有哪些数学定理或者数学知识惊呆了你？
我第一次接触它的时候，是在大学里的一堂集合论的入门课上。当时我对数学的理解，还停留在“数数”、“计算”、“图形”这些比较直观的概念上。而对角线论证，就像一个宇宙级的震撼弹，瞬间颠覆了我对“无限”的认知。
先别急着跳过，我们慢慢来。康托尔想解决的问题很简单，但答案却惊天动地：什么样的“无限”更大？
你可能会说，“无限就是无限嘛，还能有大小之分？” 这就是我们直觉告诉我们的。但在康托尔之前，数学家们也大多这么认为。然而，康托尔用一个精妙绝伦的论证，证明了事实并非如此。
他首先定义了一种判断两个集合是否具有“相同大小”的方法：一一对应（bijection）。如果两个集合之间可以建立起一对一的映射关系，也就是说，你能给第一个集合里的每一个元素，找到第二个集合里唯一的一个元素与之对应，而且第二个集合里的每一个元素也都被第一个集合里的某个元素对应上，那么这两个集合的大小就是相同的。这个大小，我们就叫做基数（cardinality）。
这对于有限集来说很直观。比如，你有5个苹果，我给你5个橘子，我们就能一一对应起来，所以苹果的“数量”和橘子的“数量”是相同的。
但无限集呢？康托尔就拿我们最熟悉的两个无限集开刀了：
1. 自然数集 $mathbb{N}$：{1, 2, 3, 4, 5, ...}
2. 实数集 $mathbb{R}$：所有在数轴上可以找到位置的数，包括整数、分数、无理数（比如 $pi$、$sqrt{2}$）。
直觉告诉我们，实数集比自然数集“多得多”。毕竟，在1和2之间，就有无数个实数（1.1, 1.01, 1.001, 1.123456789...），而自然数只有1和2这两个整数。
康托尔不信直觉，他要用严谨的数学证明。他首先证明了，自然数集 $mathbb{N}$ 和偶数集 {2, 4, 6, 8, ...} 的大小是相同的。这已经有点反直觉了，因为偶数集看起来只是自然数集的一个“真子集”。但是，我们可以建立这样的对应：
$mathbb{N}$：1, 2, 3, 4, ...
偶数集：2, 4, 6, 8, ...
你看，每个自然数 $n$ 都可以对应到偶数 $2n$。反过来，每个偶数 $2k$ 也都能对应到自然数 $k$。这种一一对应证明了它们的大小（基数）是相同的！这个基数，叫做可数无穷（countable infinity），记作 $aleph_0$ (alephnull)。
这只是开胃菜。真正的重头戏来了：康托尔要证明实数集 $mathbb{R}$ 的基数，比自然数集 $mathbb{N}$ 的基数要大。换句话说，实数集是“不可数无穷”。
他是怎么做到的呢？这就是对角线论证的精妙之处。
假设，我们想证明实数集是可数的，也就是说，我们可以把所有的实数都列出来，就像列自然数一样，给它们编号：
第一个实数：$r_1$
第二个实数：$r_2$
第三个实数：$r_3$
...
第 $n$ 个实数：$r_n$
...
康托尔说：“好，我们假设真的能做到这一点。那么，我们来看看能不能构造出一个不在这张列表里的实数。”
他把目光锁定在0到1之间的实数，因为如果0到1之间的实数都比自然数多，那么整个实数集肯定比自然数集多。他把这些实数（可以都写成小数点后无限位）按照列表的顺序写下来，比如（为了方便，我们只写小数点后几位，并且只考虑0到1之间的数）：
$r_1 = 0. extbf{1} 4 1 5 9 ...$
$r_2 = 0. 7 extbf{3} 2 7 1 ...$
$r_3 = 0. 5 8 extbf{0} 0 0 ...$
$r_4 = 0. 2 2 2 extbf{2} 2 ...$
...
