自适应控制改变控制参数的依据是什么？
下面我将详细阐述这个依据是如何运作的，并涉及自适应控制的几个关键方面：
1. 系统性能与参考模型/目标性能的差异：
核心驱动力： 自适应控制的根本目的是使被控系统（Plant）的输出或行为，尽可能地跟踪一个预设的参考信号（Reference Signal），或者达到某个理想的性能指标。
性能衡量： 这种“性能”可以有很多种衡量方式，最常见的是：
输出跟踪误差（Tracking Error）： 被控系统的实际输出（y）与参考模型输出（yr）之间的差值，即 e = yr y。
系统响应特性： 如响应速度（上升时间、调节时间）、超调量、稳态误差等。
鲁棒性： 在存在干扰或参数变化时，系统仍然能够保持较好的性能。
参考模型（Reference Model）： 在许多自适应控制策略中，会引入一个“参考模型”。这个参考模型是一个理想的动力学模型，它描述了我们希望被控系统达到的理想响应。例如，一个二阶系统可以被指定为一个具有特定阻尼比和自然频率的参考模型。
目标性能（Target Performance）： 有些自适应控制并不直接使用参考模型，而是根据一组预设的性能指标来评估当前系统的表现，并尝试优化这些指标。例如，最小化能源消耗、最大化产量等。
2. 为什么需要改变控制参数？
系统性能偏离预期通常是由于以下原因：
系统模型不确定性（Model Uncertainty）： 在设计控制器时，我们通常会基于一个简化的、线性的系统模型。然而，实际系统往往是非线性的、时变的，并且其参数（如质量、阻尼、增益等）可能与模型预测的有很大差异。
系统参数变化（Parameter Variation）： 随着时间的推移，被控系统的物理特性可能会发生变化。例如，一个机械臂的负载可能会改变，一个飞机的翼型可能会因为磨损而变化，一个化学反应的反应速率可能会因为催化剂的衰减而变化。
外部干扰（External Disturbances）： 系统可能会受到未知的外部干扰，这些干扰会偏离系统的正常运行轨迹。
未建模动态（Unmodeled Dynamics）： 在模型简化过程中，一些重要的动态特性可能被忽略了，但它们在实际系统中却可能对性能产生显著影响。
当这些因素存在时，固定的、基于固定参数设计的控制器将无法保证预期的系统性能。
3. 自适应控制参数调整的依据（核心机制）：
自适应控制通过一个 “自适应律”（Adaptive Law）来不断地调整控制器的参数。这个自适应律的作用就是利用系统性能的误差来指导参数的更新。具体来说，调整的依据是：
误差信号（Error Signal）： 如前所述，最直接的依据是系统输出与参考模型输出之间的误差 e(t) = yr(t) y(t)。
误差信号的导数或积分： 有时，仅仅依靠误差本身可能不足以快速准确地调整参数。引入误差的导数或积分可以提供更丰富的信息，例如，误差的导数指示了误差变化的趋势。
系统实际输出（Actual System Output）： 系统本身的实际输出y(t)也是重要的依据，因为它反映了系统当前的动态特性。
参考信号（Reference Signal）： 参考信号的幅值和变化率也会影响参数调整的方向和速度。
控制器当前参数值： 参数的更新通常是基于当前参数值进行的，以确保调整是渐进的、稳定的。
4. 自适应律是如何工作的？
自适应律本质上是一个 反馈控制结构，用于调整控制器参数。 它可以被看作是在“参数空间”中运行的一个控制器。最常见的自适应律类型包括：
梯度下降法（Gradient Descent）： 假设存在一个性能指标 J，它与误差有关（例如，J = 1/2 e^2）。自适应律会尝试减小 J。根据梯度下降的原理，参数 θ 的更新方向与 J 对 θ 的偏导数成负相关：
$$ frac{d heta}{dt} = gamma frac{partial J}{partial heta} $$
其中 γ 是一个增益（学习率），控制参数更新的速度。对于一个简单的跟踪误差 J = 1/2 e^2，其导数是：
$$ frac{partial J}{partial heta} = e frac{partial e}{partial heta} $$
这个 $frac{partial e}{partial heta}$ 项，即误差相对于参数的变化率，是自适应控制算法设计中的关键。它需要通过对系统模型和控制器结构进行分析来获得。
