如何证明这两个微分方程具有相同的轨线？
好的，我们来详细聊聊如何证明两个微分方程具有相同的轨线。这通常涉及到一些代数上的转换或者找到一个能够联系起它们的公共性质。
咱们设想一下，我们有两个微分方程组，它们描述了同一类系统的运动轨迹，但可能用了不同的坐标系，或者用了不同的参数表示。我们的目标就是证明，无论从哪个方程组出发，得到的运动轨迹（轨线）都是一样的。
核心思想：
证明两个微分方程组具有相同的轨线，本质上就是要证明它们描述的是同一个相空间中的运动。这里的“相空间”是描述系统状态的所有可能取值的空间，通常是由系统的广义坐标和广义动量（或者广义速度）构成。轨线就是系统在相空间中的运动轨迹。
我们可以从以下几个角度去尝试证明：
方法一：通过引入辅助变量或进行变量替换
这是最直接也是最常用的方法。如果我们可以找到一个从一个系统的变量到另一个系统的变量的映射（通常是可逆的），并且这个映射能够将一个方程组完全转化为另一个方程组，那么这两个方程组描述的轨线就是相同的。
假设我们有第一个微分方程组：
$frac{dx}{dt} = f(x, y)$
$frac{dy}{dt} = g(x, y)$
以及第二个微分方程组：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
如果我们能找到一个变换：
$u = phi(x, y)$
$v = psi(x, y)$
并且这个变换是可逆的（即存在逆变换 $x = Phi(u, v)$, $y = Psi(u, v)$），使得将 $x, y$ 替换成 $u, v$ 的关系代入第一个方程组后，能够得到第二个方程组。具体操作是：
1. 计算 $frac{du}{dt}$ 和 $frac{dv}{dt}$： 利用链式法则对 $u = phi(x, y)$ 和 $v = psi(x, y)$ 关于时间 $t$ 求导。
$frac{du}{dt} = frac{partial phi}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial phi}{partial y} frac{dy}{dt}$
$frac{dv}{dt} = frac{partial psi}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial psi}{partial y} frac{dy}{dt}$
2. 代入第一个方程组： 将 $frac{dx}{dt} = f(x, y)$ 和 $frac{dy}{dt} = g(x, y)$ 代入上面的 $frac{du}{dt}$ 和 $frac{dv}{dt}$ 的表达式中。
3. 进行变量替换： 将表达式中的 $x, y$ 通过逆变换 $x = Phi(u, v)$, $y = Psi(u, v)$ 替换成 $u, v$ 的形式。
4. 比较： 如果经过以上步骤得到的关于 $u, v$ 的微分方程组与第二个方程组完全一致，即：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
那么就可以证明这两个微分方程组具有相同的轨线。
举个例子说明：
假设我们有第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
第二个方程组是：
$frac{du}{dt} = v$
$frac{dv}{dt} = u$
我们很容易发现，如果令 $u = x$ 且 $v = y$，那么两个方程组就完全一样了。但这不够有说服力，因为我们想证明的是“相同的轨线”，而不仅仅是方程形式一样。
我们尝试一个更一般的变换：
令 $u = x + y$
令 $v = x y$
求逆变换：
由 $u=x+y$ 和 $v=xy$ 可得：
$u+v = 2x implies x = frac{u+v}{2}$
$uv = 2y implies y = frac{uv}{2}$
现在我们计算 $frac{du}{dt}$ 和 $frac{dv}{dt}$：
$frac{du}{dt} = frac{dx}{dt} + frac{dy}{dt} = (y) + (x) = x y$
将 $x, y$ 替换成 $u, v$：
$frac{du}{dt} = frac{u+v}{2} frac{uv}{2} = frac{2v}{2} = v$
$frac{dv}{dt} = frac{dx}{dt} frac{dy}{dt} = (y) (x) = (x+y)$
将 $x, y$ 替换成 $u, v$：
