有哪些看起来很难但做起来很简单的数学题？
有些数学题，初看之下让人望而生畏，仿佛是精心设计的迷宫，但一旦找到了“钥匙”，你会发现它们不过是披着华丽外衣的简单逻辑。我之前就遇到过这样一类题，当时在论坛上看到，题目描述得挺唬人，什么“连续整数的奇妙性质”、“素数分布的奥秘”之类的，看得我当时头皮发麻。
题目大概是这样的：
“一个大于1的整数 N。已知 N 的数字之和是偶数，并且 N 本身也是偶数。证明 N 的所有数字的乘积是偶数。”
当时第一眼看到这个题目，我的脑海里闪过一连串关于数字性质的定义和定理，什么整除性，什么奇偶性判断的算法，甚至还想到了取模运算。我琢磨着，是不是要用什么高深的数论知识，比如欧拉定理或者费马小定理来证明？感觉又要列一堆公式，推导半天。
我甚至开始思考，是不是要分析 N 的个位数，因为个位数决定了 N 的奇偶性。如果 N 是偶数，那它的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 8 中的一个。但这跟数字之和有什么关系呢？我有点晕。
然后我又想到数字之和是偶数。这似乎意味着 N 可能是偶数，也可能是奇数（比如 11，数字之和是 2，是偶数，但 11 是奇数）。但题目明确说了 N 本身是偶数。所以，我们知道 N 的个位数是偶数，而且所有数字加起来也是偶数。
接下来是证明“所有数字的乘积是偶数”。这就意味着，在 N 的所有数字中，至少有一个数字是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。如果 N 的所有数字都是奇数（1, 3, 5, 7, 9），那么它们的乘积也一定是奇数。所以，我们要证明的是，N 的所有数字不可能是全部是奇数。
这时，我突然灵光一闪，想到了一个最基础、最直接的逻辑。
关键点来了：
题目告诉我们，“N 本身也是偶数”。
一个整数之所以是偶数，最根本的原因是什么？是因为它的 个位数 是偶数。
也就是说，无论 N 这个数字有多大，无论它有多少位，它的最后一个数字（个位数）一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
现在我们来看题目要求证明的结论：“N 的所有数字的乘积是偶数。”
要让一个乘积是偶数，有一个非常简单的条件：这个乘积中，只要有一个因数是偶数，那么整个乘积就是偶数。
那么，在 N 的所有数字中，我们已经知道了一个数字是确定的——个位数。
而我们刚刚分析过，因为 N 是偶数，所以它的 个位数必然是偶数。
所以，在 N 的所有数字的乘积里，至少有一个数字是偶数（就是它的个位数）。
既然 N 的所有数字的乘积中，至少有一个数字（个位数）是偶数，那么根据“偶数乘以任何整数都得到偶数”的性质，N 的所有数字的乘积就一定是偶数。
整个证明过程，其实非常简单，只需要用到两个最基础的数学概念：
1. 偶数的定义： 一个数是偶数，当且仅当它的个位数是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
2. 乘法的奇偶性： 任何一个偶数乘以任何一个整数，结果都是偶数。
我们再梳理一下整个思路，你会发现它有多简单：
已知条件 1： N 是一个大于1的整数。
已知条件 2： N 的数字之和是偶数。（这个条件在上面的简单证明里其实并没有用到，它是一个“干扰项”，或者说是一种额外的保证，但核心证明不需要它。）
已知条件 3： N 本身是偶数。
要证明： N 的所有数字的乘积是偶数。
证明步骤：
1. 因为 N 是偶数（根据条件 3），所以 N 的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
2. 无论 N 是多少位数，它的所有数字的乘积都会包含它的个位数作为其中一个乘数。
3. 我们已经知道这个个位数是偶数。
4. 根据乘法奇偶性规则，任何一个偶数乘以任何一个整数（在这里就是 N 的其他数字的乘积），结果必然是偶数。
5. 因此，N 的所有数字的乘积是偶数。
你看，是不是很简单？那个“数字之和是偶数”的条件，在最直接的证明路径上，其实是多余的。它可能用来迷惑你，让你去想更复杂的性质，但其实答案就在最基础的定义里。这种题目，就像是给你一套看起来很复杂的工具，但你只需要拿起其中一个最普通的螺丝刀，就能轻松解决问题。
这就是数学的魅力所在吧，有时候最深奥的道理，就藏在最最显而易见的地方。
题目大概是这样的：
“一个大于1的整数 N。已知 N 的数字之和是偶数，并且 N 本身也是偶数。证明 N 的所有数字的乘积是偶数。”
当时第一眼看到这个题目，我的脑海里闪过一连串关于数字性质的定义和定理，什么整除性，什么奇偶性判断的算法，甚至还想到了取模运算。我琢磨着，是不是要用什么高深的数论知识，比如欧拉定理或者费马小定理来证明？感觉又要列一堆公式，推导半天。