基于Lyapunov稳定性理论的自适应律： 许多自适应控制的设计都严格基于Lyapunov稳定性理论。通过构造一个Lyapunov函数，该函数的值随着系统和参数误差的减小而减小，从而保证了系统的渐近稳定性。当误差和参数偏差存在时，Lyapunov函数的值会上升，而自适应律的设计目标就是通过更新参数来使Lyapunov函数的值下降。
最小二乘法（Least Squares）： 当系统模型可以表示为线性形式，并且我们试图估计模型的参数时，可以使用最小二乘法。自适应控制中的参数估计可以看作是持续进行的最小二乘问题。
5. 参数调整的示例（以一个简单的PID控制器为例）：
考虑一个需要自适应调整的PID控制器：
$$ u(t) = K_p e(t) + K_i int e(t) dt + K_d frac{de(t)}{dt} $$
其中 $K_p, K_i, K_d$ 是待调整的参数。
自适应控制器的目标是，即使系统参数发生变化（例如增益 G 发生变化），也能让被控系统输出 y(t) 跟踪参考信号 yr(t)。
自适应律的依据可能如下：
误差 e(t) = yr(t) y(t)。
假设我们希望系统达到参考模型 $G_m$ 的响应。
自适应律会计算一个中间信号，例如：
$$ phi(t) = e(t) $$
$$ psi(t) = int e(t) dt $$
$$ xi(t) = frac{de(t)}{dt} $$
然后，根据一个预先推导出的自适应律（例如，基于梯度下降或Lyapunov稳定性），参数会被更新：
$$ frac{dK_p}{dt} = gamma_p phi(t) cdot ext{signal} $$
$$ frac{dK_i}{dt} = gamma_i psi(t) cdot ext{signal} $$
$$ frac{dK_d}{dt} = gamma_d xi(t) cdot ext{signal} $$
这里的 "signal" 是一个复杂的项，它包含了系统当前的输出、参考信号、以及对误差对参数敏感度的估计。这个“signal”的推导是自适应控制设计中最具挑战性的部分。它需要充分利用系统的模型信息（即使是部分已知或假设的）来计算。
例如，在一个著名的“模型参考自适应系统”（MRAS）中，自适应律可能直接与误差信号及其对控制器增益的敏感度相关联。
总结一下自适应控制改变控制参数的依据：
1. 测量系统实际性能： 通过传感器获取系统的实际输出 y(t)。
2. 计算性能误差： 将实际输出与理想性能（参考模型输出 yr(t) 或目标性能指标）进行比较，得到误差信号 e(t)。
3. 估计误差对参数的敏感度： 分析系统模型和控制器结构，计算出误差 e(t) 如何随控制器参数 θ 的变化而变化 ($frac{partial e}{partial heta}$ 或类似项)。
4. 应用自适应律： 利用误差信号 e(t) 和其对参数的敏感度信息，通过预先设计的自适应律（如梯度下降、Lyapunov方法等）来更新控制器的参数。
5. 持续迭代： 这个过程是持续进行的，使得控制器参数能够不断地调整，以应对系统模型不确定性、参数变化和外部干扰，从而维持或改善系统性能。
关键点在于，自适应控制并不是随机地改变参数，而是有目的地、系统性地根据系统反馈的信息（即性能误差）来调整参数，以驱动系统行为趋向于期望的目标。
网友意见
Adaptive Control主要是为了在模型参数不确定的情况下保证系统的稳定性。
特点是参数随时间可变。设计思路主要是凑李雅普诺夫(Lyapunov)函数！当然也有些具体问题的调节办法。下面给的链接第6章里介绍了估计参数的一些实际方法，比如
@冷哲提到的model reference control。许多Adaptive控制的式子看起来非常复杂，其实都是“凑出来”的，不用太纠结细节，只要知道每种办法想要凑成的Lyapunov函数就行了。
如果你学过一点Lyapunov理论，下面这个例子应该是很容易看懂的。
考虑简单一阶系统：,
如果我们知道a的值，那只要加一个简单负反馈，系统就稳定了()。
但万一不知道a的具体值域，我们可以用参数k来估计a的值，并且让参数k随时间变化：
.
