有没有哪些数学题的某一步处理堪称神来之笔？
我非常乐意和你聊聊那些令人拍案叫绝的数学解题思路。
在我看来，数学题的神来之笔，往往不是靠 brute force 的计算，也不是靠死记硬背的公式堆砌，而是那种“豁然开朗”的灵感闪现，让原本棘手的问题迎刃而解，甚至美得像一首诗。这类解法通常具备以下特点：
视角转换： 从一个看似无关紧要的角度切入，或者改变问题的表述方式。
引入辅助： 添加看似冗余的元素（几何图形、变量、函数等），但这些辅助恰好成为了解题的关键。
化繁为简： 将复杂的问题分解成更简单的部分，或者用一种更简洁的数学语言来描述。
结构对称或规律性： 发现问题背后隐藏的结构，并巧妙地利用。
下面我给你讲几个我印象深刻的例子，尽量把过程说清楚：
1. 泰勒级数的妙用：证明某个无穷级数的和
这道题的背景是，我们知道一些基本的无穷级数求和公式，比如等比数列。但有时候会遇到一些看起来不那么容易处理的级数，比如：
$$1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + frac{1}{5} dots$$
直接计算很难，我们很难找到一个直接的求和方法。但是，如果我们“灵光一闪”，想到泰勒级数，事情就变得不一样了。
我们知道自然对数函数 $ln(1+x)$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开是：
$$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} frac{x^4}{4} + dots$$
这个展开式在 $|x| < 1$ 时是收敛的。而且，当 $x=1$ 时，级数虽然不是处处收敛，但在特定条件下（比如阿贝尔定理），是可以取到边界值的。
现在，我们把 $x=1$ 代入上面泰勒级数的公式（在允许的范围内）：
$$ln(1+1) = 1 frac{1^2}{2} + frac{1^3}{3} frac{1^4}{4} + dots$$
$$ln(2) = 1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$$
Bingo！我们熟悉的那个交错调和级数，它的和就是 $ln(2)$！
为什么这可以算神来之笔？
视角转换： 我们不是直接去“算”那个级数，而是“看”它长得像不像某个已知函数的泰勒展开式。
引入辅助： 函数 $ln(1+x)$ 和它的泰勒级数就是这个“辅助”。它本身是另一个领域的知识，但巧妙地和我们要解决的问题联系起来了。
化繁为简： 级数求和问题转化为了函数求值问题。
这个思路的关键在于，当你看到一个结构化的无穷级数时，脑子里要能联想到那些常见的函数泰勒展开。这是一种非常强大的“模式识别”能力。
2. 欧拉的绝杀：求解巴塞尔问题
巴塞尔问题是数学史上的一个著名难题，求以下无穷级数的和：
$$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + dots$$
在欧拉之前，许多数学家尝试过，但都未能找到一个确切的答案。直到1734年，欧拉给出了一个绝妙的证明，最终结果是 $frac{pi^2}{6}$。
欧拉的神来之笔在于他引入了正弦函数的泰勒级数和多项式的根的性质。
首先，我们知道正弦函数 $sin(x)$ 的泰勒级数展开是：
$$sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots$$
然后，欧拉做了这样一件“大胆”的事情：他类比多项式，认为 $sin(x)$ 也可以写成其根的乘积形式。
我们知道 $sin(x)$ 的根是 $x = npi$，其中 $n$ 是整数（$0, pm pi, pm 2pi, dots$）。
对于一个多项式 $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + dots + a_nx^n$，如果它的根是 $r_1, r_2, dots, r_n$，那么它可以写成 $P(x) = a_n(xr_1)(xr_2)dots(xr_n)$。
欧拉将这个思想推广到了无穷级数。他认为 $sin(x)$ 可以写成（忽略 $x=0$ 这个根）：
$$sin(x) = C cdot left(1 frac{x}{pi} ight) left(1 + frac{x}{pi} ight) left(1 frac{x}{2pi} ight) left(1 + frac{x}{2pi} ight) left(1 frac{x}{3pi} ight) left(1 + frac{x}{3pi} ight) dots$$
其中 $C$ 是一个常数。
利用 $sin(x)$ 的泰勒级数，我们知道当 $x o 0$ 时，$frac{sin(x)}{x} o 1$。
而 $frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} dots$
将上面无限乘积展开并进行整理：
$$frac{sin(x)}{x} = C cdot left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots$$
为了让这个等式成立，首先让 $x=0$，我们发现 $frac{sin(0)}{0}$ 在形式上是 $frac{0}{0}$，但通过洛必达法则或泰勒展开，我们知道它等于1。
