数学史上有哪些问题是通过构造出一套新的理论才得以解决的？必须要构造新的理论才能解决这些问题吗？
数学史上，确实有许多曾经令人困惑的难题，它们如同挡在学者们面前的巍峨山峦，仅仅凭借已有的工具和理论，是无法攀越的。正是这些挑战，促使伟大的数学家们构思并构建了全新的理论体系，才最终拨开了迷雾，发现了通往真理的道路。
“非得构造新理论不可吗？”
这是一个非常深刻的问题。可以说，许多划时代的数学突破，都伴随着新理论的诞生。但我们也要区分“解决”和“以最有效、最深刻的方式解决”。很多问题，或许可以通过极其繁琐、迂回的技巧，在旧理论的框架内得到解答，但这通常意味着解释的力度不够，或者付出的代价过大。而构造新理论，往往能以一种更普适、更优雅、更具洞察力的方式来解决问题，并且其影响会远远超出最初那个问题的范畴，成为数学发展的新基石。
以下是一些典型的例子，它们正是通过全新的理论体系才得以解决，并且这些新理论也深刻地改变了数学的面貌：
1. 证明了“不存在一个能化为有限次有理数运算和开方运算的五次方程的根式解”——伽罗瓦理论的诞生
在16世纪，意大利数学家们（如塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里）已经找到了三次和四次方程的求根公式，这些公式都只涉及加减乘除和开方运算。这自然引发了一个长久以来萦绕在数学家心中的问题：是否所有的代数方程，包括五次方程，也都可以用类似的根式公式来表示？ 很多人尝试过，但都徒劳无功。
这个问题的解决，并非仅仅是找到一个复杂的公式，而是要回答“是否存在”这样的根本性问题。如果没有一套全新的框架来系统地分析方程的根与系数之间的关系，以及这种关系如何受到置换操作的影响，这个问题将永远无法得到令人满意的解答。
新的理论：伽罗瓦理论 (Galois Theory)
埃瓦里斯特·伽罗瓦 (Évariste Galois) 在其短暂而辉煌的一生中，开创性地建立了群论 (Group Theory) 的思想，并将其应用于代数方程。他引入了“伽罗瓦群”的概念，这个群描述了方程的根之间的置换（即根可以如何重新排列，但方程本身保持不变）。
它是如何解决问题的？
伽罗瓦的核心思想是：一个代数方程是否有根式解，取决于它的伽罗瓦群是否是一个“可解群”。可解群是指可以被一系列正规子群分解成单群（简单群）的群，而这些单群又是更基本的群。根式运算（加减乘除和开方）对应着群论中的特定结构——正规列和商群。
对于五次及以上的高次方程，其对应的伽罗瓦群（通常是 $S_n$，n次对称群）是不可解的。换句话说，它的内部结构太复杂，无法通过开方运算这种“层层递进”的方式来“解开”。
为什么必须构造新理论？
在伽罗瓦之前，数学家们只是在尝试寻找公式，他们没有一个系统性的工具来判断“是否存在”这样的根式解。你无法通过“尝试更多更复杂的组合”来证明“不可能存在”。伽罗瓦理论提供了一个抽象的、结构性的视角。它不是在解方程本身，而是在研究方程的根的对称性结构，以及这种结构与根式运算的代数结构之间的关系。这种关系一旦被揭示，证明“五次方程无根式解”就变得直接且必然。
2. “曲线上点的坐标能否用代数方程来表示？”——代数几何的复兴与发展
在19世纪，数学家们对代数曲线（例如椭圆）产生了浓厚的兴趣。他们发现，许多曲线的性质可以通过描述它们的方程来研究。然而，一些看似简单的几何问题，例如“两条曲线的交点数量”，或者“一条曲线上是否存在某些特殊的点”，在当时没有一个普适的、统一的解决框架。
新的理论：代数几何 (Algebraic Geometry) 的基础——交换代数 (Commutative Algebra) 和簇 (Varieties) 的概念
为了更深刻地理解代数曲线和曲面的性质，数学家们开始将代数中的概念提升到新的高度。大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 和后来的范德瓦尔登 (B.L. van der Waerden)，以及安德烈·韦伊 (André Weil) 等人，奠定了现代代数几何的基石。
它是如何解决问题的？
