有哪些千年以上时间才解决的数学问题?

数学的海洋波澜壮阔，其中不乏一些沉寂千年、横跨数个文明的谜团，直到近代才被勇敢的头脑一一解开。这些古老问题的解决，不仅仅是数字游戏的胜利，更是人类智慧、耐心和探索精神的伟大证明。今天，我们就来聊聊那些经历过漫长时光洗礼，最终才显露真容的数学难题。

1. 勾股定理的漫长证明之路

我们都知道那个耳熟能详的“勾股定理”，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。它以其简洁的公式 (a^2 + b^2 = c^2) 闻名于世。但你有没有想过，这个定理究竟是怎么来的？

早在公元前数千年，巴比伦人和古埃及人就已经发现了勾股数（例如 3, 4, 5 组成直角三角形），并且知道它们之间存在着这种特殊的数量关系。然而，仅仅是“知道”和“证明”之间，隔着一道难以逾越的鸿沟。

古希腊数学家们，特别是毕达哥拉斯及其学派，对数的性质和几何图形有着极大的兴趣。他们坚信万物皆数，并致力于寻找数学的和谐与秩序。虽然我们现在普遍认为勾股定理以毕达哥拉斯的名字命名，并且他可能是第一个给出了严谨证明的人，但遗憾的是，关于毕达哥拉斯本人是否真的完成了第一个证明，以及他具体的证明方法，历史记载并不十分清晰，甚至存在一些争议。

可以肯定的是，在毕达哥拉斯之后，历代数学家都在不断地探索和完善勾股定理的证明。从中国古代的《周髀算经》中赵爽的“弦图”证明，到欧几里得的《几何原本》中更为清晰的证明，再到后世层出不穷的几何、代数甚至微积分的证明方法，勾股定理的证明本身就构成了一个庞大的数学分支。

为什么说它“千年以上”？

勾股定理的起源可以追溯到公元前2000年左右，而直到近代，人们仍然在发现新的证明方法。虽然其基本形式早已被接受，但数学家们对于“所有可能证明方式”的探索，以及对勾股定理在不同数学体系中的普适性研究，这场“证明之旅”可以说从未真正停止。即使是在现代，仍然有人会基于新的数学工具或视角，为这个古老定理提供全新的证明。所以，从发现其端倪到对它理解的深度和广度，这个过程，绝对跨越了千年。

2. 圆周率 (pi) 的精确化：从经验到理论的飞跃

圆周率 (pi)，那个代表圆的周长与直径之比的神秘数字，也是一个困扰了人类数千年的问题。

古人很早就认识到，圆的周长和直径之间存在着一个固定的比例关系。最早的估算非常粗糙。例如，在古埃及的莱因德纸草书中，圆周率被近似为 ((16/9)^2 approx 3.1605)。古巴比伦人则使用 (25/8 = 3.125)。

中国古代的数学家在这方面取得了显著的成就。在“割圆术”的启发下，祖冲之在公元5世纪左右，将圆周率计算到小数点后第七位，给出了 (3.1415926 < pi < 3.1415927)，这个精度在当时是世界领先的，并且保持了一千多年。他还给出了 (pi) 的两个分数近似值：(frac{22}{7})（约率）和 (frac{355}{113})（密率）。其中 (frac{355}{113}) 的近似程度非常惊人， (frac{355}{113} approx 3.1415929)。

然而，即使到了17世纪，圆周率依然是一个“无理数”的猜想，其意义并非所有数学家都完全理解。

真正的飞跃发生在18世纪和19世纪。

1706年，英国数学家约翰·梅钦（John Machin）发现了一个优美的公式：(frac{pi}{4} = 4 arctan(frac{1}{5}) arctan(frac{1}{239}))。这个公式使得计算 (pi) 的值变得比以往任何时候都容易，并且在之后的一百多年里，数学家们利用这个和类似的公式，不断刷新 (pi) 的计算记录。
1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明了 (pi) 是一个“超越数”（Transcendental Number）。这是一个具有划时代意义的证明，它不仅说明了 (pi) 是无理数，更重要的是，它也彻底终结了困扰希腊人两千多年的“尺规作图化圆为方”的问题——即能否用没有刻度的直尺和圆规，做出一个面积等于给定圆的圆。林德曼的证明意味着这个目标是永远无法实现的。

