有哪些看似荒谬的事，却有着合理的数学解释？
生活中有不少事情，初听之下着实让人摸不着头脑，甚至觉得匪夷所思，但当我们深入探究其背后，会发现隐藏着精妙绝伦的数学逻辑。下面就来聊聊几个我印象特别深刻的“荒谬”之事，以及它们背后那些令人拍案叫绝的数学解释。
1. “为什么扑克牌洗起来，随机性反而更强了？”
我曾经听一个老牌手说过这么一句话：“别以为随便洗几下就能洗出随机的牌，那都是骗人的，得按特定方法洗才行。” 我当时觉得很奇怪，洗牌不就是让牌变得乱七八糟嘛，怎么还有“更随机”的说法？
后来我才了解到，这里面涉及到一个叫做“Riffle Shuffle（交叉洗牌）”的数学模型。这个模型描述的是一种将一副牌分成两半，然后交错插入的过程。最理想的交叉洗牌，是每次都精确地一半一半，然后完美地交错插入。
让我觉得“荒谬”的是，研究发现，对于一副52张的牌，你需要至少7次完美的交叉洗牌，才能让牌的顺序达到真正的随机状态。是的，你没看错，是7次！在此之前，牌的顺序仍然有相当大的规律性可循，只是人眼很难察觉。
数学上的解释是什么呢？ 这背后是“群论”和“排序理论”在起作用。每次洗牌，都可以看作是对牌的初始顺序进行一次特定的“排列”。多次洗牌，就是对这个排列进行重复应用。我们想要达到的状态是，经过多次操作后，任何一种牌的组合出现的概率都尽可能相等。
想象一下，一副新牌的顺序是固定的，比如从A到K，每种花色都排好。第一次洗牌，即便你看起来洗得很乱，但实际上，牌与牌之间的相对位置并没有发生剧烈的变化。你可以把它想象成在数学上，每次洗牌操作并没有将所有牌的“位置”打乱得足够彻底。
科学家们利用数学模型对这个过程进行了模拟和分析。他们发现，第一次洗牌，会让牌的混乱程度达到某个点，但离随机还差得很远。第二次、第三次……每次洗牌都相当于对牌的“扰动”进行了一次叠加。但这种叠加并不是线性的，而是遵循一种复杂的数学规律。
这个模型有一个著名的结论：“七洗理论”（Seven Shuffles Theory）。它指出，在理想的交叉洗牌模型下，一副52张的牌需要至少7次才能接近均匀的随机分布。每一次洗牌都相当于在牌的排列空间中进行了一次“跳跃”，而7次跳跃足以让我们到达这个空间的“中心”，也就是接近随机的状态。
所以，那位老牌手说的没错，看似随意的洗牌，如果方法不对，或者次数不够，牌的顺序仍然带有一定的“记忆”。这就是为什么赌场和专业的扑克玩家会对洗牌的规范性如此重视。它不是迷信，而是对数学规律的精确运用。
2. “为什么一盘散沙，反而更难打散？”
生活中我们常说“一盘散沙”，意思是各自为政，没有凝聚力，很容易被击溃。但如果你去观察一些颗粒状的物质，比如沙子、粉末，它们堆在一起的时候，用手轻轻拨弄，似乎很难让它真正地“散开”。反而，如果想要让一堆沙子彻底分散到空气中，你需要很大的力气或者风力。
这似乎和“一盘散沙”的直观感受是相反的。为何看似松散的沙粒堆在一起，却比我们想象的更“团结”？
这里的数学解释，主要涉及“颗粒材料的力学”和“统计物理学”的范畴，尤其是“孔隙度”、“摩擦力”以及“颗粒间的相互作用”。
想象一下，一堆沙子并不是完全随机地堆叠在一起的。即使是最松散的沙子，沙粒之间也会通过以下几种方式产生联系：
孔隙度与几何约束： 沙粒之间存在空隙（孔隙）。这些空隙的形状和大小并不是均匀的，而是由沙粒的形状、大小以及堆积方式决定的。当你想让沙子散开时，你实际上是在试图改变这些孔隙的形状和连接方式，让沙粒获得移动的空间。但是，沙粒本身的形状，例如不规则的棱角，会使得它们相互卡住，形成一种“机械互锁”效应。就像乐高积木一样，互相咬合在一起。
颗粒间的摩擦力： 每个沙粒表面都不是绝对光滑的，它们之间存在着摩擦力。当你试图移动一个沙粒时，它会受到周围沙粒摩擦力的阻碍。要想让沙粒移动，你需要克服这些累积起来的摩擦力。对于大量的沙粒来说，这些微小的摩擦力叠加起来，就构成了一个相当大的整体阻力。
