一个计数器，按下一次有50%概率+1，有50%概率-1，平均按下多少次可以使结果为8？

这个问题挺有意思的，我们可以从数学的角度来好好捋一捋。

咱们先给这个计数器起个名字，就叫它“随机计步器”吧。这个计步器有一个很明显的特点：每次启动（也就是你按下按钮），它都会在两个方向上随机走一步。往好了说，是加一；往坏了说，是减一。而且，这两个结果出现的几率是完全一样的，各占一半。

咱们的目标是让这个“随机计步器”最终显示数字 8。你想啊，这就像是在走一个人生路，时而顺利，时而遇到点小坎坷。我们想知道，平均来说，得走多少步才能“抵达”目标终点 8。

想清楚这个问题的关键在于“平均”这个词。 这不是说按下一次就一定能加一或者减一，而是我们做了很多很多次这样的“计步”实验，然后把所有实验的总步数加起来，再除以实验的次数。得到的就是平均值。

为了更容易理解，我们可以引入一点数学上的概念，但尽量不说得太“学究气”。

我们可以这样想：

假设我们现在处于数字 0 的位置。我们每次按下按钮，都相当于在一条数轴上随机跳跃。

如果跳到 +1 的位置，我们就往前走了一步。
如果跳到 1 的位置，我们就往后退了一步。

我们想知道，平均需要跳多少次，才能“抵达”数字 8 的位置。

这其实是一个经典的“随机游走”问题。 在数学上，有一个概念叫做“期望值”。简单来说，期望值就是一件事情平均会发生多少次，或者平均会得到什么结果。

对于我们的“随机计步器”，每一次操作（按下按钮）的“期望值”是多少呢？

有 50% 的概率得到 +1
有 50% 的概率得到 1

所以，平均每一次操作的结果是： (0.5 +1) + (0.5 1) = 0.5 0.5 = 0。

哎，等等，这好像有点奇怪！ 平均每次操作的结果是 0，这说明这个计数器整体上没有前进或者后退的趋势。那怎么才能到达 8 呢？

这里就需要区分“单次操作的期望值”和“到达特定状态所需的总操作期望值”。

咱们换个角度来想。如果我们想从 0 到达 8，我们必须最终得到的净增加值是 8。也就是说，我们加一的操作次数减去减一的操作次数，最终必须是 8。

设：
$N$ 为我们按下的总次数。
$N_+$ 为按下后计数器变为 +1 的次数。
$N_$ 为按下后计数器变为 1 的次数。

那么，我们知道：
1. $N_+ + N_ = N$ （总次数等于加一的次数加上减一的次数）
2. $N_+ N_ = 8$ （最终结果是 8，也就是加一的总量减去减一的总量）

我们可以解这个方程组。从第二个式子，我们可以得到 $N_+ = N_ + 8$。
把这个代入第一个式子：
$(N_ + 8) + N_ = N$
$2N_ + 8 = N$
所以，$N_ = frac{N 8}{2}$

同理，从第二个式子，$N_ = N_+ 8$。
代入第一个式子：
$N_+ + (N_+ 8) = N$
$2N_+ 8 = N$
所以，$N_+ = frac{N + 8}{2}$

关键来了！ 由于每次按下按钮，加一和减一的概率都是 50%，从长期来看，我们期望 $N_+$ 大约等于 $N_$。
也就是说，我们期望按下 $N$ 次后，加一的次数大约是 $N/2$，减一的次数也大约是 $N/2$。

如果 $N_+ approx N/2$ 并且 $N_ approx N/2$，那么 $N_+ N_$ 就会接近于 0，而不是 8。这说明，仅仅依靠这个概率比例来直接计算到达 8 所需的次数，似乎也不是最直接的方法。

让我们回到“平均”这个概念，用一个更直观的思路。

这个问题其实是在问“从 0 到达 8 的平均路径长度”。在某些随机游走的问题中，特别是当目标状态是吸收态（一旦到达就出不来了）时，我们可以考虑一个更简单的模型。

如果目标是到达 +1，我们知道平均需要两次。因为两次可能的结果是 (+1, +1)，(+1, 1)，(1, +1)，(1, 1)。 只有前两种情况能让我们到达 +1。平均来看，是两次操作中，有一次是 +1，一次是 1，净值为 0。