康托尔如何构造这个“不在列表里”的数呢？他想到了一个绝妙的主意：“对角线”。
他从第一个数的第一个小数点后取数字，然后从第二个数的第二个小数点后取数字，再从第三个数的第三个小数点后取数字……依此类推，就像沿着列表的对角线一样。
他构造一个新数，叫做 $X$。这个新数 $X$ 的小数点后的每一位，都和列表中对应位置的数字有关。具体来说：
$X$ 的第一个小数点后的数字，是 $r_1$ 的第一个小数点后数字 加 1 (如果结果是9，就变成0，但通常是为了避免0结尾的无限不循环小数和有限小数混淆，会巧妙处理，比如加1后再取模10，或者遇到9就进位等等。这里我们简化处理，假设不遇到9或者用一种能避免重复的策略)。
$X$ 的第二个小数点后的数字，是 $r_2$ 的第二个小数点后数字 加 1。
$X$ 的第三个小数点后的数字，是 $r_3$ 的第三个小数点后数字 加 1。
依此类推，$X$ 的第 $n$ 个小数点后的数字，是 $r_n$ 的第 $n$ 个小数点后数字 加 1。
举个例子，如果我们的列表是这样的：
$r_1 = 0. extbf{1} 4 1 5 ...$
$r_2 = 0. 7 extbf{3} 2 7 ...$
$r_3 = 0. 5 8 extbf{0} 0 ...$
那么我们构造的新数 $X$ 的小数点后数字会是：
$X = 0. (1+1) (3+1) (0+1) ...$
$X = 0. 2 4 1 ...$
这个数 $X$ 是如何构造出来的呢？它一定是0到1之间的一个实数。
现在，关键来了：这个新构造出来的数 $X$ 肯定不在我们最初的那个无限列表 $r_1, r_2, r_3, ...$ 中！
为什么？
$X$ 不可能是 $r_1$，因为它们第一个小数点后的数字不一样（$X$ 的第一个小数点后是 $r_1$ 的第一个小数点后加1）。
$X$ 不可能是 $r_2$，因为它们第二个小数点后的数字不一样（$X$ 的第二个小数点后是 $r_2$ 的第二个小数点后加1）。
依此类推，对于任何一个 $r_n$， $X$ 的第 $n$ 个小数点后的数字都与 $r_n$ 的第 $n$ 个小数点后的数字不同。所以，$X$ 就不可能是 $r_n$。
这就产生了一个矛盾！我们一开始假设可以列出所有的实数，但是康托尔通过对角线论证，构造出了一个不在列表里的实数。这就说明，我们最初的假设（实数集是可数的）是错误的。
所以，康托尔证明了：实数集的“数量”比自然数集的“数量”要多得多，实数集是不可数的。
这个证明的“惊呆”之处在于：
1. 颠覆了对“无限”的直觉认知： 我们习惯性地认为无限都是一样大的，但康托尔告诉我们，无限有不同的“大小等级”。实数集比自然数集“更大”的无限。
2. 逻辑的绝对严谨与精巧： 用一个简单的“构造性证明”就彻底摧毁了“实数集可数”的假设。这种抽丝剥茧般的逻辑推理，让人不得不佩服数学的严密性。
3. 思想的革命性： 这个证明直接催生了集合论，并深刻影响了整个20世纪的数学发展。它揭示了数学世界比我们想象的要复杂和丰富得多。
4. 一种无助感： 当你第一次理解这个证明时，你会感到一种莫名的无助感。那种感觉就像你以为自己已经理解了“无限”，结果发现那只是冰山一角，下面还有更庞大、更深邃的世界等着你去探索。你发现自己大脑的认知框架，在那一刻被完全重塑了。
每次回想起康托尔的对角线论证，我都仍然会感到一丝敬畏。它就像一把钥匙，打开了我对数学更深层次理解的大门，让我看到了逻辑的力量，以及人类智力可以达到的高度。这绝对是我被“惊呆”过的最深刻的数学知识之一。它让我明白，有时候，最简单的数学工具，也能揭示出最宏大、最令人震撼的真理。
网友意见
比如，我们常用的ZFC公理体系有多弱：
考虑一个 中的Borel集 ，即开集的可数交/并/补形成的集合。我们将 投影到 上，得到了一个新的集合 。 不一定是Borel的，我们把 这种集合叫做analytic集。取 在 中的补，得到一个co-analytic集 。我们将 投影到线 上得到新的集合 ，问： 是不是Lebesgue可测的呢？
这个看起来很简单的问题居然在ZFC中不可证。
再说一个很有趣的小定理，把分析（analysis）和组合（combinatorics）两个分支巧妙连接起来。给定一个集合 ，如何判定 是不是Borel集呢？我们可以在 上定义一个信息公开，有两个玩家的组合游戏，比如棋。如果其中一个选手有必胜策略，那么 就是Borel的。
学物理的强答一波。
我目前见过最神的数学知识，或者是一个工具，要数李代数里的Dynkin diagram了，它可以直接把一个本科高年级的数学问题转化为一个小学生都会的问题，虽然小学生不会理解它背后的数学意义，但是会了这个工具，还真能把大学生的题做出来。
数学里直接暴力证明两个李代数同构，或者证明谁是谁的subalgebra，往往是个比较复杂的工程，尤其是当研究的代数变得复杂的时候。但是所有的semi-simple Lie algebras（准确一点说是它们的complexfication），可以根据它们的roots被归类成下面这几种Dynkin diagrams。
