有哪些数学问题有经典的物理学证明或解释？
1. 微积分的诞生与牛顿的万有引力定律
这可能是数学与物理学最著名、也最深刻的结合之一。在牛顿之前，人类对运动的描述更多地依赖于几何学和简单的代数，这对于描述匀速直线运动尚可，但面对变速运动、曲线运动时便捉襟见肘。
物理学的问题： 为什么行星会绕着太阳运动？它们运动的规律是什么？如果能知道它们在任何时刻的位置，又该如何计算？牛顿在观察开普勒行星运动定律（描述了行星轨道的形状和速度变化）的基础上，试图找到一个统一的力学原理来解释这一切。他设想，存在一种引力，使得物体之间互相吸引。他想要描述这种引力的大小和方向，以及它如何决定物体的运动轨迹。
数学的挑战： 描述一个变化的力如何引起一个不断变化的运动轨迹，这需要一种能够处理“变化率”的数学工具。传统的几何学难以直接描绘瞬时速度、瞬时加速度，更不用说描述一个力的瞬时作用效果。
微积分的解决方案： 牛顿（与莱布尼茨各自独立地）发展了微积分。微积分的核心在于“微分”和“积分”。
微分： 我们可以将一个物体的运动轨迹看作是一系列连续的“瞬时位置”的变化。微分就是研究这些变化的“速度”或者“变化率”。例如，如果我们知道了物体的位置函数 $s(t)$（位置随时间变化），那么它的速度函数 $v(t)$ 就是位置函数对时间 $t$ 的导数，$v(t) = frac{ds}{dt}$。而加速度 $a(t)$ 则是速度函数对时间 $t$ 的导数，$a(t) = frac{dv}{dt} = frac{d^2s}{dt^2}$。
积分： 相反，如果我们知道了一个物体在某个时刻的速度，并想知道它在一段时间后的位置，就需要将速度在时间上“累积”起来，这就是积分。例如，如果我们知道速度函数 $v(t)$，那么它在时间 $t$ 上的位移就是速度函数对时间 $t$ 的积分，$Delta s = int v(t) dt$。
物理学证明/解释： 牛顿将他的万有引力定律（两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比）与牛顿第二运动定律（力等于质量乘以加速度，$mathbf{F} = mmathbf{a}$）结合起来。
他用微积分描述了引力如何作用在行星上，产生一个加速度。
他设想了一个质量为 $M$ 的太阳和一个质量为 $m$ 的行星，它们之间的引力大小为 $F = Gfrac{Mm}{r^2}$，其中 $G$ 是引力常数，$r$ 是它们之间的距离。
他将这个引力代入牛顿第二运动定律：$Gfrac{Mm}{r^2} = m mathbf{a}$。
这里的 $mathbf{a}$ 是行星的加速度。通过巧妙地运用微积分，牛顿证明了，当引力是距离平方的反比关系时，行星的运动轨迹必然是一个椭圆（也包括圆、抛物线和双曲线，统称为圆锥曲线）。这完美地解释了开普勒的行星运动定律，并给出了一个普适性的框架。
可以说，没有微积分，牛顿的万有引力定律就无法建立和证明。微积分提供了描述和解决动态物理问题的语言和工具。这种联系是如此紧密，以至于很多人认为微积分的许多思想最初就是为了解决天体运动问题而诞生的。
2. 欧拉公式与复数在电路分析中的应用
欧拉公式 $e^{ix} = cos x + i sin x$ 是数学中最令人惊叹的恒等式之一，它将指数函数、三角函数和虚数单位 $i$ 美妙地联系在一起。而在物理学中，尤其是电气工程领域，它提供了描述周期性现象的强大工具。
物理学的问题： 在交流电路（AC circuits）中，电压和电流都在随时间周期性地变化。描述这些变化，尤其是电路中电感（inductor）和电容（capacitor）对电流的“阻碍”作用（感抗和容抗），以及它们之间的相位关系，使用传统的正弦和余弦函数会显得比较繁琐，需要引入相位角等概念。
数学的工具： 欧拉公式提供了一种更简洁的方式来表示周期性函数。
