有哪些数学上的事实，没有一定数学知识的人不会相信？

知名数学科普网红Matt Parker曾经聊过一个很有趣的关于数的分类的话题^[1]，这里会适当做一些简单的补充说明：

小学生都知道实数可以分为有理数和无理数。

但如果不喜欢这么简单直接的表述方式，刘维尔、图灵、博雷尔等一众数学家还贴心地准备了实数域的其他划分方法，保证让您倍感酸爽、过目就忘。

首先，皮亚诺公理体系定义了自然数集，引入负数概念以后扩展到了整数集。

众所周知，由于除法这个小婊砸的存在，整数集只是一个数环而非数域。整数对加减乘运算都具有封闭性，可是两整数相除的结果未必是整数。

所以，人们自然而然地用两整数相除的结果构造了一个新集合，有理数集。谢天谢地，虽然这玩意儿的勒贝格测度为0，但它起码是个数域了。

好了，接下来就是多数小学老师不会讲的东西了。

可构造数(constructible number)，可以利用尺规作图在有限步骤内构造出来的实数长度，从代数的角度解释，就是可以仅使用0和1以及加减乘除平方根运算得到封闭形式表达式的实数。最典型的两个例子，和黄金分割率。

显然，可构造数集包含有理数集。

代数数(algebraic number)，整系数多项式的根，当然，只考虑实根。这个比可构造数容易理解多了，就举一个例子，。

当然，代数数集也包含可构造数集。

下面介绍超越数吗？不不不，在实数集中，超越数是代数数的补集，图灵表示这种划分还不够细。

可计算数(computable number)，是可以通过有限的终止算法计算到任何所需精度的实数，所以也叫递归实数。典型的例子是欧拉常数和圆周率，虽然它们都是超越数，但可以用某些算法计算它们的任意一位。

是的，可计算数集也包含代数数集。

可计算数这个货其实挺婊的，无论代数数还是超越数，凡是你能想到的任何实数，、、，无论它有多丑，它都是可计算的。但如果你假定所有实数都是可计算的，实数系分分钟死给你看。

不过，目前数学家也搞出了一个不可计算数，Chaitin常数，它结合了随机序列，没有算法能猜到它的数字。

目前为止介绍的这些数集，它们之间的关系长这样：

一环扣一环，还挺规整的。

但博雷尔表示，你弄得这么规整好像还没经过我同意吧。他抬手就搞出来一张不那么规矩的图：

正规数(normal number)，具体定义很复杂，非常粗略地讲，就是每个数出现概率相同的无限小数（这里所说的每个数不只是0到9，而是任何位数相同的数）。根据定义，有理数这种有限小数或者无限循环小数一定不是正规数，所以上图中正规数集和有理数集的交集为空。

可以介绍一个著名的例子，

就是一个典型的非正规数。

虽然已经有了正规数的定义，但上图中给出的那些无理数，，还没有人知道它们是不是正规数。

嗯，对，虽然我们已经算出来欧拉常数小数点后的几万亿位，并且知道这几万亿个数里从0到9每个数字占比都为十分之一，00到99每个数占比都是百分之一，000到999每个数占比都是千分之一......但依然不能证明是正规数。

所以如果再有人对你说，“是无限不循环小数，它包含了卡戴珊的社保号、莎士比亚全集、甚至你的一生”这种无聊鸡汤，你可以直接告诉他，我们不知道是不是正规数，所以他在拿一个伪命题当人生格言。

虽然我们不知道是不是正规数，但这阻止不了数学家们造个正规数出来：

Champernowne常数：

Copeland-Erdős常数：

（不得不说Copeland和Erdős还挺会玩赖的，Champernowne前脚把所有自然数排了一遍，他俩后脚就把所有素数排了一遍。）

不过，随着数学家们的深入研究，他们发现事情有点儿不对劲，因为可计算数集相比正规数集实属小巫见大巫。

数学家们意识到正规数集不应该画成刚才那样，而是应该画成这样：

那一大片空白意味着，“虽然我们知道不可计算的正规数有很多很多，但我们一个都找不到呀”。

（逃）

参考

1. ^All the Numbers - Numberphile https://www.youtube.com/watch?v=5TkIe60y2GI&t=300s

拿一支笔，在平面上画一条首尾相连的曲线，画的时候不要出现交叉。比如这样：

那么，这条曲线把平面分为内外两个部分。

很显然吧？

到目前为止好像没有出现什么问题，但问题恰恰就在这：

一般人很难意识到一个事实：这个问题是需要证明的，而且这个问题还并不好证明。

网上有个段子，说大学数学问题分两类：一类是「这tm也要证？」，一类是「这tm也能证？」，那么这个问题，则很好地结合了这两类。

其实别说一般人，数学家开始貌似也没有意识到这个问题是需要证的。

这个事情是 Bernard Bolzano 首先发觉不太对劲，于是作为猜想提出来。之后 Camille Jordan 给出了一个证明，所以这个定理以他名字命名，称为「若尔当曲线定理（Jordan curve theorem）」，但据说他的证明也存在漏洞（有争议）。

随后一个完备的证明由 Oswald Veblen 在1905年给出，此时离这个问题的提出，已经过了半个多世纪了。到了1980年，数学家Tverberg 还评论道：「虽然这个定理现在很出名，但很多数学家从来没读过它的证明。（Although the JCT is one of the best known topological theorems, there are many, even among professional mathematicians, who have never read a proof of it."）」

