有哪些神奇的数学巧合？
派（π）的永恒魅影：无处不在的概率
说起数学巧合，第一个绕不开的，就是圆周率π。这个看似只与圆周长和直径 ratio 有关的数字，却在完全不相干的领域里挥之不去，尤其是在概率上，它像个隐藏的观察者，时不时跳出来吓我们一跳。
最经典的例子莫过于“蒲丰投针问题”。想象一下，你有一张画满了平行线的纸，这些线之间的距离都相等，假设为 `d`。然后，你手里有一根长度为 `l` 的针（当然，这里要求 `l ≤ d`），你随意地将这根针投掷到纸上无数次。那么，这根针有大约多大的几率会越过某一条线呢？
你可能觉得这跟π一点关系都没有吧？但数学家们（包括蒲丰本人）发现，当针的长度 `l` 和平行线间的距离 `d` 相等时，针越过某条线的概率恰好是 `2/π`！
这有多神奇？想想看，一个圆的定义，一个纯粹的几何概念，竟然能预测一个随机物理实验的结果。这个概率的出现，不是因为投针本身有什么圆的属性，而是数学在两个看似独立的领域之间建立了一条看不见的桥梁。
而且，这个巧合还可以被用来“估算π”。如果你真的去做这个实验，投掷大量的针，然后数一数有多少根越过了线，用结果除以总投掷次数，再乘以2，就能得到一个接近π的数值。想想看，用一堆随机的针来“测量”一个抽象的圆周率，这本身就够不可思议的。
更深入一些，π还出现在许多统计分布的公式里，比如正态分布（就是那个钟形曲线），它的概率密度函数中就赫然出现了π。为什么？原因更复杂，涉及到微积分的某些积分计算，比如高斯积分，它的结果就与π相关。数学家们在探索概率的本质时，不自觉地又一次与π相遇了。这就好像你在一个房间里找一只猫，结果发现它藏在了另一个房间里，而且这个房间的名字也恰好和“猫”有关。
数字的“巧合”：一些让人摸不着头脑的关联
除了π，还有一些数字本身的出现，也足够让人玩味。
比如我们常说的“数字142857”。这个六位数字组合，如果你试着把它乘以1到6之间的任何一个整数，都会发现一个有趣的现象：
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
看出来了吗？无论你乘以哪个数，结果都是由这组数字组成的，只是顺序发生了循环。但如果你乘以7呢？
142857 × 7 = 999999
这串数字的出现，与我们熟悉的分数 `1/7` 密切相关。`1/7` 的十进制展开是 `0.142857142857...`，正是这个神奇的循环小数。所以，这个数字的循环性质，源于7的倒数在十进制下的周期性。但它为什么是这个特定的循环，而且乘以7又会产生如此“规整”的结果，仍然让人感到一种数字内在的“秩序感”。
再来看一个更接地气的例子，可能很多朋友都玩过“数字游戏”。比如，随机想一个三位数，把它的数字顺序打乱，得到一个新的三位数，然后用大的减小的，你会发现，不管你怎么玩，最后得到的结果一定是9的倍数（通常是198、297、396、495、594、693、792、891，它们都是9的倍数，并且数字之和都是18，或者9）。
这是为什么？假设你选的三位数是 `abc`，那么它的数值是 `100a + 10b + c`。无论你如何打乱这三个数字，比如变成 `acb`、`bac`、`bca`、`cab`、`cba`，它们的数值加起来或者减去另一个组合，总是会有一个很强的“整除性”关系。
更一般地说，任何一个数，它的各位数字之和，以及用这个数减去它的各位数字之和，结果永远是9的倍数。比如你选123，各位数字之和是6。123 6 = 117，117 / 9 = 13。你打乱数字得到321，各位数字之和还是6。321 6 = 315，315 / 9 = 35。
所以，当你把一个三位数的数字打乱，无论怎么排列，它的各位数字之和是不变的。那么，任何一个数字减去它的各位数字之和，都能被9整除。这意味着，无论你打乱多少次，你得到的数字和原始数字，它们与各自各位数字之和的差都是9的倍数。当它们相减时，结果自然也是9的倍数。这就像是在说，所有由这几个数字组成的数，都共享着一个“能被9整除”的隐藏属性，所以它们之间的差也必然继承了这个属性。
斐波那契数列：自然界的数学歌谣
最后一个不得不提的，就是斐波那契数列了。这个数列的生成方式极其简单：从0和1开始，每一个数字都是前两个数字的和。
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
它的神奇之处在于，这个看似简单的数列，却在自然界中反复出现，而且以一种令人惊叹的规律性。
植物的生长： 观察大多数植物的花瓣数量，你会发现它们常常是斐波那契数列中的数字。百合有3片花瓣，毛茛有5片，飞燕草有8片，万寿菊有13片，紫菀有21片，雏菊可以有34、55甚至89片。这不仅仅是巧合，也和植物为了最大化地接收阳光或进行授粉而采取的最有效率的生长方式有关。
