon$ 的幂次上，我上面的推导忽略了这一点！
让我们回到正确的定义，弱 $L^p$ 范数是为了衡量 $f$ 的 $p$th power 的尾部行为，而不是 $|f|$ 本身。对于 $p in (0, infty)$，一个更标准的定义（或者说，与标准 $L^p$ 空间相关联的弱范数）是：
$$ |f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in X : |f(x)| > epsilon}) $$
使用这个正确的定义，齐次性将失效。 让我们重新计算 $|alpha f|_{L^{p,infty}}$：
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in X : |alpha f(x)| > epsilon}) $$
令 $delta = epsilon / |alpha|$。则 $epsilon = |alpha| delta$。
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} (|alpha| delta)^p , mu({x in X : |alpha f(x)| > |alpha| delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < delta < infty} |alpha|^p delta^p , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p sup_{0 < delta < infty} delta^p , mu({x in X : |f(x)| > delta}) $$
$$ |alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}} $$
看到了吗？齐次性变成 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}}$。
当 $p=1$ 时，弱 $L^1$ 范数是 $|f|_{L^{1,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |f(x)| > epsilon})$。 在这种情况下，齐次性 $|alpha f|_{L^{1,infty}} = |alpha| |f|_{L^{1,infty}}$ 是成立的！
但是当 $p e 1$ 时，齐次性就不成立了。 例如，如果 $p=2$，那么 $|alpha f|_{L^{2,infty}} = |alpha|^2 |f|_{L^{2,infty}}$。这显然不是 $|alpha f|_{L^{2,infty}} = |alpha| |f|_{L^{2,infty}}$。
因此，对于 $p in (0, infty)$ 且 $p e 1$，弱 $L^p$ 范数不满足齐次性，所以弱 $L^p$ 空间不是赋范线性空间。
关于 $p=1$ 的情况：
当 $p=1$ 时，弱 $L^1$ 空间 $L^{1,infty}$ 的范数 $|f|_{L^{1,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon , mu({x in X : |f(x)| > epsilon})$ 确实满足齐次性：$|alpha f|_{L^{1,infty}} = |alpha| |f|_{L^{1,infty}}$。
但是，即使对于 $p=1$，弱 $L^1$ 空间也不是一个 Banach 空间（完备的赋范线性空间），尽管它确实是一个赋范线性空间。这里我们讨论的是它是否是赋范线性空间。
进一步探究 $p e 1$ 的情况，让我们尝试理解为什么这个定义会产生这个结果。
这个定义的形式 $epsilon^p , mu({|f| > epsilon})$ 是一个称为 "分布函数" (distribution function) 的概念的变体。分布函数 $F_f(epsilon) = mu({|f| > epsilon})$ 描述了函数值大于 $epsilon$ 的集合的测度。
标准 $L^p$ 范数的定义是：
$|f|_{L^p} = left( int_X |f(x)|^p dmu(x) ight)^{1/p}$
我们可以看到，$int_X |f(x)|^p dmu(x)$ 可以通过积分的定义来理解。而弱 $L^p$ 范数则通过分布函数来“间接”衡量 $|f|^p$ 的大小。
3. 为什么弱 $L^p$ 空间被称为“弱”？
弱 $L^p$ 空间被称为“弱”是因为它们是“更弱”的空间，这意味着：
包含关系: 对于任何 $p, q$ 使得 $1 le p le q < infty$，有 $L^q(X) subset L^p(X)$。 更重要的是，$L^q(X) subset L^{p,infty}(X)$ 对于 $p le q$ 成立。 这意味着任何一个在标准 $L^p$ 空间中的函数，在弱 $L^p$ 空间中也存在（通常是更小的范数）。
性质不如标准 $L^p$ 空间: 例如，弱 $L^p$ 空间中的函数不一定具有良好的局部行为，或者不一定能满足诸如内插不等式这样的重要性质。