若尔当曲线定理（Jordan curve theorem）：

平面上一条Jordan曲线，将平面分为两个连通块。其中一块有界，其中一块无界。

为什么这个问题很麻烦呢，我们知道，「处处连续但处处不可导」这种妖孽曲线，在数学里是无处不在的，比如这个：

所以在没有高级数学工具之前，这些问题是很复杂的。

不过运用同调论的知识，这个问题还是很好证明的。光滑情况下可以用二维曲面分类定理证明：

先把平面单点紧化成球面，然后沿曲线切开。
切开后的曲面带边，且Eular 示性数是2，所以只有可能是两个圆盘。
得证。

另外，平面上的妖孽曲线，还有那种可以填满整个平面的，比如这个：

数值积分公式：

具有三阶代数精度，

而

具有五阶代数精度。

在地球上的任意五个人，就算分离到天南海北，都会有四个人处于同一个半球上。

用数学语言来说就是：在二维球面上任取五个点，都会有至少四个点被包含在一个闭半球里。

证明：假设五个点互不相同（有点相同的情况类似并更简单）。我们任取两个点A，B，并作一条穿过它们的赤道。这条赤道把球面分为两个开半球，所以剩下三个点中至少会有两个点落在同一个闭半球上（鸽巢原理）。证毕。

P.S. 这是Putnam 2002 A2。

我就说个最简单的吧，很多非数学专业的人不知道存在处处连续又处处不可导的函数，毕竟当年许多一流的数学家都普遍认为不存在。

先说一个直观的结论：边长3微米的10^12维正方体无法塞进一个半径1米的10^12维球体之中

这源于一个很简单的计算：n维单位球体可以容纳的最大正方体边长等于

这并不是因为球体在变得狭窄，球体总是圆润的，实际上是随着维度的增高，正方体变得越来越多刺；就拿边长为2米的正方体举例，当n=2时因为它是正方形，所以它的最远点距离中点 米；当n=3时，立方体的最远点距离中点 米；……；等到n增加到 ，一个 维的正方体，哪怕边长仍然是2米，它的对角线长度已经跨越了两光年，因此此时拿一个半径一光年的球都不足以遮住它的刺

前段时间在知乎别的问题下看到的

一维单位球体（线段）的长度是2
二维单位球体（圆）的面积是π
三维单位球体的体积是4/3π

可以进行推广，称n维单位球体为满足(x1)²+...+(xn)²≤1的点全体构成的集合
如果对n维单位球体测量体积，会发现随着n趋于无穷大，球体的体积趋于0

感觉好像有人误解了什么，稍微补充一下。这里并不是球体与外切立方体体积比值那么简单
单位正方体的定义是边长为1，而单位球定义是半径为1，直径为2，因此二者是彼此穿插的，并非一者嵌入另一者之内
单位球的外接正方体是边长为2的正方体，体积为2^n，因此即便单位球与外接正方体的体积比例趋于0也不能说明单位球的体积趋于0

还有，很多人跟我说单位不同无法比较。比如边长1分米的正方体，如果把单位换算为米，则随着n的增大分别是0.1米，0.01平方米，0.001立方米，...，数值趋于0；而如果把单位换算为厘米，则随着n的增大分别是10厘米，100平方厘米，1000平方厘米，...，数值趋于无穷大；

但是，球体有着本质的一点区别：不论你使用什么样的单位，球体的体积数值永远趋于0，换一个角度说，就是无论你指定一个多么小的 ，总会有一个足够大的n，使得边长 的n维正方体体积超过n维单位球体的体积（这个结论比前一个结论强）

最后再说个无聊的……√2是整数

这是因为代数学里有一个名词叫作“代数整数”，并且“代数整数”可以简称为“整数”

所谓代数整数就是整数环上首一多项式的根，√2是x²-2=0的根，因此是代数整数，也就是整数

没错，这只是个无聊的文字游戏而已

好像必须要写直观易理解的，一般中学生也能看懂的，那就讲一个冷门的小例子好了。没见其他人提过，以前在某文章里顺便看到的。如果有机会，我可以把它改成一门课的习题（或者变成一个REU小问题）。

对任何一个数列a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ...., 我们称它是空空的，如果对几乎所有n，都有a_n=0。

这里的"几乎"是指 。

一些由无穷乘积定义的幂级数会给出有趣的数列（即它的系数构成的数列）。我们考虑

看起来系数总是0，1，-1，而且比较稀疏，那么自然可以问：它是不是空空的？

答案是肯定的，Euler已经知道

我们再考虑

它是不是空空的？你能不能猜到通项公式？

答案是肯定的，实际上人们早就知道

你可能会问，为什么不考虑 ，乃至一般的 呢 （k是一个正整数）？

问题：对哪些正整数k， 是空空的？

但对于其他的k，人们试了很久，似乎没有一个简单的通项公式。但Ramanujan通过具体的拆解，证明了对于k=2，4，6，8，它仍然是空空的。对一般的k，该怎么办呢？