代数几何将几何对象（如曲线、曲面）与代数方程联系起来，并且进一步将这种联系提升到了环论的高度。
交换代数：它研究的是交换环，而代数簇的“坐标环”就是一个交换环。通过研究这些环的代数性质（如理想、模），可以反过来推断几何对象的性质。例如，希尔伯特基数定理 (Hilbert's Basis Theorem) 表明，多项式环是诺特环，这对于研究代数簇的结构至关重要。
簇 (Varieties)：代数簇是满足一组多项式方程的点集。代数几何的核心目标就是研究这些簇的结构，它们之间的映射关系，以及如何用代数工具来描述它们的几何性质。
为什么必须构造新理论？
在代数几何出现之前，人们只能通过具体方程来研究具体曲线，缺乏一种能够统一处理“所有”代数曲线及其性质的语言和工具。例如，对于曲线交点数量的问题，贝祖定理 (Bézout's Theorem) 提供了在特定条件下（例如在射影平面上，并且考虑复数域上的交点，计入重数）的交点数量公式。但要 rigorously 地证明这些定理，需要对代数和几何有着更深刻的理解，这正是代数几何所提供的。
更重要的是，代数几何提供了一种“代数化” (algebraization) 的思想，即用代数语言来描述和解决几何问题。这种方法不仅能够解决已有的难题，还能够发现新的、我们从未想过会存在的几何对象和性质。
3. “几何图形的面积、体积等是否可以用无限小量来精确计算？”——微积分的诞生
在牛顿和莱布尼茨之前，关于曲线下面积、切线斜率等问题，数学家们已经进行了一些探索，例如阿基米德就利用了“穷竭法”（一种极限思想的雏形）。但这些方法缺乏一个普适、严格的理论框架，并且对“无限小量”的处理存在一些概念上的模糊。
新的理论：微积分 (Calculus)
艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 和戈特弗里德·莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 分别独立发展了微积分。
微分 (Differential Calculus)：研究函数的变化率，即“瞬时速度”或“切线斜率”。它引入了导数 (Derivative) 的概念，用一个符号 $dy/dx$ 来表示一个变量相对于另一个变量的无穷小的变化率。
积分 (Integral Calculus)：研究累积效应，例如曲线下面积、体积等。它引入了积分 (Integral) 的概念，可以通过“无穷多的无穷小量的求和”来计算。
它是如何解决问题的？
微积分提供了一套强大的工具来解决那些涉及变化和累积的问题。
微分能够精确地计算曲线在某一点的斜率（即瞬时变化率），解决了找到曲线切线的问题。
积分能够将一个连续量分解成无穷多个无穷小量并求和，从而计算出精确的面积、体积、长度等。牛顿和莱布尼茨还发现了微积分基本定理，揭示了微分和积分之间的互逆关系，使得计算积分变得更加高效。
为什么必须构造新理论？
虽然阿基米德的穷竭法已经能够处理一些特定问题，但它不够系统化，对于处理更复杂的函数和变化率的问题显得力不从心。对“无穷小量”的处理，在当时也存在争议。微积分的诞生，提供了一套严谨的、概念清晰的数学框架。它将“变化”和“累积”这两个看似截然不同的概念统一起来，并且通过导数和积分的概念，提供了计算这些变化率和累积量的通用方法。没有微积分，物理学的大厦，尤其是经典力学，将无法建立起来。
4. “在什么条件下，一个集合可以被‘计数’？”——集合论的出现
在19世纪末20世纪初，数学家们在研究无限集合的时候遇到了很多悖论，比如罗素悖论 (Russell's Paradox)，它揭示了直接将“所有满足某个性质的对象的集合”视为一个集合会产生矛盾。这直接挑战了当时数学的基础。
新的理论：集合论 (Set Theory)
格奥尔格·康托尔 (Georg Cantor) 开创了集合论，他证明了不同无穷的等级，即存在比自然数无穷更大的无穷，例如实数集合的无穷。然而，康托尔的直观方法并没有完全解决悖论问题。