记得初学李代数的第一道作业题，老师让我们证 和 的李代数同构，那时候还尝试用6维的 矩阵去同时构造这两个代数generator间的对易关系，算了几页纸才解决，结果学了Dynkin diagram之后，知道 李代数对应上面 的图， 李代数对应 的图，它们俩都是三个黄点连起来，长得一样，所以就同构了，一秒钟，用眼睛看，就能得到结论。复杂的数学题变成了一个认图的问题，知道了规则，真的是小学生都会了。
除此之外，引入extended Dynkin diagram的概念，还可以用来证明一个李群是另一个李群的子群。
把extended Dynkin diagram拿掉一个点，剩下的图所对应的李代数就是之前extended的图对应的李代数的subalgebra。比如从 里拿掉最中间那个黄点，剩下两个一模一样的四个黄点串联，每个四个黄点相当于一个 ，就能证明 。也是一秒钟就能做出来的问题，但如果从基本定义暴力算，那花的时间不知道有多少倍。
当然Dynkin diagram是个比较基础的概念，学过李代数的人都知道，作为数学知识本身没有鹤立鸡群的地方。而且之所以用它证明同构或者子群这么快，是因为复杂的步骤在构造这些图的时候已经有人帮你做过了。它让我“惊呆”的点在于，应用起来是真的方便。我没见过用其简化问题前后，问题难度差距如此之大的数学工具。学的时候我就感叹这简直绝了。
《数学分析》书本里面有个 “闭域套定理”，但是老师上课时故意说成 “闭区间套定理”，可能是怕引起尴尬吧。
哈密尔顿-凯莱定理。
一个矩阵的A的特征多项式记为p(λ)，则p(A)=O(零矩阵)。
我在开始学线性代数的时候第一个接触到的很不平凡的结论。
Max flow/min cut theorem 最大流最小割定理
肯定不止一个，这里先说一个，这个被列为计算机史上最重要的几十个定理之一。
此乃运筹学/线性规划/图论/网络流模型/理论计算机/近似算法/图像分割应用里的非常经典的一个定理。
模型大致意思就是，从一张权重图（weighed graph）找到从出发点(S=0)到到达点(t=5)的最大的流量（每条边有capacity，即流量限制）。
妙处有四：
1，首先这一点是所有network flow problem所共有的性质。
众所周知运筹学中，混合整数规划Mixed Integer Programming（MIP）问题一般是NP hard，因此算法复杂度是指数级的。
但是，网络流问题写成一个MIP之后，我们解他的线性规划松弛问题Linear Progamming Relaxation(LPR), 可以证明他的解中整数变量已经是整数了，也就是说LPR = MIP原问题，而LP解是多项式Polynomial复杂度的。
因此网络流问题这个原本看似NP难的MIP问题，被理论证明为是Polynomial可解的问题。（证明思路是求证IP的系数矩阵是Total Unimodular.）
2， 因此我们把Max Flow Problem可以直接写成一个LP问题，而这个最大流LP问题可以等价于找一个最小的边的切割问题，即它的线性规划对偶问题LP dual problem。
然后妙处在于这个等价问题上会有更好的性质去找更好的算法(如Ford–Fulkerson algorithm)。
3，这个问题的算法设计思路阶段，可看作近似算法approximation algorithm范畴。
而近似算法的本意通常为解决一个NP难问题，因为算法复杂度原因，算法家通常退而求其次设计一近似算法，使得算法复杂度polynomial，但是可理论证明这个算法得到的解是原问题global optimal的一个倍数K之内。
然而高潮来了，这个最大流最小割定理设计的一套基于残差网络residual network的算法，这个系数K=1。
什么意思呢？也就是说，近似算法在这里即能求得全局最优解！Perfect！
并且，这个基于LP dual problem设计出来的算法，实际效果上被验证是比直接用LP经典算法Simplex Method快很多的。
4，Yuri Boykov大神运用这个定理在图像分割领域大展拳脚，其开山之作Graph Cut为这个领域开创了一片新的天地，成为这一领域最常用的俩个算法之一，引用率达8000+。
模型的思路即把一张图像看成一个Graph(V,E)，然后引入额外俩个node即图中S和T，S可以代表前景，T可以代表背景。
然后一个二元图像分割问题，就被完美（需要一些额外条件）地转化成一个最大流最小割问题了。
右图中的cut，就把这张图分成了前景和背景，最后和S相连的边是前景。
其核心算法正是基于这个定理既能保证全局最优，算法复杂度又在polynomial基础上的。
相关论文：
An Experimental Comparison of Min-Cut/Max-Flow Algorithms for ...