“堆积角”与重力： 任何颗粒材料堆积都会形成一个“堆积角”（angle of repose）。这意味着沙子可以堆成一个有一定坡度的锥形，而不会塌落。这个角度取决于沙粒的摩擦系数、粒度分布以及形状。一旦你试图超过这个角度去“拨弄”它，沙粒会开始滚动和滑动，但这种滑动是局部的，并且伴随着新的接触和新的摩擦阻力。
“内聚力”的假象： 虽然沙子本身没有像液体一样的表面张力产生的内聚力，但在干燥状态下，它们之间可能存在静电力、范德华力等微弱的吸引力。更重要的是，上述的“机械互锁”和“摩擦阻力”在宏观上看，会给人一种“凝聚”的假象。就好比你试图把一个装满了小石子的盒子里的石子倒出来，如果石子形状不规则，你得摇晃盒子才能让它们移动，而不是像水一样“流”出来。
数学模型如何解释这一点？ 可以用统计力学来描述大量的沙粒如何相互作用。每个沙粒的位置和运动都可以用一个状态来表示，而它们之间的相互作用可以用势能函数来描述，其中包含了摩擦、碰撞等项。要让沙子散开，需要能量来克服这些相互作用。这个过程可以类比于相变，需要足够的能量才能从一种“有序”的（虽然看似杂乱）堆积状态转变为完全分散的状态。
举个更具体的例子，想象一下你试图把一把沙子从手里撒出去。你可能需要张开手掌，制造出一个足够大的“开口”，同时用力向前甩。如果只是轻轻拨弄，沙粒之间的“卡住”和“摩擦”会让它们只能局部移动，而不会整体飞散。
所以，“一盘散沙”在微观上看确实是分散的，但正是因为这些微观上的相互作用（摩擦、卡锁、重力下的堆积），使得它们在宏观上表现出一种“韧性”，比我们直觉上认为的更难被彻底地“打散”。
3. “为什么在拥挤的房间里，陌生人反而更倾向于待在一起？”
你有没有过这样的体验：在一个非常拥挤的房间里，你可能觉得大家会尽量分散开，给自己留点空间。但有时候，你会发现，人们会不自觉地聚集在房间的某些角落或者围绕着某个焦点（比如讲台、窗户），而留出一些看起来“空旷”但可能并不舒服的区域。
这初听起来很奇怪，好像人越多越应该分散才对，为何反而会出现聚集的现象？这背后的数学原理与“空间利用率”、“路径依赖”和“效用最大化”的模型有关，尤其在“博弈论”和“社会动力学”中有体现。
我们可以把房间想象成一个空间，每个人都需要在这个空间中找到一个“位置”。每个人都有一个“效用函数”，这个函数可能与以下因素有关：
与他人的距离： 人们普遍希望与他人保持一定的舒适距离，但又不希望离所有人都太远。
与环境元素的距离： 比如离出口近、离吸引人的焦点近。
拥挤度： 过度拥挤会降低效用。
数学解释：
最佳拥挤点（Optimal Crowding Point）： 人们并不是要绝对分散，而是要在一个“最佳拥挤度”找到一个位置。这个最佳拥挤度意味着他们既能感觉到“有人气”，又不会被压迫。当房间整体非常拥挤时，个体的选择就变得有限，他们会倾向于去那些“相对不那么糟”的地方。
空间资源的竞争与非对称性： 房间的空间资源不是均质的。靠近出口、座位、窗户、音响等地方，通常是人们更倾向于选择的“好位置”。当这些好位置被占据后，后来者就必须在剩余的空间中寻找。
“路径依赖”和“邻近效应”： 一旦有人在某个区域聚集，这个区域就会变得更“热门”。新的到来者看到这个区域已经有人了，可能会认为这个区域是“安全”或“有吸引力”的，从而选择加入。这就像一种“网络效应”或“从众心理”，在数学模型中可以通过“占优策略”或者“演化博弈”来描述。
举个例子，如果人们遵循一个简单的规则：选择离自己最近的“未被占据的”空间，并且优先选择那些“有一定人流”的区域。那么，一开始进入房间的人会分散开，占据一些相对优势的位置。后面进来的人，会选择离他们最近的已经有人占据的位置，这会使得已经有人占据的区域变得更加拥挤，而完全无人占据的区域则可能保持“荒芜”。
