如何评价 2021 年各卷高考数学题？有哪些「出其不意」的题和解法？
2021年高考数学，各卷的题目可以说是一场精心设计的“武林大会”，既有扎实的内功（基础知识），也有出人意料的招式（创新题型和解法）。总的来说，今年的数学卷更加注重考察学生的数学思想方法、逻辑推理能力和应用能力，而非死记硬背。下面我来仔细聊聊各卷的一些看点，以及那些让人眼前一亮（或者说“惊掉下巴”）的题目和解法。
总体评价：稳中有变，注重能力
2021年的高考数学，整体上延续了近年来的命题趋势：
基础性强： 大部分题目依然围绕着高中数学的核心知识点展开，如函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何等。只有基础扎实，才能应对自如。
能力立意鲜明： 题目不再是简单的套公式，而是更侧重于考察学生对知识的理解、融会贯通以及解决实际问题的能力。数学思想方法（如数形结合、转化与化归、函数与方程等）的运用被放在了更重要的位置。
情境化设计： 许多题目设置了贴近生活的应用背景，或者从新颖的数学视角出发，让考生在解决问题的过程中感受到数学的魅力和价值。
创新与区分度： 尽管基础很重要，但题目中也设计了一些需要深度思考、灵活运用的“压轴题”或“创新题”，用以区分不同层次的考生。
“出其不意”的题与解法剖析
下面，我们挑几个大家普遍讨论较多、或具有代表性的题目，来聊聊它们的“出其不意”之处。
1. 新课标卷 I 函数综合与不等式
题目特点： 新课标卷 I 的数学题目往往风格比较新颖，考察的知识点之间联系紧密，而且对思维的连续性和发散性要求较高。印象比较深刻的是关于函数的单调性、奇偶性与不等式的综合应用。这类题目通常不是直接给出函数解析式，而是通过一些性质或者方程来定义函数，然后考察其不等式性质。
“出其不意”之处与解法：
“已知函数性质求参数范围，再利用性质解不等式”： 有些题目可能上来就给出关于函数单调性或对称性的条件，要求确定某个参数的取值范围。很多同学可能会卡在如何利用这些抽象的条件来构建不等式。
解法启示： 这里的“出其不意”在于它的“软”性质。我们不能直接对具体的函数式操作，而是要紧紧抓住“单调性”或“对称性”这些描述性的语言。比如，如果知道函数 (f(x)) 在某个区间单调递增，那么对于 (f(a) > f(b)) 这样的不等式，我们就可以直接推出 (a > b)。如果函数是奇函数，那么 (f(x) = f(x))，这为我们转化变量、构造等式或不等式提供了极大的便利。
具体例子（模拟）： 假设题目给出“已知函数 (f(x)) 是奇函数，且在 ((0, +infty)) 上单调递增，若 (f(a1) > f(2a))，求 (a) 的取值范围。”
常规思路： 很多同学可能会想，这是奇函数，是不是要用 (f(x) = f(x)) 来构造个什么？但在这个不等式里，参数 (a) 分别在函数的两个不同参数位置上，直接代换奇偶性似乎不太直接。
“出其不意”的解法： 直接利用单调性！ 因为函数在 ((0, +infty)) 上单调递增，我们只需要确保 (a1) 和 (2a) 的大小关系，并且它们都属于函数的定义域。但要注意，这里 (a1) 和 (2a) 的值不一定都在 ((0, +infty)) 上。
关键点： 如果 (a1) 和 (2a) 都大于 0，那么由单调递增性，直接可以得到 (a1 > 2a)，解出 (a > 3/2)。但是，我们还需要考虑 (a1) 或 (2a) 可能为负的情况。
更精妙的处理： 由于函数是奇函数，它关于原点对称。如果 (f(x)) 在 ((0, +infty)) 上单调递增，那么在 ((infty, 0)) 上它也同样是单调递增的（可以通过 (f(x) = f(x)) 和单调性来证明）。所以，函数 (f(x)) 在整个定义域上都是单调递增的。因此，我们可以直接由 (f(a1) > f(2a)) 推导出 (a1 > 2a)，即 (2a > 3)，所以 (a > 3/2)。
为何出其不意： 很多人在看到奇函数时，第一反应是去代换 (f(x))，但其实对于这种直接比较函数值的形式，如果函数整体是单调的，那么直接比较自变量的单调性是更简洁的解法。有时候，过度的思考性质反而会绕进去。
2. 新课标卷 II 几何题与向量