为什么说它“千年以上”？

人类对 (pi) 的认识和计算，可以追溯到公元前数千年。而从最早的粗略估算，到祖冲之的精妙计算，再到18、19世纪关于 (pi) 的无理性和超越性的证明，这个过程贯穿了人类数学史的多个重要阶段，历时近四千年。即使是“割圆术”这种方法，也经历了漫长的时间才被发明和完善。

3. 哥德巴赫猜想：一个简单陈述的深邃奥秘

哥德巴赫猜想，可能是目前最广为人知，也是最令人着迷的“未解决”的数学问题之一（尽管它有一个相对简单的陈述）。

故事始于1742年，普鲁士的数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的一封信中，提出了一个猜想：“任何大于2的偶数，都可以表示成两个素数之和。”

例如：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

欧拉在回信中表示，他认为这个猜想是正确的，并给出了他自己的一个版本：“任何大于5的整数，都可以表示成三个素数之和。” （这个版本现在被称为“哥德巴赫猜想的弱猜想”）。

为何说它“千年以上”？

虽然哥德巴赫猜想的明确提出是在18世纪，但它所依赖的概念——“素数”和“加法”，却是人类早期数学中最基础、最古老的概念之一。素数的分布和性质，是数论研究的核心，而数论的萌芽可以追溯到古希腊，甚至更早。

古希腊的欧几里得在《原本》中就已经深入研究了素数，并证明了素数有无穷多个。然而，关于素数如何分布（比如它们之间的间隔）却一直是一个难以捉摸的问题。哥德巴赫猜想的出现，正是对素数分布规律的一次非常具体的猜测。

即使在猜想提出后的几百年里，无数伟大的数学家（如陈景润、哈洛德·赫尔曼·埃里克·西格尔等）付出了巨大的努力，不断缩小了猜想的验证范围，并证明了一些相关的弱猜想。例如，陈景润在1966年证明了“任何充分大的偶数都可以表示为两个素数之和，或者是一个素数与一个半素数（两个素数乘积）之和”，这被称为“陈氏定理”，是解决哥德巴赫猜想最接近成功的成果之一。

但是，至今为止，这个猜想仍然没有被最终证明或证伪。所以，我们可以说，从人类对素数的好奇和探索开始，到今天，解决哥德巴赫猜想的努力已经持续了近两千年。它之所以如此迷人，是因为它的陈述如此简单，以至于任何一个读过小学数学的人都能理解，但其证明的难度却如同一个深不可测的黑洞，吞噬了一代又一代数学家的智慧。

结语

数学的魅力，不仅在于其精确的逻辑和优美的公式，更在于那些在岁月中沉淀下来的问题，它们如同时间的宝藏，等待着有心人去发掘。勾股定理的各种证明，圆周率 (pi) 的精确化与本质揭示，以及哥德巴赫猜想这样永恒的谜题，都展示了数学发展的漫长而辉煌的历程。这些问题跨越了时代、文明和语言的界限，连接着过去、现在和未来，激励着我们不断探索知识的边界，也让我们更加敬畏人类智慧的深邃与持久。