我甚至开始思考，是不是要分析 N 的个位数，因为个位数决定了 N 的奇偶性。如果 N 是偶数，那它的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 8 中的一个。但这跟数字之和有什么关系呢？我有点晕。
然后我又想到数字之和是偶数。这似乎意味着 N 可能是偶数，也可能是奇数（比如 11，数字之和是 2，是偶数，但 11 是奇数）。但题目明确说了 N 本身是偶数。所以，我们知道 N 的个位数是偶数，而且所有数字加起来也是偶数。
接下来是证明“所有数字的乘积是偶数”。这就意味着，在 N 的所有数字中，至少有一个数字是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。如果 N 的所有数字都是奇数（1, 3, 5, 7, 9），那么它们的乘积也一定是奇数。所以，我们要证明的是，N 的所有数字不可能是全部是奇数。
这时，我突然灵光一闪，想到了一个最基础、最直接的逻辑。
关键点来了：
题目告诉我们，“N 本身也是偶数”。
一个整数之所以是偶数，最根本的原因是什么？是因为它的 个位数 是偶数。
也就是说，无论 N 这个数字有多大，无论它有多少位，它的最后一个数字（个位数）一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
现在我们来看题目要求证明的结论：“N 的所有数字的乘积是偶数。”
要让一个乘积是偶数，有一个非常简单的条件：这个乘积中，只要有一个因数是偶数，那么整个乘积就是偶数。
那么，在 N 的所有数字中，我们已经知道了一个数字是确定的——个位数。
而我们刚刚分析过，因为 N 是偶数，所以它的 个位数必然是偶数。
所以，在 N 的所有数字的乘积里，至少有一个数字是偶数（就是它的个位数）。
既然 N 的所有数字的乘积中，至少有一个数字（个位数）是偶数，那么根据“偶数乘以任何整数都得到偶数”的性质，N 的所有数字的乘积就一定是偶数。
整个证明过程，其实非常简单，只需要用到两个最基础的数学概念：
1. 偶数的定义： 一个数是偶数，当且仅当它的个位数是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
2. 乘法的奇偶性： 任何一个偶数乘以任何一个整数，结果都是偶数。
我们再梳理一下整个思路，你会发现它有多简单：
已知条件 1： N 是一个大于1的整数。
已知条件 2： N 的数字之和是偶数。（这个条件在上面的简单证明里其实并没有用到，它是一个“干扰项”，或者说是一种额外的保证，但核心证明不需要它。）
已知条件 3： N 本身是偶数。
要证明： N 的所有数字的乘积是偶数。
证明步骤：
1. 因为 N 是偶数（根据条件 3），所以 N 的个位数一定是 0, 2, 4, 6, 或 8 中的一个。
2. 无论 N 是多少位数，它的所有数字的乘积都会包含它的个位数作为其中一个乘数。
3. 我们已经知道这个个位数是偶数。
4. 根据乘法奇偶性规则，任何一个偶数乘以任何一个整数（在这里就是 N 的其他数字的乘积），结果必然是偶数。
5. 因此，N 的所有数字的乘积是偶数。
你看，是不是很简单？那个“数字之和是偶数”的条件，在最直接的证明路径上，其实是多余的。它可能用来迷惑你，让你去想更复杂的性质，但其实答案就在最基础的定义里。这种题目，就像是给你一套看起来很复杂的工具，但你只需要拿起其中一个最普通的螺丝刀，就能轻松解决问题。
这就是数学的魅力所在吧，有时候最深奥的道理，就藏在最最显而易见的地方。
网友意见
证明：任意七个不同的实数 , 总存在其中两个数 满足
从七个数中找两个，那组合起来有7×6÷2=21种选择，在这21种选择中证明一定存在某一种选择满足这个复杂的关系，这题太难了吧！！
答案见下方。
**************************************
**************************************
答案：把七个数写成正切的形式 ，其中 是 中的七个俯角。根据鸽巢原理总有两个 , 于是
类似的话题
-
有些数学题，初看之下让人望而生畏，仿佛是精心设计的迷宫，但一旦找到了“钥匙”，你会发现它们不过是披着华丽外衣的简单逻辑。我之前就遇到过这样一类题，当时在论坛上看到，题目描述得挺唬人，什么“连续整数的奇妙性质”、“素数分布的奥秘”之类的，看得我当时头皮发麻。题目大概是这样的：“一个大于1的整数 N。已............. -
确实有很多数学题目，看起来非常简单，但其背后却蕴含着深刻的数学思想和解决起来异常困难的挑战。这些题目之所以难以解决，往往是因为它们触及到了数学的某些前沿领域，或者需要全新的、非直观的数学工具和证明方法。下面我将列举几类这样的题目，并尝试详细解释其“简单表象”与“困难本质”。 1. 数论中的“简单”问.............