题目特点： 新课标卷 II 的几何题是历年的“重头戏”，常常会结合空间向量、线面关系等知识点，对空间想象能力和逻辑推理能力要求很高。2021年的某些几何题目，可能是在已知条件下，通过巧妙的转化，利用向量计算来“躲避”复杂的几何推理。
“出其不意”之处与解法：
“空间图形的隐藏关系”： 有些题目可能看起来图形很复杂，或者直接用传统几何方法解题的步骤很多。但如果引入空间向量，很多不容易发现的垂直关系、平行关系就可以转化为向量的内积或平行的坐标表示。
解法启示： 向量的内积等于零代表垂直，这是空间向量最强大的工具之一。很多时候，我们觉得某个平面垂直于某条直线或者某个平面与某个平面垂直很难证明，但如果能用向量表示出它们的方向向量，计算内积即可。
具体例子（模拟）： 假设有一个不规则的四棱锥，已知底面四边形的一些边长和角度，以及侧棱与底面的夹角等信息。要求证明某条侧棱垂直于某个底面，或者计算某个异面直线间的距离。
传统几何思路： 可能需要根据已知条件，作垂线、找平行线、构造直角三角形，一步步推导。过程繁琐且容易出错。
“出其不意”的向量解法：
1. 建立空间直角坐标系： 选择底面上的某个点作为原点，或者选择底面某条边所在的直线作为x轴，这样可以方便地表示出底面顶点和侧棱的起点。
2. 表示向量： 用坐标表示出关键点（顶点、侧棱端点等），然后计算出相关的向量，比如侧棱的向量、底面边向量、底面法向量等。
3. 利用向量性质：
要证明侧棱 (AA') 垂直于底面 (ABCD)，只需证明 (AA') 的方向向量 (vec{AA'}) 分别与底面内的两条不共线的向量（如 (vec{AB}) 和 (vec{AD})）垂直，即 (vec{AA'} cdot vec{AB} = 0) 且 (vec{AA'} cdot vec{AD} = 0)。
要计算异面直线 (a) 和 (b) 的距离，可以计算它们的方向向量 (vec{u}) 和 (vec{v}) 的外积 (vec{u} imes vec{v})，得到一个垂直于它们且垂直于它们所在平面的向量 (vec{n})。然后选取异面直线上的两点 (P) 和 (Q)，计算 (frac{|vec{PQ} cdot vec{n}|}{|vec{n}|})。
为何出其不意： 对于一些几何关系比较隐晦的题目，如果考生能够熟练运用空间向量，将几何问题转化为代数运算，能够大大简化解题过程，避免了复杂的作图和推理。这种“化繁为简”的思路就是一种“出其不意”。
3. 全国卷 A 卷 解析几何与导数结合
题目特点： 解析几何和导数是高考数学的常客，但将两者深度结合的题目往往最具挑战性。2021年的某些题目，可能是在利用导数研究与椭圆（或双曲线、抛物线）相关的性质，例如切线、弦长、面积等，并且条件设置得非常巧妙。
“出其不意”之处与解法：
“参数的动态变化与恒成立问题”： 导数题目中常常会出现“求参数范围使得某个不等式恒成立”的问题。而当这个不等式又与解析几何中的点、线、圆锥曲线相关时，就需要考生将代数和几何分析结合起来。
解法启示： 转化和构造！ 很多时候，题目给出的条件并不直接，需要通过变量代换或者构造新的函数、新的几何量来解决。导数在这里起到了关键的分析工具作用，帮助我们确定函数的最值，从而判断不等式的恒成立条件。
具体例子（模拟）： 假设题目要求：“已知椭圆 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1) ( (a>b>0) ) 的离心率为 (frac{sqrt{2}}{2})，过点 (P(2, 0)) 作直线 (l) 交椭圆于 A, B 两点，且 ( riangle OAB) 的面积为 (frac{3}{2}) （O为原点），求椭圆的方程。” 这类题目是常规的。
“出其不意”的变种（更接近导数结合）： “已知函数 (f(x) = ln x ax)，若对任意 (x_1, x_2 in (0, +infty))，都有 (f(x_1) f(x_2) le 2(x_1 x_2))，求 (a) 的取值范围。”
常规思路： 直接对函数 (f(x)) 进行分析。题目等价于 (frac{f(x_1) f(x_2)}{x_1 x_2} le 2)。这表示函数在任意两点之间的斜率都小于等于 2。