网友意见

纵观数万年的人类文明史，这样的问题实在寥寥。

1. 阿基米德群牛问题（Archimedes's cattle problem）

提出到解决：至少2200年

提问者已不可考，但阿基米德于公元前3世纪下半叶在论著《群牛问题》中记载了本问题。原文是 22 组对句组成的诗句：

       朋友，如果你自认为还有几分聪明，请来准确无误地算一算太阳神的牛群， 它们聚集在西西里岛，分成四群悠闲地品尝青草。 第一群象乳汁一般白洁，第二群闪耀着乌黑的光泽。 第三群棕黄，第四群毛色花俏，每群牛有公有母、有多有少。 先告诉你各群的公牛比例：白牛数等于棕牛数再加上黑牛数的三分之一又二分之一。 此外，黑牛数为花牛数的四分之一加五分之一，再加上全部棕公牛。 朋友，你还必须牢记花牛数是白牛的六分之一又七分之一，再搭上全部的棕色公牛。 但是，各群的母牛都有不同的比例： 白色的母牛数等于全部黑色公母牛的三分之一又四分之一。 而黑母牛又是全部花牛的四分之一加上五分之一，请注意，母牛公牛都要算进去。 同样的，花母牛的数字是全部棕牛的五分之一加六分之一。 最后，棕色母牛与全部白牛的六分之一加七分之一相一致。 朋友，若你能确切地告诉我这些公牛母牛膘肥体壮、毛色各异，一共有多少聚集在那里，你就不愧为精通算计。 但你还称不上聪明无比，除非你能回答如下的问题： 把所有的黑白公牛齐集一起，恰排成正方形，整整齐齐。 辽阔的西西里岛草地，还有不少公牛在聚集。 当棕色的公牛与花公牛走到一起，排成一个三角形状。 棕色公牛、花公牛头头在场，其他的牛没有一头敢往里闯。 朋友，你若能够根据上述条件，准确说出各种牛的数量，那你就是胜利者，你的声誉将如日月永放光芒。

看起来复杂冗长，如果把他写在我们的数学试卷上，应当是这样的画风：

西西里岛的大草原有群牛，按毛色分成4组：乳白牛、黑牛、黄牛和花斑牛。每组中的公牛数占大多数，它们之间的关系满足：

       1、白公牛=黄公牛＋（1/2＋1/3）黑公牛 2、黑公牛=黄公牛＋（1/4＋1/5）花斑 3、花斑公牛=黄公牛＋（1/6＋1/7）白公牛 4、白公牛=（1/3＋1/4）黑牛 5、黑公牛=（1/4＋1/5）花斑公牛 6、花斑公牛=（1/5＋1/6）黄牛 7、黄公牛=（1/6＋1/7）白牛

第一小题：求各个牛的数量
第二小题：加入以下两个条件，求各个牛的数量：

       白公牛＋黑公牛＝ 一个平方数 花斑公牛＋黄公牛＝ 一个三角数

第一小题比较简单，其实就是个多项式求解的问题

把题目内括号里的分数相加后列个方程：

初一下学期的同学一看，咦？这题我也会啊，不就是二元一次方程组的升级版吗！

不错，这就是个普通的多元一次方程组而已，只不过未知数比较多，比较废草稿纸而已。如果你有足够的耐心和纸，那么经过大量重复枯燥的消元运算并且还不出错的话，可以得到以下最小整数解：

最小整数解换句话说，就是第一小题有无数个解。以上解的所有整数倍解都是问题的解。

如果你能解决第一小题，先不要得意忘形，因为诗中只说了这仅仅只有“几分聪明”。

人类第一次给出第一小题的答案是在1773年，之所以这么晚发现是因为这本书在近千年时间里都被尘封，没人注意到。

德国著名作家莱辛（Lessing）在图书馆读到这个问题后，把它拿给一位数学家朋友看，这位朋友还算给力，很快就算出了这个答案。

然而真正丧心病狂的是第二小题。

由阿基米德的算术论著《数沙者》大概能看出他在大数上有着超越时代的造诣，他是已知宇宙中第一个给出宇宙中沙子总数量估计的生物（他估计出了个63位数）。
现在的我们可以轻松估计出宇宙中行星的数量是个24~26位数，一颗行星上沙子的数量介于18位~28位数之间。因此宇宙的沙子是个42~54位数。
但考虑到公元前3世纪人类对宇宙的了解水平，阿基米德能做出这种准确度的估计实属惊为天人。
也许是凭借着这份天赋，他相信最终解的值将会很大，于是他将此问题留给了后人。

