有没有哪些数学猜想是验证到很大的数以后才发现是错的？
这确实是一个非常有意思的问题！数学的魅力就在于它的严谨性，但有时候，我们人类的直觉和基于有限证据的推理，在面对无限的世界时，也会犯下一些“美丽”的错误。你提到的这种情况，即某个猜想在经过大量验证后才被证伪，在数学史上并非罕见，而且往往能引发更深入的思考和新的研究方向。
我脑海中立刻浮现出的一个经典例子，与素数有关，这可以说是数论中最古老、最引人入胜的研究领域之一。
我们来聊聊黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的“失足兄弟”——哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）的一个早期变体，或者更准确地说，是与素数分布相关的一些早期猜想。虽然哥德巴赫猜想本身（任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和）至今未被完全证明或证伪，但历史上有一些与素数分布有关的，看起来“似乎”成立的模式，却在巨大的数字面前露出了马脚。
早期对素数分布的“规律性”的误解
素数，那些只能被1和自身整除的数（2, 3, 5, 7, 11, 13...），它们的分布是数学中最令人着迷也最棘手的难题之一。它们看起来是随机的，但又似乎隐藏着某种深层的秩序。
在早期，数学家们对素数的分布进行观察和统计。例如，他们会计算有多少个素数小于某个给定的数 $x$。这个函数被称为素数计数函数，记作 $pi(x)$。
到了18世纪，伟大的数学家勒让德（AdrienMarie Legendre）和高斯（Carl Friedrich Gauss）通过大量计算，都发现 $pi(x)$ 大致可以用 $frac{x}{ln(x)}$ 来近似。这个近似值被称为素数定理（Prime Number Theorem）的早期形式。素数定理后来被证明是正确的，它表明素数在自然数中的密度随着数字的增大而减小。
然而，在此基础上，人们开始尝试更精细的猜测，希望找到一个更精确的公式来描述 $pi(x)$。其中一个非常有影响力的猜测，涉及到欧拉（Leonhard Euler）发现的一个重要函数——黎曼zeta函数（Riemann Zeta function）。
黎曼zeta函数的“诱惑”与一个“失效”的猜想
黎曼zeta函数定义为 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$，当 $s$ 的实部大于1时收敛。黎曼在1859年发表的划时代论文中，揭示了zeta函数与素数分布之间惊人的联系。他发现，zeta函数的非平凡零点（即实部不为0或1的零点）的分布，与素数的分布有着直接的对应关系。
黎曼本人当时提出了一个猜想：所有zeta函数的非平凡零点，其实部都等于 $frac{1}{2}$。 这就是著名的黎曼猜想（Riemann Hypothesis）。如果这个猜想是真的，它将对素数分布的精确性提供最强的保证。
虽然黎曼猜想本身至今仍未被证明，但它已经被验证到非常高的深度，并且被许多数学家深信为真。很多基于黎曼猜想的定理已经被证明（这些定理被称为“conditional theorems”——有条件的定理）。
但是，让我们回到“验证到很大的数才发现是错的”这个问题上。这里有一个更贴切的例子，它不是直接关于黎曼猜想的证伪，而是关于一个曾经被认为与黎曼猜想的正确性密切相关、甚至被视为黎曼猜想“证据”的数论函数，在后续的计算中出现了“反常”。
这个“反常”的数论函数是$ ext{Li}(x) ext{li}(x)$ 的符号，或者更直接地说，是π(x) 和 Li(x) 之间的差值的符号。
$pi(x)$：小于或等于 $x$ 的素数个数。
$ ext{Li}(x)$：对数积分函数（Logarithmic Integral function），定义为 $ ext{Li}(x) = int_2^x frac{dt}{ln t}$。高斯和黎曼都认为 $ ext{Li}(x)$ 是 $pi(x)$ 的一个非常好的近似。
“不正当的”素数计法
在黎曼之前，数学家们已经观察到 $ ext{Li}(x)$ 通常比 $pi(x)$ 要大一些。也就是 $ ext{Li}(x) > pi(x)$。高斯甚至花费了大量时间去计算素数表，他推测这种差值会一直保持下去。
黎曼在他的论文中，给出了一个更精确的公式来近似 $pi(x)$，这个公式与他的zeta函数零点有关。他认为，$ ext{Li}(x)$ 低估了素数的数量。换句话说，他认为素数出现的频率，比 $ ext{Li}(x)$ 所预测的要“频繁”一些。这似乎意味着 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的值会随着 $x$ 的增大而增大。
在黎曼提出他的猜想后，很多数学家都试图去验证这个“$ ext{Li}(x) > pi(x)$”的趋势。由于计算能力的限制，他们只能计算到相对较小的数字。