4. 举例说明齐次性失效（以 $p=2$ 为例）
考虑一个在 $mathbb{R}$ 上，令 $dmu = dx$（勒贝格测度）。
考虑函数 $f(x) = 1$ 对于所有 $x in mathbb{R}$。
那么 $|f(x)| > epsilon$ 的集合是：
如果 $epsilon ge 1$，集合为空集，测度为 0。
如果 $0 < epsilon < 1$，集合为整个 $mathbb{R}$，测度为 $infty$。
我们来计算 $|f|_{L^{2,infty}}$：
$$ |f|_{L^{2,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^2 , mu({x in mathbb{R} : |1| > epsilon}) $$
当 $0 < epsilon < 1$ 时，$mu({x in mathbb{R} : |1| > epsilon}) = mu(mathbb{R}) = infty$。 所以 $epsilon^2 cdot infty = infty$。
当 $epsilon ge 1$ 时，$mu({x in mathbb{R} : |1| > epsilon}) = mu(emptyset) = 0$。 所以 $epsilon^2 cdot 0 = 0$。
因此，$|f|_{L^{2,infty}} = sup(infty, 0) = infty$。 这意味着常数函数 $f(x)=1$ 不属于 $L^{2,infty}(mathbb{R})$ 空间。
这并没有直接展示齐次性失效，但说明了范数计算的复杂性。我们换一个例子，一个函数它“存在”于弱 $L^p$ 空间中。
考虑函数 $f(x) = 1/x^{1/p}$ 在 $(0, 1]$ 上，在其他地方为 0。
我们计算 $|f|_{L^{p,infty}}$：
$mu({|f(x)| > epsilon}) = mu({x in (0, 1] : 1/x^{1/p} > epsilon}) = mu({x in (0, 1] : x^{1/p} < 1/epsilon}) = mu({x in (0, 1] : x < (1/epsilon)^p})$
这是一个长度为 $(1/epsilon)^p$ 的区间（如果 $(1/epsilon)^p le 1$）。
那么 $epsilon^p , mu({|f(x)| > epsilon}) = epsilon^p cdot (1/epsilon)^p = 1$，只要 $(1/epsilon)^p le 1$，即 $1/epsilon le 1$ 或 $epsilon ge 1$。
当 $epsilon < 1$ 时，$(1/epsilon)^p > 1$，所以 $mu({|f(x)| > epsilon}) = mu((0, 1]) = 1$。
这时 $epsilon^p cdot 1 = epsilon^p$。
所以 $|f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p cdot mu({|f(x)| > epsilon}) = sup (sup_{0 < epsilon < 1} epsilon^p, sup_{1 le epsilon < infty} 1) = sup(1, 1) = 1$。
所以 $f(x) = 1/x^{1/p}$ 是在 $L^{p,infty}(0, 1]$ 中的，其范数为 1。
现在考虑 $alpha f(x) = alpha/x^{1/p}$。
那么 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in (0, 1] : |alpha/x^{1/p}| > epsilon})$
$= sup_{0 < epsilon < infty} epsilon^p , mu({x in (0, 1] : x < (|alpha|/epsilon)^p})$
假设 $|alpha| > 1$ 且 $epsilon$ 足够小，使得 $(|alpha|/epsilon)^p > 1$。例如，令 $epsilon < |alpha|$.
$mu({x in (0, 1] : x < (|alpha|/epsilon)^p}) = 1$ (因为 $(|alpha|/epsilon)^p > 1$, 区间 $(0, (|alpha|/epsilon)^p)$ 包含 $(0, 1]$)。
此时 $epsilon^p cdot 1 = epsilon^p$.
若令 $epsilon$ 足够大，使得 $(|alpha|/epsilon)^p le 1$. 例如，令 $epsilon > |alpha|$.
$mu({x in (0, 1] : x < (|alpha|/epsilon)^p}) = (|alpha|/epsilon)^p$.
此时 $epsilon^p cdot (|alpha|/epsilon)^p = epsilon^p cdot |alpha|^p / epsilon^p = |alpha|^p$.
所以 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p$.