为了解决这些悖论，并给集合论提供一个坚实的基础，恩斯特·策梅洛 (Ernst Zermelo) 和 亚伯拉罕·弗兰克尔 (Abraham Fraenkel) 发展了策梅洛弗兰克尔集合论 (ZFC)，并加入了选择公理 (Axiom of Choice)。
它是如何解决问题的？
ZFC 集合论通过一系列公理来定义集合以及集合之间的关系。这些公理旨在避免产生逻辑矛盾，并提供一个足够强大的框架来处理各种数学对象，包括无穷集合。
区分大小的集合：公理限制了我们只能构造那些“可以被明确定义”的集合，从而回避了罗素悖论。
无穷的等级：集合论的公理系统，特别是无穷公理 (Axiom of Infinity)，允许我们证明存在无穷集合，并且可以证明不同无穷集合的大小（基数）是不同的。
选择公理：它允许从每个集合中选出一个元素，尽管这个选择过程可能不是明确指定的。这个公理非常强大，可以推导出许多重要的数学定理（如每个向量空间都有基），但也引起了一些反直觉的结论（如巴拿赫塔斯基悖论）。
为什么必须构造新理论？
在集合论出现之前，数学家们对于“无限”的概念还没有一个统一、严格的处理方式。许多在有限情况下的直觉，在无限情况下会失效。罗素悖论的出现，迫使数学家们必须重新审视数学的基础，对“集合”这一最基本的概念进行严格的定义。集合论不仅仅是解决了悖论，它还为整个数学提供了一个统一的语言和基础。几乎所有的数学对象（数、函数、空间等）都可以被构建为集合，从而使得数学的各个分支能够更加紧密地联系在一起。
总结
从这些例子中我们可以看到，当一个数学问题触及了现有理论的边界，或者需要一种全新的视角来理解其本质时，构造新的理论就变得不可或缺。新的理论往往能够：
提供更普适的框架：将一系列看似孤立的问题纳入一个统一的体系中。
揭示更深层次的结构：发现问题的内在规律和对称性。
发展新的研究工具：使解决问题以及发现新问题成为可能。
奠定数学发展的新方向：开启一个全新的数学分支或研究领域。
诚然，有些问题或许可以通过极其复杂和零散的技巧在旧理论框架内勉强解决，但那往往是治标不治本。只有构造出全新的理论，才能真正地、深刻地、优雅地解决这些数学难题，并推动整个数学学科向前发展。这些理论的诞生，是人类智慧面对未知和挑战时，最辉煌的证明。
“非得构造新理论不可吗？”
这是一个非常深刻的问题。可以说，许多划时代的数学突破，都伴随着新理论的诞生。但我们也要区分“解决”和“以最有效、最深刻的方式解决”。很多问题，或许可以通过极其繁琐、迂回的技巧，在旧理论的框架内得到解答，但这通常意味着解释的力度不够，或者付出的代价过大。而构造新理论，往往能以一种更普适、更优雅、更具洞察力的方式来解决问题，并且其影响会远远超出最初那个问题的范畴，成为数学发展的新基石。
以下是一些典型的例子，它们正是通过全新的理论体系才得以解决，并且这些新理论也深刻地改变了数学的面貌：
1. 证明了“不存在一个能化为有限次有理数运算和开方运算的五次方程的根式解”——伽罗瓦理论的诞生
在16世纪，意大利数学家们（如塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里）已经找到了三次和四次方程的求根公式，这些公式都只涉及加减乘除和开方运算。这自然引发了一个长久以来萦绕在数学家心中的问题：是否所有的代数方程，包括五次方程，也都可以用类似的根式公式来表示？ 很多人尝试过，但都徒劳无功。
这个问题的解决，并非仅仅是找到一个复杂的公式，而是要回答“是否存在”这样的根本性问题。如果没有一套全新的框架来系统地分析方程的根与系数之间的关系，以及这种关系如何受到置换操作的影响，这个问题将永远无法得到令人满意的解答。
新的理论：伽罗瓦理论 (Galois Theory)
埃瓦里斯特·伽罗瓦 (Évariste Galois) 在其短暂而辉煌的一生中，开创性地建立了群论 (Group Theory) 的思想，并将其应用于代数方程。他引入了“伽罗瓦群”的概念，这个群描述了方程的根之间的置换（即根可以如何重新排列，但方程本身保持不变）。
它是如何解决问题的？
