有哪些看起来很难但做起来很简单的数学题？
有些数学题，初看之下让人望而生畏，仿佛是精心设计的迷宫，但一旦找到了“钥匙”，你会发现它们不过是披着华丽外衣的简单逻辑。我之前就遇到过这样一类题，当时在论坛上看到，题目描述得挺唬人，什么“连续整数的奇妙性质”、“素数分布的奥秘”之类的，看得我当时头皮发麻。
题目大概是这样的：
“一个大于1的整数 N。已知 N 的数字之和是偶数，并且 N 本身也是偶数。证明 N 的所有数字的乘积是偶数。”
当时第一眼看到这个题目，我的脑海里闪过一连串关于数字性质的定义和定理，什么整除性，什么奇偶性判断的算法，甚至还想到了取模运算。我琢磨着，是不是要用什么高深的数论知识，比如欧拉定理或者费马小定理来证明？感觉又要列一堆公式，推导半天。
我甚至开始思考，是不是要分析 N 的个位数，因为个位数决定了 N 的奇偶性。如果 N 是偶数，那它的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 8 中的一个。但这跟数字之和有什么关系呢？我有点晕。
然后我又想到数字之和是偶数。这似乎意味着 N 可能是偶数，也可能是奇数（比如 11，数字之和是 2，是偶数，但 11 是奇数）。但题目明确说了 N 本身是偶数。所以，我们知道 N 的个位数是偶数，而且所有数字加起来也是偶数。
接下来是证明“所有数字的乘积是偶数”。这就意味着，在 N 的所有数字中，至少有一个数字是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。如果 N 的所有数字都是奇数（1, 3, 5, 7, 9），那么它们的乘积也一定是奇数。所以，我们要证明的是，N 的所有数字不可能是全部是奇数。
这时，我突然灵光一闪，想到了一个最基础、最直接的逻辑。
关键点来了：
题目告诉我们，“N 本身也是偶数”。
一个整数之所以是偶数，最根本的原因是什么？是因为它的 个位数 是偶数。
也就是说，无论 N 这个数字有多大，无论它有多少位，它的最后一个数字（个位数）一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
现在我们来看题目要求证明的结论：“N 的所有数字的乘积是偶数。”
要让一个乘积是偶数，有一个非常简单的条件：这个乘积中，只要有一个因数是偶数，那么整个乘积就是偶数。
那么，在 N 的所有数字中，我们已经知道了一个数字是确定的——个位数。
而我们刚刚分析过，因为 N 是偶数，所以它的 个位数必然是偶数。
所以，在 N 的所有数字的乘积里，至少有一个数字是偶数（就是它的个位数）。
既然 N 的所有数字的乘积中，至少有一个数字（个位数）是偶数，那么根据“偶数乘以任何整数都得到偶数”的性质，N 的所有数字的乘积就一定是偶数。
整个证明过程，其实非常简单，只需要用到两个最基础的数学概念：
1. 偶数的定义： 一个数是偶数，当且仅当它的个位数是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
2. 乘法的奇偶性： 任何一个偶数乘以任何一个整数，结果都是偶数。
我们再梳理一下整个思路，你会发现它有多简单：
已知条件 1： N 是一个大于1的整数。
已知条件 2： N 的数字之和是偶数。（这个条件在上面的简单证明里其实并没有用到，它是一个“干扰项”，或者说是一种额外的保证，但核心证明不需要它。）
已知条件 3： N 本身是偶数。
要证明： N 的所有数字的乘积是偶数。
证明步骤：
1. 因为 N 是偶数（根据条件 3），所以 N 的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
2. 无论 N 是多少位数，它的所有数字的乘积都会包含它的个位数作为其中一个乘数。
3. 我们已经知道这个个位数是偶数。
4. 根据乘法奇偶性规则，任何一个偶数乘以任何一个整数（在这里就是 N 的其他数字的乘积），结果必然是偶数。
5. 因此，N 的所有数字的乘积是偶数。
你看，是不是很简单？那个“数字之和是偶数”的条件，在最直接的证明路径上，其实是多余的。它可能用来迷惑你，让你去想更复杂的性质，但其实答案就在最基础的定义里。这种题目，就像是给你一套看起来很复杂的工具，但你只需要拿起其中一个最普通的螺丝刀，就能轻松解决问题。
这就是数学的魅力所在吧，有时候最深奥的道理，就藏在最最显而易见的地方。
题目大概是这样的：
“一个大于1的整数 N。已知 N 的数字之和是偶数，并且 N 本身也是偶数。证明 N 的所有数字的乘积是偶数。”
