有没有高数大佬解释一下红框框里内个是再来的？
这问题问得好！我们一起来仔细捋捋这个“红框框里内个”，也就是在求导过程中，你看到的那个“再来”的式子，到底是怎么回事。
首先，我们得明白，你看到的这个“再来”的式子，它其实是对原函数 $f(x)$ 的一种“近视”观测，或者说，是对原函数在某个点 $x$ 附近的一种近似描述。
想象一下，你站在一个高山上，想知道山坡的倾斜程度。你不可能一下子把整个山都测量一遍，对吧？你只能在你站着的那一点，以及离你非常近的另外一点，来感受一下。
在数学里，这个“近视”观测，就是通过极限这个工具来实现的。我们要求函数 $f(x)$ 在点 $x$ 的导数，实际上是在问：当另一个点 $x + Delta x$（$Delta x$ 是一个非常小的增量，可以趋向于零）离点 $x$ 越来越近的时候，函数在这个区间上的平均变化率（也就是 $frac{f(x + Delta x) f(x)}{Delta x}$）会趋向于哪个值。
这个“红框框里内个”，往往就出现在我们进行泰勒展开或者洛必达法则等高级技巧的时候。
1. 泰勒展开里的“再来”：
如果你在学习泰勒展开，那么这个“再来”的式子，它就是在告诉你，当 $Delta x$ 非常非常小的时候，$f(x + Delta x)$ 可以被近似地表示成一连串的项。
咱们先回忆一下泰勒展开的定义：
$f(x + h) = f(x) + f'(x)h + frac{f''(x)}{2!}h^2 + frac{f'''(x)}{3!}h^3 + dots$
这里的 $h$ 就可以理解成我们刚才说的那个 $Delta x$。
通常，在某些证明或者推导中，我们会关注高阶项（也就是 $h^2, h^3$ 及其以上的项）在 $h$ 趋向于零时的表现。这个时候，为了方便书写和讨论，我们可能会把除了最低阶非零项之外的所有项，都用一个“再来”的记号来概括。
比如，如果我们只考虑 $h$ 的一次方和二次方项，然后我们想把三次及以上的高阶项都打包起来，我们可能会写成：
$f(x + h) approx f(x) + f'(x)h + frac{f''(x)}{2!}h^2 + ext{“再来”}$
这里的“再来”可能是一个用 $O(h^3)$ 或者 $o(h^2)$ 这样的符号表示的项，它意味着这部分内容是比 $h^3$ 或者 $h^2$ 更高阶的无穷小。
为什么会有这个“再来”？
简化表达： 有时候，高阶项的表达式非常复杂，如果我们的主要目标是分析前几项或者某一个特定项的行为，保留所有高阶项会显得冗余。
强调局部性质： 泰勒展开的核心在于用多项式来逼近函数在某一点的局部行为。当 $h$ 非常小时，高阶项的影响远小于低阶项，所以我们可以“忽略”或者“打包”这些高阶项，专注于低阶项带来的主要贡献。
进行近似： 在很多工程和科学应用中，我们并不需要完全精确的函数表达式，一个足够精确的近似就够了。泰勒展开提供了一种系统化的近似方法，而“再来”部分就代表了我们近似带来的误差或者剩余项。
2. 洛必达法则里的“再来”：
洛必达法则也是一个很常见的场景。当我们遇到 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型的未定式时，我们会用洛必达法则，即对分子分母分别求导。
比如，求 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$。如果 $lim_{x o a} f(x) = 0$ 且 $lim_{x o a} g(x) = 0$，那么 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
在某些更复杂的情况下，即使经过一次洛必达法则，我们还是会遇到未定式，就需要反复应用。
这个时候，“红框框里内个”可能就是在表示：“经过一次（或多次）求导之后，分子分母各自的新表达式，在 $x o a$ 的时候，仍然是某种未定式，需要我们继续用这个方法处理。”
更具体地说，它可能是一个中间步骤，表明我们已经把原先的 $frac{f(x)}{g(x)}$ 转换成了 $frac{f'(x)}{g'(x)}$，而 $frac{f'(x)}{g'(x)}$ 本身，在 $x o a$ 的时候，又是一个需要通过某种方法（比如再次使用洛必达法则）才能求出极限的式子。