如果只使用初等的组合学和估计，恐怕是极难的。

然而，Serre在1985年证明了

定理：如果k是偶数，那么 是空空的当且仅当k=2，4，6，8，10，14，26。

第一次看到这个结论的人，可能很难相信这就是对的（即使知道模形式），怎么证明呢？

可以先自己想一想，不一定要看下面的话。

很漂亮，有一侧是具体的构造。

另一侧需要用到Serre 1981年的工作（刊于IHES），借助对权>=2尖模形式的Galois表示（其构造是Deligne的重要工作），以及椭圆曲线的几何（带来的直觉），以及一点解析数论（比如说密度定理），能够说明空空的模形式都是带复乘的模形式（的线性组合）。

而带复乘的模形式来自虚二次域K的Hecke特征，level是K判别式的倍数，而我们已经知道level很小（f^k的level当然不超过f的），于是可以分类所有的K，简单的代数数论表明p=11 mod 12 的素数p都在K里inert，结合复乘模形式的幂级数的特殊形状，我们得到对这种p，Hecke算子T_{p}作用都是0。特别地，我们看T_{11}在f^k上的作用，可以用简单的组合学和同余说明，如果k不是那几个数，那么特征值不是0。于是，我们得到了必要性。证明假定了k是偶数，因为我们不想处理半整数权的问题。

对于奇数k，我们知道的很少，可以证明"超级空空"的只有k=1，3，但"超级空空"不知道是否等价于"空空"。

对于其他偶数k，我们也有一些猜想，最出名的莫过于：

Lehmer猜想： 的系数都不等于0 （所以一点也不空空）。

相关回答：

这里我们结合例子和历史发展，简单介绍了模形式。

这里我们让读者自行验证（not in the paper），Ramanujan tau function

不是带复乘的模形式。

注：

原始论文是

J-P. Serre, Sur la lacunarit´e des puissances de η, Glasgow Math. J. 27 (1985), pp. 203-221

当然可以问更多问题，像=0的系数个数的增长估计，空空 mod m。Serre前几年考虑的问题也和这有点关系（但更几何），请参考他2014年出的教科书

Lectures on NX(p)

突然刷到这个问题，想要放一个我自己至今都觉得很神奇的东西，Riemann重排定理（Riemann rearrangement theorem）。

定理 设级数 条件收敛，则对任意的 （可以是实数， 或 ），均可将 的项进行重排，使得重排后的级数的和为 。^[1]

其中，条件收敛的含义是，级数 收敛，但是级数 不收敛。

翻译成人话就是，对一个正负交错的收敛的级数，通过某种特定的方式改变其求和的次序（或者加括号），可以让这个级数收敛到任何数，甚至包括无穷大。

例如，根据常识（？）有 在上面的式子适当整理得 由此得到 ，因此 或 为无穷大。^[2]

So weird！

上述定理的证明的思路是，通过正负项相消，控制所得的级数到达所需要的值。

等到有空的时候再补充一下证明。

1. ^ 数学分析入门（第二册）陆亚明
2. ^ 数学桥 对高等数学的一次观赏之旅 [美]斯蒂芬·弗莱彻·修森

我写三个比较浅显的结论吧，可能大佬们已经提及了，我再做一点更具体的补充，作为一个随笔。

（1）地球上任何时候一定存在一个没有风的地方（这个地方在不同的时候可以不同）。换句话说，你看到这个答案的时候，这个世界某个地方的地面的空气一定是静止的（不可能每个地方都有风）

用数学语言来表述，就是二维球面 上的任一连续向量场一定在某一点处为0。事实上，我们可以把 改成 (n为任意正偶数）。这个定理叫hairy ball theorem，中文翻译：毛绒球定理。

证明也不难，反证。设 为正偶数，我们把 嵌入到 中。

假设存在 上的一个连续向量场 使得 对于任意 成立。于是 亦为 上的光滑向量场，其中 表示 的模长。这样，我们不妨假设 对于任意 成立。构造 映射 如下：

注意， 且 ，故 良好定义。又 ，于是 与 通过 同伦等价（homotopy equivalence）。

再者，同伦等价的映射诱导出相同的同调群之间的映射，于是 ，即它们映射度相等。于是 ，即有n为奇数，与n为偶数的假设矛盾。

（2）一个正方形可以被可数多个互不相交的圆片几乎填满。

直观地说，你可以不断地往一个正方形中放入圆片去盖住正方形中的某一部分，并且要求你之后放入的圆片不能与之前的圆片有任何重叠。这样不断地放下去之后，可以使正方形剩余的面积（没有被圆片覆盖的面积）趋于0。

这是一个很神奇的结论。我们都知道方枘圆凿这个成语，要通过放互不重叠的圆片将正方形尽可能充分地盖住，想想就很别扭。但是Vitali覆盖定理（Vitali covering theorem)告诉我们这是可以做到的。

首先定义什么是Vitali覆盖。 （ 为指标集）被称为度量空间中的一个集合 的Vitali覆盖，若 ， ， 使得 且 。

这个定理的叙述如下：对于欧式空间 中任何一个集合 ，一族由闭球构成的 的Vitali覆盖，总可以取出一族至多可数的子覆盖 ，使得 ，其中 为欧式空间的Lebesgue测度，也就是我们通常理解的面积/体积。