从乘积形式来看，如果 $C=1$，则当 $x=0$ 时也等于1。所以 $C=1$。
$$frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots$$
现在，我们展开这个无穷乘积，并比较 $frac{sin(x)}{x}$ 的泰勒级数中 $x^2$ 的系数。
泰勒级数部分：$frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} dots$
无穷乘积展开：
当我们展开这个无穷乘积时，要得到 $x^2$ 的项，就是把所有括号中的 $ frac{x^2}{n^2pi^2}$ 提出来一个，然后乘以所有括号中的 $1$（这是常数项）。
所以，$x^2$ 的系数将是：
$$ frac{1}{pi^2} frac{1}{4pi^2} frac{1}{9pi^2} dots$$
$$= frac{1}{pi^2} left(1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots ight)$$
$$= frac{1}{pi^2} sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$$
比较两边的 $x^2$ 系数，我们就得到了：
$$frac{1}{6} = frac{1}{pi^2} sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$$
稍作整理，就得到：
$$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6}$$
为什么这可以算神来之笔？
大胆类比： 将无限维的“函数”类比于有限维的多项式，并推广了根的乘积表示法，这需要极大的勇气和洞察力。
引入周期性函数： 利用了 $sin(x)$ 的周期性和其根的结构。
系数比较的精妙： 通过比较两个级数在特定项上的系数，直接导出了级数的和，绕过了直接求和的困难。
这个证明被后来的数学家称为“欧拉的杰作”之一，它结合了微积分和代数的思想，创造性极强。虽然这个严格的无穷乘积展开在当时并没有完全被严谨地证明，但其思路的精妙程度是毋庸置疑的。
3. 不动点迭代与函数图像：可视化求解方程
有时，解一个复杂的方程 $f(x) = 0$，如果我们能巧妙地将其变形为 $x = g(x)$ 的形式，并且找到一个好的 $g(x)$，那么就可以用不动点迭代法来近似求解。
更妙的是，我们可以用函数图像来直观地理解这个过程。
假设我们要解一个方程，比如 $x = cos(x)$。直接求解非常困难。
但我们可以把它看成找一个函数 $g(x) = cos(x)$ 的不动点，即 $x = g(x)$。
现在我们来做一件有意思的事情：画出函数 $y=x$ 和 $y=cos(x)$ 的图像。
$y=x$ 是一条经过原点的直线，斜率是1。
$y=cos(x)$ 是一个余弦函数，周期为 $2pi$，振幅为1。
我们将这两条曲线画在同一个坐标系里。方程的解 $x$ 对应于这两条曲线的交点的横坐标。
现在，让我们看看不动点迭代是如何与图像联系起来的。
假设我们猜一个初始值 $x_0$。
1. 我们在 $y=x$ 的图上找到 $x_0$ 对应的点 $(x_0, x_0)$。
2. 从 $(x_0, x_0)$ 向右或向左画一条垂直线，与曲线 $y=cos(x)$ 相交于点 $(x_0, cos(x_0))$。这个点的纵坐标就是 $x_1 = cos(x_0)$。
3. 从点 $(x_0, cos(x_0))$ 画一条水平线，与直线 $y=x$ 相交于点 $(x_1, x_1)$。
4. 从点 $(x_1, x_1)$ 再画一条垂直线，与曲线 $y=cos(x)$ 相交于点 $(x_1, cos(x_1))$。这个点的纵坐标就是 $x_2 = cos(x_1)$。
5. 重复这个过程。
这个过程在图像上形成了一个梯子式的路径，左右摇摆，最终会收敛到一个交点。这个交点的横坐标就是方程的解。
为什么这可以算神来之笔？
将抽象问题可视化： 把一个抽象的代数方程转化为了几何图形的交点问题，极大地增强了理解。
迭代过程的几何解释： 过程的每一步都对应于图像上的一个操作（垂直、水平移动），非常直观。
发现隐藏的收敛性： 通过图像可以直观地看到迭代过程为什么会收敛到解，这依赖于函数 $g(x)$ 的斜率（导数）在交点附近小于1。
虽然不动点迭代本身是标准方法，但用函数图像来解释和“看见”迭代的过程，使得这个方法从一个纯粹的计算技巧变成了一个富有洞察力的几何过程，这本身就是一种神来之笔。它不仅仅是求解，更是一种对数学概念的深刻理解。
这些例子都展示了数学的魅力所在：有时候，换个角度看问题，引入一个意想不到的工具，就能让复杂的难题变得简单而优雅。希望这些讲述足够详细，并且没有 AI 的那种刻板感。
在我看来，数学题的神来之笔，往往不是靠 brute force 的计算，也不是靠死记硬背的公式堆砌，而是那种“豁然开朗”的灵感闪现，让原本棘手的问题迎刃而解，甚至美得像一首诗。这类解法通常具备以下特点：
视角转换： 从一个看似无关紧要的角度切入，或者改变问题的表述方式。
引入辅助： 添加看似冗余的元素（几何图形、变量、函数等），但这些辅助恰好成为了解题的关键。