$frac{dv}{dt} = (frac{u+v}{2} + frac{uv}{2}) = frac{2u}{2} = u$
所以，我们得到了新的方程组：
$frac{du}{dt} = v$
$frac{dv}{dt} = u$
等等，好像这个例子没有证明它们有相同的轨线，反而是变换后变成了另一个形式的方程。 这个例子反而说明了，不同的变换可以得到不同形式的方程，但它们描述的运动可能与原方程组不同。
正确的例子应该展示如何将一个方程组转化为另一个等价的方程组。
让我们换一个例子：
第一个方程组描述一个简单谐振子：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
第二个方程组描述相同的系统，但使用了极坐标：
令 $x = r cos heta$
令 $y = r sin heta$
我们知道系统的解是 $x(t) = A cos(t+phi)$, $y(t) = A sin(t+phi)$。
在极坐标下，$r^2 = x^2 + y^2$，$ an heta = frac{y}{x}$。
所以 $r = sqrt{A^2 cos^2(t+phi) + A^2 sin^2(t+phi)} = A$ (常数)。
现在我们来计算 $frac{dr}{dt}$ 和 $frac{d heta}{dt}$：
$frac{dr}{dt} = frac{d}{dt} sqrt{x^2+y^2} = frac{2x frac{dx}{dt} + 2y frac{dy}{dt}}{2sqrt{x^2+y^2}} = frac{x y + y (x)}{sqrt{x^2+y^2}} = frac{0}{r} = 0$
$frac{d heta}{dt} = frac{d}{dt} arctan(frac{y}{x})$
利用链式法则和商法则：
$frac{d heta}{dt} = frac{1}{1 + (frac{y}{x})^2} frac{x frac{dy}{dt} y frac{dx}{dt}}{x^2} = frac{x^2}{x^2+y^2} frac{x(x) y(y)}{x^2} = frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} frac{(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1$
所以，第二个（极坐标下描述的）微分方程组是：
$frac{dr}{dt} = 0$
$frac{d heta}{dt} = 1$
从这个方程组我们可以得到 $r(t) = r_0$ (常数) 和 $ heta(t) = omega t + heta_0$ (其中 $omega=1$)。
将它们代回极坐标与笛卡尔坐标的转换关系：
$x(t) = r_0 cos(omega t + heta_0)$
$y(t) = r_0 sin(omega t + heta_0)$
由于 $cos(alpha) = cos(alpha)$ 且 $sin(alpha) = sin(alpha)$，并且我们可以调整常数 $ heta_0$ 来匹配相位，这与第一个方程组得到的解 $x(t) = A cos(t+phi)$, $y(t) = A sin(t+phi)$ 在形式上是等价的（振幅 $A$ 对应 $r_0$，相位 $phi$ 与 $ heta_0$ 相关）。
所以，这两个方程组描述的是同一个系统的轨线（一个圆周运动）。
关键点： 变量替换的目的是在保持运动物理本质不变的前提下，改变描述系统的“语言”。如果这种语言转换能够无缝地将一个方程组转化为另一个，那么它们的运动轨迹自然是相同的。
方法二：利用守恒量或第一积分
如果两个微分方程组拥有相同的守恒量（即在系统的运动过程中保持不变的量），这通常意味着它们描述的是相同的相空间流。守恒量也称为第一积分。
假设我们有第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = f(x, y)$
$frac{dy}{dt} = g(x, y)$
如果我们能够找到一个函数 $H_1(x, y)$，使得：
$frac{dH_1}{dt} = frac{partial H_1}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial H_1}{partial y} frac{dy}{dt} = 0$
则 $H_1(x, y)$ 是第一个方程组的守恒量。
同样，对于第二个方程组：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
