数学史上有哪些比较著名的猜想因为有反例的存在而没有成为定理？
让我为您细数几位曾被寄予厚望，最终却因反例而未能封神的著名猜想。
1. 费马大定理的前奏：费马的几个猜想
提到皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat），人们立刻会想到他那举世闻名的“费马大定理”，即当整数n > 2时，关于不定方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。这个定理在克里斯托夫·弗赖（Christoph Fray）于1994年提出证明后，耗费了人类数学家三百多年的心血，终于被证实，成为一段传奇。
然而，在费马晚年，他还提出了其他几个猜想，其中一些已经被证明是错误的。
费马的猜想（关于素数）： 费马曾猜想，所有形如 $F_n = 2^{(2^n)} + 1$ 的数都是素数。这些数现在被称为费马数。
$F_0 = 2^{(2^0)} + 1 = 2^1 + 1 = 3$ （素数）
$F_1 = 2^{(2^1)} + 1 = 2^2 + 1 = 5$ （素数）
$F_2 = 2^{(2^2)} + 1 = 2^4 + 1 = 17$ （素数）
$F_3 = 2^{(2^3)} + 1 = 2^8 + 1 = 257$ （素数）
$F_4 = 2^{(2^4)} + 1 = 2^{16} + 1 = 65537$ （素数）
费马对这些数字的素数性质深信不疑，并且认为它们能够构成一切整数的因数。然而，到了1732年，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发现了第一个反例。他证明了 $F_5 = 2^{(2^5)} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297$ 并非素数，而是可以被分解为 $641 imes 6700417$。这个发现如同一记重锤，粉碎了费马的猜想。
尽管这个猜想被证伪了，但它却激发了数学家们对素数分布和数论的深入研究。费马数本身在现代仍然是一个活跃的研究领域，尽管它们绝大多数都不是素数。
2. 哥德巴赫猜想的分支：关于偶数的和
赫特维希·约翰·哥德巴赫（Christian Goldbach）在1742年写给欧拉的信中，提出了一个对数学界影响深远的猜想，也就是著名的“哥德巴赫猜想”：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。 例如，$4 = 2+2$，$6 = 3+3$，$8 = 3+5$，$10 = 3+7 = 5+5$。
虽然“哥德巴赫猜想”至今仍未被完全证明，它本身也因此成为了一个未解决的数学难题，但这封信中还包含了一些现在已经被证明是错误的猜想。
哥德巴赫关于奇数的猜想： 在同一封信中，哥德巴赫还提出了另一个猜想，即任何一个大于1的整数都可以表示为不超过三个素数的和。这是一个更强的命题。他认为，如果一个偶数可以表示为两个素数之和，那么一个奇数就可以表示为三个素数之和。
例如：
$3 = 2+1$ (1不是素数) / $3 = 3$ (一个素数)
$5 = 2+3$ (两个素数) / $5 = 5$ (一个素数)
$7 = 2+2+3$ (三个素数) / $7 = 7$ (一个素数)
$9 = 2+7 = 3+3+3$ (两个或三个素数)
这个猜想在当时被认为是合理的。然而，后来的数学家们对这个猜想进行了更深入的分析。事实上，上面例子中的 $3$ 和 $5$ 都可以表示为一个素数。当涉及“不超过三个素数”时，如果一个数本身就是素数，那么它就可以表示为一个素数，这自然符合“不超过三个”的条件。但问题出现在对“偶数表示为两个素数之和”的依赖上。
更关键的是，后来证明了哥德巴赫关于奇数的猜想与他关于偶数的猜想是不等价的。虽然关于偶数的猜想仍然悬而未决，但对于奇数表示为三个素数之和，在1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）证明了“大偶数猜想”，即任何一个足够大的偶数都可以表示为三个素数的和。后来，哈洛德·赫尔曼·戴文波特（Harold Davenport）在1937年证明了任何大于5的奇数都可以表示为三个素数的和。这似乎支持了哥德巴赫的思路，但“任何一个大于1的整数都可以表示为不超过三个素数的和”这个命题本身，并不是数学定理，也没有被广泛接受为“强哥德巴赫猜想”的等价说法。
实际上，哥德巴赫原初的猜想是“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”（强哥德巴赫猜想）以及“任何一个大于5的奇数都可以表示为三个素数的和”（这句猜想在后来的发展中被认为是前者的一个推论）。至于“任何一个大于1的整数都可以表示为不超过三个素数的和”，这个表述更像是对素数和性质的一种概括性观察，而非一个精确可证的数学命题，因此在数学史上，它并没有像“哥德巴赫猜想”那样被作为一个独立的、试图被证明的猜想来对待。如果非要找一个反例，那就是在哥德巴赫的信中，他并没有明确陈述“任何大于1的整数都可以表示为不超过三个素数的和”这样的独立命题。他的重心在于偶数和奇数与素数个数的关系。