我们再来看看第二小题的条件：

W+X ＝一个平方数
Y+Z ＝一个三角数

平方数很好理解，就是整数的平方，能够整齐排成正方形；（1，4，9，16。。。）

三角数就是能整齐排成正三角形的数：（1，3，6，10。。。）

问题理解起来不难，无非就是把第一小题的解不断翻倍，从中找出同时满足W+X=平方数和Y+Z=三角数条件的解。

然而这个数如此巨大，以至于在莱辛公布这个问题的100年内，一直没人能给出答案。在那个没有计算机的年代，不知道废了多少草稿纸，多少脑细胞，多少头发。。

直到1880年，德国数学家 Amthor, A. 和Krumbiegel B. 在他们发表的论文《Das Problema bovinum des Archimedes.》^[1]中给出最终解第一个估值：W，即黄公牛的数量是1598*10^206541

牛总数为

这是一个巨大的数字，高达206545位，天文数字在它面前也不值一提，这么多的牛，可观测宇宙都放不下，不愧是“太阳神的牛群”。两位数学家在论文中吐槽：“我把一个能把电话本都写满的数字全部计算出来没什么意义吧”。
另外，这个数字只是第二问的解中的最小值，还有很多比这个数字大的多的解。

尽管给出了答案，但这还没有达到原诗要求的“准确无误”。

1889 年，美国伊利诺伊州的一位土木工程师和他的2位朋友组成了希尔斯伯勒数学俱乐部，决定计算出剩下的那些数字。经过 4 年的努力，他们计算出了前 32 位数和后 12 位数^[2]。靠近两端的数是计算难度最低的，就算他们能够以同样的速度给出中间的数字，也需要18,776年才能给出精确答案。更可惜的是，后人证明他们算的数都弄错了。

正如诗中所述，在没有计算机的情况下，还能“准确无误”解出问题，那真是“如同日月永放光芒”了。

1946年，世界上第一台通用计算机“ENIAC”于美国宾夕法尼亚大学诞生。

1965 年，这个问题得到终结：终结者是滑铁卢大学的Hugh C. Williams, R. A. German, Charles Robert Zarnke 和两台超级计算机（IBM 7040 和 IBM 1620）^[3]。两台超算相互合作花了 7 小时 49 分钟的运算时间，才在 42 张 A4 纸上打印出了这206545个数字^[4]。

2. 尺规作图三大上古难题

2.1 倍立方

提出到解决：约2266年

问题的来源可追溯到公元前429年。传说中，一场瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。岛民们去神庙请示阿波罗的旨意，神谕说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图。

开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?

这个问题也相当于在问：尺规作图能否作出长度为单位长度倍的线段？

与倍立方问题相比，倍平方问题要简单得多。给定一个单位长度的线段，只需做一个以它为边长的正方形，以正方形的对角线为边长的正方形，面积就是2。也即是说，尺规作图可以作出长度为单位长度的倍的线段。然而，和虽然相似，却有本质区别。直到1830年，埃瓦里斯特·伽罗瓦提出群论后，这个问题才有望得到解决。

1837年，法国数学家Pierre Wantzel给出了严格证明。

证明方法是根据伽罗瓦的群论给出了规矩数的定义：能用尺规作图画出的所有线段的长度的群。

他进一步给出证明，一个数要满足规矩数，他必须是幂次为2的有限多项式。

每次尺规作图的步骤，都可以看成是一次运算，整数倍加减乘除，平方根运算都可以被尺规作图实现。但是，尺规作图所能实现的运算是有限制的。因为运算方法有限，即使运算的所有结果的总数能达到无限大，这个无限大也不包含所有的实数（类似偶数不包含所有整数）。

之所以高斯能尺规作出正17边形，正是因为 cos(2π/17) 能写成有限步的加减乘除平方根运算：

而倍立方问题是指已知单位长度1，要作出的长度。

然而，的最小多项式是：

阶数3不是2的幂次。所以，用尺规方法无法作出一个立方体，使得它的体积是已知立方体的两倍。

（方便大家看懂，说的不是很严谨，准确的说是域扩张）

2.2 化圆为方

提出到解决：至少2296年

问题和倍立方类似：尺规作图能否作出长度为的线段？

公元前 414 年，当时阿里斯托芬的戏剧《鸟》首次上演。在其中，雅典的梅顿（Meton）提到了化圆为方，似乎是为了讽刺当时他乌托邦的城市。

但丁(1265-1321)《天堂》，第三十三章，第 133-135 行：

       As the geometer his mind applies To square the circle, nor for all his wit Finds the right formula, howe'er he tries