换一个角度思考：

想象一下，每次我们按下按钮，都是在“做功”。我们的目标是累积 8 个“正功”。每次按下按钮，我们平均“做功”是多少？是 (0.5 1) + (0.5 1) = 0。

但是，我们需要的不是平均“做功”为 8，而是最终净结果为 8。

有一个非常重要的性质叫做“对称性”。

对于一个从 0 开始的随机游走，如果每次跳跃的期望值为 0，那么到达一个正数（比如 8）或者到达一个负数（比如 8）的平均步数是相同的。

这里需要引入一个被称为“期望到达时间”的概念。对于一个从 $k$ 状态（比如 0）到目标状态 $T$（比如 8）的随机游走，如果每次步骤的期望值是 $E[Delta X] = 0$，那么从 0 到达 8 的平均步数，跟从 8 到达 0（如果允许负向游走的话）的平均步数，或者从 0 到达 8 的平均步数，这些都是有联系的。

最简单直接的解释思路是这样的：

假设我们要到达的目标是距离当前位置为 $k$ 的某个点。我们的每一步平均能向前推进多少呢？在这个例子里，似乎是零。

但我们要到达的是一个“定值” 8，而不是一个期望值。

对于这种从 0 开始的随机游走，目标是到达一个非零值 $n$，并且每一步的期望值是 0，那么到达 $n$ 所需的平均步数是无穷大。

为什么是无穷大呢？

因为每一次的增量都是随机的，你可能会一直在 0 附近徘徊。虽然有时候会走到 1，有时候会走到 2，但同样也有可能走到 1，2。你最终能够到达 8 的概率虽然不是零，但平均来说，需要非常非常多的步骤。

让我换个更直观的方式来解释一下这个“无穷大”的结论，或者说为什么它不像你直觉想的“8 除以每次平均前进多少”那样简单。

想象一下你在一个很宽阔的平原上，你原地踏步（前面说了，平均每次踏步相当于原地不动）。你的目标是走到远处的一座山峰（代表数字 8）。你总会往前迈一两步，但也可能往后退一两步。虽然你一直在尝试前进，但后退的可能性同样存在。

你可能会问：“我每次有 50% 的机会前进，那是不是平均前进一半的概率就够了？”
问题在于，你每次前进的同时，也可能同时后退。你的净位移才关键。

更精确的说法是：

对于一个从 0 开始，每一步随机加 1 或减 1（概率各 1/2）的随机游走，从 0 到达任意非零整数 $k$ 的期望到达时间（平均步数）是无穷大。

这是因为，虽然有到达 $k$ 的可能性，但是你也有可能永远在 0 附近徘徊，或者不断地在正负值之间来回振荡，而无法真正“固定”地到达 $k$。

这听起来可能有点反直觉。 很多人会想，既然有 50% 的机会加一，那是不是我按 8 次就差不多了？如果运气好，一直按到 +1，那 8 次就到了。但运气不好，一直按到 1，那永远也到不了。我们说的是“平均”情况。

这里涉及到随机过程理论中的一个重要概念：极限分布。 对于这种每一步期望值为零的随机游走，它的极限分布是扩散的，而不是收敛到某个特定值的。

但是，等等！ 我的回答是不是有点太绝对了？是不是我理解错了问题的意图？

让我想想，有没有什么情况下的答案会是有限的？

如果问题是“平均需要多少次才能至少达到 8”，或者“平均需要多少次才能第一次达到 8”，那答案可能会有所不同。但是，就字面意思“使结果为 8”而言，这是一个 吸收态 的问题。

让我们重新审视一下，是不是我把问题想得太复杂了，或者我漏掉了什么关键的“常识性”假设。

在很多关于计数器的问题中，特别是那些看似简单的“+1/1”模型，往往存在一个更“实际”或者说更符合常见问法的解读。

假设一种更贴合日常理解的解读：

如果我们把这个问题理解成，我们希望最终的“净得分”是 8 分。每一次得分是 +1，扣分是 1。平均每次操作，你的得失是 0。

但是，这依然没有改变“期望到达时间为无穷大”的数学结论。

有没有可能，我应该从另一个角度考虑？比如，每次操作，你都在“投资”你的步数。

让我换个思路，尝试一个和前面不太一样的角度。

如果我们考虑的是从 0 走到一个特定的目标值，而且每一步都是随机的，并且平均步长的期望为 0。

试想一下，我们想要达到 8 的目标。我们总共需要净增加 8。假设我们按了 $N$ 次，其中 $N_+$ 次是 +1， $N_$ 次是 1。
我们知道 $N_+ N_ = 8$。
同时，$N_+ + N_ = N$。
所以，$N_+ = (N+8)/2$，$N_ = (N8)/2$。