如果我们找到一个函数 $H_2(u, v)$，使得：
$frac{dH_2}{dt} = frac{partial H_2}{partial u} frac{du}{dt} + frac{partial H_2}{partial v} frac{dv}{dt} = 0$
则 $H_2(u, v)$ 是第二个方程组的守恒量。
如果我们可以找到一个变量替换 $u = phi(x, y)$, $v = psi(x, y)$，并且发现 $H_2(phi(x, y), psi(x, y)) = C cdot H_1(x, y)$ （其中 $C$ 是非零常数），那么这两个方程组就具有相同的守恒量，从而在相空间中定义了相同的“能量曲面”或“相空间流”。对于许多系统，守恒量直接决定了轨线的形状。
举例说明：
第一个方程组（仍是简单谐振子）：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
我们容易发现，能量（可以理解为 $H_1 = frac{1}{2} y^2 + frac{1}{2} x^2$）是守恒的：
$frac{dH_1}{dt} = y frac{dy}{dt} + x frac{dx}{dt} = y(x) + x(y) = xy + xy = 0$
所以 $H_1(x, y) = frac{1}{2} x^2 + frac{1}{2} y^2$ 是第一个方程组的守恒量。它描述的是一个以原点为中心的圆。
第二个方程组（极坐标）：
$frac{dr}{dt} = 0$
$frac{d heta}{dt} = 1$
在这个方程组中，半径 $r$ 是守恒的（$frac{dr}{dt} = 0$）。
$r$ 是我们之前通过变换得到的变量。如果我们回溯到它与 $x, y$ 的关系：
$r = sqrt{x^2 + y^2}$
所以 $r^2 = x^2 + y^2$ 是守恒的（或者说 $r$ 本身是守恒的）。
将 $r$ 代入上面的守恒量 $H_1$ 的表达式：
$H_1(x, y) = frac{1}{2} (x^2 + y^2) = frac{1}{2} r^2$
所以，在这个例子中，第二个方程组的守恒量就是第一个方程组守恒量的一个比例。 $H_2(r) = r$ （或 $r^2$）是守恒的，它与 $H_1(x, y)$ 是成比例的。这表明它们在相空间中描述的“允许状态”是相同的集合，即都是圆。
关键点： 守恒量告诉我们系统在相空间中“活动”的范围。如果两个方程组有相同的守恒量（或者守恒量之间是简单的比例关系），那么它们允许的相空间轨迹（轨线）是相同的。
方法三：直接比较轨线方程（消除时间参数）
对于某些自治系统（即方程不显含时间 $t$），我们可以尝试消去时间参数 $t$，直接得到描述轨线的隐式方程。如果两个方程组消去 $t$ 后得到的隐式方程相同，那么它们的轨线就相同。
对于第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = f(x, y)$
$frac{dy}{dt} = g(x, y)$
我们可以形成一个微分方程来描述轨线，而不是描述系统随时间演化：
$frac{dy}{dx} = frac{dy/dt}{dx/dt} = frac{g(x, y)}{f(x, y)}$
如果对于第二个方程组：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
我们可以得到：
$frac{dv}{du} = frac{k(u, v)}{h(u, v)}$
如果存在一个变量替换 $u = phi(x, y)$, $v = psi(x, y)$ 使得 $frac{dv}{du}$ 的表达式（将 $u, v$ 替换成关于 $x, y$ 的形式）与 $frac{dy}{dx}$ 的表达式完全一致，那么它们的轨线就是相同的。
举例说明：
第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
消去时间 $t$，我们得到：
$frac{dy}{dx} = frac{x}{y}$
这是一个可分离变量的微分方程：
$y , dy = x , dx$
积分两边：
$int y , dy = int x , dx$
$frac{1}{2} y^2 = frac{1}{2} x^2 + C'$
$x^2 + y^2 = 2C'$
令 $R^2 = 2C'$，则轨线方程是 $x^2 + y^2 = R^2$。这是一个半径为 $R$ 的圆。