“出其不意”的解法： 利用导数！ 令 (g(x) = f(x) 2x = ln x ax 2x)。则题目转化为“对任意 (x_1, x_2 in (0, +infty))，都有 (g(x_1) le g(x_2))”。这意味着 (g(x)) 在 ((0, +infty)) 上是单调递减的。
导数分析： 那么 (g'(x) = frac{1}{x} a 2) 需要在 ((0, +infty)) 上恒小于等于 0。
关键点： (frac{1}{x} a 2 le 0) 对于所有 (x in (0, +infty)) 成立。因为 (frac{1}{x}) 在 ((0, +infty)) 上是单调递减的，它的最大值趋向于无穷大（当 (x o 0^+) 时）。所以，不存在一个固定的 (a) 使得 (frac{1}{x} a 2) 恒小于等于 0。
这里有个陷阱/反思： 我上面的例子可能有点极端，没有找到一个真正“出其不意”的导数结合题。真正“出其不意”的导数结合题，往往是将解析几何的“点线面”性质转化为导数的“单调性”、“最值”问题，而且往往是通过构造参数或者观察式子特点来寻找突破口。
例如： 某年题目可能考查点到直线的距离公式与导数的结合，或者通过切线的斜率来限制参数。
更普遍的“出其不意”： 在涉及圆锥曲线的证明问题时，如果发现直接用代数方法难以进行，可以尝试将问题几何化。比如，考虑某条直线在圆锥曲线上的“截距”问题，或者“弦长”问题，然后利用导数研究这些几何量的变化规律。比如，可以考虑“过定点切线”问题，利用导数求出切点坐标，再代入切线方程，最终得到一个关于参数的不等式，用导数判断恒成立。
4. 全国卷 B 卷 数列与不等式
题目特点： 数列与不等式的结合是高考数学的“老朋友”了，但每年的设计总能玩出新花样。2021年 B 卷可能在数列的递推关系设置上更加巧妙，或者利用不等式放缩技巧来解决，对数学的整体思维要求更高。
“出其不意”之处与解法：
“裂项相消与放缩法的交织”： 有些数列题目，表面上看是裂项相消，但仔细分析后发现，直接裂项会产生很多难以处理的项，或者裂项后的结果与不等式要求不符。这时候就需要结合不等式放缩。
解法启示： “放缩”是解决许多数列和不等式综合问题的万能钥匙。 关键在于找到合适的放缩技巧和放缩对象。常用的方法包括：
利用常见不等式： 如均值不等式、柯西不等式等。
构造等差或等比数列： 通过变形使得某一项或某几项构成等差或等比数列。
结合已知条件进行转化： 利用题目已知的数列性质（如递推关系）来变形。
具体例子（模拟）： 假设数列 ({a_n}) 满足 (a_1 = 1)，(a_{n+1} = frac{a_n}{2a_n + 1})。求证：(frac{1}{a_{n+1}} le frac{1}{a_n} + frac{1}{2})。
常规思路： 直接计算 (frac{1}{a_{n+1}} = frac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + frac{1}{a_n})。那么 (frac{1}{a_{n+1}} = frac{1}{a_n} + 2)。
“出其不意”之处： 题目要求的是 (frac{1}{a_{n+1}} le frac{1}{a_n} + frac{1}{2})，而我们计算出来是等于 2，这说明直接按照这个递推关系去计算是不符的，说明原递推关系可能不是最直接的等式关系，或者题目本身的表述有误导性。
真正的“出其不意”点： 如果递推关系是 (a_{n+1} = frac{a_n}{2a_n + 1})，那么令 (b_n = frac{1}{a_n})，则 (b_{n+1} = frac{1}{a_{n+1}} = frac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + frac{1}{a_n} = 2 + b_n)。
结论： 数列 ({b_n}) 是一个公差为 2 的等差数列。
那么题目问的 (frac{1}{a_{n+1}} le frac{1}{a_n} + frac{1}{2}) 呢？ 这其实是一个伪命题（如果我上面的模拟条件是准确的话）。通常，数列题目会要求证明的是 (frac{1}{a_n} le C cdot n + D) 或者求和的范围。