举个例子：
求 $lim_{x o 0} frac{1 cos x}{x^2}$。
这是一个 $frac{0}{0}$ 型的未定式。
第一次应用洛必达法则：
$lim_{x o 0} frac{1 cos x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{(sin x)'}{(x^2)'} = lim_{x o 0} frac{sin x}{2x}$
现在，我们看看 $lim_{x o 0} frac{sin x}{2x}$。
当 $x o 0$ 时，$sin x o 0$ 且 $2x o 0$。所以，它又是一个 $frac{0}{0}$ 型的未定式。
这个时候，如果你在笔记里或者书上看到，在 $frac{sin x}{2x}$ 下面画个框，并写着“再来”，那意思就是：“这个新的式子，还需要我们再次应用洛必达法则（或者其他方法）来求极限。”
第二次应用洛必达法则：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{2x} = lim_{x o 0} frac{(sin x)'}{(2x)'} = lim_{x o 0} frac{cos x}{2}$
现在，当 $x o 0$ 时，$cos x o 1$，所以极限是 $frac{1}{2}$。
总结一下，那个“红框框里内个”通常是：
在泰勒展开中，表示被打包的高阶项，通常是比我们关注的项更高阶的无穷小，用于简化表达或近似。
在洛必达法则中，表示经过一次（或多次）求导后，出现的新的、仍然是未定式的表达式，暗示需要继续进行处理。
它不是一个固定的数学符号，更像是一种“未完待续”或者“需要进一步操作”的提示。在不同的上下文中，它的具体含义会略有不同，但核心都是指代“剩余的、需要处理的部分”。
希望我这样详细的解释，能够帮助你理解这个“再来”的含义！如果还有哪里不太清楚，尽管再问！
首先，我们得明白，你看到的这个“再来”的式子，它其实是对原函数 $f(x)$ 的一种“近视”观测，或者说，是对原函数在某个点 $x$ 附近的一种近似描述。
想象一下，你站在一个高山上，想知道山坡的倾斜程度。你不可能一下子把整个山都测量一遍，对吧？你只能在你站着的那一点，以及离你非常近的另外一点，来感受一下。
在数学里，这个“近视”观测，就是通过极限这个工具来实现的。我们要求函数 $f(x)$ 在点 $x$ 的导数，实际上是在问：当另一个点 $x + Delta x$（$Delta x$ 是一个非常小的增量，可以趋向于零）离点 $x$ 越来越近的时候，函数在这个区间上的平均变化率（也就是 $frac{f(x + Delta x) f(x)}{Delta x}$）会趋向于哪个值。
这个“红框框里内个”，往往就出现在我们进行泰勒展开或者洛必达法则等高级技巧的时候。
1. 泰勒展开里的“再来”：
如果你在学习泰勒展开，那么这个“再来”的式子，它就是在告诉你，当 $Delta x$ 非常非常小的时候，$f(x + Delta x)$ 可以被近似地表示成一连串的项。
咱们先回忆一下泰勒展开的定义：
$f(x + h) = f(x) + f'(x)h + frac{f''(x)}{2!}h^2 + frac{f'''(x)}{3!}h^3 + dots$
这里的 $h$ 就可以理解成我们刚才说的那个 $Delta x$。
通常，在某些证明或者推导中，我们会关注高阶项（也就是 $h^2, h^3$ 及其以上的项）在 $h$ 趋向于零时的表现。这个时候，为了方便书写和讨论，我们可能会把除了最低阶非零项之外的所有项，都用一个“再来”的记号来概括。
比如，如果我们只考虑 $h$ 的一次方和二次方项，然后我们想把三次及以上的高阶项都打包起来，我们可能会写成：
$f(x + h) approx f(x) + f'(x)h + frac{f''(x)}{2!}h^2 + ext{“再来”}$