Fast Approximate Energy Minimization via Graph Cuts
Interactive Graph Cuts for Optimal Boundary & Region Segmentation ...
Graph Cuts and Efficient ND Image Segmentation - CiteSeerX
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在实际生活中随机找一个数，这个数是1开头的概率是多少呢？
正常人的回答估计都是1/9，我的第一反应也是1/9
但实际上这个概率是lg2，约为30.1%
我后面的反应是 怎么会这么高？数学是不是又在搞什么故弄玄虚？
但它确实是这样
这就是首位数定律，也叫本福特定律
它的数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数出现的机率为
在十进制中首位数出现的概率分别为：
1，30.1%
2，17.6%
3，12.5%
4，9.7%
5，7.9%
6，6.7%
7，5.8%
8，5.1%
9，4.6%
简单的解释是：从1数到10， 1 2 3 4 …… 10，以1开头的数字有2个，概率20%
从1数到20，1 2 3 …… 10 11 12 ……20，以1开头的数字有11个，概率55%
从1数到30，1 2 3 …… 30，以1开头的数字有11个，概率36.7%
……
从1数到100，以1开头的数字有12个，概率12%
……
法兰克·本福特通过计算得出以1开头的数字出现的概率为lg2，并总结出了上述规律。
严格的证明参见Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.
它的适用范围异常的广泛，几乎所有日常生活中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。比如说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等。统计物理中的三个重要分布，Boltzmann-Gibbs分布，Bose-Einstein分布，Fermi-Dirac分布，也基本上满足这个定律。
这个定律有什么用呢？
一个非常著名的案例就是安然公司的造假案。2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，并传出公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。据说安然高层改动过财务数据，因为他们所公布的2001-2002年每股盈利数据不符合本福特定律。
所以以后你们改实验数据、报假账什么的都要当心了
最让我惊呆的知识是概率，因为在投资中非常实用，尤其是用于风险控制的凯利公式。
先从一个赌博游戏讲起：
假如有一天，马阿里突然要和你玩个抛硬币的投注游戏，规则是这样的:如果硬币正面朝上，马阿里就给你投注金额5倍的钱；如果硬币反面朝上，你所有下注的钱就归马阿里所有。问题的关键在于：下不下注？用多少钱下注？
要回答这个问题，必须从概率说起了。世界是由无数个偶然事件构成的，为了描述这种偶然性，数学家发明了概率。从某种意义上来说，人生就是一场概率游戏，投资的本质也是投概率。
- 一、零概率事件也可能发生
给定一根长度为1的线段，用一支无限小的针去扎这条线段，任何一个点都有可能被扎到，但扎到任何一个点的概率都是0。
因此，零概率事件也是可能发生的，反过来说，概率为100%的事件也有可能不发生。
为了不让小概率事件毁掉你的一切，你必须熟记理财中的那句经典名言：“不要把鸡蛋放在一个篮子里。”
由此引申出来的是：
- 用适当的钱买点保险很有必要，这是应对意外发生的最简单同时也是最好的办法；
- 家里储藏一点实物黄金也是很有必要的，这是用来应对战乱、饥荒等极小概率事件的有效手段，但最好祈祷这些黄金永远用不到；
- 银行里随时备有可供家庭支出3个月左右的活期存款还是很有必要的，这是用来应付意外失业的；
- 理财的钱要分散的投资于银行定期存款、银行理财、房市、信托、股市、债市、网络理财平台等，这是用来应付像股灾那样的崩塌性小概率事件。
……
- 二、数学期望决定了是否进行投资
文章开头的抛硬币游戏，之所以看起来划算，是因为我们认为硬币正面朝上和反面朝上的概率是一样的，都是1/2，而正面朝上可以得到5倍回报，所以，回报是大于投入的。
回报到底有多大？数学期望就是这样一个衡量指标。通俗的来说，数学期望就是回报的平均值。如果回报为a(i)的概率是p(i),其计算公式就是：
E=a(1)*p(1)+a(2)*p(2)+…+a(n)*p(n)