假设我们有第二个方程组，并且我们知道它描述的是圆周运动，但它以另一种形式给出。
例如，我们可能有一个表示圆周运动的参数方程组，但它不是显式的 $u(t), v(t)$，而是以某个中间变量 $ au$ 来表示：
$frac{du}{d au} = v$
$frac{dv}{d au} = u$
并且我们知道 $u^2 + v^2 = ext{常数}$。
如果我们能证明，通过某个变换，第一个方程组的 $frac{dy}{dx} = frac{x}{y}$ 可以转化为第二个方程组关于其变量的等价形式。
或者，更直接地说，如果我们可以从第二个方程组的变量 $u, v$ 推导出它们在相空间中的关系（就像我们从第一个方程组得到的 $x^2+y^2 = R^2$ 一样）。
例如，如果我们有一个描述行星轨道的微分方程组，它可能是牛顿万有引力定律的体现。如果另一个方程组是以拉格朗日量或哈密顿量表示的同一个系统，它们可能通过守恒量（如能量、角动量）导出相同的轨线方程（如椭圆轨道）。
关键点： 直接比较轨线方程是找出“轨迹形状”本身是否相同的最直观方法。通过消除时间参数，我们将“运动过程”转化为“运动的几何形状”。
总结一下证明步骤中的注意事项：
1. 明确两个微分方程组描述的对象： 它们是相同的物理系统吗？只是用了不同的坐标系或描述方式吗？
2. 选择合适的证明方法： 根据方程组的形式和已知信息，选择变量替换、守恒量分析或直接消去时间参数的方法。
3. 变量替换需仔细：
确保替换是可逆的，或者至少能够从一个系统映射到另一个系统。
正确使用链式法则、雅可比行列式等数学工具进行变量和导数的转换。
注意常数因子和符号。
4. 守恒量分析要严谨：
确保找到的守恒量确实是微分方程组的守恒量，即对时间导数为零。
理解守恒量如何定义相空间中的轨线。
5. 轨线方程的消元要准确：
确保消去时间参数的过程没有丢失关键信息。
得到的隐式方程要直接比较，或者通过变量替换使它们形式一致。
6. 描述要清晰： 在写作证明时，要清楚地说明每一步的逻辑，以及使用的数学工具。避免使用模糊的语言，让读者能够一步一步地跟随你的思路。
总而言之，证明两个微分方程组具有相同的轨线，就是证明它们在相空间中描绘的是同一条或同一族轨迹。这可以通过代数转换、物理量的守恒性分析或直接比较几何形状来实现。关键在于找到连接两个描述方式的桥梁，并证明这种连接是严格且无损的。
咱们设想一下，我们有两个微分方程组，它们描述了同一类系统的运动轨迹，但可能用了不同的坐标系，或者用了不同的参数表示。我们的目标就是证明，无论从哪个方程组出发，得到的运动轨迹（轨线）都是一样的。
核心思想：
证明两个微分方程组具有相同的轨线，本质上就是要证明它们描述的是同一个相空间中的运动。这里的“相空间”是描述系统状态的所有可能取值的空间，通常是由系统的广义坐标和广义动量（或者广义速度）构成。轨线就是系统在相空间中的运动轨迹。
我们可以从以下几个角度去尝试证明：
方法一：通过引入辅助变量或进行变量替换
这是最直接也是最常用的方法。如果我们可以找到一个从一个系统的变量到另一个系统的变量的映射（通常是可逆的），并且这个映射能够将一个方程组完全转化为另一个方程组，那么这两个方程组描述的轨线就是相同的。
假设我们有第一个微分方程组：
$frac{dx}{dt} = f(x, y)$
$frac{dy}{dt} = g(x, y)$
以及第二个微分方程组：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
如果我们能找到一个变换：
$u = phi(x, y)$
$v = psi(x, y)$
并且这个变换是可逆的（即存在逆变换 $x = Phi(u, v)$, $y = Psi(u, v)$），使得将 $x, y$ 替换成 $u, v$ 的关系代入第一个方程组后，能够得到第二个方程组。具体操作是：
1. 计算 $frac{du}{dt}$ 和 $frac{dv}{dt}$： 利用链式法则对 $u = phi(x, y)$ 和 $v = psi(x, y)$ 关于时间 $t$ 求导。
$frac{du}{dt} = frac{partial phi}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial phi}{partial y} frac{dy}{dt}$
$frac{dv}{dt} = frac{partial psi}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial psi}{partial y} frac{dy}{dt}$