对于一个二项分布（每次是 +1 还是 1），其均值是 $N imes 0 = 0$。方差是 $N imes 1^2 imes (1 (1/2)^2) = N imes 1 imes (1/2) = N/2$。（这里假设随机游走是加减 1，方差是 1）

我们想要达到 8 这个目标。这意味着我们需要 $N_+ N_ = 8$。

我似乎又回到了死胡同。为什么大家觉得这类问题能有确定的数字答案呢？

或许，问题的关键在于对“平均按下多少次”的理解。

让我们假设，这个问题是想问“平均来说，我们为了‘抵消掉’所有那些试图让我们后退的步数，需要付出的‘努力’（按下的次数）是多少，才能最终净增 8”。

这种情况，数学上常常会用“停止时样本的期望值”来衡量。

让我们尝试一个简化的模型：

如果我们有 $N$ 次机会，每次有 50% 的概率获得 1 分，50% 的概率失去 1 分。我们希望最终得分是 8。

这并不是一个简单的线性关系。因为即使你按了 100 次，你的得分可能不是 0，也可能不是 8，而是其他某个数字。

或许我应该回到最最基础的直觉：

如果每次我按下，平均来说，我离目标 8 的距离平均缩短了多少？在这个模型里，平均是缩短 0。

但是，这里有一个非常关键的“误区”或者说“被忽略的点”。

问题是“按下多少次可以使结果为 8”，这暗示着我们希望 达到 这个状态，并且 停在那里。

如果这是一个“公平赌博”（期望值为零的博弈），想要赢取一定的数额（8 元），那么，理论上，你可能需要无限次的尝试才能平均达到这个目标。

让我换一个非常非常接地气的说法来解释为什么答案可能是“无穷大”，以及为什么你会觉得这个答案“奇怪”。

想象一下，你和你的朋友玩一个游戏：轮流抛硬币。正面朝上，你赢一元；反面朝上，你输一元。你们约定好，谁先赢了 8 元，谁就获胜，游戏结束。

这个问题就相当于问：平均来说，这个游戏要进行多少轮，才能有人赢 8 元。

你们俩的期望都是 0 元。也就是说，你赢一元和输一元的概率一样大。

从你的角度看，你想要赢 8 元。每次抛硬币，你平均来看是不输不赢的。那么，你如何才能累积到 8 元呢？

也许是这样：你抛了 10 次，赢了 6 次，输了 4 次，净收益是 +2。
然后又抛了 10 次，赢了 5 次，输了 5 次，净收益是 0。
再抛了 10 次，赢了 3 次，输了 7 次，净收益是 4。

你可能会发现，你一直在正负之间摇摆。虽然你总有赢的可能，但你也有可能一直输，或者一直在原地踏步。

对于一个公平的赌博，想要从一个特定的点（比如 0）开始，净赢取一个固定的数额（比如 8），理论上，这个过程的平均时长是无穷大的。

为什么？ 因为“随机性”总会把你拉回来。当你以为你快要赢到 8 元时，一次坏的运气就可能让你损失好几元，甚至回到 0 以下。你需要“克服”这些随机的损失，才能最终到达 8 元。而“克服”这些随机损失，平均来说，需要的时间是无限的。

不过，请容我再思考一下，有没有可能问题被“误读”了，或者存在某种更简单的模型？

如果问题是这样问的：“一个计数器，按下一次有 50% 概率 从当前值开始 加 1，有 50% 概率 从当前值开始 减 1。那么，平均按下多少次可以使结果 从 0 开始 变为 8？”

我的回答依然是基于这个数学模型的：平均按下次数是无穷大。

但是，如果是这样一种理解呢？

“想象你按下按钮，得到一个数字，这个数字就是 1 或 1。你想知道，平均需要按下多少次，才能让这些数字的总和是 8。”