大致意思是，一个几何学家无论如何尝试也是找不到化圆为方的正确公式的。
但丁认为，化圆为方代表一项超出人类理解能力的任务，他将其与自己无法理解天堂相提并论。

毕竟那个时候π的精确值仍然停留在祖冲之的成果上。

1742 年，当 Alexander Pope 出版他的 Dunciad 的第四本时，化圆为方的尝试被视为“狂野而徒劳的”

       Mad Mathesis alone was unconfined, Too mad for mere material chains to bind, Now to pure space lifts her ecstatic stare, Now, running round the circle, finds it square.

1798年，19岁的高斯尺规作出十七边形，这是当时人类历史上最接近化圆为方的操作。高斯也认为是得意之作，要求将十七边形刻在自己墓碑上。据说后来还是被雕刻墓碑的人拒绝，因为觉得十七边形和圆太像了。

1761年，Lambert用以下的公式证明了π是个无理数：

Lambert给了当时妄图精确计算出π精确值的数学家们一个暴击。
这下，化圆为方变得更加遥不可及了。

尽管Pierre Wantzel 1837年严格证明了尺规作图的局限性，并给出了规矩数的范围。但是当时并没有人能证明圆周率是否属于规矩数。π是无理数并不能代表π不是规矩数，反例就是

这个问题的解决还需要证明圆周率的超越性。

超越的意思是：这个数无法表示成代数方程的根。即不可能满足任何一个系数为整数的方程：。打个比方，是一个无理数，但不是一个超越数。因为这个方程的一个正数解就是。如果一个数无理但是不超越，我们虽然找不到它的精确值到底是多少，但是我们可以找到一个和它相关的方程来分析这个数的性质和特点。

从上面的描述，我们可以轻易看出，超越数必定不属于规矩数；如果能证明圆周率是超越数，那么就能终结这个两千年的问题。

1844年，超越数由法国数学家Joseph Liouville首次提出。

1882年，Ferdinand von Lindemann 等人证明了圆周率是超越数^[5]。由此，人类终于确认化圆为方不可能。

这个证明比较复杂，可以参考这篇文章：π超越性的2个证明 - 知乎 (zhihu.com)

证明一个数是不是超越数真的超级难，π是超越数，e是超越数，但是我们至今也不知道π+e是不是超越数。

1897年，美国一位业余的数学家试图让印第安纳州议会来通过一项印第安纳圆周率法案，希望以法律的形式强制规定π=3.2来逆天改命。最终，该法案被印第安纳州众议院表决全票通过，但是被参议院否决了。

2.3 三等分角

提出到解决：至少2000年

三等分角与化圆为方及倍立方问题并列为尺规作图三大上古难题。

问题是：能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？

古希腊学者发现，尺规作图二等分角轻而易举，于是想推广到三等分。

尽管有许多基于平面几何的论证和尝试，然而全部失败。和大家预料中的一样，这个问题也需要群论才能解决。

还是等到了1837年，三等分角被法Pierre Wantzel严格证明不可行（根据三倍角公式中有个三次幂，证明方法和倍立方类似。）

3. 丢番图方程问题

丢番图方程，又称不定方程，是未知数只能使用整数的整数系数多项式等式；即形式如的等式。
勾股定理、佩尔方程、四平方和定理和费马大定理都是一类丢番图方程。

丢番图是第一个在代数中引入符号的数学家，因此方程由他名字命名。他希望能找到一种算法，用来求解丢番图方程。

丢番图方程一般情况的可解答性问题

提出到解决：约1700年

这个问题不同寻常的难，困扰了人们数千年。

希尔伯特于1900年在巴黎的国际数学家大会演说中，用严谨的数学语言表达了这个问题：

对于任意多个未知数的整系数不定方程，要求给出一个可行的算法，使得通过有限次运算，可以判定该方程有无整数解。

并将其放入大会中23个重要数学问题的第十题。

这个问题难就难在不知道从什么地方入手。尽管有无数人尝试，但是没有任何一个可靠的方法论。

直到图灵机概念的出现，计算机和可计算性理论的发展，数学家们才得以入手这个问题。

1970年，尤里·马季亚谢维奇证明不存在任何算法，可以计算一般丢番图方程的整数解。甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