反思： 真正的“出其不意”出现在递推关系的设计，例如可能递推关系不是线性的，或者涉及分式，需要通过变量代换（如倒数）来将其转化为等差或等比数列，然后再利用等差或等比数列的性质去证明不等式或求和。
另一个角度的“出其不意”： 在证明 (sum_{i=1}^n frac{1}{a_i} < M) 这类求和不等式时，如果直接用求和公式不好处理，可以考虑用积分近似（虽然高中不直接考，但思想是相通的，也可以转化为某个函数与离散点值的关系），或者构造更简单的上界数列。比如，已知 (a_{n+1} = a_n + frac{1}{a_n})，求 (sum_{i=1}^n a_i) 的渐进界。这时候 (a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2 + frac{1}{a_n^2}) 这样的变形就很关键。
总结与感悟
2021年高考数学，给我的感觉是：
数学思想方法至上： 不管题目形式如何变化，最终都是在考察你是否掌握了数学思想方法，比如数形结合、转化化归、函数与方程、分类讨论、特殊与一般等。
“灵活”是关键： 很多时候，拿到题目后，不要急于代公式，而是先观察题目的特点，思考有没有更简洁、更本质的解法。有时候，一个巧妙的变量代换，或者一个正确的几何认知，就能事半功倍。
回归基础，但要“活学活用”： 所有题目都建立在扎实的基础知识之上，但仅仅记住公式是远远不够的，关键在于理解公式的来源和适用条件，并能在不同的情境下灵活运用。
勇于尝试，不怕“出其不意”： 高考数学的“出其不意”往往是对思维定势的挑战。当遇到题目不像平时练习的题目时，不要慌张，尝试从不同角度思考，也许就能找到那条“出其不意”的解题之路。
总的来说，2021年的高考数学题是一次对学生数学综合素养的全面考察，既考验了基础，也激发了创新。它告诉我们，学习数学不仅是记忆和计算，更重要的是理解和运用，是用数学的语言去认识和改造世界。
总体评价：稳中有变，注重能力
2021年的高考数学，整体上延续了近年来的命题趋势：
基础性强： 大部分题目依然围绕着高中数学的核心知识点展开，如函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何等。只有基础扎实，才能应对自如。
能力立意鲜明： 题目不再是简单的套公式，而是更侧重于考察学生对知识的理解、融会贯通以及解决实际问题的能力。数学思想方法（如数形结合、转化与化归、函数与方程等）的运用被放在了更重要的位置。
情境化设计： 许多题目设置了贴近生活的应用背景，或者从新颖的数学视角出发，让考生在解决问题的过程中感受到数学的魅力和价值。
创新与区分度： 尽管基础很重要，但题目中也设计了一些需要深度思考、灵活运用的“压轴题”或“创新题”，用以区分不同层次的考生。
“出其不意”的题与解法剖析
下面，我们挑几个大家普遍讨论较多、或具有代表性的题目，来聊聊它们的“出其不意”之处。
1. 新课标卷 I 函数综合与不等式
题目特点： 新课标卷 I 的数学题目往往风格比较新颖，考察的知识点之间联系紧密，而且对思维的连续性和发散性要求较高。印象比较深刻的是关于函数的单调性、奇偶性与不等式的综合应用。这类题目通常不是直接给出函数解析式，而是通过一些性质或者方程来定义函数，然后考察其不等式性质。
“出其不意”之处与解法：
“已知函数性质求参数范围，再利用性质解不等式”： 有些题目可能上来就给出关于函数单调性或对称性的条件，要求确定某个参数的取值范围。很多同学可能会卡在如何利用这些抽象的条件来构建不等式。
解法启示： 这里的“出其不意”在于它的“软”性质。我们不能直接对具体的函数式操作，而是要紧紧抓住“单调性”或“对称性”这些描述性的语言。比如，如果知道函数 (f(x)) 在某个区间单调递增，那么对于 (f(a) > f(b)) 这样的不等式，我们就可以直接推出 (a > b)。如果函数是奇函数，那么 (f(x) = f(x))，这为我们转化变量、构造等式或不等式提供了极大的便利。
具体例子（模拟）： 假设题目给出“已知函数 (f(x)) 是奇函数，且在 ((0, +infty)) 上单调递增，若 (f(a1) > f(2a))，求 (a) 的取值范围。”