“霍尔悖论”（Hall's Paradox，非数学严格定义）： 虽然不叫霍尔悖论，但有类似的思想。即看似有很多“可选”的空间，但由于连接性和“吸引力”的不均匀分布，人们却倾向于聚集在少数几个区域。比如，如果一个房间有两扇门，人们可能会自然地聚集在离他们最近的那扇门附近，即使中间还有很大一块区域是空的。
在更数学化的模型中，这可以看作是一个“空间填充”或“资源分配”的问题。人们是在一个连续的空间中做离散的选择。当选项很多时，他们可能会分散。但当他们受到信息（如其他人的位置）的影响，并且考虑到移动的“成本”（比如穿过人群走到远处），他们就会做出局部最优的选择。而局部最优的累积，就可能导致宏观上的聚集现象。
可以类比于一个简化的“细胞自动机”模型。每个格子代表空间的一小块，每个格子可以处于“空闲”、“有人”或“拥挤”的状态。人们根据邻近格子和自身状态来决定移动。在这种情况下，如果没有特别强的“分散”规则，聚集效应是很容易出现的。
所以，看似荒谬的“在拥挤房间里倾向于待在一起”，其实反映了人们在有限空间内，在多重约束（社交需求、空间限制、移动成本）下进行决策的复杂性。数学模型能够捕捉到这种“非直观”的聚集行为，是因为它考虑了影响个体决策的所有因素，以及这些决策如何叠加产生宏观模式。
这些例子告诉我们，数学不仅仅是抽象的符号和公式，它更是理解我们周围世界运作机制的一把钥匙。很多时候，那些让我们感到惊奇甚至有些不可思议的现象，背后都隐藏着精巧的数学逻辑，等待我们去发掘和欣赏。
1. “为什么扑克牌洗起来，随机性反而更强了？”
我曾经听一个老牌手说过这么一句话：“别以为随便洗几下就能洗出随机的牌，那都是骗人的，得按特定方法洗才行。” 我当时觉得很奇怪，洗牌不就是让牌变得乱七八糟嘛，怎么还有“更随机”的说法？
后来我才了解到，这里面涉及到一个叫做“Riffle Shuffle（交叉洗牌）”的数学模型。这个模型描述的是一种将一副牌分成两半，然后交错插入的过程。最理想的交叉洗牌，是每次都精确地一半一半，然后完美地交错插入。
让我觉得“荒谬”的是，研究发现，对于一副52张的牌，你需要至少7次完美的交叉洗牌，才能让牌的顺序达到真正的随机状态。是的，你没看错，是7次！在此之前，牌的顺序仍然有相当大的规律性可循，只是人眼很难察觉。
数学上的解释是什么呢？ 这背后是“群论”和“排序理论”在起作用。每次洗牌，都可以看作是对牌的初始顺序进行一次特定的“排列”。多次洗牌，就是对这个排列进行重复应用。我们想要达到的状态是，经过多次操作后，任何一种牌的组合出现的概率都尽可能相等。
想象一下，一副新牌的顺序是固定的，比如从A到K，每种花色都排好。第一次洗牌，即便你看起来洗得很乱，但实际上，牌与牌之间的相对位置并没有发生剧烈的变化。你可以把它想象成在数学上，每次洗牌操作并没有将所有牌的“位置”打乱得足够彻底。
科学家们利用数学模型对这个过程进行了模拟和分析。他们发现，第一次洗牌，会让牌的混乱程度达到某个点，但离随机还差得很远。第二次、第三次……每次洗牌都相当于对牌的“扰动”进行了一次叠加。但这种叠加并不是线性的，而是遵循一种复杂的数学规律。
这个模型有一个著名的结论：“七洗理论”（Seven Shuffles Theory）。它指出，在理想的交叉洗牌模型下，一副52张的牌需要至少7次才能接近均匀的随机分布。每一次洗牌都相当于在牌的排列空间中进行了一次“跳跃”，而7次跳跃足以让我们到达这个空间的“中心”，也就是接近随机的状态。
所以，那位老牌手说的没错，看似随意的洗牌，如果方法不对，或者次数不够，牌的顺序仍然带有一定的“记忆”。这就是为什么赌场和专业的扑克玩家会对洗牌的规范性如此重视。它不是迷信，而是对数学规律的精确运用。
2. “为什么一盘散沙，反而更难打散？”
生活中我们常说“一盘散沙”，意思是各自为政，没有凝聚力，很容易被击溃。但如果你去观察一些颗粒状的物质，比如沙子、粉末，它们堆在一起的时候，用手轻轻拨弄，似乎很难让它真正地“散开”。反而，如果想要让一堆沙子彻底分散到空气中，你需要很大的力气或者风力。