费马大定理

提出到解决：365年

虽然没有达到千年，但考虑到其知名度以及它实际上也是丢番图方程的一个简单特殊形式，还是稍微提一下。
尽管只是个简单特殊形式，但其难度不亚于一般情况并且比一般情况晚了24年才解决。
一般来说，探讨一个命题的特殊情况要比探讨一个命题的一般情况要简单（那种暴力穷举的除外），而费马大猜想就是个经典的反例。

考虑丢番图方程的一个简单特殊形式：

aⁿ+bⁿ=cⁿ

当n为1时，只需要小学水平就知道方程有无数个解；
当n为2时，只需要勾股定理就知道方程有无数个解；
当n为3时，这个难度就已经超过大多数人的想象了；

1637年，著名业余数学家费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。
此时费马大定理被称为费马大猜想。

1770年，欧拉证明n=3时定理成立。^[6]

1825年，高斯和热尔曼同时独立证明n=5时定理成立。

费马大猜想提出之后的二百年内，对很多的特定的n，费马大猜想都被证明正确。但对于一般情况，人们仍一筹莫展。

1908年，德国人“保罗·弗里德里希·沃尔夫斯凯尔”宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引不少人尝试并递交他们的“证明”。

沃尔夫斯凯尔成立了沃尔夫斯凯尔委员会（Wolfskehl committee）后，收到数千个不正确的证明，所有纸张叠加超过3米^[7]。仅在第一年就有621个证明，到了20世纪70年代，各家证明方法的提出已经降至每个月大约3-4个。根据沃尔夫斯凯尔委员会评论家施里希廷（F. Schlichting）的说法，大多数证明都是基于学校教授的基本方法，并且提交证明的人大多“有技术教育但职业生涯失败”。用数学历史学家霍华德·伊夫斯的话来说，“费马大定理在数学里有一个特殊的现象，即在于它是错误证明数量最多的数学题。

这和今天想证明哥德巴赫猜想的人潮完全有得一拼。

1983年，格尔德·法尔廷斯证明：对于给定的整数n>2，至多存在有限组互素的a,b,c 使得 aⁿ+bⁿ=cⁿ 成立。

费马大猜想最后于1994年由安德鲁·怀尔斯解决。

怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。在不为人知的情况下，他在七年里得出证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审查证明的过程中，专家发现一个极为严重的错误。怀尔斯和泰勒之后用近一年时间尝试补救，终在1994年9月成功，这部分的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

这几个问题无一例外都和古希腊有关，从历史的角度看，古希腊不愧为哲学和现代科学的摇篮。不光是解决问题的人，提出这些问题也值得称赞。为了解决这些问题，发展出了多个全新的数学思想。横跨千年，播下文明的种子，激励人类不断攀登着数学大厦，驱动文明在知识的海洋里启航。

参考

^Amthor, A. and Krumbiegel B. "Das Problema bovinum des Archimedes." Z. Math. Phys. 25, 121-171, 1880. https://pdfslide.net/documents/amthors-solution-of-archimedes-cattle-problem.html
^ Merriman, M. "Cattle Problem of Archimedes." Pop. Sci. Monthly 67, 660-665, 1905.
^ Williams, H. C.; German, R. A.; and Zarnke, C. R. "Solution of the Cattle Problem of Archimedes." Math. Comput. 19, 671-674, 1965.
^ Dörrie, H. "Archimedes' Problema Bovinum." §1 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 3-7, 1965.
^ Lindemann, F. (1882). "Über die Zahl π" [On the number π]. Mathematische Annalen (in German). 20: 213–225. https://doi.org/10.1007%2Fbf01446522
^ https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%A4%A7%E5%AE%9A%E7%90%86#cite_note-2
^ https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%A4%A7%E5%AE%9A%E7%90%86#cite_note-FOOTNOTESingh1997-3