常规思路： 很多同学可能会想，这是奇函数，是不是要用 (f(x) = f(x)) 来构造个什么？但在这个不等式里，参数 (a) 分别在函数的两个不同参数位置上，直接代换奇偶性似乎不太直接。
“出其不意”的解法： 直接利用单调性！ 因为函数在 ((0, +infty)) 上单调递增，我们只需要确保 (a1) 和 (2a) 的大小关系，并且它们都属于函数的定义域。但要注意，这里 (a1) 和 (2a) 的值不一定都在 ((0, +infty)) 上。
关键点： 如果 (a1) 和 (2a) 都大于 0，那么由单调递增性，直接可以得到 (a1 > 2a)，解出 (a > 3/2)。但是，我们还需要考虑 (a1) 或 (2a) 可能为负的情况。
更精妙的处理： 由于函数是奇函数，它关于原点对称。如果 (f(x)) 在 ((0, +infty)) 上单调递增，那么在 ((infty, 0)) 上它也同样是单调递增的（可以通过 (f(x) = f(x)) 和单调性来证明）。所以，函数 (f(x)) 在整个定义域上都是单调递增的。因此，我们可以直接由 (f(a1) > f(2a)) 推导出 (a1 > 2a)，即 (2a > 3)，所以 (a > 3/2)。
为何出其不意： 很多人在看到奇函数时，第一反应是去代换 (f(x))，但其实对于这种直接比较函数值的形式，如果函数整体是单调的，那么直接比较自变量的单调性是更简洁的解法。有时候，过度的思考性质反而会绕进去。
2. 新课标卷 II 几何题与向量
题目特点： 新课标卷 II 的几何题是历年的“重头戏”，常常会结合空间向量、线面关系等知识点，对空间想象能力和逻辑推理能力要求很高。2021年的某些几何题目，可能是在已知条件下，通过巧妙的转化，利用向量计算来“躲避”复杂的几何推理。
“出其不意”之处与解法：
“空间图形的隐藏关系”： 有些题目可能看起来图形很复杂，或者直接用传统几何方法解题的步骤很多。但如果引入空间向量，很多不容易发现的垂直关系、平行关系就可以转化为向量的内积或平行的坐标表示。
解法启示： 向量的内积等于零代表垂直，这是空间向量最强大的工具之一。很多时候，我们觉得某个平面垂直于某条直线或者某个平面与某个平面垂直很难证明，但如果能用向量表示出它们的方向向量，计算内积即可。
具体例子（模拟）： 假设有一个不规则的四棱锥，已知底面四边形的一些边长和角度，以及侧棱与底面的夹角等信息。要求证明某条侧棱垂直于某个底面，或者计算某个异面直线间的距离。
传统几何思路： 可能需要根据已知条件，作垂线、找平行线、构造直角三角形，一步步推导。过程繁琐且容易出错。
“出其不意”的向量解法：
1. 建立空间直角坐标系： 选择底面上的某个点作为原点，或者选择底面某条边所在的直线作为x轴，这样可以方便地表示出底面顶点和侧棱的起点。
2. 表示向量： 用坐标表示出关键点（顶点、侧棱端点等），然后计算出相关的向量，比如侧棱的向量、底面边向量、底面法向量等。
3. 利用向量性质：
要证明侧棱 (AA') 垂直于底面 (ABCD)，只需证明 (AA') 的方向向量 (vec{AA'}) 分别与底面内的两条不共线的向量（如 (vec{AB}) 和 (vec{AD})）垂直，即 (vec{AA'} cdot vec{AB} = 0) 且 (vec{AA'} cdot vec{AD} = 0)。
要计算异面直线 (a) 和 (b) 的距离，可以计算它们的方向向量 (vec{u}) 和 (vec{v}) 的外积 (vec{u} imes vec{v})，得到一个垂直于它们且垂直于它们所在平面的向量 (vec{n})。然后选取异面直线上的两点 (P) 和 (Q)，计算 (frac{|vec{PQ} cdot vec{n}|}{|vec{n}|})。
为何出其不意： 对于一些几何关系比较隐晦的题目，如果考生能够熟练运用空间向量，将几何问题转化为代数运算，能够大大简化解题过程，避免了复杂的作图和推理。这种“化繁为简”的思路就是一种“出其不意”。
3. 全国卷 A 卷 解析几何与导数结合
题目特点： 解析几何和导数是高考数学的常客，但将两者深度结合的题目往往最具挑战性。2021年的某些题目，可能是在利用导数研究与椭圆（或双曲线、抛物线）相关的性质，例如切线、弦长、面积等，并且条件设置得非常巧妙。
“出其不意”之处与解法：