我们看到 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p cdot 1 = |alpha|^p$。
这再次验证了齐次性为 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}}$，当 $p e 1$ 时，这不等于 $|alpha| |f|_{L^{p,infty}}$。
5. 总结
弱 $L^p$ 空间 $L^{p,infty}(X)$ 对于 $p in (0, infty)$，不是赋范线性空间，主要原因是其定义的范数（严格来说是准范数）不满足绝对齐次性。具体来说，当 $p e 1$ 时，有 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha|^p |f|_{L^{p,infty}}$，而非 $|alpha f|_{L^{p,infty}} = |alpha| |f|_{L^{p,infty}}$。
只有当 $p=1$ 时，弱 $L^1$ 范数满足绝对齐次性。 然而，即使在这种情况下，弱 $L^1$ 空间也不是一个 Banach 空间，因为它不满足完备性。但问题在于问“为什么不是赋范线性空间”，所以核心就在于齐次性失效。
这些空间在调和分析、偏微分方程和概率论等领域有重要的应用，尽管它们不是严格的赋范线性空间，但其性质依然非常有用。它们提供了一种比标准 $L^p$ 空间更广泛的函数类别的衡量方法。
网友意见
这句话不能说对，也不能说错。
事情是这样的，这得分情况讨论。
对于弱空间 ，如果你给予如下的quasi-norm
,
这个空间的确不是赋范空间，因为它不满足三角不等式，举个例子，考虑在 上的函数 , ,我们发现 , 经过计算你会发现如果你要求
这就等价于
,
这个一般是不能成立的。不过，我们可以得到
,
也就是这个写成范数的东西其实是准范数(quasi-norm)，不过，这个问题还有一个第二层，那就是当 的时候
,
其中 . 根据这个对偶关系，如果我们定义新范数
,
那么 就是一个Banach空间。在实际应用的时候，一般也会把这种洛伦兹空间看成Banach空间。
对上述内容的具体证明感兴趣的人可以参考下面的文献
Grafakos, Classical Fourier analysis.
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大阪师团，即便在一些特定圈子里被一些人“黑”，其整体实力和历史表现都并非虚设。很多人在评价大阪师团时，往往忽略了它在战国乱世中扮演的角色、以及它所处的大环境，才会产生一些片面的看法。要想理解这个问题，我们得从几个层面来掰扯。一、 别把“大阪师团”想得太单一，以及它真正的“实力底子”首先，很多人提到“.............
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说实话，现在玩《英雄联盟》的玩家，尤其是新入坑的或者对老英雄不太熟悉的，很容易产生一个疑问：“为什么混沌勇士（沃里克）这么弱？” 不是说他完全不能玩，也不是说他一点用都没有，而是相对于其他打野英雄，或者说在这个版本，沃里克的表现实在是不尽如人意，甚至可以用“乏力”来形容。我们不妨从几个关键点来拆解一.............
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马自达在动力性上的“坚持”一直是车迷们津津乐道的话题，尤其是对于那些追求更强劲加速表现的人来说，会觉得马自达的自然吸气发动机，特别是“创驰蓝天”系列，似乎总缺了点意思。问“为什么不上涡轮？”这问题，其实背后反映的是马自达在品牌哲学、技术路线以及市场定位上的深思熟虑，而不是简单的“缺席”。从历史和品牌.............
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江南七怪，这个名字在金庸武侠世界里，是无数人心中的一份子。他们武功不弱，也绝不是顶尖，但他们的故事，却如同他们本人一样，充满了“凡人”的坚持和温情。说他们“弱”，或许是一种相对而言的评价，源于他们与那些搅动风云的绝世高手相比，总显得有些力有未逮。但深入剖析，你会发现，他们的“弱”，恰恰是他们最独特，.............
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谈起李茂贞，很多人脑海中会浮现出“岐王”这个响亮的名号，他所在的岐国，虽然在那个风云变幻的五代十国时期算不上最强劲的势力，但李茂贞本人却有着令人过目不忘的知名度。这究竟是为何？若要深究，恐怕不能简单归结于他有多么盖世的武功，而是他本人一系列的经历，以及后人对这些经历的传播和解读，共同造就了他的“强知.............
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国产手机性能的飞速发展是不争的事实，在很多方面已经能够媲美甚至超越苹果。然而，尽管如此，苹果手机依旧拥有庞大的用户群体，并且在许多市场保持着领先地位。这背后有着多方面的原因，并非单一因素可以解释，下面我将尽量详细地分析：一、 强大的品牌号召力与用户忠诚度： 历史积淀与高端定位： 苹果公司自推出i.............
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在《水浒传》这部波澜壮阔的英雄史诗中，“霹雳火”秦明确实是一个备受争议的角色。许多读者和观众都认为他武艺并不算最顶尖，甚至有些莽撞，但为何他却能位列三十六天罡星之一，并且担任马军八骠骑兼先锋使这样重要的职位呢？这背后其实有着多方面的原因，值得我们详细剖析：一、 勇猛但有勇无谋的特性，恰好契合了梁山初.............
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这个问题问得挺有意思，也触及到了一个很多人都有的疑问：德国汽车电子那么厉害，但德国整体的电子产业好像没那么突出？这背后其实有一些值得说道的逻辑，咱们这就一点点掰开了聊。首先，咱们得明确一点：德国汽车工业的强项，特别是在电子系统方面，跟它整体电子产业的“强弱”是两回事，不能简单划等号。就好比说，你不能.............