2. 代入第一个方程组： 将 $frac{dx}{dt} = f(x, y)$ 和 $frac{dy}{dt} = g(x, y)$ 代入上面的 $frac{du}{dt}$ 和 $frac{dv}{dt}$ 的表达式中。
3. 进行变量替换： 将表达式中的 $x, y$ 通过逆变换 $x = Phi(u, v)$, $y = Psi(u, v)$ 替换成 $u, v$ 的形式。
4. 比较： 如果经过以上步骤得到的关于 $u, v$ 的微分方程组与第二个方程组完全一致，即：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
那么就可以证明这两个微分方程组具有相同的轨线。
举个例子说明：
假设我们有第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
第二个方程组是：
$frac{du}{dt} = v$
$frac{dv}{dt} = u$
我们很容易发现，如果令 $u = x$ 且 $v = y$，那么两个方程组就完全一样了。但这不够有说服力，因为我们想证明的是“相同的轨线”，而不仅仅是方程形式一样。
我们尝试一个更一般的变换：
令 $u = x + y$
令 $v = x y$
求逆变换：
由 $u=x+y$ 和 $v=xy$ 可得：
$u+v = 2x implies x = frac{u+v}{2}$
$uv = 2y implies y = frac{uv}{2}$
现在我们计算 $frac{du}{dt}$ 和 $frac{dv}{dt}$：
$frac{du}{dt} = frac{dx}{dt} + frac{dy}{dt} = (y) + (x) = x y$
将 $x, y$ 替换成 $u, v$：
$frac{du}{dt} = frac{u+v}{2} frac{uv}{2} = frac{2v}{2} = v$
$frac{dv}{dt} = frac{dx}{dt} frac{dy}{dt} = (y) (x) = (x+y)$
将 $x, y$ 替换成 $u, v$：
$frac{dv}{dt} = (frac{u+v}{2} + frac{uv}{2}) = frac{2u}{2} = u$
所以，我们得到了新的方程组：
$frac{du}{dt} = v$
$frac{dv}{dt} = u$
等等，好像这个例子没有证明它们有相同的轨线，反而是变换后变成了另一个形式的方程。 这个例子反而说明了，不同的变换可以得到不同形式的方程，但它们描述的运动可能与原方程组不同。
正确的例子应该展示如何将一个方程组转化为另一个等价的方程组。
让我们换一个例子：
第一个方程组描述一个简单谐振子：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
第二个方程组描述相同的系统，但使用了极坐标：
令 $x = r cos heta$
令 $y = r sin heta$
我们知道系统的解是 $x(t) = A cos(t+phi)$, $y(t) = A sin(t+phi)$。
在极坐标下，$r^2 = x^2 + y^2$，$ an heta = frac{y}{x}$。
所以 $r = sqrt{A^2 cos^2(t+phi) + A^2 sin^2(t+phi)} = A$ (常数)。
现在我们来计算 $frac{dr}{dt}$ 和 $frac{d heta}{dt}$：
$frac{dr}{dt} = frac{d}{dt} sqrt{x^2+y^2} = frac{2x frac{dx}{dt} + 2y frac{dy}{dt}}{2sqrt{x^2+y^2}} = frac{x y + y (x)}{sqrt{x^2+y^2}} = frac{0}{r} = 0$
$frac{d heta}{dt} = frac{d}{dt} arctan(frac{y}{x})$
利用链式法则和商法则：
$frac{d heta}{dt} = frac{1}{1 + (frac{y}{x})^2} frac{x frac{dy}{dt} y frac{dx}{dt}}{x^2} = frac{x^2}{x^2+y^2} frac{x(x) y(y)}{x^2} = frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} frac{(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1$
所以，第二个（极坐标下描述的）微分方程组是：