“参数的动态变化与恒成立问题”： 导数题目中常常会出现“求参数范围使得某个不等式恒成立”的问题。而当这个不等式又与解析几何中的点、线、圆锥曲线相关时，就需要考生将代数和几何分析结合起来。
解法启示： 转化和构造！ 很多时候，题目给出的条件并不直接，需要通过变量代换或者构造新的函数、新的几何量来解决。导数在这里起到了关键的分析工具作用，帮助我们确定函数的最值，从而判断不等式的恒成立条件。
具体例子（模拟）： 假设题目要求：“已知椭圆 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1) ( (a>b>0) ) 的离心率为 (frac{sqrt{2}}{2})，过点 (P(2, 0)) 作直线 (l) 交椭圆于 A, B 两点，且 ( riangle OAB) 的面积为 (frac{3}{2}) （O为原点），求椭圆的方程。” 这类题目是常规的。
“出其不意”的变种（更接近导数结合）： “已知函数 (f(x) = ln x ax)，若对任意 (x_1, x_2 in (0, +infty))，都有 (f(x_1) f(x_2) le 2(x_1 x_2))，求 (a) 的取值范围。”
常规思路： 直接对函数 (f(x)) 进行分析。题目等价于 (frac{f(x_1) f(x_2)}{x_1 x_2} le 2)。这表示函数在任意两点之间的斜率都小于等于 2。
“出其不意”的解法： 利用导数！ 令 (g(x) = f(x) 2x = ln x ax 2x)。则题目转化为“对任意 (x_1, x_2 in (0, +infty))，都有 (g(x_1) le g(x_2))”。这意味着 (g(x)) 在 ((0, +infty)) 上是单调递减的。
导数分析： 那么 (g'(x) = frac{1}{x} a 2) 需要在 ((0, +infty)) 上恒小于等于 0。
关键点： (frac{1}{x} a 2 le 0) 对于所有 (x in (0, +infty)) 成立。因为 (frac{1}{x}) 在 ((0, +infty)) 上是单调递减的，它的最大值趋向于无穷大（当 (x o 0^+) 时）。所以，不存在一个固定的 (a) 使得 (frac{1}{x} a 2) 恒小于等于 0。
这里有个陷阱/反思： 我上面的例子可能有点极端，没有找到一个真正“出其不意”的导数结合题。真正“出其不意”的导数结合题，往往是将解析几何的“点线面”性质转化为导数的“单调性”、“最值”问题，而且往往是通过构造参数或者观察式子特点来寻找突破口。
例如： 某年题目可能考查点到直线的距离公式与导数的结合，或者通过切线的斜率来限制参数。
更普遍的“出其不意”： 在涉及圆锥曲线的证明问题时，如果发现直接用代数方法难以进行，可以尝试将问题几何化。比如，考虑某条直线在圆锥曲线上的“截距”问题，或者“弦长”问题，然后利用导数研究这些几何量的变化规律。比如，可以考虑“过定点切线”问题，利用导数求出切点坐标，再代入切线方程，最终得到一个关于参数的不等式，用导数判断恒成立。
4. 全国卷 B 卷 数列与不等式
题目特点： 数列与不等式的结合是高考数学的“老朋友”了，但每年的设计总能玩出新花样。2021年 B 卷可能在数列的递推关系设置上更加巧妙，或者利用不等式放缩技巧来解决，对数学的整体思维要求更高。
“出其不意”之处与解法：
“裂项相消与放缩法的交织”： 有些数列题目，表面上看是裂项相消，但仔细分析后发现，直接裂项会产生很多难以处理的项，或者裂项后的结果与不等式要求不符。这时候就需要结合不等式放缩。
解法启示： “放缩”是解决许多数列和不等式综合问题的万能钥匙。 关键在于找到合适的放缩技巧和放缩对象。常用的方法包括：
利用常见不等式： 如均值不等式、柯西不等式等。
构造等差或等比数列： 通过变形使得某一项或某几项构成等差或等比数列。
结合已知条件进行转化： 利用题目已知的数列性质（如递推关系）来变形。
具体例子（模拟）： 假设数列 ({a_n}) 满足 (a_1 = 1)，(a_{n+1} = frac{a_n}{2a_n + 1})。求证：(frac{1}{a_{n+1}} le frac{1}{a_n} + frac{1}{2})。