-
很多时候，我们会被那些宏伟、复杂、技巧要求极高的古典音乐作品所震慑，比如李斯特的钢琴炫技曲，或是马勒的交响乐巨制。它们如同巍峨的山峰，让人望而生畏。但实际上，在浩瀚的古典音乐海洋中，同样存在着一些作品，它们乍听之下气势恢宏、情感饱满，甚至带有一定的技术挑战，但深入了解后会发现，它们并非如表面那般遥不.............
-
在家也能做出让人惊艳的美食，这事儿，绝对没你想的那么难！有时候，我们看着那些精致的西点，或者复杂的港式点心，总觉得离自己的厨房十万八千里。但其实，很多我们认为“大厨级”的菜肴，只要掌握了几个小窍门，备齐了必要的工具，在家一样能做得有模有样，甚至比外面买的更合口味。今天，我就来跟你好好唠唠，有哪些看似.............
-
有些问题，初听之下，似乎只是一句简单的话，甚至让人觉得“这有什么难的？”。但一旦你真的钻进去，想要给出严谨、无懈可击的证明，就会发现自己陷入了迷宫，每一步都充满了挑战，甚至可能耗费数年、数十年，也未必能完全攻克。这些问题，就是那种“看起来很简单，证明起来却很难”的典型。这类问题之所以迷人，也在于它们.............
-
教科书上的科学概念，尤其那些涉及动态过程、三维空间或者抽象物理现象的，确实常常让我在阅读文字时感到云里雾里，不得其解。但一旦有影像资料的辅助，很多晦涩难懂的原理就会变得豁然开朗，好像脑袋里那个卡住的齿轮终于被点亮了。这里我想分享几个我个人深有体会的例子，这些概念光看书本上的图文描述，总觉得少了点什么.............
-
生活里总有那么些瞬间，你说破了嘴皮子，对方还是云里雾里，但要是给他看一眼视频，顿时就能心领神会。这感觉，就像是把脑子里五彩斑斓的画面，瞬间具象化成对方眼前的真实。举个最生活化的例子，就说 “如何优雅地打一个漂亮的丝巾结” 吧。你想啊，你要是光用文字描述？“将丝巾的两个对角线分别拉平，然后……不，是先.............
-
有些事情，在旁人看来，轻描淡写，似乎只要动动嘴皮子，或者稍微付出点力气就能搞定。可一旦自己亲手去做了，才发现其中的门道深着呢，比想象中要复杂得多，也磨人得多。这种事儿，我这儿倒也有几个印象特别深刻的，说出来，您听听是不是这么个理儿。一、学一门语言，不是背单词那么简单听着是不是特简单？不就是背几个单词.............
-
确实存在不少技术，它们在最终呈现时显得复杂而高端，但其核心原理却出人意料的简单，甚至是“暴力”的。这种“暴力”往往体现在它不追求精巧的数学推导或细致的逻辑设计，而是通过庞大的计算量、大量的尝试或者物理上的直接作用来达成目标。这里我为你列举几个我认为符合这个描述的例子，并尽量详细地解释： 1. 基于蛮.............
-
在信息爆炸的时代，我们每天都会接触到海量的信息，其中不乏经过精心设计的假象，它们以逼真的面貌欺骗我们的眼睛，甚至影响我们的判断。这些“假照片、假人、假事”层出不穷，背后隐藏着各种动机，从恶搞娱乐到政治宣传，再到商业欺诈，无所不包。下面我将详细列举一些常见的“逼真假象”，并深入分析其原理和潜在影响： .............