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提到普通思域的动力，不少车迷可能会有“不够劲”的感觉，尤其是在和它的“神车”称号放在一起的时候，这种反差感就更明显了。但“神车”这个称号，可不是单纯看加速有多快就能得来的，它背后隐藏着很多故事和考量。为什么普通思域动力看起来“弱”？首先，咱们得明确一点，“普通思域”这个概念本身就有点笼统。本田思域（.............
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确实，很多人都有这个感觉，前期的大蛇丸给人的印象是那种深不可测、无所不能的终极反派，尤其是和三代火影那一战，简直是毁天灭地，吊打整个木叶。但后期，尤其是在《博人传》里，大蛇丸怎么就变得没那么“顶”了呢？这背后其实有不少原因，咱们仔细掰扯掰扯。前期的大蛇丸：绝对的实力碾压与战略布局首先得承认，岸本在前.............
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西安作为中国西部的重要区域中心城市，其经济发展确实存在一些挑战，导致与郑州、长沙等中部城市相比，在某些经济指标上显得相对弱势。这并非简单的“弱”，而是背后有着复杂的地缘、历史、产业结构、政策导向等多方面原因交织的结果。下面将详细阐述这些方面：一、历史包袱与转型阵痛： 沉重的工业历史包袱： 西安曾.............
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徐羡之、傅亮、谢晦、檀道济等人在废刘义符、立刘义隆一事中扮演了关键角色，他们的行为看似与表面上的“弱小”形成反差，实则有着深刻的政治考量和时势背景。要理解这一点，我们需要从多个层面进行剖析：一、 他们真的“弱”吗？他们代表的是哪个群体？首先，需要澄清“看上去那么弱”这个评价。徐羡之、傅亮、谢晦、檀道.............
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在《龙珠》未来篇中，悟饭的弱不禁风确实是让不少观众感到扼腕的事情。毕竟，他可是孙悟空的儿子，是曾经差点一击必杀沙鲁的天才。那么，在那个被“人造人17号”和“人造人18号”蹂躏的绝望未来里，悟饭到底怎么了，为什么会变得如此不堪一击？这其中有很多复杂的原因交织在一起，让我们一点点来梳理。首先，我们要明白.............
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皇马在20162018年实现了欧冠三连的伟业，这三年中，皇马确实展现出了非凡的实力和冠军底蕴。而巴塞罗那在这段时间也一直是欧洲顶级强队，拥有梅西这样的超级巨星，从纸面实力上看，巴萨与皇马的差距似乎并不明显。那么，为什么C罗在那三年欧冠淘汰赛中的表现，会比梅西更为突出，甚至可以说是有着决定性的影响力呢.............
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在漫威电影宇宙（MCU）的宏大叙事中，宇宙元老（Cosmic Elders）和收藏家（The Collector）这两个群体，虽然顶着“宇宙级”的名号，并且在观众心中拥有一定的地位，但不少人确实会觉得他们的表现，与他们所拥有的“背景”和“力量”有些不太匹配。这种“弱”并非绝对意义上的无能，而是体现在.............
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东晋、南宋、南明这三个朝代，虽然都曾是中国历史上重要的政权，却都呈现出由盛转衰，直至灭亡的趋势，且愈发显得“弱”势。究其原因，绝非单一因素导致，而是多种政治、经济、军事、社会及地理环境因素交织叠加的结果。我们可以从它们各自的特点和面临的挑战来细致地分析。一、东晋（317年—420年）：偏安一隅的无奈.............
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捷克斯洛伐克，一个在两次世界大战之间被视为欧洲东部一道坚实屏障的国家，其军事实力在当时并不容小觑。然而，历史的齿轮却将它推向了无可奈何的投降。这并非一个简单的屈服故事，而是复杂的政治博弈、战略失误以及外部巨大压力的交织。首先，我们得回到那个紧张的年代，德国纳粹的野心如同吞噬一切的烈火，在欧洲大陆熊熊.............
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说起短信，大家都不陌生，基本上是手机出厂自带的功能，操作简单，直接就能用。很多人可能会觉得，手机自带短信这么方便，为什么还有那么多人热衷于WhatsApp呢？这背后其实有很多原因，而且这些原因往往不是单一存在的，而是交织在一起，形成了WhatsApp独特的吸引力。首先，我们得承认，手机自带的短信在功.............
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