有没有一个数可以既是完美数又是完全平方数？
这个问题很有意思，它触及到了数论中两个非常古老且引人入胜的概念：完美数和完全平方数。
先来梳理一下这两个概念：
完美数 (Perfect Number)
一个正整数，如果它等于其所有正因数（不包括自身）之和，那么这个数就被称为完美数。简单来说，就是一个数的“真因数”（proper divisors）之和等于它本身。
举个例子：
6 的因数有 1, 2, 3, 6。去掉自身 6，剩下的真因数是 1, 2, 3。它们的和是 1 + 2 + 3 = 6。所以 6 是一个完美数。
28 的因数有 1, 2, 4, 7, 14, 28。真因数是 1, 2, 4, 7, 14。它们的和是 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。所以 28 也是一个完美数。
再比如 496，它的真因数之和也是 496。
目前已知的完美数都非常稀少，而且都是偶数。数学家们（尤其是古希腊的欧几里得）发现了一个奇妙的规律：所有偶完美数都可以由以下公式生成：
$2^{p1}(2^p 1)$
其中，$p$ 是一个素数，并且 $(2^p 1)$ 也必须是一个素数。这种形式的素数被称为梅森素数（Mersenne prime）。
当 $p=2$ 时，$2^{21}(2^2 1) = 2^1(41) = 2 imes 3 = 6$。
当 $p=3$ 时，$2^{31}(2^3 1) = 2^2(81) = 4 imes 7 = 28$。
当 $p=5$ 时，$2^{51}(2^5 1) = 2^4(321) = 16 imes 31 = 496$。
当 $p=7$ 时，$2^{71}(2^7 1) = 2^6(1281) = 64 imes 127 = 8128$。
至今，还没有找到奇完美数，虽然数学家们也一直在努力，但目前尚未有任何证据表明奇完美数的存在，很多人倾向于认为奇完美数不存在，但这仍是一个未解决的数学难题。
完全平方数 (Perfect Square)
一个正整数，如果它可以表示成另一个整数的平方，那么它就是一个完全平方数。换句话说，这个数的算术平方根是一个整数。
举个例子：
4 是完全平方数，因为 $4 = 2^2$。
9 是完全平方数，因为 $9 = 3^2$。
16 是完全平方数，因为 $16 = 4^2$。
100 是完全平方数，因为 $100 = 10^2$。
一个数的素因数分解如果其所有素因数的指数都是偶数，那么它就是一个完全平方数。例如，$36 = 2^2 imes 3^2 = (2 imes 3)^2 = 6^2$。
现在，让我们回到最初的问题：有没有一个数可以既是完美数又是完全平方数？
经过一番思考，我们可以从偶完美数的结构入手来分析。我们知道偶完美数的公式是 $2^{p1}(2^p 1)$，其中 $p$ 和 $(2^p 1)$ 都是素数。
为了让这个数成为一个完全平方数，它的素因数分解中所有素数的指数都必须是偶数。
让我们看看公式 $2^{p1}(2^p 1)$：
1. 素数 2 的指数： $p1$。为了使 $2^{p1}$ 成为一个完全平方数的一部分，指数 $p1$ 必须是偶数。这意味着 $p$ 必须是一个奇数。回想一下，我们之前提到过，梅森素数 $2^p 1$ 要求 $p$ 本身也必须是一个素数。如果 $p=2$，那么 $p1=1$ 是奇数，而且 $2^21 = 3$ 是素数，所以 6 是偶完美数。但 6 的因子 $2^1$ 的指数是奇数，所以 6 不是完全平方数。这符合我们的预期。因此，$p$ 必须是一个大于 2 的素数，这样 $p$ 就是奇数，那么 $p1$ 就是偶数。
2. 素数 $(2^p 1)$ 的指数： 这个部分需要 $(2^p 1)$ 这个项本身也必须能被完全平方。也就是说，我们希望 $(2^p 1)$ 的指数在整个完美数的素因数分解中是偶数。