（3）拿来一根铁链，将铁链的两端固定在悬崖的两端，并且被固定的两端处于同一海拔高度。那么请问，下垂的铁链是一条怎样的曲线？

估计绝大多数还在读中学的同学都会脱口而出：不就是抛物线（parabola）吗？

emmm，好吧，下垂的铁链看上去确实很像抛物线呢（图片来自wiki）

然而很遗憾，答案是非也，这条曲线是悬链线（catenary）

至于个中原因嘛，解一个微分方程就可以了，主要思路就是对铁链上的一段做受力分析。好，先画图。

如图所示，A是铁链的最低点，C是铁链的右端点，B是AC弧上的任意一点。我们假设铁链的质量是随长度均匀分布的，也就是同样一段长度的铁链，质量是相同的。记铁链的总长度为 ，铁链的总质量为 。假设AB这一段的长度为s，那么AB段的质量就是 。

对上述模型建立平面直角坐标系。设A为原点，坐标为 ，向上为y轴正方向，向右为x轴正方向。设垂链线方程为 ，设B的坐标是 。

AB弧受到三个力的作用。首先当然是自身的重力，也就是图中的蓝色 ，其中 为重力加速度， 。此外，还有B点处斜向上的沿着切线方向的张力（黑色所示），记这个力为 。另外， A点处也受到张力，向左向右的分力都有（这样才能保持平衡嘛）。不过我们对AB段作受力分析的时候，只考虑向左的分力 ，而不考虑向右的分力 。因为向右的分力本来就是右边这一段铁链施加的。对一个系统做受力分析时，只考虑系统外部的力的作用，不考虑系统的内力（复习中学物理）。

下面写出AB的受力平衡方程。

水平方向 ，竖直方向 。于是两式相除， 。注意 ，于是 。为了简便，把 记为 ，于是方程写为 。两边对 求导，得 。

由B的任意性，我们可以略去t不写，进一步把 简单地记为 。于是 。这就是微分方程中最简单的一阶ODE，写成 两边积分即可（注意 是一个与 无关的常数）。

得 ，解出 ，于是 ，其中 ， 都是待定系数。根据铁链固定的端点的坐标以及铁链过原点： 这两个初始条件可以确定系数。

总而言之，最后解出来的方程是一个双曲余弦函数 的平移和拉伸，而不是二次函数 的平移和拉伸（抛物线）。

这个函数如此重要，以至于我们用一个专门的符号来记它， ，这个函数属于双曲函数家族的一员。

彩蛋： （圆周率）的超越性，我不敢将这个结论称为浅显的结论。

（4）大家都知道圆周率 ,并且“据小学老师所说”，这是一个无限不循环小数（无理数）。可是有多少人想过， 为什么 是无限不循环小数？年幼无知的我就曾以为，仅仅是因为没有发现 的循环节，也许 的循环节太长了。我还幻想着，是不是有一天人们找到了 的循环节，我们就要修改教材，说 是循环小数了。。。

然而，naive！！ 是无理数可不是数学家们闲得无聊去算 的小数点后多少多少位，没有找到循环节，然后“总结”出来的一个规律。事实上，“ 是无理数”是被严格证明的数学事实。不仅如此，我们还有一个更强的结论， 是超越数。

先介绍一下超越数的概念。全体复数可以被分为两类，超越数(transcendental number)和代数数(algebraic number)。

一个复数 被称为代数数，如果 正整数 和不全为0的整数 ，使得 满足 。换句话说， 是整系数多项式 的一个根。用代数语言来叙述，即代数数全体为有理数域在复数域中的代数闭包（algebraic closure）。

如果复数 不是代数数，那么我们称 为超越数。也就是说，超越数 不是任何一个整系数（或有理系数）多项式方程的根。

有理数都是代数数。按照定义，有理数都可以写成 的既约分数形式， 是一对互素的整数， 。于是 就是 满足的整系数多项式方程。但代数数可以不是有理数。比如 是 的根，于是 是代数数。

下面抛出重磅结论：林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem)

定理：若 为代数数，且他们在有理数域 上线性独立，那么 在 上代数独立。也就是 为一个transcendental degree 为n的超越扩张。

1882年，林德曼先证明了这样一个结论：对于任何非零的代数数 ， 为超越数。1885年，魏尔斯特拉斯将其推广为上述定理这样一个更一般的结论（容易看出， 取 ，上述定理即为林德曼证明的弱化版本）

不过，搞定 的超越性，林德曼的版本已经够用了。反设 为代数数，于是 也是代数数。由林德曼的结果， 为超越数。不过， ，这就导出矛盾。因此， 为超越数，当然 也是无理数。所以背 的小数点后多少多少位，还不如拿一本超越数论的书，背林德曼-魏尔斯特拉斯定理的证明呢（滑稽。

这个定理的证明我还没有读过，我也没有学过超越数论，考虑以后有空看一下证明，算是给自己留的一个坑吧。

用林德曼的结论，取 ，也可以得到 是超越数。不过这有点杀鸡用牛刀的意思，因为e的超越性用一点微积分就可以证明。

顺便一提，判定一个数是不是超越数是一个相当non-trivial的事情。即便在今天，我们甚至还不知道 是不是超越数，甚至连它们是不是无理数我们都不知道。不过可喜的是， ，我们知道它是超越数。不出意外，这又是一个大定理的推论。

Gelfond–Schneider 定理

定理：如果 为代数数，且 ， 不是有理数，那么 是超越数。

看起来很简洁，是不是？不过证明要十几页A4纸（还好）。这是1934年的结果，由苏联数学家Alexander Gelfond与德国数学家Theodor Schneider分别独立完成的。以下为Alexander Gelfond的文章，是用法语+俄语写的，感兴趣的同学可以看一下。