-
这类衣服啊，我算是有些心得的。说起来，这世上总有些东西，表面上看着体面光鲜，实际穿上身，那股说不清道不明的尴尬劲儿，能让你恨不得钻地缝里去。我先跟你说说那类所谓的“优雅复古风”的衣服。你知道吧，就是那种领口高高的，袖子也遮得严严实实的长裙或者衬衫，外面再搭个小开衫什么的，一股子大家闺秀，或者说，解放.............
-
有时候，真实的世界比我们想象的还要离奇，甚至会让我们怀疑自己的眼睛。下面我来分享一些我印象深刻的、听起来像段子却货真实真的事情：1. “我不是谁，我就是我”——尼古拉斯·凯奇的“中国分身”第一次看到这张对比图的时候，我整个人都傻了。左边是好莱坞硬汉尼古拉斯·凯奇，右边是一位中国四川的普通中年男子。相.............
-
很多时候，我们生活中习以为常的事物，其背后隐藏的技术原理却着实令人惊叹，甚至可以说得上是“初级外表下的高端灵魂”。这些技术或许在我们眼中朴实无华，但一旦深入剖析其工作机制，便会发现其精妙绝伦，是人类智慧的结晶。今天，我们就来聊聊几项这样的技术，力求把它们讲得透彻明白，也尽量不让它们听起来像是机器生成.............
-
有时候，一些设计想法在最初听起来似乎有个道理，但一旦付诸实践，就会暴露其令人哭笑不得的愚蠢。这些设计往往忽略了最基本的用户需求、常识，或者根本就没有经过哪怕是最粗浅的思考。下面就来聊聊一些我见过的、真是蠢到家了的设计：1. “智能”垃圾桶，但需要手动开盖想象一下，你买了一个号称“智能”的垃圾桶，期待.............
-
这话题可太有意思了！我一直觉得，有些角色吧，明明就没有在谈恋爱，但你就是会忍不住在心里给他们锁死，脑补出一部又一部的80集连续剧。今天就来跟大家唠唠，那些看起来CP感爆棚，但实际上，他们真没在谈！1. 《射雕英雄传》里的郭靖和黄蓉我知道，我知道，这俩最后肯定是在一起了。但你们有没有想过，在故事初期，.............
-
那些听起来牛气冲天，实则触手可及的头衔在咱们这个信息爆炸的时代，谁不希望自己的履历能闪闪发光，在人群中脱颖而出？但别误会，我说的“厉害”并不是指那些需要数年寒窗苦读、过五关斩六将才能获得的博士学位或者国家级奖项。而是那些听上去相当有分量，但实际上只要你稍微花点心思、做点研究，就能轻松拥有的“光环”。.............
-
大自然里，总有些小家伙，明明长着一副惹人怜爱的模样，骨子里却藏着一股子不好惹的狠劲儿。它们就像披着羊皮的狼，乍一看能把你萌出一脸血，但真要招惹了，那滋味可不好受。今天，咱们就来聊聊这些“萌物外表下的猛兽”。1. 蜂猴（Slow Loris）提起蜂猴，你脑海里大概会浮现出一只眼睛大大的、动作慢悠悠的小.............
-
日本文化中，有许多我们当下认为“非常日本”的事物，其实都曾是舶来品，经过千年的吸收、融合与本土化，最终成为了日本独有的标志。这就像一块织布，最初的丝线来自遥远的地方，但编织出的图案、色彩和质感，却打上了这片土地深深的烙印。1. 汉字与书道：文化的根基，也在变迁中重生这是最显而易见的例子。日本最早的文.............
-
在我们日常生活中，有许多事物看似简单，却蕴含着深邃的科学道理，它们是自然法则的直观体现，也是人类智慧探索的起点。要说一件最能代表这种特质的，那非水滴莫属。初看之下，水滴不过是液体遇重力向下坠落，在表面张力作用下形成的一个微小球体。它如此平凡，我们每天都在见到，甚至不曾多加留意。然而，当我们深入其中，.............
-
你有没有过这样的经历：走在街上，一辆车从你身边静静滑过，你可能甚至都没太在意它，因为它设计得那么低调，没有任何张扬的线条或者夸张的装饰。然而，当你细品它的细节，或是偶然了解到它的品牌和价格时，你才会惊觉，这原来是一辆货真价实的豪华车。这大概就是“低调的奢华”吧。这种车不是那种一眼就能让你惊呼“哇塞，.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有