让我们仔细看看公式 $2^{p1}(2^p 1)$。如果我们想要整个数是完全平方数，那么 $2^{p1}$ 的指数 $p1$ 需要是偶数，而 $(2^p 1)$ 这个因子，在它自身的素因数分解中，每个素数的指数都必须是偶数。更直接地说，如果 $(2^p 1)$ 本身是一个完全平方数，那么这个公式的整体就可能是一个完全平方数。
然而，更关键的一点是，如果一个数是完美数，它的结构决定了它不太可能是完全平方数。
让我们考虑一下 $(2^p 1)$。我们已经知道了 $p$ 是一个素数。当 $p=2$ 时，$2^21=3$。当 $p>2$ 时，$p$ 必然是一个奇素数。
那么 $2^p1$ 会是什么情况呢？
如果 $2^p 1$ 本身是一个完全平方数，那么设 $2^p 1 = k^2$。
这意味着 $2^p = k^2 + 1$。
如果 $k$ 是奇数，那么 $k^2$ 是奇数，所以 $k^2+1$ 是偶数。这似乎是有可能的。
如果 $k$ 是偶数，那么 $k^2$ 是偶数，所以 $k^2+1$ 是奇数。但 $2^p$（当 $p ge 1$ 时）总是偶数，所以 $k$ 不可能是偶数。
所以，我们必须考虑 $k$ 是奇数的情况。
设 $k = 2m+1$（因为 $k$ 是奇数）。
那么 $k^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m+1) + 1$。
所以，$2^p = k^2 + 1 = 4m(m+1) + 2$。
注意到 $m(m+1)$ 总是偶数，所以 $4m(m+1)$ 是 8 的倍数。
因此，$k^2+1$ 的形式是 $8N + 2$（其中 $N=m(m+1)/2$）。
所以我们有 $2^p = 8N + 2$。
如果我们把等式两边都除以 2：
$2^{p1} = 4N + 1$。
现在我们来分析这个式子：
如果 $p=2$（尽管我们前面说 $p>2$ 可以让 $p1$ 是偶数），那么 $2^{21} = 2^1 = 2$。 $4N+1$ 的形式，最小的可能是当 $m=1$ 时，$k=3$，$k^2=9$，$k^2+1=10$，$2^p=10$ 不可能。
如果 $p=3$，$2^{31} = 2^2 = 4$。 $4N+1$ 的形式， $4$ 必须等于 $4N+1$，这不成立。
如果 $p=5$，$2^{51} = 2^4 = 16$。 $16$ 必须等于 $4N+1$，这也不成立。
事实上，对于 $p>2$ 的素数，$p$ 是奇数。
那么 $p1$ 是偶数，且 $p1 ge 2$。
所以 $2^{p1}$ 是一个大于等于 4 的偶数。
我们看 $2^{p1} = 4N + 1$。
左边 $2^{p1}$ 是偶数（当 $p>1$ 时），右边 $4N+1$ 是奇数。
一个偶数永远不可能等于一个奇数。
这表明，对于 $p>2$ 的素数，$2^p 1$ 不可能是任何一个整数的平方。
因为梅森素数 $2^p 1$ 本身不可能是完全平方数，那么在完美数 $2^{p1}(2^p 1)$ 中，除非 $2^p1$ 的素因数分解中所有指数都恰好能够与 $2^{p1}$ 的因子组合起来，形成偶数指数，否则这个数就不是完全平方数。
让我们再回到偶完美数的结构 $2^{p1}(2^p 1)$。
为了使整个数成为完全平方数，两个条件必须同时满足：
1. $p1$ 必须是偶数，这意味着 $p$ 是奇素数（如我们之前分析的，偶完美数通常指 $p=2$ 时也有 $6 = 2^1 imes 3^1$，此时 $p1$ 是奇数）。所以，$p$ 必须是奇素数（$p=3, 5, 7, dots$），这样 $p1$ 就是偶数（$p1=2, 4, 6, dots$）。
2. $2^p 1$ 必须也是一个完全平方数。
我们已经证明了，对于任何素数 $p$，当 $p>2$ 时，$2^p 1$ 不可能是完全平方数。