这依然是同一个数学模型。

那么，我有没有可能理解错了“平均按下多少次”的语境？

有时候，在一些非严格的语境下，人们可能会这样想：
“我需要净增加 8。每次我按一次，我有可能增加 1，也有可能减少 1。如果我一直按，总会遇到的。”

有没有可能是这样一种思考方式？

如果我们想要达到 8，那么我们总共需要比“减一”多出 8 次“加一”。

如果我们按下 $N$ 次，那么我们期望有 $N/2$ 次是加一，期望有 $N/2$ 次是减一。
在这种期望下，$N_+ approx N/2$，$N_ approx N/2$。
那么，$N_+ N_ approx 0$。

这依然无法直接推出一个确定的有限数字。

让我尝试搜索一下关于“随机游走到达特定值平均次数”的常见解释，看看有没有我遗漏的直观角度。

在很多教材或者科普文章中，当遇到这种“公平游戏”想赢取固定数额的问题时，答案通常是“无限的”。

但是，如果问题是在一个“有限状态空间”下讨论的呢？

比如，计数器有一个最大值或者最小值限制？但题目并没有给出这个限制。

有没有可能，我应该关注的是“期望的净增加值”？

每次按下，期望的净增加值是 0。
那么，要达到一个净增加值为 8 的状态，需要多少次这样的“期望为 0 的操作”呢？

这依然指向无穷大。

让我再换个角度，尝试用“累积优势”来理解。

假设你有一个“优势计数器”，每次按下，它有可能加 1，有可能减 1。你想让这个计数器最终显示 8。

想想我们为什么会觉得答案应该是有限的。可能是因为我们潜意识里觉得，我们会“好运地”碰到加一的情况，并且“抵消掉”减一的情况。

请允许我给出一个基于标准概率论的解答，并解释为什么它可能是无穷大。

设 $E_k$ 表示从状态 $k$ 到达状态 8 的期望步数。我们想求 $E_0$。
如果我们处于状态 $k$（假设 $k < 8$），按下一次按钮：
有 50% 的概率转移到状态 $k+1$，此时到达 8 需要 $E_{k+1}$ 步。
有 50% 的概率转移到状态 $k1$，此时到达 8 需要 $E_{k1}$ 步。

所以，我们可以列出如下的递推关系：
$E_k = 1 + frac{1}{2} E_{k+1} + frac{1}{2} E_{k1}$ (对于 $0 le k < 8$)

这里有几个边界条件：
$E_8 = 0$ （已经到达目标状态，不需要再按了）
如果计数器可以无限减小，那么 $E_{k1}$ 对于 $k=0$ 来说会是 $E_{1}$。

如果我们假设计数器有一个下界（比如 0，但题目没说），或者我们只关心从 0 开始到达 8，那么我们关注的是 $E_0$。

为了简化，我们考虑从 0 到达一个正数 $n$ 的期望步数，并假设存在一个对称的负数 $n$。

如果我们不考虑负数的情况（比如计数器有一个下限 0），那么这个问题会变成“从 0 到达 8 的随机游走，且每次都是 +1 或 1”，这已经不是一个简单的递推关系了。

回到最直接的理解：

每次按下按钮，你期望的净位移是 0。
你想要净位移达到 +8。

这是不是一个“期望值为零的随机过程，要达到一个非零目标”的问题？

是的，在这种情况下，平均到达时间是无穷大的。

为什么我们感觉“不对劲”？

我们感觉“不对劲”可能是因为，我们生活经验中遇到的大多数“随机”过程，要么有明确的“前进”倾向（比如步长是正数），要么有明确的“停止”条件（比如到达目标就停止）。

在这个计数器的问题里，虽然我们有明确的“到达目标 8 就停止”的条件，但由于每次操作的期望值为零，意味着它没有一个“前进”的动力。它只是在原地随机振荡。

要让一个没有前进动力的随机过程，平均意义上“走完”一个固定的距离，这是不可能的，因为你总有往回走的可能。

你可以想象一下，你在海边捡贝壳，目标是收集到 8 个特定颜色的贝壳。每次你弯腰捡起一个东西，有 50% 的可能是你想要的颜色，有 50% 的可能是一个你不需要的石头。你每捡一次，平均而言，你想要的贝壳数量不会增加。你可能捡起一个想要的贝壳，然后又捡起一块石头丢了。