松果和向日葵的种子排列： 松果上的鳞片或者向日葵花盘上的种子，它们的排列方式往往形成两组螺旋线，一组顺时针，另一组逆时针，而这两组螺旋线的数量，恰好是相邻的斐波那契数。比如，你可能会看到13圈和21圈，或者21圈和34圈。这种螺旋排列，能让植物体内的结构在生长过程中达到最紧密、最有效率的填充。
树枝的分叉： 有些树的生长模式，主干长出第一根枝条，然后主干继续生长，第一个枝条又长出一根，形成了一种重复的模式，最终的枝条数量也可以对应斐波那契数列。
动物的繁殖： 最经典的例子是兔子繁殖模型（虽然现实中不太精确），假设一对兔子每月生产一对小兔子，小兔子在两个月后也能生产，那么每月的兔子总数也遵循斐波那契数列。
而更深层次的“巧合”在于，斐波那契数列的相邻两项的比值，随着数列的增长，会越来越接近一个特殊的数字——黄金分割比例，大约是1.618。这个比例被认为是视觉上最和谐、最美观的比例，从古希腊的建筑到现代的艺术品，都常常可以看到它的身影。
所以，当你在自然界中看到一朵花的瓣数是5，一片松果上的螺旋线是8和13时，你看到的不仅仅是数字的简单重复，更是大自然在用一种数学语言谱写着生命的歌谣，而斐波那契数列和黄金分割比例，正是这首歌谣中反复出现的动人旋律。
这些数学巧合，就像是宇宙在偶尔泄露出的天机。它们提醒我们，在看似混沌的世界背后，可能隐藏着一种我们尚未完全理解的深刻的秩序和美丽。它们不是凭空出现的魔法，而是数学规律在不同场景下的自然流露，只是这种流露，足够令人惊叹，足够让人心生敬畏。
网友意见
2∧（7/12）≈3/2
说出来你可能不信，我们每天常听到的音乐之所以能发展到现在的水平，就是由于数学上这个近似成立的巧合。
我曾经在别的问题的回答里对这个事实进行解释和描述，但是这次我想尽量把这件事情说得更加通俗易懂，希望完全没接触过乐理的人也可以看懂。为了解释这个事情我需要做大量的铺垫，请耐心阅读。
首先我们明确一下声音的三要素：音色、音高、响度。
中学的物理知识就告诉我们，物体发声是因为振动，声音的响度取决于振幅，音高取决于振动的频率，而音色则取决于振动的波形（波形不同是各阶泛音响度不同叠加之后的结果，类似于傅里叶级数，这里不细说）
其次我们明确一下构成音乐的三要素：旋律、和声、节奏
旋律应该是普通人最熟悉的了，流行歌曲中由歌手演唱的就是旋律。
节奏相信大家也不陌生，说白了，节奏就是规定了每一个音持续的长度。乐谱的开头我们会将一个特定长度的时间定义为一个“单位时间”，每个单位时间称作“一拍”，然后我们逐一地定义每一个音持续的时间（一拍、两拍、半拍、1.5拍等），这就确定了整首乐曲的节奏。
和声这个概念大概是很多非音乐玩家最不熟悉的，或者说是经常被忽略的。两个或两个以上不同的音同时发出来就叫做和声。钢琴演奏时，两只手弹出的音共同发出来组成了和声。同样的，合唱中不同声部的声音组合到一起也是和声。交响乐中，各种管弦乐器的声音组合在一起是和声。流行歌曲中，钢琴、吉他、人声等声音组合到一起也是和声。和声的作用非常重要，没有和声，乐曲会显得很单薄，有了和声，乐曲就会富有色彩。编曲者可以通过和声的编排来控制乐曲的效果。
说到了和声，那么问题来了：任意两个音搭配组成的和声都是好听的吗？
答案是否定的，否则就不存在“跑调”这一说了。跑调是什么？你唱出来的音高与原唱的音高存在偏差，与伴奏音搭配不良，导致了不谐和感，这就是为什么跑调难听。
早在公元前六世纪，毕达哥拉斯及其学派就提出，宇宙中的谐和来自于完美的数的比例，认为弦长之比为2：1、3：2、4：3这种极简的比例时，两根弦同时振动构成的和声才是谐和的。就是说：两个音振动频率之比为1：2、2：3、3：4，这两个音同会比较融洽、谐和。如果偏离了这个比例，这个和声就会给人不同程度的冲突的感觉。
这其实是给音阶加上了一个限制：音阶里的音，必须存在频率比为1：2、2：3、3：4的音，这样才能满足和声上的要求。
音阶是什么？将所有的音按照从低到高的顺序排成一列，这一列音就叫做音阶。音阶就好比是一个素材库，乐曲里的每一个音都是来自音阶。因此，为了满足和声上的需要，音阶里必须存在频率之比为1：2、2：3、3：4的音。
由于这一层要求，毕达哥拉斯提出来著名的“五度相生律”来确定音阶中各个音的音高。具体操作方法为：以一个特定频率f作为1，每次乘3/2得到下一个音（如果超过2f那就除以2），这样就依次得到了音阶中的所有音。
2019年2月23日更新：
鉴于多位知友询问“4”是怎么来的，于是在此对此部分内容进行补充。五度相生律的推导实际上是双向操作的：以1的频率f为基准，将频率依次乘3/2（如果结果超过2f就除以2），依次得到5、2、6、3、7、#4、#1、#5、#2、#6；以1的频率f为基准，依次将频率除以3/2（如果小于f就再乘2），依次得到4、b7、b3、b6、b2、b5。计算结果表明，五度相生律中#1、b2的频率相近但是并不相同。