当时第一眼看到这个题目，我的脑海里闪过一连串关于数字性质的定义和定理，什么整除性，什么奇偶性判断的算法，甚至还想到了取模运算。我琢磨着，是不是要用什么高深的数论知识，比如欧拉定理或者费马小定理来证明？感觉又要列一堆公式，推导半天。
我甚至开始思考，是不是要分析 N 的个位数，因为个位数决定了 N 的奇偶性。如果 N 是偶数，那它的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 8 中的一个。但这跟数字之和有什么关系呢？我有点晕。
然后我又想到数字之和是偶数。这似乎意味着 N 可能是偶数，也可能是奇数（比如 11，数字之和是 2，是偶数，但 11 是奇数）。但题目明确说了 N 本身是偶数。所以，我们知道 N 的个位数是偶数，而且所有数字加起来也是偶数。
接下来是证明“所有数字的乘积是偶数”。这就意味着，在 N 的所有数字中，至少有一个数字是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。如果 N 的所有数字都是奇数（1, 3, 5, 7, 9），那么它们的乘积也一定是奇数。所以，我们要证明的是，N 的所有数字不可能是全部是奇数。
这时，我突然灵光一闪，想到了一个最基础、最直接的逻辑。
关键点来了：
题目告诉我们，“N 本身也是偶数”。
一个整数之所以是偶数，最根本的原因是什么？是因为它的 个位数 是偶数。
也就是说，无论 N 这个数字有多大，无论它有多少位，它的最后一个数字（个位数）一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
现在我们来看题目要求证明的结论：“N 的所有数字的乘积是偶数。”
要让一个乘积是偶数，有一个非常简单的条件：这个乘积中，只要有一个因数是偶数，那么整个乘积就是偶数。
那么，在 N 的所有数字中，我们已经知道了一个数字是确定的——个位数。
而我们刚刚分析过，因为 N 是偶数，所以它的 个位数必然是偶数。
所以，在 N 的所有数字的乘积里，至少有一个数字是偶数（就是它的个位数）。
既然 N 的所有数字的乘积中，至少有一个数字（个位数）是偶数，那么根据“偶数乘以任何整数都得到偶数”的性质，N 的所有数字的乘积就一定是偶数。
整个证明过程，其实非常简单，只需要用到两个最基础的数学概念：
1. 偶数的定义： 一个数是偶数，当且仅当它的个位数是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
2. 乘法的奇偶性： 任何一个偶数乘以任何一个整数，结果都是偶数。
我们再梳理一下整个思路，你会发现它有多简单：
已知条件 1： N 是一个大于1的整数。
已知条件 2： N 的数字之和是偶数。（这个条件在上面的简单证明里其实并没有用到，它是一个“干扰项”，或者说是一种额外的保证，但核心证明不需要它。）
已知条件 3： N 本身是偶数。
要证明： N 的所有数字的乘积是偶数。
证明步骤：
1. 因为 N 是偶数（根据条件 3），所以 N 的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
2. 无论 N 是多少位数，它的所有数字的乘积都会包含它的个位数作为其中一个乘数。
3. 我们已经知道这个个位数是偶数。
4. 根据乘法奇偶性规则，任何一个偶数乘以任何一个整数（在这里就是 N 的其他数字的乘积），结果必然是偶数。
5. 因此，N 的所有数字的乘积是偶数。
你看，是不是很简单？那个“数字之和是偶数”的条件，在最直接的证明路径上，其实是多余的。它可能用来迷惑你，让你去想更复杂的性质，但其实答案就在最基础的定义里。这种题目，就像是给你一套看起来很复杂的工具，但你只需要拿起其中一个最普通的螺丝刀，就能轻松解决问题。
这就是数学的魅力所在吧，有时候最深奥的道理，就藏在最最显而易见的地方。
网友意见
证明：任意七个不同的实数 , 总存在其中两个数 满足
从七个数中找两个，那组合起来有7×6÷2=21种选择，在这21种选择中证明一定存在某一种选择满足这个复杂的关系，这题太难了吧！！
答案见下方。
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答案：把七个数写成正切的形式 ，其中 是 中的七个俯角。根据鸽巢原理总有两个 , 于是
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