也可以参考南加州大学教学讲义的英语版证明。

用这个定理，可以推出 是超越数，因为 。

哎，数学中有趣的事实太多了，诸如拓扑中的cellular approximation，白头定理（Whitehead），Whitney嵌入，分析中的Sobolev嵌入，黎曼曲面中的单值化定理，这些结论无一不是震撼人心的。至于那些更加艰深的领域中的东西，我尚未得窥其门径。

感谢上主带领我走到数学这条道路上来，也感谢自己的恩师开启了我热爱数学，学习数学的大门。自己在数学这座殿堂中永远都是一个小学生，希望自己能在今后学到并学会更多美妙的定理。

关于0.99999999....=1，其实就是3乘以(1/3)

John 昨夜噩梦惊醒，一起身一身冷汗，梦中癌细胞慢慢的侵蚀他的身体。他想接着入睡，可心里忐忑不安，最终一夜无法入眠。第二天，他仍心有余悸，要去正规医院检查一下。检查完，报告上赫然写着“阳性（+）”，他不敢相信自己的眼睛，顿时天旋地转。天啊，这么倒霉的事情不可能发生在我的身上。他强撑着身体，一定要到医生那里确认一下。
John: 我这报告是阳性，没搞错吗？
医生: 很不幸。虽然人群中仅有千分之一的人会得，但是检查结果确实是阳性（+）。
John: 天啊，怎么可能？你这仪器准确率是多少啊？
医生：这个仪器是新引进的，检测结果的灵敏度和特异度是99%。也就是患癌症检测呈阳性（+）的准确率是99%，健康体检测呈阴性（-）的准确率也是99%。
John：哈哈哈，好的，好的，谢谢医生。
医生：（一脸懵bi ）

理解John为什么会突然“哈哈哈”，我们首先需要了解一下贝叶斯定理，不然我们会和这位医生一样，一脸懵bi的。它背后的原理非常简单，几乎每一个学过概率的人都能理解，但它的强大却并不是每个人都了解。

首先，我们先了解一下贝叶斯定理。

贝叶斯定理

先不上公式。

我们经常会碰到问题1：

已知一个骰子有6个面分别是1-6点，那投掷一次，1点的概率是多少？

有一点数学常识的人都会算出是 。那如果反过来，问题2：

已知有一个骰子，但放在骰盅里，你不知道骰子一共有几个点，但是你能知道每一次摇出的点数。那么你能反过来估计出骰子一共有几个点吗？

问题1我们经常碰到，问题2是前面这个问题的"逆概率"，就是贝叶斯定理研究的问题。到这里，我们好像对贝叶斯定理有了一个模糊的认识，如果以前的问题研究的是”已知A发生B“的概率，那贝叶斯好像就是将因果倒置，即研究”已知B发生A“的逆概率。这也是很多文章里说的。那么A和B到底需要满足什么关系？而贝叶斯到底是研究什么样的问题？

因为A和B可以互换，如果我们之前研究的就是”已知B发生A“的概率，那么贝叶斯是不是就是简单的将因果倒置，变成研究”已知A发生B的概率“呢？如果按照这种说法，那么”已知A发生B“和”已知B发生A“都是贝叶斯问题。总觉得哪里有些不对？

那么A和B到底什么样的关系才满足贝叶斯问题呢？我们来看一下维基百科的定义：

通常，事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，与事件B在事件A已发生的条件下发生的概率是不一样的。然而，这两者是有确定的关系的，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。贝叶斯公式的一个用途，即通过已知的三个概率而推出第四个概率。

从维基百科上来看，貌似A和B就是普通的随机事件，没有什么关系，那么我们到底怎么定义贝叶斯问题？先来回顾上面提出的两个问题。

问题1： 我们已知骰子有6个点，均匀分布，也就是我们已知骰子的特性，参数，以及分布情况。我们要计算的是投掷一次产生1点的概率，也就是产生1点这一次事件的概率。本质上是概率论研究的内容。那什么是概率论呢？

概率论是已知了各种条件和参数，去研究某件事情发生的概率。这有点像演绎推理法，知道了原理和原则，一步一步推导，就能推导出正确的结果。

问题2：我们观测到每次投掷生成的点数，去估计骰子一共有几个点。也就是我们根据每次观测到的现象去反推骰子的特性，参数以及分布情况。本质上是数理统计研究的内容。那什么是数理统计呢？

在数理统计中，我们研究的随机变量，它的分布是未知的，或者是不完全知道的，人们是通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布作出种种推断的。也就是统计是基于数据来反推模型和参数。

可以看出来，统计有点像的“归纳法”。我不知道模型是什么，于是给我一堆数据，我从中归纳出模型的参数和特性。当我得知了模型和参数以后，我就可以利用它去做预测，也就是前面“概率论”研究的东西。

发现了吗？概率论和数理统计本身是互为逆，概率论的起点是数理统计的终点；数理统计的起点是概率论的终点。

虽然从定义上我们看不出贝叶斯到底研究的什么问题？A和B事件似乎又是随意的两个随机事件。但其实，贝叶斯更多的研究的是已知数据，反推模型的问题。A和B的关系就确定下来了，如果A是数据，B是模型，那么"已知A生成B"就是贝叶斯问题。