那我们再看 $p=2$ 的情况。此时完美数是 $2^{21}(2^2 1) = 2^1 imes 3^1 = 6$。
在这种情况下，$p1=1$ 是奇数，所以 $2^1$ 不是完全平方数，整体 6 也不是完全平方数。
结论是：没有一个已知的数可以既是完美数又是完全平方数。而且，基于对偶完美数公式的分析，我们可以相当确定地得出结论：不存在这样的数。
理由就是，偶完美数的结构 $2^{p1}(2^p 1)$ 中，$2^p 1$ 这个因子本身就无法构成一个完整的平方数（除非特殊情况，但我们已经证明了 $2^p 1$ 不可能是平方数）。如果 $2^p 1$ 不是平方数，那么 $2^{p1}(2^p 1)$ 要成为平方数，唯一可能的方式是 $2^p 1$ 的所有素因数的指数，加上 $2^{p1}$ 中对应素因数的指数，都变成偶数。但 $2^{p1}$ 的素因数只有 2，其指数是 $p1$。而 $2^p1$ 的素因数肯定不包含 2（因为 $2^p1$ 是奇数）。所以，$2^p1$ 的素因数分解的奇偶性不受 $2^{p1}$ 的影响。因此，如果 $2^p1$ 本身不是一个平方数，那么 $2^{p1}(2^p 1)$ 也不会是平方数。
而我们已经证明了 $2^p 1$ （当 $p$ 为素数时）不可能是一个平方数。
所以，根据目前数论的知识，可以非常肯定地说，不存在这样的数。当然，数学的魅力就在于它的开放性，但对于这个具体的问题，结论是比较确定的否定。
先来梳理一下这两个概念：
完美数 (Perfect Number)
一个正整数，如果它等于其所有正因数（不包括自身）之和，那么这个数就被称为完美数。简单来说，就是一个数的“真因数”（proper divisors）之和等于它本身。
举个例子：
6 的因数有 1, 2, 3, 6。去掉自身 6，剩下的真因数是 1, 2, 3。它们的和是 1 + 2 + 3 = 6。所以 6 是一个完美数。
28 的因数有 1, 2, 4, 7, 14, 28。真因数是 1, 2, 4, 7, 14。它们的和是 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。所以 28 也是一个完美数。
再比如 496，它的真因数之和也是 496。
目前已知的完美数都非常稀少，而且都是偶数。数学家们（尤其是古希腊的欧几里得）发现了一个奇妙的规律：所有偶完美数都可以由以下公式生成：
$2^{p1}(2^p 1)$
其中，$p$ 是一个素数，并且 $(2^p 1)$ 也必须是一个素数。这种形式的素数被称为梅森素数（Mersenne prime）。
当 $p=2$ 时，$2^{21}(2^2 1) = 2^1(41) = 2 imes 3 = 6$。
当 $p=3$ 时，$2^{31}(2^3 1) = 2^2(81) = 4 imes 7 = 28$。
当 $p=5$ 时，$2^{51}(2^5 1) = 2^4(321) = 16 imes 31 = 496$。
当 $p=7$ 时，$2^{71}(2^7 1) = 2^6(1281) = 64 imes 127 = 8128$。
至今，还没有找到奇完美数，虽然数学家们也一直在努力，但目前尚未有任何证据表明奇完美数的存在，很多人倾向于认为奇完美数不存在，但这仍是一个未解决的数学难题。
完全平方数 (Perfect Square)
一个正整数，如果它可以表示成另一个整数的平方，那么它就是一个完全平方数。换句话说，这个数的算术平方根是一个整数。
举个例子：
4 是完全平方数，因为 $4 = 2^2$。
9 是完全平方数，因为 $9 = 3^2$。
16 是完全平方数，因为 $16 = 4^2$。
100 是完全平方数，因为 $100 = 10^2$。
一个数的素因数分解如果其所有素因数的指数都是偶数，那么它就是一个完全平方数。例如，$36 = 2^2 imes 3^2 = (2 imes 3)^2 = 6^2$。