伽罗瓦的核心思想是：一个代数方程是否有根式解，取决于它的伽罗瓦群是否是一个“可解群”。可解群是指可以被一系列正规子群分解成单群（简单群）的群，而这些单群又是更基本的群。根式运算（加减乘除和开方）对应着群论中的特定结构——正规列和商群。
对于五次及以上的高次方程，其对应的伽罗瓦群（通常是 $S_n$，n次对称群）是不可解的。换句话说，它的内部结构太复杂，无法通过开方运算这种“层层递进”的方式来“解开”。
为什么必须构造新理论？
在伽罗瓦之前，数学家们只是在尝试寻找公式，他们没有一个系统性的工具来判断“是否存在”这样的根式解。你无法通过“尝试更多更复杂的组合”来证明“不可能存在”。伽罗瓦理论提供了一个抽象的、结构性的视角。它不是在解方程本身，而是在研究方程的根的对称性结构，以及这种结构与根式运算的代数结构之间的关系。这种关系一旦被揭示，证明“五次方程无根式解”就变得直接且必然。
2. “曲线上点的坐标能否用代数方程来表示？”——代数几何的复兴与发展
在19世纪，数学家们对代数曲线（例如椭圆）产生了浓厚的兴趣。他们发现，许多曲线的性质可以通过描述它们的方程来研究。然而，一些看似简单的几何问题，例如“两条曲线的交点数量”，或者“一条曲线上是否存在某些特殊的点”，在当时没有一个普适的、统一的解决框架。
新的理论：代数几何 (Algebraic Geometry) 的基础——交换代数 (Commutative Algebra) 和簇 (Varieties) 的概念
为了更深刻地理解代数曲线和曲面的性质，数学家们开始将代数中的概念提升到新的高度。大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 和后来的范德瓦尔登 (B.L. van der Waerden)，以及安德烈·韦伊 (André Weil) 等人，奠定了现代代数几何的基石。
它是如何解决问题的？
代数几何将几何对象（如曲线、曲面）与代数方程联系起来，并且进一步将这种联系提升到了环论的高度。
交换代数：它研究的是交换环，而代数簇的“坐标环”就是一个交换环。通过研究这些环的代数性质（如理想、模），可以反过来推断几何对象的性质。例如，希尔伯特基数定理 (Hilbert's Basis Theorem) 表明，多项式环是诺特环，这对于研究代数簇的结构至关重要。
簇 (Varieties)：代数簇是满足一组多项式方程的点集。代数几何的核心目标就是研究这些簇的结构，它们之间的映射关系，以及如何用代数工具来描述它们的几何性质。
为什么必须构造新理论？
在代数几何出现之前，人们只能通过具体方程来研究具体曲线，缺乏一种能够统一处理“所有”代数曲线及其性质的语言和工具。例如，对于曲线交点数量的问题，贝祖定理 (Bézout's Theorem) 提供了在特定条件下（例如在射影平面上，并且考虑复数域上的交点，计入重数）的交点数量公式。但要 rigorously 地证明这些定理，需要对代数和几何有着更深刻的理解，这正是代数几何所提供的。
更重要的是，代数几何提供了一种“代数化” (algebraization) 的思想，即用代数语言来描述和解决几何问题。这种方法不仅能够解决已有的难题，还能够发现新的、我们从未想过会存在的几何对象和性质。
3. “几何图形的面积、体积等是否可以用无限小量来精确计算？”——微积分的诞生
在牛顿和莱布尼茨之前，关于曲线下面积、切线斜率等问题，数学家们已经进行了一些探索，例如阿基米德就利用了“穷竭法”（一种极限思想的雏形）。但这些方法缺乏一个普适、严格的理论框架，并且对“无限小量”的处理存在一些概念上的模糊。
新的理论：微积分 (Calculus)
艾萨克·牛顿 (Isaac Newton) 和戈特弗里德·莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 分别独立发展了微积分。
微分 (Differential Calculus)：研究函数的变化率，即“瞬时速度”或“切线斜率”。它引入了导数 (Derivative) 的概念，用一个符号 $dy/dx$ 来表示一个变量相对于另一个变量的无穷小的变化率。