那他背后的意义有何在呢？为何贝叶斯公式如此重要呢？

现实中，我们无法了解这个世界的所有事情，由于世界的繁杂，变化的动态等原因，限于人力，技术原因我们无法对任何一个事件的模型，参数有一个很好的了解。相反，我们能够很容易观测到纷繁事物最终表现出来的现象，生成的数据，我们能不能根据这些数据让我们对事物有一个认识呢？随着更多数据的观测，我们能不能进一步提高对事物的认识呢？

这就是贝叶斯研究的问题。我们对事物可能有一个初步的认知，甚至一无所知，但是无所谓，我们会观测到数据，每次观测到的数据都会更新我对事物的认识，当数据足够多的时候，我们就能够估计出这个事物大概是什么样子的。

下面进入贝叶斯公式，摘自维基百科，对贝叶斯推导过程有了解的可以跳过

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根据条件概率的定义。在事件B发生的条件下事件A发生的概率是：

其中 A与B的联合概率表示为 或者 或者

同样地，在事件A发生的条件下事件B发生的概率

整理与合并这两个方程式，我们可以得到

这个引理有时称作概率乘法规则。上式两边同除以P(B)，若P(B)是非零的，我们可以得到贝叶斯定理:

其中 代表两个随机事件， 是在 发生的情况下 发生的可能性。同理， 是在 发生的情况下 发生的可能性。

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问题分析

当我们知道了贝叶斯公式以后，回看一下开头的故事吧。

题目中的John其实是一位数学家，当听完医生的话以后，他心算了一下。。。

假设

“D”为John患上癌症事件

“N”为John没有患上癌症事件

“Y”为检测呈阳性（+）事件

"X"为检测呈阴性（-）事件

代表John患上癌症的概率，不考虑其他情况，该值为0.001。在这里称作“先验概率”，也就是在John没有得知任何额外信息的前提下，根据已有经验知识毛估的一个概率。

代表John没有患上癌症的概率，显然，该值为0.999，也就是1-P(D)。

代表John得癌症并且被验出为阳性的概率，由于阳性检测准确性是99%，因此该值为0.99。是条件概率。

代表John没有患上癌症而被验出为阳性的概率，也就是出错检测的概率，该值为0.01。因为对于没有患上癌症的人，其检测为阴性的概率为99%，因此，其被误检测成阳性的概率为1 - 0.99 = 0.01。

表示 被检测出阳性的概率，我们可以用全概率公式来计算

表示当被检测出阳性的时候，John患癌症的概率。在这里称作“后验概率”

那John检测出阳性时得癌症的概率是多少呢？

尽管癌症检测的准确率高达99%，但贝叶斯定理告诉我们：如果某人检测呈阳性，其得癌症的概率只有不到10%，没得的可能性更高。于是John哈哈大笑。

数学上推导出来的值和我们的直觉差别是如此之大。是数学错了？还是我们的直觉哪里出错了？

首先看看数学上，上述贝叶斯等式成立的前提是什么？

首先看一下全概率公式成立的条件

和 是互斥的，所以 与 是互斥的。这个怎么理解呢？

互斥就是两个事件的交集为零。既然 和 没有交集，所以 和 也没有交集。而的意思是 ，所以 和 也是互斥的。

所以只要 和 是等价的，全概率公式就是成立的。从题目得知， 和 就是等价的。

好的，从全概率公式推导的过程看没有任何问题。

那么贝叶斯等式成立需要什么条件？

即 成立需要什么条件？

和 需要相互独立吗？其实是不需要的， 和 是两个随机事件即可。

上述等式其实是条件概率的成立条件，

所以发现了吗？贝叶斯公式对事件没有什么特别的要求，而且背后的原理也非常简单，几乎任何一个学过概率的人都能理解，但它的应用范围非常广。到此为止，从数学上没有发现任何错误。

那么肯定是直觉出错了。哪里出错了？明明仪器的准确率是99%，最后是什么削弱了John阳性的概率？我们重新整理一下公式。

可以看出，是 很大导致得癌症的概率变低了。

• 很大，也就是人群中患癌症的人数本身是非常少的
• 较大，也就是没有患上癌症检测出阴性的概率和有癌症检测出阳性的的概率都比较小。而这个呢，就说明仪器的灵敏度和精准度还是不够高。

所以，导致计算结果和我们直觉有差异的原因就是，一方面，人群中得癌症的概率实在是太小了，只有千分之一。另一方面，检测仪器的灵敏度和精准度还不足以高到可以确认千分之一得癌症的这个事实。综合起来，只有不到10%的可能性患上癌症。

所以，我们直觉的错在哪里？我们单方面考虑了仪器的灵敏度和精准度，觉得99%已经是相当高了。可没有想到，癌症的发病率在人群中是千分之一，他们是差了一个数量级。一个这么罕见的病和一个不怎么可靠的仪器综合起来，只能推断出一个不怎么可靠的结果。

我们的大脑是不怎么擅长概率计算的，尤其是多种概率混在一起，大脑的直觉就更不可考了。所以必须依赖数学。

最后，我们还是要解决问题，如何提高结果的可信度呢？

我们首先能想到的就是提高仪器的精准度，换一家医院。假设仪器检测结果的灵敏度和特异度是99.99%，提高两个数量级。也就是患癌症检测呈阳性（+）的准确率是99.99%，健康体检测呈阴性（-）的准确率也是99.99%。