虽说这个音阶可以满足和声上的要求，但是它的弊端也是很明显的：这些音并不是“等距”的，也就是说，看似距离相同的相邻两个音，实际上它们的距离并不同，有微小的偏差。即使是这微小的偏差，对音乐的发展也产生了极大的限制。这意味着，一旦乐曲要变调，那么整个音阶中所有音的音高都需要做微小的调整。
这个问题直到十六世纪末十七世纪初才被解决。我国明朝音乐家、律学家朱载堉首次证明了，可以将频率之比为1：2的两个音之间以等比的方式12等分，公比为2∧（1/12），这样就确定了一个音阶中所有的音的音高。这就是著名的十二平均律。
那么问题来了：按照五度相生律原本频率之比为2：3的两个音，现在换成十二平均律后频率比变成1：2∧（7/12）了，以这种无理数等比数列的方式得到的音阶，能保证和声的谐和吗？
神奇的地方就在这里，答案是能，因为数学上的一个很凑巧的事实：
事实上，我们将所有音都列出来，就会发现，十二平均律和五度相生律相差无几。
十二平均律的问世对后世的影响十分巨大，它不仅方便了乐曲的变调，更是使得定音乐器（钢琴，编钟等）的产生成为可能。十二平均律对和声学的发展也有着颠覆性的影响，很多转调、移调的手法都可以归结为十二平均律带来的结果。时至今日，我们听到的几乎所以音乐都是以十二平均律来定音的。然而这么nb的十二平均律背后的原理就是这样的一个数学上的巧合：
2∧（7/12）≈3/2
一弧度的角度值和中和热的数值都是57.3
快1000赞了哈哈哈，评论区中说很多公式都看不懂，其实我也是有一些看不懂，但是我们都有一双发现美的眼睛（虽然说有些是另类美..）
PS：昨天找了好久才找到求一元五次方程的解法，我将它放在了8.5.；接下来我会更新一些直观的几何图形的某些神奇结论和最近在研究的欧拉级数
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500赞啦，我在-1.中增添了2个三角函数的，一个很适合高中生，另一个当看着玩就行了
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哇塞，今天早上一起来看到有200多赞了，看到很多人评论都对那个一元四次方程“辟邪”图震惊，其实那是一个完全展开式，用一些符号代替的话还是挺美观简洁的（但是我就是喜欢那种冗长的公式 ）
ps：我在0.后再增加了1个解析延拓到负数的阶乘公式，后面的话我还会更新一些关于三角函数的。
-1.三角函数n倍角美观性公式（原创）
这个是我和同学无聊时推出来的，当时真的十分激动，以后再也不用背倍角公式，直接用行列式加简单的规律就能写出来
（对比正宗的n倍角公式）
-1.1神奇公式（0）（盗用的知乎里的图）
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wow，这么快就到50赞了，那我再来更新一波一些神奇的公式。
0.斯特林公式
这是快速计算极大数的阶乘的公式，数字越大误差越小，且可以延拓计算类似1.5！小数的阶乘 。
这是算n！的位数的公式
Legendre公式（负数阶乘）：
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1.π^4+π^5=403.4287····=e^6（约等于）
2.拉马努金恒等式（1）
3.老师我终于把1+2=3做出来了！
4.还是个神奇公式..
5.高斯公式
6.神奇公式（2）
7.拉马努金恒等式（2）这个比第一拉马努金恒等式名声更大
7.5.拉马努金恒等式（3）各种级数来表示圆周率的倒数
拉马努金真的是一位数学界的鬼才，巧合多了就不再是巧合了，而是一种不争的事实，这更体现了数学数字的美妙与人类无穷的创造力与思考力！
高
能
预
警
！
！
！
！
！
！
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8.用来辟邪的一元四次方程的求根公式（妖魔鬼怪快离开）
8.5.一元五次方程超越函数通解（表示我只看得懂汉字了....）
9.加一个物理方程（标准模型的拉格朗日量）
这是用来描述胶子的运动和玻色子之间的相互作用方程（好像还包括了其他粒子作用）
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突然发现自己还是太年轻了............
如果有对数学感兴趣的盆友可以点下下面这个链接
一句话，能被外行看懂的数学巧合，其实多半算不上数学，就是一些恒等式罢了。。
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