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关于《自然》（Nature）杂志是否评选过“人类过去千年以来最伟大的物理学家”这一具体说法，我需要澄清一点。《自然》杂志作为一家顶尖的科学期刊，确实会发表许多关于科学史、物理学发展以及重要科学家的文章和评论。它会定期回顾某个领域的重要成就，或者纪念某位对科学做出巨大贡献的科学家。但是，我没有找到《自.............
易烊千玺成首个 00 后破百亿影人，如何评价他一路以来的成绩？未来他还会有哪些可能性？

易烊千玺，这位从童星一路走来的青年偶像，如今以“首个 00 后破百亿影人”的身份，在中国电影界留下了浓墨重彩的一笔。这个头衔背后，是他多年耕耘、磨砺与蜕变的总和，也是对他在演艺道路上不懈追求的肯定。要评价他一路以来的成绩，我们需要拨开流量的浮华，去深入剖析他的作品选择、演技进步以及对自身发展的清晰认.............
中外历史上，地缘政治中堪称千年大计决策的有哪些？

审视中国和世界历史上，那些能够跨越千年，深刻塑造地缘格局的决策，往往不是一朝一夕的灵光乍现，而是历经沉淀、多方考量、甚至伴随巨大风险的战略布局。这些“千年大计”不仅关乎一个王朝的兴衰，更影响着文明的交流、力量的平衡乃至人类历史的走向。要从中挑选出堪称“千年大计”的，需要具备以下几个特质：深远的.............
有哪些千元左右的入耳式耳机值得推荐？

好的，咱们来聊聊千元档的入耳式耳机，这个价位段真是卧虎藏龙，很多耳机都能带来超乎预期的体验。我尽量说得接地气点，把选购要点和具体型号都给你掰扯明白，保证让你觉得这不像AI一本正经地胡说八道。首先，千元左右的耳机，咱们不能光看品牌和长相，最重要的是它能不能“对味”。这个“味”主要体现在几个方面：1. .............
各个城市都有哪些千万不要去的地方？有什么特别需要注意的？

旅途中的惊喜固然美好，但避开那些可能带来糟糕体验的地方，同样是智慧的旅行者必修的功课。每个城市都有其不为人知，或者说，不适合所有人的角落。我尝试从经验出发，结合一些普遍性的提醒，来聊聊那些可能需要你绕道而行的地方，以及你需要留意的细节。一、那些你可能想慎重考虑的“景点”或区域：1. 人满为患的“网.............
2020年，有哪些千元左右的真无线蓝牙耳机值得推荐/入手？

2020年，千元级别的真无线蓝牙耳机市场可谓是百花齐放，如果你正想在这个价位段入手一款不错的真无线耳机，那么接下来的这几款绝对值得你仔细看看。我会尽量说得详细一些，让你能更清楚地了解它们各自的特点和优势，好帮你找到最适合自己的那一对。一、Soundcore Liberty Air 2 Pro：ANC.............
2020 年双十一有哪些千元内耳机推荐？

嘿，各位还在为双十一剁手纠结的朋友们，尤其是那些预算在千元以内的耳机发烧友们，听我一句劝：双十一，千元内好物真的不少！我最近也在疯狂做功课，把那些性价比爆炸、口碑炸裂的耳机都给扒拉出来了，今天就来跟你们分享分享，保证都是实实在在的好东西，不玩虚的！首先，咱们得明确一下，虽然是“千元内”，但这个区间其.............
装修中，有哪些千万不要踩的雷区？

装修这事儿，说起来是一门学问，也是一场“战斗”，稍不留神，好好的一个家就可能变成“翻车现场”。我个人在这上面也算是摸爬滚打过，总结了一些“血泪史”，但愿大家看了能避开一些不必要的麻烦。首先，最最重要的一点，也是最容易被忽视的，就是水电改造。这玩意儿可是你家装修的“生命线”，一旦出了问题，那真是欲哭无.............
有哪些年轻人「千万不能碰」的东西？