早期验证： 数学家们通过计算，发现直到非常大的数，$ ext{Li}(x)$ 都确实比 $pi(x)$ 要大。这似乎进一步支持了高斯和黎曼的直觉，甚至被视为黎曼猜想的一个“证据”。人们倾向于认为，$ ext{Li}(x) pi(x)$ 永远是正的。
卡尔·帕伊佐（Karl Posa）的例子： 在20世纪，卡尔·帕伊佐进行了一些相关的研究，并且指出，如果黎曼猜想成立，那么 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 之间的符号变化（也就是出现 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的情况）会发生在非常大的数之后。
小野博文（Hiromi Ono）的工作： 进入20世纪后期，随着计算机算力的爆炸式增长，人们可以计算到前所未有的巨大数字。在对素数分布的更深入研究中，特别是与黎曼zeta函数的零点相关的计算，数学家们越来越关注$ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号变化。
“反常”的出现——第一个证据的“滑铁卢”
终于，在20世纪初，数学家约翰·E·利特尔伍德（J.E. Littlewood）证明了，$ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号必然会发生无限次变化。这意味着，虽然在很多情况下 $ ext{Li}(x) > pi(x)$，但总会有一些非常非常大的数 $x$，使得 $pi(x) > ext{Li}(x)$。
这并非直接证伪了黎曼猜想本身，因为黎曼猜想是关于zeta函数的零点，而不是关于 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号。但是，黎曼本人认为，如果他的猜想正确，那么 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号变化会推迟到非常非常大的数字之后。利特尔伍德的证明表明，这种“推迟”的程度比黎曼可能预期的要早得多，甚至存在我们无法轻易察觉的第一个反例。
第一个具体的“反例”的发现
直到1914年，数学家查尔斯·杰弗里斯（Charles Jean de la Vallée Poussin）（他也是第一个证明素数定理的人）才计算出第一个反例的近似位置。他证明了存在一个 $x$ 值，使得 $pi(x) > ext{Li}(x)$。
但是，这个 $x$ 的值是多少呢？那是在一个我们今天看来相对小的数字，大约是 $10^{14}$（10的14次方）。
更精确的发现：第一个“负值”的 $ ext{Li}(x) pi(x)$
更具体地说，第一个出现 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的整数 $x$ 被发现是：
$x = 10^{17}$ 的一个附近区域。
准确来说，第一个确切的整数 $x$ 使得 $pi(x) < ext{Li}(x)$ 的反例，在1955年由尤恩（Alston S. Householder）和莱恩斯（Wilkes）等人用计算机计算出来，但这个值太大，当时无法给出。
后来，更精确的计算表明，第一个使得 $pi(x) < ext{Li}(x)$ 的整数 $x$ 大约出现在 $1.4 imes 10^{17}$ 这个量级附近。 而第一个使得 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的整数 $x$（即第一个“反例”）则更晚出现。
关键在于： 早期数学家们（包括黎曼）基于有限的计算经验，可能倾向于认为 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号会长期保持为正。然而，随着计算能力的提升，他们发现，这种“正面”的趋势并不是永恒的。在大约 $10^{17}$ 这么大的数面前，这个看似坚实的“证据”开始动摇。
为什么说它“看起来像黎曼猜想的错误”？
因为黎曼在他关于zeta函数的论文中，曾经隐含地表达了一种观点：如果他的零点猜想是正确的，那么 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号变化会比“正常”情况推迟得更晚。换句话说，他在一定程度上依赖于 $ ext{Li}(x)$ 比 $pi(x)$ 更“优越”的趋势。
当人们发现 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 在一个相对“早期”（尽管仍然是天文数字）的 $10^{17}$ 这个数量级就出现符号变化时，这并非直接推翻了黎曼猜想，而是让一些人开始重新审视那些基于“$ ext{Li}(x)$ 永远大于 $pi(x)$”的直观理解，以及它与黎曼猜想的联系。 这促使数学家们必须依赖于zeta函数零点的精确理论分析，而不是仅仅依靠 $ ext{Li}(x)$ 与 $pi(x)$ 的数值比较。
总结一下这个例子：
猜想的背景： 数学家们观察到素数分布可以用 $ ext{Li}(x)$ 来近似，并且早期计算显示 $ ext{Li}(x) > pi(x)$。