积分 (Integral Calculus)：研究累积效应，例如曲线下面积、体积等。它引入了积分 (Integral) 的概念，可以通过“无穷多的无穷小量的求和”来计算。
它是如何解决问题的？
微积分提供了一套强大的工具来解决那些涉及变化和累积的问题。
微分能够精确地计算曲线在某一点的斜率（即瞬时变化率），解决了找到曲线切线的问题。
积分能够将一个连续量分解成无穷多个无穷小量并求和，从而计算出精确的面积、体积、长度等。牛顿和莱布尼茨还发现了微积分基本定理，揭示了微分和积分之间的互逆关系，使得计算积分变得更加高效。
为什么必须构造新理论？
虽然阿基米德的穷竭法已经能够处理一些特定问题，但它不够系统化，对于处理更复杂的函数和变化率的问题显得力不从心。对“无穷小量”的处理，在当时也存在争议。微积分的诞生，提供了一套严谨的、概念清晰的数学框架。它将“变化”和“累积”这两个看似截然不同的概念统一起来，并且通过导数和积分的概念，提供了计算这些变化率和累积量的通用方法。没有微积分，物理学的大厦，尤其是经典力学，将无法建立起来。
4. “在什么条件下，一个集合可以被‘计数’？”——集合论的出现
在19世纪末20世纪初，数学家们在研究无限集合的时候遇到了很多悖论，比如罗素悖论 (Russell's Paradox)，它揭示了直接将“所有满足某个性质的对象的集合”视为一个集合会产生矛盾。这直接挑战了当时数学的基础。
新的理论：集合论 (Set Theory)
格奥尔格·康托尔 (Georg Cantor) 开创了集合论，他证明了不同无穷的等级，即存在比自然数无穷更大的无穷，例如实数集合的无穷。然而，康托尔的直观方法并没有完全解决悖论问题。
为了解决这些悖论，并给集合论提供一个坚实的基础，恩斯特·策梅洛 (Ernst Zermelo) 和 亚伯拉罕·弗兰克尔 (Abraham Fraenkel) 发展了策梅洛弗兰克尔集合论 (ZFC)，并加入了选择公理 (Axiom of Choice)。
它是如何解决问题的？
ZFC 集合论通过一系列公理来定义集合以及集合之间的关系。这些公理旨在避免产生逻辑矛盾，并提供一个足够强大的框架来处理各种数学对象，包括无穷集合。
区分大小的集合：公理限制了我们只能构造那些“可以被明确定义”的集合，从而回避了罗素悖论。
无穷的等级：集合论的公理系统，特别是无穷公理 (Axiom of Infinity)，允许我们证明存在无穷集合，并且可以证明不同无穷集合的大小（基数）是不同的。
选择公理：它允许从每个集合中选出一个元素，尽管这个选择过程可能不是明确指定的。这个公理非常强大，可以推导出许多重要的数学定理（如每个向量空间都有基），但也引起了一些反直觉的结论（如巴拿赫塔斯基悖论）。
为什么必须构造新理论？
在集合论出现之前，数学家们对于“无限”的概念还没有一个统一、严格的处理方式。许多在有限情况下的直觉，在无限情况下会失效。罗素悖论的出现，迫使数学家们必须重新审视数学的基础，对“集合”这一最基本的概念进行严格的定义。集合论不仅仅是解决了悖论，它还为整个数学提供了一个统一的语言和基础。几乎所有的数学对象（数、函数、空间等）都可以被构建为集合，从而使得数学的各个分支能够更加紧密地联系在一起。
总结
从这些例子中我们可以看到，当一个数学问题触及了现有理论的边界，或者需要一种全新的视角来理解其本质时，构造新的理论就变得不可或缺。新的理论往往能够：
提供更普适的框架：将一系列看似孤立的问题纳入一个统一的体系中。
揭示更深层次的结构：发现问题的内在规律和对称性。
发展新的研究工具：使解决问题以及发现新问题成为可能。
奠定数学发展的新方向：开启一个全新的数学分支或研究领域。
诚然，有些问题或许可以通过极其复杂和零散的技巧在旧理论框架内勉强解决，但那往往是治标不治本。只有构造出全新的理论，才能真正地、深刻地、优雅地解决这些数学难题，并推动整个数学学科向前发展。这些理论的诞生，是人类智慧面对未知和挑战时，最辉煌的证明。
网友意见
投影集可测问题, 从波兰-俄罗斯学派到哥德尔之间是几乎无进展的真空期, 直到哥德尔和Cohen之后人们才发现, 这个数学问题所缺失的工具竟然来自于元数学(!)