化繁为简： 将复杂的问题分解成更简单的部分，或者用一种更简洁的数学语言来描述。
结构对称或规律性： 发现问题背后隐藏的结构，并巧妙地利用。
下面我给你讲几个我印象深刻的例子，尽量把过程说清楚：
1. 泰勒级数的妙用：证明某个无穷级数的和
这道题的背景是，我们知道一些基本的无穷级数求和公式，比如等比数列。但有时候会遇到一些看起来不那么容易处理的级数，比如：
$$1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + frac{1}{5} dots$$
直接计算很难，我们很难找到一个直接的求和方法。但是，如果我们“灵光一闪”，想到泰勒级数，事情就变得不一样了。
我们知道自然对数函数 $ln(1+x)$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开是：
$$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} frac{x^4}{4} + dots$$
这个展开式在 $|x| < 1$ 时是收敛的。而且，当 $x=1$ 时，级数虽然不是处处收敛，但在特定条件下（比如阿贝尔定理），是可以取到边界值的。
现在，我们把 $x=1$ 代入上面泰勒级数的公式（在允许的范围内）：
$$ln(1+1) = 1 frac{1^2}{2} + frac{1^3}{3} frac{1^4}{4} + dots$$
$$ln(2) = 1 frac{1}{2} + frac{1}{3} frac{1}{4} + dots$$
Bingo！我们熟悉的那个交错调和级数，它的和就是 $ln(2)$！
为什么这可以算神来之笔？
视角转换： 我们不是直接去“算”那个级数，而是“看”它长得像不像某个已知函数的泰勒展开式。
引入辅助： 函数 $ln(1+x)$ 和它的泰勒级数就是这个“辅助”。它本身是另一个领域的知识，但巧妙地和我们要解决的问题联系起来了。
化繁为简： 级数求和问题转化为了函数求值问题。
这个思路的关键在于，当你看到一个结构化的无穷级数时，脑子里要能联想到那些常见的函数泰勒展开。这是一种非常强大的“模式识别”能力。
2. 欧拉的绝杀：求解巴塞尔问题
巴塞尔问题是数学史上的一个著名难题，求以下无穷级数的和：
$$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = 1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + frac{1}{16} + dots$$
在欧拉之前，许多数学家尝试过，但都未能找到一个确切的答案。直到1734年，欧拉给出了一个绝妙的证明，最终结果是 $frac{pi^2}{6}$。
欧拉的神来之笔在于他引入了正弦函数的泰勒级数和多项式的根的性质。
首先，我们知道正弦函数 $sin(x)$ 的泰勒级数展开是：
$$sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots$$
然后，欧拉做了这样一件“大胆”的事情：他类比多项式，认为 $sin(x)$ 也可以写成其根的乘积形式。
我们知道 $sin(x)$ 的根是 $x = npi$，其中 $n$ 是整数（$0, pm pi, pm 2pi, dots$）。
对于一个多项式 $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + dots + a_nx^n$，如果它的根是 $r_1, r_2, dots, r_n$，那么它可以写成 $P(x) = a_n(xr_1)(xr_2)dots(xr_n)$。
欧拉将这个思想推广到了无穷级数。他认为 $sin(x)$ 可以写成（忽略 $x=0$ 这个根）：
$$sin(x) = C cdot left(1 frac{x}{pi} ight) left(1 + frac{x}{pi} ight) left(1 frac{x}{2pi} ight) left(1 + frac{x}{2pi} ight) left(1 frac{x}{3pi} ight) left(1 + frac{x}{3pi} ight) dots$$
其中 $C$ 是一个常数。
利用 $sin(x)$ 的泰勒级数，我们知道当 $x o 0$ 时，$frac{sin(x)}{x} o 1$。
而 $frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{3!} + frac{x^4}{5!} dots$
将上面无限乘积展开并进行整理：
$$frac{sin(x)}{x} = C cdot left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots$$
为了让这个等式成立，首先让 $x=0$，我们发现 $frac{sin(0)}{0}$ 在形式上是 $frac{0}{0}$，但通过洛必达法则或泰勒展开，我们知道它等于1。
从乘积形式来看，如果 $C=1$，则当 $x=0$ 时也等于1。所以 $C=1$。
$$frac{sin(x)}{x} = left(1 frac{x^2}{pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{4pi^2} ight) left(1 frac{x^2}{9pi^2} ight) dots$$