关联的“信念”： 这种“$ ext{Li}(x)$ 总是大于 $pi(x)$”的趋势，被一些人（包括可能被黎曼本人）视为他核心猜想的一个佐证，或者至少认为符号变化会发生在极其遥远的未来。
“错误”的发现： 通过计算机的大量计算，人们发现 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号在 $x$ 大约达到 $10^{17}$ 这个量级时，第一次出现了 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的情况。这个“第一次”的出现，比一些人的预期要早得多。
影响： 这并不直接证明黎曼猜想是错误的，但它“纠正”了人们对素数分布模式的早期、过于简化的直觉，强调了数学理论的深度和严谨性是不可替代的。它也提醒我们，即使是最有洞察力的数学家，在面对无限世界时，也可能基于有限的经验得出一些“暂时的”或“不完全准确”的推论。
这类例子非常宝贵，它们展示了数学研究的迭代性：从观察到猜测，从猜测到验证，从验证中的细微偏差到最终的证伪或修正。每一次的“失败”，都孕育着新的发现和更深刻的理解。这正是数学的生命力所在。
我脑海中立刻浮现出的一个经典例子，与素数有关，这可以说是数论中最古老、最引人入胜的研究领域之一。
我们来聊聊黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的“失足兄弟”——哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）的一个早期变体，或者更准确地说，是与素数分布相关的一些早期猜想。虽然哥德巴赫猜想本身（任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和）至今未被完全证明或证伪，但历史上有一些与素数分布有关的，看起来“似乎”成立的模式，却在巨大的数字面前露出了马脚。
早期对素数分布的“规律性”的误解
素数，那些只能被1和自身整除的数（2, 3, 5, 7, 11, 13...），它们的分布是数学中最令人着迷也最棘手的难题之一。它们看起来是随机的，但又似乎隐藏着某种深层的秩序。
在早期，数学家们对素数的分布进行观察和统计。例如，他们会计算有多少个素数小于某个给定的数 $x$。这个函数被称为素数计数函数，记作 $pi(x)$。
到了18世纪，伟大的数学家勒让德（AdrienMarie Legendre）和高斯（Carl Friedrich Gauss）通过大量计算，都发现 $pi(x)$ 大致可以用 $frac{x}{ln(x)}$ 来近似。这个近似值被称为素数定理（Prime Number Theorem）的早期形式。素数定理后来被证明是正确的，它表明素数在自然数中的密度随着数字的增大而减小。
然而，在此基础上，人们开始尝试更精细的猜测，希望找到一个更精确的公式来描述 $pi(x)$。其中一个非常有影响力的猜测，涉及到欧拉（Leonhard Euler）发现的一个重要函数——黎曼zeta函数（Riemann Zeta function）。
黎曼zeta函数的“诱惑”与一个“失效”的猜想
黎曼zeta函数定义为 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$，当 $s$ 的实部大于1时收敛。黎曼在1859年发表的划时代论文中，揭示了zeta函数与素数分布之间惊人的联系。他发现，zeta函数的非平凡零点（即实部不为0或1的零点）的分布，与素数的分布有着直接的对应关系。
黎曼本人当时提出了一个猜想：所有zeta函数的非平凡零点，其实部都等于 $frac{1}{2}$。 这就是著名的黎曼猜想（Riemann Hypothesis）。如果这个猜想是真的，它将对素数分布的精确性提供最强的保证。
虽然黎曼猜想本身至今仍未被证明，但它已经被验证到非常高的深度，并且被许多数学家深信为真。很多基于黎曼猜想的定理已经被证明（这些定理被称为“conditional theorems”——有条件的定理）。
但是，让我们回到“验证到很大的数才发现是错的”这个问题上。这里有一个更贴切的例子，它不是直接关于黎曼猜想的证伪，而是关于一个曾经被认为与黎曼猜想的正确性密切相关、甚至被视为黎曼猜想“证据”的数论函数，在后续的计算中出现了“反常”。
这个“反常”的数论函数是$ ext{Li}(x) ext{li}(x)$ 的符号，或者更直接地说，是π(x) 和 Li(x) 之间的差值的符号。
$pi(x)$：小于或等于 $x$ 的素数个数。
$ ext{Li}(x)$：对数积分函数（Logarithmic Integral function），定义为 $ ext{Li}(x) = int_2^x frac{dt}{ln t}$。高斯和黎曼都认为 $ ext{Li}(x)$ 是 $pi(x)$ 的一个非常好的近似。
“不正当的”素数计法
在黎曼之前，数学家们已经观察到 $ ext{Li}(x)$ 通常比 $pi(x)$ 要大一些。也就是 $ ext{Li}(x) > pi(x)$。高斯甚至花费了大量时间去计算素数表，他推测这种差值会一直保持下去。