$frac{dr}{dt} = 0$
$frac{d heta}{dt} = 1$
从这个方程组我们可以得到 $r(t) = r_0$ (常数) 和 $ heta(t) = omega t + heta_0$ (其中 $omega=1$)。
将它们代回极坐标与笛卡尔坐标的转换关系：
$x(t) = r_0 cos(omega t + heta_0)$
$y(t) = r_0 sin(omega t + heta_0)$
由于 $cos(alpha) = cos(alpha)$ 且 $sin(alpha) = sin(alpha)$，并且我们可以调整常数 $ heta_0$ 来匹配相位，这与第一个方程组得到的解 $x(t) = A cos(t+phi)$, $y(t) = A sin(t+phi)$ 在形式上是等价的（振幅 $A$ 对应 $r_0$，相位 $phi$ 与 $ heta_0$ 相关）。
所以，这两个方程组描述的是同一个系统的轨线（一个圆周运动）。
关键点： 变量替换的目的是在保持运动物理本质不变的前提下，改变描述系统的“语言”。如果这种语言转换能够无缝地将一个方程组转化为另一个，那么它们的运动轨迹自然是相同的。
方法二：利用守恒量或第一积分
如果两个微分方程组拥有相同的守恒量（即在系统的运动过程中保持不变的量），这通常意味着它们描述的是相同的相空间流。守恒量也称为第一积分。
假设我们有第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = f(x, y)$
$frac{dy}{dt} = g(x, y)$
如果我们能够找到一个函数 $H_1(x, y)$，使得：
$frac{dH_1}{dt} = frac{partial H_1}{partial x} frac{dx}{dt} + frac{partial H_1}{partial y} frac{dy}{dt} = 0$
则 $H_1(x, y)$ 是第一个方程组的守恒量。
同样，对于第二个方程组：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
如果我们找到一个函数 $H_2(u, v)$，使得：
$frac{dH_2}{dt} = frac{partial H_2}{partial u} frac{du}{dt} + frac{partial H_2}{partial v} frac{dv}{dt} = 0$
则 $H_2(u, v)$ 是第二个方程组的守恒量。
如果我们可以找到一个变量替换 $u = phi(x, y)$, $v = psi(x, y)$，并且发现 $H_2(phi(x, y), psi(x, y)) = C cdot H_1(x, y)$ （其中 $C$ 是非零常数），那么这两个方程组就具有相同的守恒量，从而在相空间中定义了相同的“能量曲面”或“相空间流”。对于许多系统，守恒量直接决定了轨线的形状。
举例说明：
第一个方程组（仍是简单谐振子）：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
我们容易发现，能量（可以理解为 $H_1 = frac{1}{2} y^2 + frac{1}{2} x^2$）是守恒的：
$frac{dH_1}{dt} = y frac{dy}{dt} + x frac{dx}{dt} = y(x) + x(y) = xy + xy = 0$
所以 $H_1(x, y) = frac{1}{2} x^2 + frac{1}{2} y^2$ 是第一个方程组的守恒量。它描述的是一个以原点为中心的圆。
第二个方程组（极坐标）：
$frac{dr}{dt} = 0$
$frac{d heta}{dt} = 1$
在这个方程组中，半径 $r$ 是守恒的（$frac{dr}{dt} = 0$）。
$r$ 是我们之前通过变换得到的变量。如果我们回溯到它与 $x, y$ 的关系：
$r = sqrt{x^2 + y^2}$
所以 $r^2 = x^2 + y^2$ 是守恒的（或者说 $r$ 本身是守恒的）。
将 $r$ 代入上面的守恒量 $H_1$ 的表达式：
$H_1(x, y) = frac{1}{2} (x^2 + y^2) = frac{1}{2} r^2$
所以，在这个例子中，第二个方程组的守恒量就是第一个方程组守恒量的一个比例。 $H_2(r) = r$ （或 $r^2$）是守恒的，它与 $H_1(x, y)$ 是成比例的。这表明它们在相空间中描述的“允许状态”是相同的集合，即都是圆。