所以，更准确的说法是，哥德巴赫在信中提出的几个关于偶数和奇数与素数个数的联系，其中一部分（关于偶数表示为两个素数之和）成为了未解之谜，而另一部分关于奇数的表述，虽然得到了部分证明，但其原始表述的“不等价性”以及与“大偶数猜想”和“奇数三分法”的区别，使得它在历史上的地位有些模糊。如果强行要说有“反例”导致它没有成为定理，那更多的是指它没有像其偶数版本那样被深入研究和广泛接受，也因为它更强的表述（如直接说所有大于1的整数都等于不超过三个素数的和）在某些情况下会被更简洁的表达（如本身就是素数）所覆盖，从而显得不那么突出和精确。
3. 完美的数猜想：偶完全数结构
埃迪·凯勒（Edward Clodd）在1882年指出，所有偶完全数（Perfect Number）都具有如下形式：$2^{p1}(2^p 1)$，其中 $p$ 是一个素数，并且 $2^p 1$ 本身也是一个素数（即梅森素数）。这个命题在当时被认为是基于现有偶完全数观察所得出的猜想。
我们先了解一下完全数：一个正整数如果等于其所有真约数（不包括自身）之和，那么它被称为完全数。
$6 = 1 + 2 + 3$
$28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$
$496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248$
在欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）中，已经给出了偶完全数的构造方法：如果 $2^p 1$ 是素数，那么 $2^{p1}(2^p 1)$ 就是一个偶完全数。到了18世纪，欧拉证明了所有偶完全数都必然是这种形式。
那么，这个猜想是怎么被推翻的呢？
实际上，这个猜想并没有被反例推翻，反而被证明是正确的。但是，它的“猜想”地位是因为在很长一段时间内，数学家们不知道是否存在奇完全数。如果存在奇完全数，并且它们不是这种形式，那么关于“偶完全数”的这个结论的普适性就会受到质疑。
经过几个世纪的努力，数学家们已经证明不存在小于 $10^{1500}$ 的奇完全数，并且对奇完全数的结构进行了大量的限制，例如，如果奇完全数存在，它必须具有非常大的规模，并且满足一系列复杂的条件。然而，至今为止，数学家们还没有能够证明不存在奇完全数。
因此，更准确地说，“所有偶完全数都具有 $2^{p1}(2^p 1)$ 的形式（其中$p$是素数且$2^p1$是梅森素数）”这个命题，并没有被反例推翻，反而被欧拉证明为真。 它之所以有时被误解为“猜想”，可能是因为在它被证明之前，人们不知道是否存在反例（例如一个不符合这个形式的偶完全数），或者是因为与奇完全数的存在性问题交织在一起而产生的混淆。
但如果非要从字面意义上找一个与“猜想”失败相关的例子，并且它是因为“反例”才没成为定理，那么这可能是一个信息上的误传。这个关于偶完全数的结构，已经是一个被证明为真的定理了。
总结
数学史的迷人之处，恰恰在于它充满了试错与修正的过程。那些曾经闪耀的猜想，即使因为反例而未能成为定理，它们所激发的探索精神、所引出的新概念、所推动的理论发展，都为数学这座宏伟的殿堂添砖加瓦，留下了不可磨灭的印记。它们就像是灯塔，虽然最终被证明指引的方向并非通往某个特定目标，但它们的光芒曾照亮了更广阔的海洋，启发了无数后来的航行者。
网友意见
写一个“宅男拯救世界”的故事。
我们先寻找一个最短的序列，可以包含 的所有排列。 的所有排列有下面六种：
可以看到， 包含了以上所有的排列作为子列，并且不难验证，他是长度最短的拥有这个性质的序列。
我们现在考虑对 这个序列问同样的问题，长度最短，并且包含所有 的各种排列的序列有多长呢？数学家把这种序列叫做“超排列”。如果我们仔细思考几分钟，不难发现一种很自然的归纳的构造方法：假设 个元素的超排列长度是 ，我们可以把这个序列“分拆”成若干个长度为 的子列，然后在其中“插入”第 个元素，我们可以得到一个新序列，包含 个元素的所有排列，而且长度只有 。具体操作如下图：
并且，数学家们已经验证，一个元素的超排列长度为 ，两个元素超排列长度为 ，三个元素超排列长度为 ，四个元素的超排列长度为 ，以及五个元素的超排列长度为 。
通过我们刚才的归纳构造，我们已经构造出包含 个元素所有排列的长度为 的序列了。我们暂且不叫这个序列为“超排列”，主要是出于数学家的严谨，因为我们还没有证明这个序列的长度最短。但是我们可以做一个很合理的猜想：
猜想：
包含 个元素的超排列的长度为