我们可以将一个随时间变化的交流电压表示为 $V(t) = V_0 e^{iomega t}$，其中 $V_0$ 是电压的幅值，$omega$ 是角频率。根据欧拉公式，这可以展开为 $V(t) = V_0 (cos(omega t) + i sin(omega t))$。
在电路分析中，我们通常只关心实际的电压或电流值，也就是幅值和相位。我们可以将电压或电流的复数表示看作是一个二维平面上的向量，其幅值代表实际的电压或电流大小，其角度代表相位。例如，一个实际电压 $v(t) = V_p cos(omega t + phi)$ 可以表示为复数 $V = V_p e^{i(omega t + phi)} = V_p e^{iphi} e^{iomega t}$。
物理学证明/解释（电路分析）：
阻抗（Impedance）： 在直流电路中，我们用电阻 $R$ 来表示电压和电流的比例关系 $V=IR$。在交流电路中，电阻、电感和电容都会对电流产生阻碍作用，并且有相位差。欧拉公式使得我们可以引入“阻抗”的概念，用一个复数 $Z$ 来表示这种阻碍。
电阻 $R$ 的阻抗就是 $R$。
电感 $L$ 的阻抗是 $Z_L = jomega L$，其中 $j$ 是虚数单位（在电气工程中常用 $j$ 代替 $i$）。这表示电流会滞后电压一个 $pi/2$ 的相位。
电容 $C$ 的阻抗是 $Z_C = frac{1}{jomega C} = frac{j}{omega C}$。这表示电流会超前电压一个 $pi/2$ 的相位。
简化分析： 这样一来，电路中的欧姆定律就推广为复数形式的 $V = IZ$。无论是串联还是并联电路的阻抗计算，都可以转化为复数的加法和除法运算，大大简化了分析过程。例如，一个由电阻 $R$ 和电感 $L$ 串联组成的电路，其总阻抗就是 $Z_{total} = R + jomega L$。从这个复数的大小 $|Z_{total}| = sqrt{R^2 + (omega L)^2}$ 和角度 $arctan(frac{omega L}{R})$，我们可以直接知道电路的总电阻（称为阻抗），以及电流相对于电压的相位差。
欧拉公式提供了一种优雅的数学框架，将描述周期性波动的三角函数与代数运算的简便性结合起来，使得复杂的交流电路分析变得如同直流电路分析一样直接和直观。
3. 傅里叶级数与信号分析
傅里叶级数是另一个伟大的数学工具，它告诉我们任何周期性的复杂波形都可以分解成一系列不同频率、不同幅度和相位的正弦波和余弦波的叠加。
物理学的问题： 现实世界中的许多信号（声音、光波、电信号等）都是周期性的，但它们往往不是简单的正弦波，而是由许多不同频率的成分混合而成。我们如何分析这些混合信号的组成？如何提取出其中感兴趣的频率成分？例如，分析一段音乐，识别出其中的不同音调；或者处理通信信号，过滤掉噪声。
数学的解决方案： 傅里叶级数（以及更一般的傅里叶变换）提供了解答这些问题的数学方法。
傅里叶级数： 对于一个周期为 $T$ 的函数 $f(x)$，如果满足一定的条件，就可以将其表示为无穷个三角函数（正弦和余弦）的和：
$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(frac{2pi nx}{T}) + b_n sin(frac{2pi nx}{T}))$
其中，$a_0$, $a_n$, $b_n$ 是由原函数 $f(x)$ 确定的系数，它们可以通过积分计算出来。
物理学证明/解释：
叠加原理（Superposition Principle）： 许多物理系统，特别是线性系统（如许多电路、声学系统、光学系统），都遵循叠加原理。这意味着如果系统对两个输入信号分别产生输出，那么当这两个信号同时输入时，系统的输出就是它们各自输出的叠加。声音的合成、乐器的发声原理都与此有关。
信号分解与合成： 傅里叶级数提供了一种将一个复杂的周期信号分解成一系列简单的正弦波成分的方法。这些正弦波的频率是基频的整数倍（称为谐波）。