称Borel集的投影为A集(analytic, 解析集), A集的补集称为CA集, CA集的投影称为PCA集, PCA集的补集称为CPCA集, 如此类推.
上世纪20-30年代波兰-俄罗斯学派兴起了研究这一类集合(统称为投影集)的潮流, 比如Luzin在莫斯科大学为此组织的讨论班参与人员就有大名鼎鼎的Sierpinski, Kuratowski, Kolmogorov, Lyapunov, Khinchin等人.
在Sierpinski, Luzin, 以及Luzin的学生Suslin和Alexandrov的工作下, 我们对A集的性质有着比较好的理解: 比如说, 所有A集都是可测的并且有Baire性质. 由于有这些性质的集合构成-代数, 所以CA集也都有这些良好性质. 那么接下来一个问题就是, PCA集有没有这些良好性质?
纵使波兰-俄罗斯学派拥有着当时世界上最天才的数学家群体, 但是他们面对着PCA集以及其它投影集的研究, 毫不夸张地说, 简直寸步难行. (但可能稍微马后炮地想, 这也许也是好事, 使得他们的注意力转向了他们之后各自开创的数学领域).
Luzin在1925年甚至对这个情况表达了"我们不知道, 也永远无法知道"这样的"反希尔伯特式"的评价. 在Luzin等人当时的视角看来, 投影集的定义和可测性的定义是两个逻辑上无关的定义, 所以才使得这类问题那么困难.
直到哥德尔横空出世.
在今天大众的视野里, 对哥德尔的最深的印象估计是他的不完备定理, 稍微了解多一些的人可能会知道他的完备性定理, 然后对集合论更了解一些的人可能还会知道他的可构造宇宙 L(constructible universe). 但很少人知道, 哥德尔发现了可构造宇宙L之后, 不久便发现了数理逻辑与PCA可测问题的联系.
哥德尔在考虑"可构造宇宙是否满足连续统假设"时发现, 在可构造宇宙中, 每一个实数都是从某一类可数结构上定义而来的. 这一类可数结构(就是可构造宇宙中的)有着很简单的描述, 我们只需要它满足一个简单的公理, 并且不存在某一特定关系的无穷下降链. 如果我们将实数与它们的定义(有限长度的语句)对应起来, 我们就能用比较聪明的方法写下一个实数上的良序, 并且如果两个实数被这个良序排了序, 那么这个序的关系也能在上述一类可数结构上体现出来. 所以哥德尔观察到:
对于"实数[1]", 当且仅当存在一个"实数", 使得编码了一个所需的可数结构, 并且在所编码的这个结构里面, ""这一句子为真.
同时, "不存在某一特定关系的无穷下降链"这一要求可以改写为: 对于每个"实数", 如果编码了一个尝试在中寻找无穷下降链的搜索, 那么的搜索都是失败的.
上面两段的内容展示了, ""是一个关于的, 形如的语句(这个语句里面仅仅出现两次量化实数的量词, 用到的别的语句都是关于自然数的).