我们也可以去尝试证明这个猜想。由于我们已经有了这个长度的构造，我们只需要再证明下界： 个元素的超排列至少是这个长度。
不难看出， 个元素的超排列的长度至少是 ：在序列中我们先任意放置一个排列，然后对每个剩余的 种排列，我们至少需要一个元素的固定它。如果我们稍微努力一下去改进这个方法，我们可以证明超排列长度至少是 ，因为不难发现，用一个元素去确定一个排列是不够的。甚至，如果我们再去改进一下这个方法，我们可以证明超排列长度至少是 。
看起来胜利在望！感觉只要我们花足够多的时间，足够努力去打磨这个方法，我们最终总能证明，超排列的长度至少是 ，从而证明这个猜想。事实上，当时每一个了解这个问题的数学家，都确信猜想成立。当时有人在MathOverFlow上问这个问题，回答者们甚至都开始讨论起输出超排列的序列的算法了。这个问题甚至还出现在了1998年的土耳其信息学竞赛里。看起来计算机学家们已经默认我们构造出的序列就是超排列了，他们开始关心如何更快的输出这个序列了。当时很多数学家都在怀疑，这个猜想到底是不是真正的“未解决的数学问题”，还是只是大家懒得去花时间写下这个人人都认为成立并且简单的证明。
然而。。这个猜想是错的。2014年，Houston证明了这个猜想在所有 的情形下都是错的。目前最新的上界是，包含 个元素的超排列长度至多是
你可能以为我跑题了，这里根本就没有宅男什么事嘛。下面讲一下这个故事的另一条线。有一个网络论坛，叫4chan，主要讨论动漫，二次元的一个论坛，看起来是一个宅男很喜欢去的地方。
另外，有一个日本动漫叫《凉宫春日的忧郁》，一共14集。这个漫画大概由于情节比较跳跃，每集之间的关联不是很大，甚至首播和重播的剧集播放顺序都各自不同。于是在4chan上有人问，如果我想看到这个动漫所有可能的播放顺序，我至少要连续看多少集？这个问题实际上是在问，包含 个元素的超排列，长度有多长。
一个小时之内，就有匿名网友给出了这个问题的一个下界。他说，他不清楚确切需要看多少集，但是他能证明，至少需要看多少集。他在下面的回复包含了完整的证明，给出了目前最好的下界： 。
由于当时数学家们确信之前提到的猜想是正确的，因此这个匿名同学的回复并没有引起重视。毕竟当你已经确切知道一个值是多少了，你就对这个值最少是多少这件事不感兴趣了。直到Houston证明了这个猜想是错误的之后，4chan上的证明才重新得到关注。并且这个下界和我们现在有的最好的上界惊人的接近。
后来，Houston和合作者写了篇paper，把这个4chan的匿名同学放到了第一作者。。
参考资料
文中图片以及部分信息来自wiki 和 N. Johnston教授的博客。
百年前在数论领域，曾有人猜想素数的计数函数 会永远小于等于对数积分函数li(x) (定义为1/log(x) 从0到x的积分）。后来Littlewood证明这是错误的（他证明了 可以无限次变号），但是目前已知的使得 超过li(x)的最小的x的上界接近 。
这个猜想可能不算著名，我第一次知道好像是从《数学译林》的某篇文章中读到的。
分圆多项式的系数:
x^2-1=(-1+x)(1+x)
x^3-1=(-1+x)(1+x+x^2)
x^4-1=(-1+x)(1+x)(1+x^2)
...
x^30-1=(-1+x)(1+x)(1-x+x^2)(1+x+x^2)(1-x+x^2-x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)(1+x-x^3-x^4-x^5+x^7+x^8)
...
把x^n-1分解因式,等号右边这些因式就是分圆多项式,有人猜测是不是分圆多项式每一项的系数都是0, 1或-1.
第一个反例出现在n=105时:
x^105-1=
(-1+x)(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)(1-x+x^3-x^4+x^6-x^8+x^9-x^11+x^12)(1-x+x^5-x^6+x^7-x^8+x^10-x^11+x^12-x^13+x^14-x^16+x^17-x^18+x^19-x^23+x^24)(1+x+x^2-x^5-x^6-2x^7-x^8-x^9+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17-x^20-x^22-x^24-x^26-x^28+x^31+x^32+x^33+x^34+x^35+x^36-x^39-x^40-2x^41-x^42-x^43+x^46+x^47+x^48)
系数里出现了-2.
如果用计算机计算很大的分圆多项式, 会发现当n很大的时候, 分圆多项式里最大的系数竟然还是指数增长的 !
下面这个链接里有一些图片, 当n很大时的分圆多项式的系数分布:
A look at cyclotomic coefficients类似的话题
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