让我换个说法，尝试打消你心中可能存在的“有限答案”的念头。

你可以理解成，你是在玩一个“公平”的猜硬币游戏，目标是赢得 8 元。每次游戏（按下按钮），你都有可能赢一元，也可能输一元。从数学上讲，这是一个期望值为零的游戏。在这样的公平游戏中，如果你想赢取固定的金额，平均来说，你需要进行无限次的游戏。

原因在于“随机性”的本质。 当你的期望值为零时，每一次操作都是一次“重新洗牌”。你不可能通过这些“重新洗牌”的操作，平均地、稳定地累积到某个非零的数额。你可能会偶尔达到 8，但你也可能跌到 5，然后又回到 3。平均而言，你永远无法“稳定地”到达 8。

所以，根据标准的概率论和随机游走理论，平均按下次数是无穷大。

但是，我会尽力思考有没有其他更“生活化”的解释，可以导出一个有限的数字答案，如果问题真的有这个意图的话。

有没有可能，问题是这样理解的：假设我们固定按下了 $N$ 次。那么，在 $N$ 次按下之后，期望的计数器结果是多少？
每次按下一的期望是 0。所以，按 $N$ 次，期望结果是 $N imes 0 = 0$。
但这也不是在问“使结果为 8”。

如果问题是在问“平均需要多少次才能第一次达到 8？”

这个问题叫做“首次到达时间”。对于这种模型，首次到达某个非零值的平均时间也是无穷大的。

我可能陷入了一个死循环，总是回到“无穷大”这个结论。这让我怀疑是不是我对“平均按下多少次”的理解还不够到位，或者问题本身的表述有某种“潜台词”。

不过，从严格的数学定义出发，对于从 0 开始的、每一步期望值为零的随机游走，到达任意非零整数的平均步数（期望到达时间）都是无穷大的。

让我尝试一个非常非常简化的类比，看看能否找到一个有限答案的“入口”。

想象一下，你站在一根长长的直线上，前面 8 个台阶是你的目标。你每次需要向前走一步（+1）或者后退一步（1），概率各占一半。你并没有被限制不能后退。

如果你总是往前走，那 8 次就到了。但你有可能后退。

最终的结论，基于最严格的数学解释：

这个问题描述的是一个期望值为零的随机游走，目标是从起点 0 到达目标值 8。在这种情况下，平均按下次数是无穷大。

为什么会有这种结果？
因为每次操作，你都有可能前进 1 步，也可能后退 1 步。这意味着你没有一个稳定的、平均的“前进”趋势。虽然你有概率到达 8，但你也有可能永远在 0 附近徘徊，或者在正负数之间反复跳跃。为了平均地“克服”这些后退的可能性而最终稳定地到达 8，需要无限多的尝试。

但如果必须给出一个有限的答案，那可能意味着问题被非严格地理解了。

例如，有人可能会想：“我需要净增 8。每次我的成功率是 50%。那么，我需要……?” 但这种简单相除的逻辑在随机过程中往往不成立。

也许，最接近生活经验的解释是：

这个计数器是一个“公平的游戏”。在公平的游戏里，想要累积一个正向的财富（或者说达到一个正向的目标值），从数学上来说，平均需要无限的时间。这就像赌场里的轮盘，如果你只赌红或黑，并且赔率是 1:1，那么赌场平均而言是不会亏本的，而玩家也无法平均地赢到特定的数额。

所以，如果这个问题是出于一个严谨的数学或概率论的语境，答案就是：平均按下次数是无穷大。 如果这个问题是出于一个更生活化或者不那么严谨的语境，并且期待一个有限的数字，那么可能需要重新审视问题的设定或者提问者的意图了，因为当前的设定确实导向了“无穷大”。

如果随机数发生器是好的话。

应该永远都到不了 8.

甚至连 2 都很难到。

俺用 JavaScript 算了半小时都没算出来 8.

就类似一个单位圆， 要想它的半径超过 1,

恐怕（其实）不会在这个宇宙发生。

**俺真的动手算了一下

俺的直觉是对的， 但是好奇心让俺浪费了一个小时。