现在，让我们回到最初的问题：有没有一个数可以既是完美数又是完全平方数？
经过一番思考，我们可以从偶完美数的结构入手来分析。我们知道偶完美数的公式是 $2^{p1}(2^p 1)$，其中 $p$ 和 $(2^p 1)$ 都是素数。
为了让这个数成为一个完全平方数，它的素因数分解中所有素数的指数都必须是偶数。
让我们看看公式 $2^{p1}(2^p 1)$：
1. 素数 2 的指数： $p1$。为了使 $2^{p1}$ 成为一个完全平方数的一部分，指数 $p1$ 必须是偶数。这意味着 $p$ 必须是一个奇数。回想一下，我们之前提到过，梅森素数 $2^p 1$ 要求 $p$ 本身也必须是一个素数。如果 $p=2$，那么 $p1=1$ 是奇数，而且 $2^21 = 3$ 是素数，所以 6 是偶完美数。但 6 的因子 $2^1$ 的指数是奇数，所以 6 不是完全平方数。这符合我们的预期。因此，$p$ 必须是一个大于 2 的素数，这样 $p$ 就是奇数，那么 $p1$ 就是偶数。
2. 素数 $(2^p 1)$ 的指数： 这个部分需要 $(2^p 1)$ 这个项本身也必须能被完全平方。也就是说，我们希望 $(2^p 1)$ 的指数在整个完美数的素因数分解中是偶数。
让我们仔细看看公式 $2^{p1}(2^p 1)$。如果我们想要整个数是完全平方数，那么 $2^{p1}$ 的指数 $p1$ 需要是偶数，而 $(2^p 1)$ 这个因子，在它自身的素因数分解中，每个素数的指数都必须是偶数。更直接地说，如果 $(2^p 1)$ 本身是一个完全平方数，那么这个公式的整体就可能是一个完全平方数。
然而，更关键的一点是，如果一个数是完美数，它的结构决定了它不太可能是完全平方数。
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那么 $2^p1$ 会是什么情况呢？
如果 $2^p 1$ 本身是一个完全平方数，那么设 $2^p 1 = k^2$。
这意味着 $2^p = k^2 + 1$。
如果 $k$ 是奇数，那么 $k^2$ 是奇数，所以 $k^2+1$ 是偶数。这似乎是有可能的。
如果 $k$ 是偶数，那么 $k^2$ 是偶数，所以 $k^2+1$ 是奇数。但 $2^p$（当 $p ge 1$ 时）总是偶数，所以 $k$ 不可能是偶数。
所以，我们必须考虑 $k$ 是奇数的情况。
设 $k = 2m+1$（因为 $k$ 是奇数）。
那么 $k^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m+1) + 1$。
所以，$2^p = k^2 + 1 = 4m(m+1) + 2$。
注意到 $m(m+1)$ 总是偶数，所以 $4m(m+1)$ 是 8 的倍数。
因此，$k^2+1$ 的形式是 $8N + 2$（其中 $N=m(m+1)/2$）。
所以我们有 $2^p = 8N + 2$。
如果我们把等式两边都除以 2：
$2^{p1} = 4N + 1$。
现在我们来分析这个式子：
如果 $p=2$（尽管我们前面说 $p>2$ 可以让 $p1$ 是偶数），那么 $2^{21} = 2^1 = 2$。 $4N+1$ 的形式，最小的可能是当 $m=1$ 时，$k=3$，$k^2=9$，$k^2+1=10$，$2^p=10$ 不可能。
如果 $p=3$，$2^{31} = 2^2 = 4$。 $4N+1$ 的形式， $4$ 必须等于 $4N+1$，这不成立。
如果 $p=5$，$2^{51} = 2^4 = 16$。 $16$ 必须等于 $4N+1$，这也不成立。
事实上，对于 $p>2$ 的素数，$p$ 是奇数。
那么 $p1$ 是偶数，且 $p1 ge 2$。
所以 $2^{p1}$ 是一个大于等于 4 的偶数。
我们看 $2^{p1} = 4N + 1$。