年轻人处于探索世界、塑造自我的关键时期，他们的选择往往对未来产生深远影响。有些东西，一旦接触，可能会带来难以逆转的伤害，或者阻碍个人成长，因此可以说是年轻人“千万不能碰”的。以下是一些重要的方面，我会尽量详细地讲述： 1. 毒品与成瘾性物质这是最明确、最危险的“不能碰”清单之首，其破坏力几乎是全方位.............
有哪些号称千古绝对的对联被后人或者今人破解了？

“千古绝对”，顾名思义，就是认为其对联意境、声律、用字都达到了极致，再也无法找到能与之匹敌的下联或上联。然而，历史的长河中，总有那么一些“绝对”，在经过后人的智慧打磨后，也显露出可以比拟的痕迹，甚至被认为是破解了。今天，咱们就来聊聊那些曾被誉为“千古绝对”的对联，以及它们是如何被“打破”的。 1. .............
大学里，有哪些东西千万不能碰？

大学生活，就像一张空白的画卷，等待着我们去挥洒色彩。然而，在这段充满机遇和挑战的旅程中，有些“颜料”我们必须小心翼翼，甚至坚决不碰，否则，它们可能会毁掉整幅作品。它们不是具体的物品，而是藏匿在校园生活的暗处，悄无声息地吞噬着我们的精力、梦想和未来。1. 彻头彻尾的“空心”生活：“空心”不仅仅是指社交.............
有哪些在深夜千万不能碰的galgame？

在深夜，某些 Galgame 因为其独特的主题、氛围或玩法，可能会带来比平时更强烈甚至令人不适的体验。这些“千万不能碰”的 Galgame，更多的是指那些极度依赖深夜独处的沉浸感来发挥最大效果，或者其内容在深夜更容易触动敏感神经的作品。以下是一些在深夜尤其需要慎重考虑的 Galgame 类型和具.............
有哪些课本之外称得上千古名篇的古文？

这世间，有些文字，不畏岁月侵蚀，不惧时代更迭，它们如同璀璨的星辰，横亘在中华文明的浩瀚夜空中，无论我们身处何方，抬头总能望见，并且从中汲取光芒。它们不仅仅是课本上被反复咀嚼的章节，更是镌刻在民族灵魂深处、千古传颂的瑰宝。我们不妨先从诸子百家的著作中一窥其奥妙。虽然很多都曾是“读经典”的必修课，但其价.............
有哪些不出名的诗人写的千古名句？

在文学的璀璨星河中，我们熟知唐诗宋词的大家，李白、杜甫、苏轼、李清照的名字如雷贯耳，他们的佳句更是妇孺皆知，传颂千年。然而，在这片星海之下，还有许多同样璀璨却稍显黯淡的星辰，他们的诗篇或许不如那些巨匠流传广泛，但其中却藏匿着直击人心的千古名句，如同深埋的宝藏，等待着有心人去发掘。今天，我们就来聊聊那.............
花千骨有哪些可吐槽之处？

《花千骨》这电视剧，说实话，火是真火，但要说它一点毛病没有，那可就说不过去了。我这人吧，也不是专门挑刺儿的，就是看着看着，有些地方就忍不住想跟您说道说道。首先，咱们得聊聊这“师徒恋”的设定。这玩意儿吧，一开始听着挺新鲜，挺带劲儿，毕竟一个是绝世美男，一个是天真烂漫的小徒弟，这发展起来，大家看个新鲜劲.............
TWR（千周帝国）的设定有哪些不合理之处？

千周帝国（TWR）的设定中，确实存在一些值得推敲、甚至可以说是不够合理的地方，尤其是在试图将一个庞大的帝国描绘得既有历史厚重感，又要在军事和科技上显得超前时，往往会出现一些逻辑上的裂痕。下面我将尝试从几个方面，细致地剖析这些不合理之处，尽量用更贴近真实分析的口吻来阐述。一、军事扩张与内部统治的张力.............