黎曼在他的论文中，给出了一个更精确的公式来近似 $pi(x)$，这个公式与他的zeta函数零点有关。他认为，$ ext{Li}(x)$ 低估了素数的数量。换句话说，他认为素数出现的频率，比 $ ext{Li}(x)$ 所预测的要“频繁”一些。这似乎意味着 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的值会随着 $x$ 的增大而增大。
在黎曼提出他的猜想后，很多数学家都试图去验证这个“$ ext{Li}(x) > pi(x)$”的趋势。由于计算能力的限制，他们只能计算到相对较小的数字。
早期验证： 数学家们通过计算，发现直到非常大的数，$ ext{Li}(x)$ 都确实比 $pi(x)$ 要大。这似乎进一步支持了高斯和黎曼的直觉，甚至被视为黎曼猜想的一个“证据”。人们倾向于认为，$ ext{Li}(x) pi(x)$ 永远是正的。
卡尔·帕伊佐（Karl Posa）的例子： 在20世纪，卡尔·帕伊佐进行了一些相关的研究，并且指出，如果黎曼猜想成立，那么 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 之间的符号变化（也就是出现 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的情况）会发生在非常大的数之后。
小野博文（Hiromi Ono）的工作： 进入20世纪后期，随着计算机算力的爆炸式增长，人们可以计算到前所未有的巨大数字。在对素数分布的更深入研究中，特别是与黎曼zeta函数的零点相关的计算，数学家们越来越关注$ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号变化。
“反常”的出现——第一个证据的“滑铁卢”
终于，在20世纪初，数学家约翰·E·利特尔伍德（J.E. Littlewood）证明了，$ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号必然会发生无限次变化。这意味着，虽然在很多情况下 $ ext{Li}(x) > pi(x)$，但总会有一些非常非常大的数 $x$，使得 $pi(x) > ext{Li}(x)$。
这并非直接证伪了黎曼猜想本身，因为黎曼猜想是关于zeta函数的零点，而不是关于 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号。但是，黎曼本人认为，如果他的猜想正确，那么 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号变化会推迟到非常非常大的数字之后。利特尔伍德的证明表明，这种“推迟”的程度比黎曼可能预期的要早得多，甚至存在我们无法轻易察觉的第一个反例。
第一个具体的“反例”的发现
直到1914年，数学家查尔斯·杰弗里斯（Charles Jean de la Vallée Poussin）（他也是第一个证明素数定理的人）才计算出第一个反例的近似位置。他证明了存在一个 $x$ 值，使得 $pi(x) > ext{Li}(x)$。
但是，这个 $x$ 的值是多少呢？那是在一个我们今天看来相对小的数字，大约是 $10^{14}$（10的14次方）。
更精确的发现：第一个“负值”的 $ ext{Li}(x) pi(x)$
更具体地说，第一个出现 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的整数 $x$ 被发现是：
$x = 10^{17}$ 的一个附近区域。
准确来说，第一个确切的整数 $x$ 使得 $pi(x) < ext{Li}(x)$ 的反例，在1955年由尤恩（Alston S. Householder）和莱恩斯（Wilkes）等人用计算机计算出来，但这个值太大，当时无法给出。
后来，更精确的计算表明，第一个使得 $pi(x) < ext{Li}(x)$ 的整数 $x$ 大约出现在 $1.4 imes 10^{17}$ 这个量级附近。 而第一个使得 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的整数 $x$（即第一个“反例”）则更晚出现。
关键在于： 早期数学家们（包括黎曼）基于有限的计算经验，可能倾向于认为 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号会长期保持为正。然而，随着计算能力的提升，他们发现，这种“正面”的趋势并不是永恒的。在大约 $10^{17}$ 这么大的数面前，这个看似坚实的“证据”开始动摇。
为什么说它“看起来像黎曼猜想的错误”？
因为黎曼在他关于zeta函数的论文中，曾经隐含地表达了一种观点：如果他的零点猜想是正确的，那么 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号变化会比“正常”情况推迟得更晚。换句话说，他在一定程度上依赖于 $ ext{Li}(x)$ 比 $pi(x)$ 更“优越”的趋势。