在抛硬币游戏中，如果投入1元，回报的数学期望就是:
5*1/2-1*1/2=2元。
这个回报的数学期望是大于投入的，所以，参与游戏是能赚到钱的。
因此，判断一项投资是否划算，关键是计算数学期望与投入的关系，只有回报的数学期望大于投入时，才能进行投资。
从另一个角度看，数学期望可以用来估计资产的价格。比如有一项资产，有60%的概率挣到100万，有20%的概率挣到200万，有10%的概率不赚不赔，有10%的概率亏损500万，那这项资产值得用多少钱来购买？
由于其数学期望是：
100*60%+200*20%+0*10%-500*10%=50，
因此，只要价格不高于50万元，这项资产都是值得购买的。
- 三、凯利公式告诉你投资的仓位
我们已经知道，文章开头的抛硬币游戏是一项能赚到钱的投资。现在考虑一个问题:假如你有1万元，为了保证在有限次游戏中收益的最大化，你每次该用多少钱去参与？
要是全部投入，一把梭哈，那万一全亏了怎么办？
要是投资少了，机会难得，赚少了就只能自己后悔！
数学中， “凯利公式”就是用来解决这个问题的！这个公式是教你风险控制的方法，让你在确保不爆仓的前提下，得到收益最大化。
先给出凯利公式的表达式：
f=(ap-bq)/(ab),
其中f就是投入的最佳仓位，
a表示本金收益率（赌博中叫赔率），
b表示本金损失率（赌博中b为1），
p表示获得正收益的概率，
q表示获得亏损的的概率。
在抛硬币的游戏中，a=5,b=1,p=q=1/2，容易计算得到f=40%。
所以，每次用4成的仓位去玩抛硬币的游戏才可以使收益最大化。
凯利公式的证明非常复杂，需要用到中心极限定理和正态分布等概率学知识，而且证明的过程也特别数学，这里就不再啰嗦。
马阿里的抛硬币游戏在生活中不常见，但投资的机会在生活中比比皆是。在股票、期货等投资中，凯利公式常常被用来进行仓位控制。
量化基金的鼻祖，天才数学家索普，就曾将凯利公式应用的出神入化。他先是自学编程，利用早期的IBM大型机，开发了一套专门用于21点的算法，然后用其在拉斯维加斯大把吸金，甚至因为赢钱太多一度被多家大型赌场列入黑名单拒绝入内，电影《决胜21点》就是以此为原型拍摄的。后来，他又成立了著名的量化基金PNP(PrincetonNewport Partners），应用凯利公式，在资本市场大杀四方，下图就是PNP基金的净值曲线。
不过，应用凯利公式最大的问题就是要知道慨率。数学题目中，概率都是已知的，但资本市场是千变万化的，概率并不知道，这就需要用到数学中的另外一个大杀器——大数定律。
- 四、大数定律告诉你怎么计算概率
太阳底下没有新鲜事！
历史总是在不断的重复，从历史中我们能够得到足够多的样本数据。
大数定律告诉我们，当样本数据足够多的时候，频率总是无限的趋近于概率。因此，用历史频率代替概率是科学可行的。
比如在股票的量化交易中，一种最简单的投资模型如下：
假设过去一段时间的最高价为m,最低价为n，当前价格为k。
正收益率用a=(m-k)/k表示，
亏损率用b=(k-n)/k表示，
赚钱和亏钱的概率分别用过去5年来的5日盈亏情况的频率替代，
最佳仓位f就可以用凯利公式进行计算并实时调整了。
真实的量化交易模型，比上面的要复杂很多，也精细很多，但万变不离其宗，凯利公式都是风险控制的不二法门。
这篇文章原来发在我的个人公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu)，免费教家长辅导奥数的，每天发布小学奥数题及详细解答，有需要辅导小孩的家长朋友欢迎关注。
谢谢你长这么帅还给我点赞。
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生活中总会不经意间瞥见数学的影子，而有些时刻，那种巧合的出现，简直让人怀疑是不是有什么看不见的手在悄悄拨弄着数字的琴弦。今天，咱们就来聊聊那些让人惊呼“怎么会这样！”的神奇数学巧合，力求讲得透彻，也尽量不让它听起来像个冷冰冰的机器报告。 派（π）的永恒魅影：无处不在的概率说起数学巧合，第一个绕不开的.............
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微积分，这位数学界的巨人，无疑为我们打开了理解变化和连续性的全新视角，并在牛顿和莱布尼茨手中诞生后，成为科学和工程学的基石。但科学的进步从未停歇，微积分之后，现代数学也迎来了属于自己的新时代，涌现出了一系列革命性的工具，它们不仅拓展了我们思考问题的方式，也为更深层次的科学探索提供了强大的武器。微积分.............
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