我们再算一下

如果仪器的精准度提高到99.99%，那么仪器的灵敏度和特异度几乎可以90%以上确认John就是一千个人中极其不幸的那一位。

可以看出，对于一个疾病来说，仪器的误诊率必须小于人群中得发病率，那我们检测出来的结果才是相对可靠的。对于感冒，发烧等常见病，即使检测结果的误诊率比较高，但是因为人群中发病率也是相当高的，所以检测的结果反而是相对可信的。

当然我们会想到能不能修改 呢？貌似这是一个我们无法改变的值，人群中得癌症的概率是一个统计值或者说经验值，我们无法改变，因为我们把患癌症的人和正常人无差别的对待了。这也是造成我们必须提高仪器的检测精度两个数量级的原因。但是，我们能不能先根据医生的经验和初步诊断，从100个人中筛选出10个癌症高危人群呢？根据医生的经验水平，我们可以显著将 从千分之一提高到百分之五甚至更高，这样再加上仪器的诊断，那么结果的可信度是不是就提高了很多呢？我们来看一下

可以看出可信度从9%显著提高到83.9%。

最后，如果仪器的水平无法提高，医生也只能根据仪器进行诊断，无法根据经验初步筛选，那么怎么办？直觉上感觉是不是再检查一次准确度能提高呢？我们再来算一下。

假设

• “Y1”为第一次检测呈阳性（+）事件
• “Y2”为第二次检测呈阳性（+）事件

于是

看到没有，准确率不怎么高的仪器，检测两次也能得出一个相对可靠的结果。

最后留给大家思考，下面两种方式都能提高检测结果的精准率。

• 医生初步筛查，从100个人中筛选出10个癌症高危人群然后进行仪器检测
• 医生根据经验进行个体诊断，诊断出癌症高危然后进行仪器检测

这两个区别是什么？分别影响哪些因素呢？

贝叶斯背后的实际意义

首先，医生和患者都得学好贝叶斯，否则检查出来结果是阳性，医生可能就真的以为是阳性。开刀做手术？如果后来发现是乌龙事件，患者和家属的心灵会受到多大创伤。

即使医生了解贝叶斯，而患者不理解。那医生怎么跟患者解释仪器的灵敏度和特异度是99%，而结果只有不到10%的可信度呢？患者可能以为你在安慰他，其实已经无药可救了。所以，作为新知识青年，我们每个人必须学好贝叶斯，当看到不好的检查结果时，我们不是首先垂头丧气，而是问一下，仪器的灵敏度和特异度都是多少？人群中发病率是多少？当直觉出问题的时候，在脑中稍微演算一下。

其次，贝叶斯公式之简洁，力量之强大，仿佛是上帝的杰作。它其实反映了我们认识事物的规律和方法。最初可能对一个领域毫无认知，但是通过不断的获取知识，认知得到不断的修正和提高，最后慢慢的总结成智慧。每个人都会获取知识，那最后人与人的差异到底体现在哪里呢？

是不是每个人都能将我们的知识转换成调整因子，去调整我们的“先验概率”，也就是我们的认知呢？“先验概率”当然是越精准越好，但是对于人生这个贝叶斯公式来说，“先验概率”其实没有什么特别的要求，甚至可能是随便毛估一下，但最终都会通过“调整因子”不断的修正，慢慢的逼近。在认知上也一样，最开始的差距从贝叶斯的角度上来说其实没有什么太大的差别，但经过不断的获取信息、调整认知，最后人与人之间的差异就体现出来了。这个差异就是是否将知识和认知调整很好的建立了连接。

最后，不要觉得人是理性的动物。人类大脑擅长逻辑推理，因果分析等。但是在概率上似乎还没有进化的特别好，常常会出现反直觉的现象出现。这个时候，让直觉停下来，让数学帮你解决这一切。数学是严谨的，可靠的。