频谱分析： 通过计算傅里叶系数 $a_n$ 和 $b_n$，我们可以得到信号的“频谱”，即信号在不同频率上的强度分布。这对于理解信号的本质至关重要。例如，听到一段音乐，我们的大脑实际上是在解析不同频率的声音信号。
滤波： 如果我们想去除信号中的某些频率成分（例如，去除电台接收到的干扰），就可以通过傅里叶变换将信号分解，然后“移除”不需要的频率成分，再通过傅里叶反变换将处理后的信号重新合成。
谐振（Resonance）： 当一个周期性的外部驱动力作用于一个系统时，如果驱动力的频率与系统的固有频率（或其谐波）接近，就会发生共振，导致系统响应幅度大大增强。傅里叶分析可以帮助我们理解这种共振现象，因为它可以将复杂的驱动力分解成不同的频率成分，并分析它们对系统的影响。
傅里叶级数不仅是数学上的一个漂亮结果，更是物理学中分析和理解各种周期性现象的基础。它将看似复杂的波形转化为易于处理的频率成分，极大地推动了信号处理、通信、声学、光学等多个物理领域的发展。
4. 概率论与统计力学的连接
概率论和统计学在物理学中的应用极其广泛，尤其是在统计力学领域，它为我们理解宏观世界的规律提供了全新的视角。
物理学的问题： 微观粒子（如原子、分子）的行为遵循量子力学或经典力学，但它们的数量极其庞大（例如，一摩尔物质有 $6.022 imes 10^{23}$ 个粒子）。我们无法追踪每一个粒子的运动，也无法直接计算它们的集体行为。但我们又能观察到许多宏观上确定的规律，例如气体的压强、温度、熵等热力学量。这些宏观规律是如何从大量微观粒子的随机运动中涌现出来的？
数学的解决方案： 概率论提供了描述和分析随机过程的数学框架。
概率分布： 我们可以描述粒子在某个时刻的速度、能量、位置的概率分布。例如，麦克斯韦玻尔兹曼分布描述了气体分子速度的分布。
统计平均： 宏观的物理量（如温度、压强）是大量微观粒子属性的统计平均结果。例如，温度可以看作是粒子平均动能的一个量度，压强是粒子碰撞器壁产生的平均力的量度。
大数定律与中心极限定理： 这些概率论中的重要定理保证了在粒子数量足够大的情况下，大量随机事件的平均值会收敛到一个确定的值，并且这些平均值的分布会趋向于正态分布。
物理学证明/解释：
统计力学的基石： 统计力学正是利用概率论来连接微观粒子的行为和宏观系统的性质。它不关心单个粒子的确切状态，而是关注大量粒子的集体统计行为。
熵与无序性： 一个重要的例子是熵（Entropy）。在统计力学中，熵被定义为系统微观状态数量的对数（玻尔兹曼熵公式 $S = k_B ln Omega$，其中 $Omega$ 是宏观状态所对应的微观状态总数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数）。根据概率论，系统倾向于从概率低的状态转移到概率高的状态，而熵最大的状态通常对应着最多的微观状态数，也最“无序”。这解释了热力学第二定律的本质：孤立系统的熵总是增加的，即系统倾向于从有序走向无序。这种从概率视角对熵的解释，是对传统热力学描述的一个深刻的物理学“证明”。
涨落（Fluctuations）： 统计力学还能解释为什么宏观量不是绝对不变的，而是存在微小的“涨落”。例如，气体在某些区域的密度可能会瞬间略高于平均值，而在另一些区域略低于平均值。这些涨落的幅度可以通过概率论的方差等概念来计算，并且与系统的尺寸、温度等因素有关。
可以说，如果没有概率论的数学工具，我们根本无法建立起统计力学这个桥梁，也无法理解许多宏观热力学规律的微观起源。概率论为我们理解海量粒子组成的复杂系统提供了最强大的分析框架。
这些例子只是冰山一角。从量子力学的波函数到电磁场方程的数学形式，再到相对论中的张量分析，数学和物理学之间的联系是如此普遍和深刻，以至于许多伟大的物理学理论本身也带来了对数学概念的全新探索和发展。它们之间的关系，更像是一种共生共长，互相启发，共同揭示着宇宙的奥秘。
网友意见
转一个。