当人们发现 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 在一个相对“早期”（尽管仍然是天文数字）的 $10^{17}$ 这个数量级就出现符号变化时，这并非直接推翻了黎曼猜想，而是让一些人开始重新审视那些基于“$ ext{Li}(x)$ 永远大于 $pi(x)$”的直观理解，以及它与黎曼猜想的联系。 这促使数学家们必须依赖于zeta函数零点的精确理论分析，而不是仅仅依靠 $ ext{Li}(x)$ 与 $pi(x)$ 的数值比较。
总结一下这个例子：
猜想的背景： 数学家们观察到素数分布可以用 $ ext{Li}(x)$ 来近似，并且早期计算显示 $ ext{Li}(x) > pi(x)$。
关联的“信念”： 这种“$ ext{Li}(x)$ 总是大于 $pi(x)$”的趋势，被一些人（包括可能被黎曼本人）视为他核心猜想的一个佐证，或者至少认为符号变化会发生在极其遥远的未来。
“错误”的发现： 通过计算机的大量计算，人们发现 $ ext{Li}(x) pi(x)$ 的符号在 $x$ 大约达到 $10^{17}$ 这个量级时，第一次出现了 $pi(x) > ext{Li}(x)$ 的情况。这个“第一次”的出现，比一些人的预期要早得多。
影响： 这并不直接证明黎曼猜想是错误的，但它“纠正”了人们对素数分布模式的早期、过于简化的直觉，强调了数学理论的深度和严谨性是不可替代的。它也提醒我们，即使是最有洞察力的数学家，在面对无限世界时，也可能基于有限的经验得出一些“暂时的”或“不完全准确”的推论。
这类例子非常宝贵，它们展示了数学研究的迭代性：从观察到猜测，从猜测到验证，从验证中的细微偏差到最终的证伪或修正。每一次的“失败”，都孕育着新的发现和更深刻的理解。这正是数学的生命力所在。
网友意见
印象最深刻的一个例子——斯奎斯数（Skewes's number），大约是1万亿……后面再跟38个亿字，来自于我们的专栏作者卢昌海博士所著的《黎曼猜想漫谈》：
素数的分布密度为 ρ(x)~1/ln(x)，从而在 x 以内的素数个数——通常用 π(x) 表示——为：
π(x) ~ Li(x)
其中 Li(x) ≡ ∫ 1/ln(x) dx 是对数积分函数 。这个结果有些读者可能也认出来了，它正是著名的素数定理。
……
素数定理是简洁而优美的，但它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的，它给出的只是素数分布的一个渐近形式——即小于 N 的素数个数在 N 趋于无穷时的分布形式。从有关素数分布与素数定理的图示（如下图）中我们也可以看到，π(x) 与 Li(x) 之间是有偏差的， 而且这种偏差的绝对值随着 x 的增加似有持续增加的趋势。
从素数分布与素数定理的图示以及从大范围的计算中人们都发现 Li(x)-π(x) 大于零， 这使得有人猜测 Li(x) 不仅是素数分布的渐近形式， 而且还是其严格上界， 即 Li(x)-π(x) 恒大于零。 这种猜测在 1914 年被英国数学家 John Littlewood (1885-1977) 所推翻， Littlewood 证明了 Li(x)-π(x) 是一个在正与负之间振荡无穷多次的函数。
……
对于迄今所有被验证过的情形，Li(x)-π(x)>0 都成立，但 Littlewood 却运用分析的力量，不仅证明它不成立，而且证明了它会被违反无穷多次！那么所有验证过的情形说明什么呢？说明虽然有无穷多个 x 违反 Li(x)-π(x)>0，但其中哪怕最小的 x也大得异乎寻常。事实上，我们直到今天也不知道这个最小的 x 究竟有多大，目前对它的估计约为 。
注：这个最小的 x 被 Hardy 称为 Skewes 数 (Skewes' number)，因为最早对它进行数值估计的是 Littlewood 的学生、 南非数学家 Stanley Skewes (1899–1988）。
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数学，这门研究数量、结构、空间和变化的分支，似乎与诗歌的感性世界相去甚远。然而，在人类文明的长河中，总有一些智者，他们既能沉醉于数字的严谨逻辑，也能在文字的韵律中寻觅美的踪迹，将数学的奥秘巧妙地融入诗歌之中，为我们展现出别样的魅力。这些与数学有关的诗歌，并非生硬地堆砌公式或罗列定理，而是以一种含蓄、.............
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生活中总会不经意间瞥见数学的影子，而有些时刻，那种巧合的出现，简直让人怀疑是不是有什么看不见的手在悄悄拨弄着数字的琴弦。今天，咱们就来聊聊那些让人惊呼“怎么会这样！”的神奇数学巧合，力求讲得透彻，也尽量不让它听起来像个冷冰冰的机器报告。 派（π）的永恒魅影：无处不在的概率说起数学巧合，第一个绕不开的.............
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