常规思路： 直接计算 (frac{1}{a_{n+1}} = frac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + frac{1}{a_n})。那么 (frac{1}{a_{n+1}} = frac{1}{a_n} + 2)。
“出其不意”之处： 题目要求的是 (frac{1}{a_{n+1}} le frac{1}{a_n} + frac{1}{2})，而我们计算出来是等于 2，这说明直接按照这个递推关系去计算是不符的，说明原递推关系可能不是最直接的等式关系，或者题目本身的表述有误导性。
真正的“出其不意”点： 如果递推关系是 (a_{n+1} = frac{a_n}{2a_n + 1})，那么令 (b_n = frac{1}{a_n})，则 (b_{n+1} = frac{1}{a_{n+1}} = frac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + frac{1}{a_n} = 2 + b_n)。
结论： 数列 ({b_n}) 是一个公差为 2 的等差数列。
那么题目问的 (frac{1}{a_{n+1}} le frac{1}{a_n} + frac{1}{2}) 呢？ 这其实是一个伪命题（如果我上面的模拟条件是准确的话）。通常，数列题目会要求证明的是 (frac{1}{a_n} le C cdot n + D) 或者求和的范围。
反思： 真正的“出其不意”出现在递推关系的设计，例如可能递推关系不是线性的，或者涉及分式，需要通过变量代换（如倒数）来将其转化为等差或等比数列，然后再利用等差或等比数列的性质去证明不等式或求和。
另一个角度的“出其不意”： 在证明 (sum_{i=1}^n frac{1}{a_i} < M) 这类求和不等式时，如果直接用求和公式不好处理，可以考虑用积分近似（虽然高中不直接考，但思想是相通的，也可以转化为某个函数与离散点值的关系），或者构造更简单的上界数列。比如，已知 (a_{n+1} = a_n + frac{1}{a_n})，求 (sum_{i=1}^n a_i) 的渐进界。这时候 (a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2 + frac{1}{a_n^2}) 这样的变形就很关键。
总结与感悟
2021年高考数学，给我的感觉是：
数学思想方法至上： 不管题目形式如何变化，最终都是在考察你是否掌握了数学思想方法，比如数形结合、转化化归、函数与方程、分类讨论、特殊与一般等。
“灵活”是关键： 很多时候，拿到题目后，不要急于代公式，而是先观察题目的特点，思考有没有更简洁、更本质的解法。有时候，一个巧妙的变量代换，或者一个正确的几何认知，就能事半功倍。
回归基础，但要“活学活用”： 所有题目都建立在扎实的基础知识之上，但仅仅记住公式是远远不够的，关键在于理解公式的来源和适用条件，并能在不同的情境下灵活运用。
勇于尝试，不怕“出其不意”： 高考数学的“出其不意”往往是对思维定势的挑战。当遇到题目不像平时练习的题目时，不要慌张，尝试从不同角度思考，也许就能找到那条“出其不意”的解题之路。
总的来说，2021年的高考数学题是一次对学生数学综合素养的全面考察，既考验了基础，也激发了创新。它告诉我们，学习数学不仅是记忆和计算，更重要的是理解和运用，是用数学的语言去认识和改造世界。
网友意见
数学考完了，千万别对答案，有这时间去复习一下明天要考的科目。
我当年高考完，考试成绩出来我都没有对过答案。
快出成绩前的某个下午，和朋友聚会的时候聊起来。
他跟我说起某个选择题应该选什么的时候，我发现我错了，心里压力骤增哇。
想着就对了一个题，还错了。。。
但是最后高考的成绩还是比平常要好很多呀，也是自己满意的成绩。
不管怎么说，考试已经结束了，基本上什么分数也确定了。不要担心你哪个题目错了，用一句网上很流行的话来讲：你错的每一道题都是为了遇见对的人，你对的每一道题是为了遇见更好的自己。加油吧！
祝各位考生接下来的考试顺利，门门都能考到自己理想的分数。
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