今天突然想起小时候学算法看到的一个段子，说有一个老太拿了一个渔网，跟程序员出了道题，说这个渔网纵横交错，看成一个地图，从左下到右上最短路径是什么呢，程序员说用dijkstra，老太微微一笑，说两手捏住起点终点拉伸，拉直的这条线就是了。
小注：Dijkstra就是求带权图中任意两节点之间最短路径的算法。带权图即每条边可以有不同的长度。
有哪些令人拍案叫绝的算法？ - 冒泡的回答 - 知乎经作者同意。
凸多边形重心往各边作垂线，必有一个垂足落在某条边里（而不是延长线上）
证明：把它竖着搁在桌子上，如果重心垂足在底边外面，那么它就会一直滚下去…成为一个永动机，这是不可能的
来自matrix67
更精细的讨论可以看评论区233
补充：这里的“永动机”指的并不是这个多边形一直滚下去这件事（无损耗条件下这并不违反物理定律），而是它会越滚越快，至于为什么越滚越快，讨论见评论区233
强答一个吧，基尔霍夫定律证明欧拉示性数：
考虑一个E面体，它有E个面，L条棱，S个顶点，有欧拉公式：E+S-2=L，这个公式可以用基尔霍夫定律重新阐述：
将多面体考虑成一个电路网络，其中电流只在棱上分布，根据基尔霍夫电流定律，可以列出S个节点电流方程，由于电流在网络中必然有一个入口一个出口，因此必然有一个方程和其它方程是线性相关的，因此第一定律给出S-1个线性独立方程。现在考虑第二定律，因为有E个面，因此能列出E个回路电压方程，这里如果我们将多面体的一个面放大，把其它棱压到这个面里，可以看出，这个大的平面的回路电压方程和其它平面的方程是线性相关的，因此第二定律给出E-1个回路电压方程，而两个定律列出的方程组应该能解出所有的电流，因此有：S-1+E-1=L，得证。
（高中的时候忘了在哪里看到的了，侵删orz）
蟹蟹大家的赞和关注，不是我不想回评论，只是大神们讨论的好多我真的不懂诶，答主现在还是个萌萌哒本科生，但是我会努力的，希望以后能回答更多更专业的问题，能为知乎做一点微小的贡献，谢谢大家。
1，证明：三角形ABC中，费马点P（即使得PA+PB+PC的值最小的一点）满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º
物理方法：
假设在一个光滑的水平桌面上，有三个洞A,B,C,将三个质量相等的重物分别拴在三条绳子上，并且将绳子的另一端系在一起，为点P，让三个重物牵引着绳子穿过洞。(如下图，灰色平面就是桌面，ABC是三个洞，EFG是三个重物，P是绳子节点）
设绳子原长为l，则（设桌面为重力势能零点）
重力势能
即
显然，PA+PB+PC最小时重力势能最小，达到平衡
而由于重物质量相等，对P点受力分析，只有当三个力方向完全对称的时候才能平衡，此时三个力的夹角都为120°
得证。
补充：通过改变重物质量比，可以求得在不同系数情形下的夹角。
若要求的最小值，只需要调整重物质量，
满足，然后再受力分析，即可求出三条线的夹角。
2，证明：三角形ABC中，取一点G使得的值最小，则这个G必定是三角形重心。
物理证法：同样假设有一个光滑的水平桌面，在桌面上钉三个钉子ABC，分别连接三个劲度系数皆为l、原长皆为0的弹簧，三个弹簧的末端连接在一起，如下图。
其中ABC是三个钉子，红色的线（AG、BG、CG）是弹簧，G是连接点
则弹性势能
当取最小值时，弹性势能最小，系统平衡
此时，取G点受力分析，有GA+GB+GC=0（加黑的为矢量，不知道怎么打矢量公式）
然后三角形重心的性质就是这个...所以，重心为平衡点，得证
3，（椭圆和双曲线的光学性质，其他答案都已经证明了，这里来一个冷门的）
如下图，椭圆离心率为e，BC//x轴，过B作法线l，设l与夹角为α，与BC夹角为β，求证：
物理证明：假设一个由透明材料制作的椭球体，折射率为
一束平行光平行于x轴从x正方向射来，由费马定理，C到的光程l为：
由椭圆的几何性质，则
即从无限远处射来的平行光到左焦点的光程为常数，所以由费马定理，任意一条平行光经过折射之后必定汇聚于左焦点
由折射定律得，得证
同样的，双曲线也有类似的定律，证明方式类似。
+