现在，我们展开这个无穷乘积，并比较 $frac{sin(x)}{x}$ 的泰勒级数中 $x^2$ 的系数。
泰勒级数部分：$frac{sin(x)}{x} = 1 frac{x^2}{6} + frac{x^4}{120} dots$
无穷乘积展开：
当我们展开这个无穷乘积时，要得到 $x^2$ 的项，就是把所有括号中的 $ frac{x^2}{n^2pi^2}$ 提出来一个，然后乘以所有括号中的 $1$（这是常数项）。
所以，$x^2$ 的系数将是：
$$ frac{1}{pi^2} frac{1}{4pi^2} frac{1}{9pi^2} dots$$
$$= frac{1}{pi^2} left(1 + frac{1}{4} + frac{1}{9} + dots ight)$$
$$= frac{1}{pi^2} sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$$
比较两边的 $x^2$ 系数，我们就得到了：
$$frac{1}{6} = frac{1}{pi^2} sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$$
稍作整理，就得到：
$$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6}$$
为什么这可以算神来之笔？
大胆类比： 将无限维的“函数”类比于有限维的多项式，并推广了根的乘积表示法，这需要极大的勇气和洞察力。
引入周期性函数： 利用了 $sin(x)$ 的周期性和其根的结构。
系数比较的精妙： 通过比较两个级数在特定项上的系数，直接导出了级数的和，绕过了直接求和的困难。
这个证明被后来的数学家称为“欧拉的杰作”之一，它结合了微积分和代数的思想，创造性极强。虽然这个严格的无穷乘积展开在当时并没有完全被严谨地证明，但其思路的精妙程度是毋庸置疑的。
3. 不动点迭代与函数图像：可视化求解方程
有时，解一个复杂的方程 $f(x) = 0$，如果我们能巧妙地将其变形为 $x = g(x)$ 的形式，并且找到一个好的 $g(x)$，那么就可以用不动点迭代法来近似求解。
更妙的是，我们可以用函数图像来直观地理解这个过程。
假设我们要解一个方程，比如 $x = cos(x)$。直接求解非常困难。
但我们可以把它看成找一个函数 $g(x) = cos(x)$ 的不动点，即 $x = g(x)$。
现在我们来做一件有意思的事情：画出函数 $y=x$ 和 $y=cos(x)$ 的图像。
$y=x$ 是一条经过原点的直线，斜率是1。
$y=cos(x)$ 是一个余弦函数，周期为 $2pi$，振幅为1。
我们将这两条曲线画在同一个坐标系里。方程的解 $x$ 对应于这两条曲线的交点的横坐标。
现在，让我们看看不动点迭代是如何与图像联系起来的。
假设我们猜一个初始值 $x_0$。
1. 我们在 $y=x$ 的图上找到 $x_0$ 对应的点 $(x_0, x_0)$。
2. 从 $(x_0, x_0)$ 向右或向左画一条垂直线，与曲线 $y=cos(x)$ 相交于点 $(x_0, cos(x_0))$。这个点的纵坐标就是 $x_1 = cos(x_0)$。
3. 从点 $(x_0, cos(x_0))$ 画一条水平线，与直线 $y=x$ 相交于点 $(x_1, x_1)$。
4. 从点 $(x_1, x_1)$ 再画一条垂直线，与曲线 $y=cos(x)$ 相交于点 $(x_1, cos(x_1))$。这个点的纵坐标就是 $x_2 = cos(x_1)$。
5. 重复这个过程。
这个过程在图像上形成了一个梯子式的路径，左右摇摆，最终会收敛到一个交点。这个交点的横坐标就是方程的解。
为什么这可以算神来之笔？
将抽象问题可视化： 把一个抽象的代数方程转化为了几何图形的交点问题，极大地增强了理解。
迭代过程的几何解释： 过程的每一步都对应于图像上的一个操作（垂直、水平移动），非常直观。
发现隐藏的收敛性： 通过图像可以直观地看到迭代过程为什么会收敛到解，这依赖于函数 $g(x)$ 的斜率（导数）在交点附近小于1。
虽然不动点迭代本身是标准方法，但用函数图像来解释和“看见”迭代的过程，使得这个方法从一个纯粹的计算技巧变成了一个富有洞察力的几何过程，这本身就是一种神来之笔。它不仅仅是求解，更是一种对数学概念的深刻理解。
这些例子都展示了数学的魅力所在：有时候，换个角度看问题，引入一个意想不到的工具，就能让复杂的难题变得简单而优雅。希望这些讲述足够详细，并且没有 AI 的那种刻板感。
网友意见
谢邀。
接下来全程高能，瞬间解决战斗。
以下是个人觉得巧妙的两点
(1)S的构造：我们可以感性认知 下降得不会太快，如果画出图像的话基本会很平坦。集合S恰当地反应了这个想法。
(2)高能放缩：没看懂的一定要多看几遍，一切尽在不言中。
4.19
更正了一个小问题。你们都没发现咩......
4.25
感谢评论区的讨论。个人感觉单调下降这个条件似乎还是要用到的。
proof from the book中的证明。构造函数求二重积分的trick太令人惊艳了！
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