左边 $2^{p1}$ 是偶数（当 $p>1$ 时），右边 $4N+1$ 是奇数。
一个偶数永远不可能等于一个奇数。
这表明，对于 $p>2$ 的素数，$2^p 1$ 不可能是任何一个整数的平方。
因为梅森素数 $2^p 1$ 本身不可能是完全平方数，那么在完美数 $2^{p1}(2^p 1)$ 中，除非 $2^p1$ 的素因数分解中所有指数都恰好能够与 $2^{p1}$ 的因子组合起来，形成偶数指数，否则这个数就不是完全平方数。
让我们再回到偶完美数的结构 $2^{p1}(2^p 1)$。
为了使整个数成为完全平方数，两个条件必须同时满足：
1. $p1$ 必须是偶数，这意味着 $p$ 是奇素数（如我们之前分析的，偶完美数通常指 $p=2$ 时也有 $6 = 2^1 imes 3^1$，此时 $p1$ 是奇数）。所以，$p$ 必须是奇素数（$p=3, 5, 7, dots$），这样 $p1$ 就是偶数（$p1=2, 4, 6, dots$）。
2. $2^p 1$ 必须也是一个完全平方数。
我们已经证明了，对于任何素数 $p$，当 $p>2$ 时，$2^p 1$ 不可能是完全平方数。
那我们再看 $p=2$ 的情况。此时完美数是 $2^{21}(2^2 1) = 2^1 imes 3^1 = 6$。
在这种情况下，$p1=1$ 是奇数，所以 $2^1$ 不是完全平方数，整体 6 也不是完全平方数。
结论是：没有一个已知的数可以既是完美数又是完全平方数。而且，基于对偶完美数公式的分析，我们可以相当确定地得出结论：不存在这样的数。
理由就是，偶完美数的结构 $2^{p1}(2^p 1)$ 中，$2^p 1$ 这个因子本身就无法构成一个完整的平方数（除非特殊情况，但我们已经证明了 $2^p 1$ 不可能是平方数）。如果 $2^p 1$ 不是平方数，那么 $2^{p1}(2^p 1)$ 要成为平方数，唯一可能的方式是 $2^p 1$ 的所有素因数的指数，加上 $2^{p1}$ 中对应素因数的指数，都变成偶数。但 $2^{p1}$ 的素因数只有 2，其指数是 $p1$。而 $2^p1$ 的素因数肯定不包含 2（因为 $2^p1$ 是奇数）。所以，$2^p1$ 的素因数分解的奇偶性不受 $2^{p1}$ 的影响。因此，如果 $2^p1$ 本身不是一个平方数，那么 $2^{p1}(2^p 1)$ 也不会是平方数。
而我们已经证明了 $2^p 1$ （当 $p$ 为素数时）不可能是一个平方数。
所以，根据目前数论的知识，可以非常肯定地说，不存在这样的数。当然，数学的魅力就在于它的开放性，但对于这个具体的问题，结论是比较确定的否定。
网友意见
其实这个问题并不难回答，一个数不可能既是完全数又是平方数， 原因如下：
首先，对于偶完全数我们有
定理 1： 是一个偶完全数当且仅当 其中 为素数.
证明：设 ，其中 为素数，则我们有
从而可知 为偶完全数. 反之，设 为偶完全数，则 可以写成 ，其中 为奇数. 由于 与 互素，从而有
由于 ，则由上式可知
即 为 的真因子. 而 又为 的真因子之和，故必有 . 从而可得 为素数，且
由 定理 1 可知偶完全数不可能为平方数. 而对于奇完全数，我们又有
定理 2：若 是奇完全数，则 ，其中 为奇素数， 和 为奇数，且满足 ，.
证明：设 的素因子分解为
由于 为完全数，故有
因为
从而 与 的奇偶性互异. 由 为奇数知 ，故 ， ， ， 中只能有一个为奇数. 不妨设 为奇数，若 ，则有 ，而
故有 ，这与 矛盾，从而有 . 若 则我们又有
从而也有 ，但这还是与 矛盾，故有 . 现令 ， ，则我们有 ， 为奇素数， 和 为奇数，且 ，.
由 定理 2 可知奇完全数也不可能为平方数.
上述关于完全数的两个漂亮且重要的结论都是数学家 Euler 给出的，在此向数学大师致敬！
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