关键点： 守恒量告诉我们系统在相空间中“活动”的范围。如果两个方程组有相同的守恒量（或者守恒量之间是简单的比例关系），那么它们允许的相空间轨迹（轨线）是相同的。
方法三：直接比较轨线方程（消除时间参数）
对于某些自治系统（即方程不显含时间 $t$），我们可以尝试消去时间参数 $t$，直接得到描述轨线的隐式方程。如果两个方程组消去 $t$ 后得到的隐式方程相同，那么它们的轨线就相同。
对于第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = f(x, y)$
$frac{dy}{dt} = g(x, y)$
我们可以形成一个微分方程来描述轨线，而不是描述系统随时间演化：
$frac{dy}{dx} = frac{dy/dt}{dx/dt} = frac{g(x, y)}{f(x, y)}$
如果对于第二个方程组：
$frac{du}{dt} = h(u, v)$
$frac{dv}{dt} = k(u, v)$
我们可以得到：
$frac{dv}{du} = frac{k(u, v)}{h(u, v)}$
如果存在一个变量替换 $u = phi(x, y)$, $v = psi(x, y)$ 使得 $frac{dv}{du}$ 的表达式（将 $u, v$ 替换成关于 $x, y$ 的形式）与 $frac{dy}{dx}$ 的表达式完全一致，那么它们的轨线就是相同的。
举例说明：
第一个方程组：
$frac{dx}{dt} = y$
$frac{dy}{dt} = x$
消去时间 $t$，我们得到：
$frac{dy}{dx} = frac{x}{y}$
这是一个可分离变量的微分方程：
$y , dy = x , dx$
积分两边：
$int y , dy = int x , dx$
$frac{1}{2} y^2 = frac{1}{2} x^2 + C'$
$x^2 + y^2 = 2C'$
令 $R^2 = 2C'$，则轨线方程是 $x^2 + y^2 = R^2$。这是一个半径为 $R$ 的圆。
假设我们有第二个方程组，并且我们知道它描述的是圆周运动，但它以另一种形式给出。
例如，我们可能有一个表示圆周运动的参数方程组，但它不是显式的 $u(t), v(t)$，而是以某个中间变量 $ au$ 来表示：
$frac{du}{d au} = v$
$frac{dv}{d au} = u$
并且我们知道 $u^2 + v^2 = ext{常数}$。
如果我们能证明，通过某个变换，第一个方程组的 $frac{dy}{dx} = frac{x}{y}$ 可以转化为第二个方程组关于其变量的等价形式。
或者，更直接地说，如果我们可以从第二个方程组的变量 $u, v$ 推导出它们在相空间中的关系（就像我们从第一个方程组得到的 $x^2+y^2 = R^2$ 一样）。
例如，如果我们有一个描述行星轨道的微分方程组，它可能是牛顿万有引力定律的体现。如果另一个方程组是以拉格朗日量或哈密顿量表示的同一个系统，它们可能通过守恒量（如能量、角动量）导出相同的轨线方程（如椭圆轨道）。
关键点： 直接比较轨线方程是找出“轨迹形状”本身是否相同的最直观方法。通过消除时间参数，我们将“运动过程”转化为“运动的几何形状”。
总结一下证明步骤中的注意事项：
1. 明确两个微分方程组描述的对象： 它们是相同的物理系统吗？只是用了不同的坐标系或描述方式吗？
2. 选择合适的证明方法： 根据方程组的形式和已知信息，选择变量替换、守恒量分析或直接消去时间参数的方法。
3. 变量替换需仔细：
确保替换是可逆的，或者至少能够从一个系统映射到另一个系统。
正确使用链式法则、雅可比行列式等数学工具进行变量和导数的转换。
注意常数因子和符号。
4. 守恒量分析要严谨：
确保找到的守恒量确实是微分方程组的守恒量，即对时间导数为零。
理解守恒量如何定义相空间中的轨线。
5. 轨线方程的消元要准确：
确保消去时间参数的过程没有丢失关键信息。
得到的隐式方程要直接比较，或者通过变量替换使它们形式一致。
6. 描述要清晰： 在写作证明时，要清楚地说明每一步的逻辑，以及使用的数学工具。避免使用模糊的语言，让读者能够一步一步地跟随你的思路。
总而言之，证明两个微分方程组具有相同的轨线，就是证明它们在相空间中描绘的是同一条或同一族轨迹。这可以通过代数转换、物理量的守恒性分析或直接比较几何形状来实现。关键在于找到连接两个描述方式的桥梁，并证明这种连接是严格且无损的。
网友意见
因为原方程的积分曲线处处与新方程的向量场相切，所以也是新方程的积分曲线。反之类似。
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