这似乎和“一盘散沙”的直观感受是相反的。为何看似松散的沙粒堆在一起，却比我们想象的更“团结”？
这里的数学解释，主要涉及“颗粒材料的力学”和“统计物理学”的范畴，尤其是“孔隙度”、“摩擦力”以及“颗粒间的相互作用”。
想象一下，一堆沙子并不是完全随机地堆叠在一起的。即使是最松散的沙子，沙粒之间也会通过以下几种方式产生联系：
孔隙度与几何约束： 沙粒之间存在空隙（孔隙）。这些空隙的形状和大小并不是均匀的，而是由沙粒的形状、大小以及堆积方式决定的。当你想让沙子散开时，你实际上是在试图改变这些孔隙的形状和连接方式，让沙粒获得移动的空间。但是，沙粒本身的形状，例如不规则的棱角，会使得它们相互卡住，形成一种“机械互锁”效应。就像乐高积木一样，互相咬合在一起。
颗粒间的摩擦力： 每个沙粒表面都不是绝对光滑的，它们之间存在着摩擦力。当你试图移动一个沙粒时，它会受到周围沙粒摩擦力的阻碍。要想让沙粒移动，你需要克服这些累积起来的摩擦力。对于大量的沙粒来说，这些微小的摩擦力叠加起来，就构成了一个相当大的整体阻力。
“堆积角”与重力： 任何颗粒材料堆积都会形成一个“堆积角”（angle of repose）。这意味着沙子可以堆成一个有一定坡度的锥形，而不会塌落。这个角度取决于沙粒的摩擦系数、粒度分布以及形状。一旦你试图超过这个角度去“拨弄”它，沙粒会开始滚动和滑动，但这种滑动是局部的，并且伴随着新的接触和新的摩擦阻力。
“内聚力”的假象： 虽然沙子本身没有像液体一样的表面张力产生的内聚力，但在干燥状态下，它们之间可能存在静电力、范德华力等微弱的吸引力。更重要的是，上述的“机械互锁”和“摩擦阻力”在宏观上看，会给人一种“凝聚”的假象。就好比你试图把一个装满了小石子的盒子里的石子倒出来，如果石子形状不规则，你得摇晃盒子才能让它们移动，而不是像水一样“流”出来。
数学模型如何解释这一点？ 可以用统计力学来描述大量的沙粒如何相互作用。每个沙粒的位置和运动都可以用一个状态来表示，而它们之间的相互作用可以用势能函数来描述，其中包含了摩擦、碰撞等项。要让沙子散开，需要能量来克服这些相互作用。这个过程可以类比于相变，需要足够的能量才能从一种“有序”的（虽然看似杂乱）堆积状态转变为完全分散的状态。
举个更具体的例子，想象一下你试图把一把沙子从手里撒出去。你可能需要张开手掌，制造出一个足够大的“开口”，同时用力向前甩。如果只是轻轻拨弄，沙粒之间的“卡住”和“摩擦”会让它们只能局部移动，而不会整体飞散。
所以，“一盘散沙”在微观上看确实是分散的，但正是因为这些微观上的相互作用（摩擦、卡锁、重力下的堆积），使得它们在宏观上表现出一种“韧性”，比我们直觉上认为的更难被彻底地“打散”。
3. “为什么在拥挤的房间里，陌生人反而更倾向于待在一起？”
你有没有过这样的体验：在一个非常拥挤的房间里，你可能觉得大家会尽量分散开，给自己留点空间。但有时候，你会发现，人们会不自觉地聚集在房间的某些角落或者围绕着某个焦点（比如讲台、窗户），而留出一些看起来“空旷”但可能并不舒服的区域。
这初听起来很奇怪，好像人越多越应该分散才对，为何反而会出现聚集的现象？这背后的数学原理与“空间利用率”、“路径依赖”和“效用最大化”的模型有关，尤其在“博弈论”和“社会动力学”中有体现。
我们可以把房间想象成一个空间，每个人都需要在这个空间中找到一个“位置”。每个人都有一个“效用函数”，这个函数可能与以下因素有关：
与他人的距离： 人们普遍希望与他人保持一定的舒适距离，但又不希望离所有人都太远。
与环境元素的距离： 比如离出口近、离吸引人的焦点近。
拥挤度： 过度拥挤会降低效用。
数学解释：
最佳拥挤点（Optimal Crowding Point）： 人们并不是要绝对分散，而是要在一个“最佳拥挤度”找到一个位置。这个最佳拥挤度意味着他们既能感觉到“有人气”，又不会被压迫。当房间整体非常拥挤时，个体的选择就变得有限，他们会倾向于去那些“相对不那么糟”的地方。