数理逻辑上的方法可以让我们把投影操作看作, 取补集操作看作 (即逻辑上的否定), 那么上述的形如 (等价于)的那个语句相当于定义了一个PCA集合. 这个PCA集合就是实数上一个的良序关系, 作为的一个子集. 而根据Fubini定理可以推论, 实数上的良序是不可测的[2].
这就是数学史上第一个不可测的PCA集合的例子. 这一例子由哥德尔通过抛弃几何和分析的思路, 改用数理逻辑视角, 在ZFC+"所有集合都在可构造宇宙里"这一公理体系中构造得到. 后来通过力迫法的工具, 我们知道了(非常粗略地说)如果有很多很多不可构造的集合[3], 那么所有PCA集合都是可测的.
对PCA集合和更一般的投影集的理解在哥德尔提出可构造宇宙(内模型法)和在Cohen提出力迫法(外模型法)前, 在实分析方法上基本走到了尽头. 直到今天, 对我们对投影集高层的集合的唯一研究工具仍然是内模型法和外模型法这两个集合论方法的推广.
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参考
- ^将"实数"看作Baire space https://zhuanlan.zhihu.com/p/274275990
- ^ https://zhuanlan.zhihu.com/p/437119954
- ^ 例如假设Martin's Axiom和连续统假设的否定; 又或者假设存在一个可测基数.
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在B站上找西方哲学史的视频，确实是个不错的选择。这里的资源非常丰富，而且不少UP主做得相当用心。不过，鱼龙混杂，得仔细甄别。我跟你好好聊聊，市面上常见的几种类型以及它们的优劣，最后再给点我个人觉得比较值得一看的。首先，咱们得把B站上常见的西方哲学史视频大概分个类：1. 大学教授或专业学者录制的公开.............
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在数学中，确实存在一些“从理论上根本无法证明”的命题，这主要源于数学逻辑学中的不完备性定理（Gödel's Incompleteness Theorems）以及形式系统的局限性。以下从多个角度详细阐述这一问题： 1. 哥德尔不完备定理：数学的“自我指涉”哥德尔第一不完备定理（1931年）指出： 在.............
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数学的神奇之处就在于它不同分支之间的相互渗透和启发。很多著名且深刻的数学结论，正是因为跨越了不同领域，才得以发现和证明，从而展现出数学世界宏大而和谐的美感。这里我为你挑选一个极具代表性的例子，并尽量细致地为你展开：欧拉证明了整数的倒数和是发散的：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... =.............
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想象一下，在咱们生活中，有没有什么东西是“啥都没有”的，但又能被看作是“包含”在某个范围里的呢？比如，一个空空的抽屉，是不是可以说它包含在你的房间里呢？这个抽屉里“没有”东西，但它确实是“属于”你的房间这个大范围的一部分。数学里，空集（用符号“∅”表示）就是这么一个“啥都没有”的概念。规定它是一个任.............
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在数学的世界里，“维度”这个概念，与其说是一个具体的数字，不如说是一个描述空间或对象特性的工具。所以，要问“数学上一共有多少维度？”，这本身就像在问“世界上有多少种颜色？”一样，答案并不是一个固定的、精确的数字，而是取决于你从哪个角度去理解它，以及你所讨论的数学对象是什么。从最直观的感受开始：我们生.............
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你提出的这个问题，实际上触及到了数学研究中一个非常迷人且具有深远意义的领域：存在性证明与构造性证明的区别，以及“有证明但无实例”这种现象的内在原因。在数学的世界里，我们追求的不只是“对”，更是“为什么对”以及“如何找到”。有时候，一个定理的证明可以非常有力地证明某个数学对象确实存在，但这种存在性却像.............
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2022这个数字，单看它本身，在纯粹的数学概念里，它就是一个普通得不能再普通的整数，属于偶数，可以被2整除，可以被1011整除，可以被3整除（2+0+2+2=6，6能被3整除），所以2022 = 2 × 3 × 337。337这个数，它是个素数，不像2和3那样随处可见。所以，从因子分解的角度看，20.............
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