这里的“再来”可能是一个用 $O(h^3)$ 或者 $o(h^2)$ 这样的符号表示的项，它意味着这部分内容是比 $h^3$ 或者 $h^2$ 更高阶的无穷小。
为什么会有这个“再来”？
简化表达： 有时候，高阶项的表达式非常复杂，如果我们的主要目标是分析前几项或者某一个特定项的行为，保留所有高阶项会显得冗余。
强调局部性质： 泰勒展开的核心在于用多项式来逼近函数在某一点的局部行为。当 $h$ 非常小时，高阶项的影响远小于低阶项，所以我们可以“忽略”或者“打包”这些高阶项，专注于低阶项带来的主要贡献。
进行近似： 在很多工程和科学应用中，我们并不需要完全精确的函数表达式，一个足够精确的近似就够了。泰勒展开提供了一种系统化的近似方法，而“再来”部分就代表了我们近似带来的误差或者剩余项。
2. 洛必达法则里的“再来”：
洛必达法则也是一个很常见的场景。当我们遇到 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型的未定式时，我们会用洛必达法则，即对分子分母分别求导。
比如，求 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$。如果 $lim_{x o a} f(x) = 0$ 且 $lim_{x o a} g(x) = 0$，那么 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
在某些更复杂的情况下，即使经过一次洛必达法则，我们还是会遇到未定式，就需要反复应用。
这个时候，“红框框里内个”可能就是在表示：“经过一次（或多次）求导之后，分子分母各自的新表达式，在 $x o a$ 的时候，仍然是某种未定式，需要我们继续用这个方法处理。”
更具体地说，它可能是一个中间步骤，表明我们已经把原先的 $frac{f(x)}{g(x)}$ 转换成了 $frac{f'(x)}{g'(x)}$，而 $frac{f'(x)}{g'(x)}$ 本身，在 $x o a$ 的时候，又是一个需要通过某种方法（比如再次使用洛必达法则）才能求出极限的式子。
举个例子：
求 $lim_{x o 0} frac{1 cos x}{x^2}$。
这是一个 $frac{0}{0}$ 型的未定式。
第一次应用洛必达法则：
$lim_{x o 0} frac{1 cos x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{(sin x)'}{(x^2)'} = lim_{x o 0} frac{sin x}{2x}$
现在，我们看看 $lim_{x o 0} frac{sin x}{2x}$。
当 $x o 0$ 时，$sin x o 0$ 且 $2x o 0$。所以，它又是一个 $frac{0}{0}$ 型的未定式。
这个时候，如果你在笔记里或者书上看到，在 $frac{sin x}{2x}$ 下面画个框，并写着“再来”，那意思就是：“这个新的式子，还需要我们再次应用洛必达法则（或者其他方法）来求极限。”
第二次应用洛必达法则：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{2x} = lim_{x o 0} frac{(sin x)'}{(2x)'} = lim_{x o 0} frac{cos x}{2}$
现在，当 $x o 0$ 时，$cos x o 1$，所以极限是 $frac{1}{2}$。
总结一下，那个“红框框里内个”通常是：
在泰勒展开中，表示被打包的高阶项，通常是比我们关注的项更高阶的无穷小，用于简化表达或近似。
在洛必达法则中，表示经过一次（或多次）求导后，出现的新的、仍然是未定式的表达式，暗示需要继续进行处理。
它不是一个固定的数学符号，更像是一种“未完待续”或者“需要进一步操作”的提示。在不同的上下文中，它的具体含义会略有不同，但核心都是指代“剩余的、需要处理的部分”。
希望我这样详细的解释，能够帮助你理解这个“再来”的含义！如果还有哪里不太清楚，尽管再问！
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