空间资源的竞争与非对称性： 房间的空间资源不是均质的。靠近出口、座位、窗户、音响等地方，通常是人们更倾向于选择的“好位置”。当这些好位置被占据后，后来者就必须在剩余的空间中寻找。
“路径依赖”和“邻近效应”： 一旦有人在某个区域聚集，这个区域就会变得更“热门”。新的到来者看到这个区域已经有人了，可能会认为这个区域是“安全”或“有吸引力”的，从而选择加入。这就像一种“网络效应”或“从众心理”，在数学模型中可以通过“占优策略”或者“演化博弈”来描述。
举个例子，如果人们遵循一个简单的规则：选择离自己最近的“未被占据的”空间，并且优先选择那些“有一定人流”的区域。那么，一开始进入房间的人会分散开，占据一些相对优势的位置。后面进来的人，会选择离他们最近的已经有人占据的位置，这会使得已经有人占据的区域变得更加拥挤，而完全无人占据的区域则可能保持“荒芜”。
“霍尔悖论”（Hall's Paradox，非数学严格定义）： 虽然不叫霍尔悖论，但有类似的思想。即看似有很多“可选”的空间，但由于连接性和“吸引力”的不均匀分布，人们却倾向于聚集在少数几个区域。比如，如果一个房间有两扇门，人们可能会自然地聚集在离他们最近的那扇门附近，即使中间还有很大一块区域是空的。
在更数学化的模型中，这可以看作是一个“空间填充”或“资源分配”的问题。人们是在一个连续的空间中做离散的选择。当选项很多时，他们可能会分散。但当他们受到信息（如其他人的位置）的影响，并且考虑到移动的“成本”（比如穿过人群走到远处），他们就会做出局部最优的选择。而局部最优的累积，就可能导致宏观上的聚集现象。
可以类比于一个简化的“细胞自动机”模型。每个格子代表空间的一小块，每个格子可以处于“空闲”、“有人”或“拥挤”的状态。人们根据邻近格子和自身状态来决定移动。在这种情况下，如果没有特别强的“分散”规则，聚集效应是很容易出现的。
所以，看似荒谬的“在拥挤房间里倾向于待在一起”，其实反映了人们在有限空间内，在多重约束（社交需求、空间限制、移动成本）下进行决策的复杂性。数学模型能够捕捉到这种“非直观”的聚集行为，是因为它考虑了影响个体决策的所有因素，以及这些决策如何叠加产生宏观模式。
这些例子告诉我们，数学不仅仅是抽象的符号和公式，它更是理解我们周围世界运作机制的一把钥匙。很多时候，那些让我们感到惊奇甚至有些不可思议的现象，背后都隐藏着精巧的数学逻辑，等待我们去发掘和欣赏。
网友意见
英国的海岸线长度为无穷大
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-----------11月29日分割线---------
数学上面有个概念叫做分型几何，大致意思是每一个小的部分都可以看成是大图形相似，这样不形象，还是画图吧：
一号：
假设每条边长是a，那么周长就是3a。
下面对每一条边做如下变换：将每一条边分成三份，中间一份画出小三角：
这样的话，每条边都增加了1/3的长度，变为原来的4/3，总周长就是4a。
继续做此变换，就变成了：
每条边继续增加1/3，总周长变为16/3倍a。
继续上述步骤，于是得到：
反正呢，这个步骤可以无限的重复下去，那么最终图型的周长则为：
而：
所以，在无限可分的情况下，最终图形的周长为无穷大。
英国海岸线同理。
在太空中看到的英国是这个样子：
走近一点看，变成这个样子：
再近我就画不出了，盗图吧：
如果再近呢？
。。。
最后你用游标卡尺一毫米一毫米量过去，发现周长又大了一圈，但即使是这样，测量结果还是小了，比如说到了分子层面：
宏观尺度你只能直线量过去，但是微观尺度上，你顺着分子的边缘量过去，发现又大了一圈，别急，后面还有原子，还有夸克。
综上所述，英国的海岸线长度为无穷大。
当然了，这种无穷大，who care?反正将来如果辽宁号绕行英伦三岛，最多半个月完事~
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