最后，数学思维能不能作为我们生活中分析问题，解决问题的底层工具呢？让我们避免生活中的非理性，成为生活的解题高手。请参见我的另一篇回答（很长）

最最后，如果感觉对你有那么一丢丢帮助或者提供了另外一个思考角度，请帮忙点赞，谢谢。

一个老梗……

1竟然等于0！

以上原答

………………………………分割线…………………………

这个梗的原意在于“竟然”和感叹号的配合让人误以为是1等于0，但既然评论里变成了证明题，那在此再提出一个很不符合直觉的数学事实。

2的三次方等于8，可以理解为3个2相乘，结果等于8，毋庸置疑。

然而2的0次方等于1，如果按照上面的理解方式，0个2相乘，也就是没有2，最符合直觉的答案结果应该是0才对。

这种不直观的数学事实大概也是没有一定数学知识就不容易相信的。

（反直觉趣题）旋转直线存在一个禁区：

如图，O点和A点是定点，A'点是圆上动点。当A'点遍历圆周各点时，线段AA'的中垂线跟着在平面上旋转。存在一个区域，使得这族中垂线不能扫过该区域内所有点。

上述数学trick在天体物理中的应用栗子（费曼失传的演讲） ：https://www.bilibili.com/video/av28012188

上面的数学知识比较初等，补充一个高等数学知识：费马大定理的奥秘就在下面的图形中。

叶戈洛夫定理：可测函数序列如果在一个有限测度集上逐点收敛，则可以去掉某个测度任意小的集合后一致收敛。

黎曼映照定理：复平面上边界多于一点的单连通区域一定共形等价于单位圆盘。

我来乱入一下生物里，很有趣反直觉的事实，需要一点简单的数学知识的人才能了解。

生态环境中的种群皆难逃一死，必然会灭绝

先来简单科普一下Logisitic增长：

想像一对 可以不停的生小兔。每过一段时间之后，种群数就翻倍，这个叫指数增长

但是兔子不可能永生不死，环境中的食物和空间也是有限的。随着兔子越来越多，单位时间内繁殖出来的新兔子就越来越少，直到最后新生兔的数目和死亡兔的数目达到一个平衡，这时的兔子总数被称为环境容纳量（K）。一个被普遍接受的描述模型就是Logisitic增长曲线：

这个模型非常简单，它假设随着种群数增加，种群的繁殖速度呈线性的下降，也就是

------背景介绍结束的分割线，进正题------

这个模型中，种群只有一个稳定的不动点，就是环境容纳量时的种群大小。种群为零是一个不稳定的不动点。只要种群不为零，给无限长时间，种群大小一定趋于环境容纳量。

但是这个模型还有一个微小的缺陷：真实情况中的种群生长是随机且离散的而不是确定、连续的。我们不可能看到有半只兔子被生出来。

所以我们就要把模型稍微变动一下，变成一个随机过程。

环境容积量就变成了

因为这个模型里面0点是个absorbing state，种群数量一旦降到0，以后就只能为0了。然后进行一番计算我们就会发现，Logisitic增长的种群，不管四个参数取什么值，总是不可避免的。

做一个简单的计算就可以发现了：

我们计算一下当时间趋于无穷（达到平衡）时的种群大小为1的概率：

然后种群大小为n的概率呢？

由于P(1)=0，我们可以推出来对于任意正整数n，P(n)都等于0，P(n>0)严格为0。

由于所有的概率加在一起等于1，那么P(0) = 1，给定无穷大时间种群一定是会灭绝的。

更复杂一点的，可以进一步计算灭绝的期望时间，和环境容纳量是正相关的。可以想见，环境越好，种群越不容易灭绝。

这个结论还可以进一步，拿掉具体的生长和死亡函数，再做非常强的推广。如果环境容纳量存在（不为无穷大），种群的灭绝几乎是不可避免的，一旦允许种群数量可以爆炸到无穷，种群就可以免于灭绝。

想不灭绝，就只能穷人靠变异，富人靠科技，不断地把旧的种群灭了，给自己续。

参考：Lecture 11: Logistic growth models

互帮互助的群体可能灭得更快

生态上把这个称为allee effect。前面提到Logisitic增长假设种群越大增长越慢，而Allee effect提出，种群中的合作行为还可以提高增长。

这样种群的增长就受两个因子控制了：种群越大，合作越多，促进增长；但是种群越大，竞争也越多，抑制增长。

如果环境容纳量不变——不管兔子的社会结构是怎样的，一个环境内可以容纳的兔子可能也不会发生太大变化，那么会发生什么呢？

虽然最后都还是可以达到环境容纳量，有合作的，反而活得不如各管各的长得快。更甚至，如果合作的强度太大了，当种群数量下降到一定程度（critical population），所有的兔都别想活。

这个在生物保护上有重要意义。历史上有很多这样的例子，比如美国的旅鸽，今天中国的禾花雀。一开始有茫茫多的鸟在天上飞，人们就捕来吃，吃着吃着，种群大小跌破了critical population，整个物种就进入慢性死亡的节奏。今天生物保护往往要把同种的很多个体集中到同一个保护区，也是类似的道理。

在随机过程中，Allee effect也会导致种群更倾向于灭绝。下图比较的是，给定一个初始状态，种群发展过程中在增长到b = 40之前先下降到a = 5的概率。

较低的线是计算的指数增长时的概率分布，可以看到，当种群数目趋近15时，这个概率很快就可以忽略不计了。

而较高的线计算的是指数增长和Allee effect（critical population = 20）的叠加效应。可以看到，从5~40，整个种群都有一个明显的概率会发生崩溃。

但是为什么自然界中还有那么多合作的、社会性的生物呢？这个问题仍然没研究太清楚……

参考：Learn Science at Scitable；Dennis 2002 Allee effects in stochastic populations

和上一个话题的结论比较像的：

自我抑制的生物环路反而对外界信号响应得更快

这个虽然有点反直觉，但是没什么高科技，shut up and calculate就解决了。

考虑一个基因的表达，蛋白质X会以Ks的速率合成，Kd的速率被降解。

这时候对合成过程的反馈有三种情况，不调节（a），促进合成（b），抑制合成（c）

然后就可以列方程了

第一个简单调控是可以得到解析解的，后两个一般都是用数值求解的方法去计算。这时候我们计算一个Ks从0秒变为1的状态（基因由关变开），当控制K和n常数一定的情况下，我们会得到负反馈比简单调控快，前两者都比正反馈快。

在生物的基因调控网络里面，负反馈的出现概率远远超过正反馈，其中一个可能的原因就是为了实现对环境变化快速的响应。

参考：MCB111 Mathematics in Biology