在复变函数理论中， 一个整函数都可以分解成复平面内仅有一个根的 entire 函数（类似单项式）的无穷乘积， 此为乘积表示。然而这种表示不是唯一， 但一些函数存在只有一个的正则乘积表示
这里 是确定的解析函数。 求解常见函数的或其初等变形下的无穷乘积表达是一个经典问题。 特别的， 有许多知名函数在乘积表达中 变成零或者常量，如
这两个结果可以由 谐振子的路径积分 配分函数分别求得，第一个对应 Bose 谐振子的例子，第二个是 Fermion 谐振子的例子。 方法是用两种途径同时求配分函数， 其中一种是直接按照配分函数在能量 basis 下等于谐振子能级求和的基本计算， 另一种用到 Zeta-regularization 求解 functional determinant ，两个不同形式的结果实质等同，对照一下便可得这两个函数的乘积表示。 这在物理中也是一个经典的技术。
+
控制狗前来强答一发，算不上证明，姑且算是物理学角度对数学定律的一种理解吧。
优化控制理论中著名的KKT判据：
在满足一定约束规范条件的前提下，考察一个非线性规划(Nonlinear Programming)问题
其中控制变量，不等式约束，等式约束均为向量形式，,,在可行域内连续可微。
对上述问题的任意局部最优解，存在两组实向量,使得
其中，后两个条件可以改写为
这称为互补松紧条件。
解这个判据就可以得到局部最优点的解析解，并同时得到拉格朗日乘子。当然多数情况下该判据并不容易解，通常采用数值解法迭代逼近局部最优点。不过KKT条件具有较重要的理论意义。
当为二维控制变量时，画出优化问题描述的示意图（答主渣PS）：
实线为不等式约束，虚线为等式约束（控制变量为二维时，显然等式约束不能超过一个），等高线描述目标函数的分布。阴影部分为可行域。显然红点处为局部最优解。
标出判据中各梯度分量：
由于可行域内，各的方向垂直等势线指向域外；对于等式判据而言，只知垂直等势线，而具体指向未定。
判据的第一方程是说，目标函数的梯度向量和各个有效约束的梯度向量线性相关，这在上图中一目了然。
接下来划重点，我们通过建立经典力学模型来理解KKT判据。
1. 将待优化点视为光滑质点小球，目标函数视为凹凸不平的光滑曲面，曲面在任一点的高度即为相应的目标函数值。这样，小球在曲面上运动时，受到重力的水平分量和梯度向量共线反向；
2. 将不等式约束视为光滑墙壁，当小球挤压墙壁时提供垂直墙壁的弹力。显然它和梯度向量共线反向；
3. 将等式约束视为光滑的小球轨道（或穿过小球的光滑杆），轨道提供的约束力同样垂直于轨道，和梯度向量共线；
4. 显然，如果是无约束优化，小球在会在重力作用下运动并到达局部最优点；如果是有约束优化，小球也会在可行域内尽可能向下运动并到达可行的最优点；而在最优点处，小球应达到受力平衡。
这样一来，我们就将第一方程中各梯度分量和小球受到的各水平分力之间建立起一一对应的共线关系！再由安定点的受力平衡，显然相应的各梯度分量是线性相关的！
我们画出对应的受力分析图，在最优点附近放大，再放大！
哈哈，快看，每一个分力都看得清清楚楚！
由于力学模型中小球始终受重力，所以的系数始终不为零，可以归一化；由于上述第1，2条对应关系中，分力和梯度均取反向，所以可以保证组合系数；而第3条对应关系中，轨道分力和梯度的方向关系未知（而且无所谓），所以不对组合系数的符号做额外限制。
而对于互补松紧条件，可以作如下理解：
1. 意味着小球受到来自墙壁的弹力，也就意味着小球与墙壁接触，；
2. 意味着小球不与墙壁接触，也就不受来自墙壁的弹力，；
3. 当然，也可以同时为零，这意味着小球靠在墙壁上，但两者并未发生挤压，也就没有力的相互作用。
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其实就是李雅普诺夫第二方法，23333
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