把这个控制器带入系统原方程得到：
。
后面会证明系统稳定。
你可能会想，这个是怎么来的？从原理上说，这么设计的意思是这样的：我们想让x稳定，即x趋于0，需要()为负。所以k越大系统越稳定。
万一系统不稳定，那么 (i) 会随时间变得很大，(ii) 需要增加k的值使得系统稳定。
我们把两个问题结合起来，让k的变化率决定于。这样k在系统不稳定的时候快速增大，就能保证系统的稳定性。
但这只是原理，同样的原理你可以把设计成比如甚至。
为什么大家喜欢用平方呢？因为有个很常用的二阶Lyapunov函数把这种设计的稳定性证明了。
尝试如下Lyapunov函数，
，
求导得到,所以系统稳定。不仅如此，结合Lasalle's invariant principle还可以证明k会稳定的估计未知参数a的值。
很多调节的方法也都是凑出来的。
另外楼主说的国内教材问题我真是给32个赞。国内控制论教科书基本写得乱七八糟，跟国外的教材完全不能比。Adaptive control入门可以参考Danial Liberzon的课件，写得很清晰。
http:// liberzon.csl.illinois.edu /teaching/13ece517notes.pdf
先搬运维基
自适应控制，要明了自适应解决的是什么一个问题：是被控对象参数具有不确定性，或随时间发生变化时，如何保证控制性能的问题；进而也要区分鲁棒控制和自适应控制两种解决方案的优劣。
“自适应控制 （en:Adaptive control）是一种对系统参数的变化具有适应能力的控制方法。在一些系统中，系统的参数具有较大的不确定性，并可能在系统运行期间发生较大改变……虽然传统控制方法（即基于时不变假设Non-Time-Variant Assumption的控制方法）具有一定的对抗系统参数变化的能力，但是当系统参数发生较大变化时，传统控制方法的性能就会出现显著的下降，甚至产生发散。”
最简单的例子就是：对象本身的增益增大了K倍，那控制器的增益就应该变成原来的1/K。但如何知道对象本身的增益变化呢？就演变成了
@冷哲提到的两种基本方案：一种叫模型参考自适应控制，不论你对象本身如何，控制器是让被控对象始终跟随参考模型输出；一种是对被控对象进行辨识，估计出其增益变化。
我不知道你说的书是什么，但是一般基础的自适应控制书籍都是从这两种最基本的讲开，数学也并不算复杂。而任何控制有关的，稳定性证明都是重中之重，数学多是再正常不过。
@冷哲回答中提到了自适应控制器就是对控制器的控制，实际上就是有两重闭环，其稳定性分析自然会更复杂一些。当然有不少书也就是文献汇总类的，或者作者本身high level的理解能力有限，不能抓住问题本质，化繁为简，这些人许多也能写出很多公式的文章，不过嘛...不继续吐槽了
自适应控制可分为直接自适应控制和间接自适应控制。
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直接自适应控制是说控制增益直接通过误差计算获得。这种方案在线性控制系统上比较常见。因为这有明确可以遵循的设计方法。你可以把它理解为对控制系统的控制。换言之控制系统使输出量收敛到指定值，而整个自适应系统则使得输出量的收敛过程收敛到某一组指定的参数。这种方法的好处是可以从数学上保证稳定和收敛。缺点在于非线性系统上非常难以设计。
对于这种算法来说，控制参数改变的依据在于输出量收敛过程与预期收敛过程的差异。
就类似于，对PID控制系统调参的时候，发现输出信号的上升时间太长，就把P增益调高一点。
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间接自适应控制是说设计一种控制器，其中用到了系统参数，而参数则通过参数辨识算法计算获得。因此控制增益并不直接被调整，而是通过辨识得到的参数间接调整。这种方法优点在于设计比较简单，控制器设计和参数辨识都有很成熟的方法，两相综合即可。缺点在于常常难以从数学上证明稳定和收敛。
这种自适应控制器调整控制增益的依据在于辨识获得的系统模型参数（控制增益是基于这些参数的函数）。
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