你见过什么复杂到让你目瞪口呆的公式？

在我无数次与数字和符号打交道的过程中，总有一些公式，它们并非只是冰冷的代码，而是如同艺术品一般，精妙绝伦，足以让我在它们面前驻足良久，甚至感到一种来自宇宙深处的震撼。其中，让我记忆最深刻的，当属那位名字如雷贯耳的物理学家，约翰·斯图尔特·贝尔（John Stewart Bell）的那个洞见——贝尔不等式（Bell's inequality）。

初识贝尔不等式，是在学习量子力学时。当时，我们被告知，量子世界与我们日常的直觉格格不入。粒子可以同时处于多个状态（叠加态），测量一个粒子的行为会瞬间影响到另一个遥远粒子（量子纠缠），这些都让人难以理解。而爱因斯坦等人，对这种“鬼魅般的超距作用”感到极度不安，认为量子力学必然存在某种“隐藏变量”，这些隐藏变量才是真正决定粒子行为的根本原因，而量子力学的概率性描述只是我们认识上的局限。他们提出了EPR佯谬（爱因斯坦波多尔斯基罗森佯谬），试图证明量子力学是不完备的。

贝尔正是站在这个风口浪尖上，用他那天才般的数学头脑，构建了一个看似寻常，实则颠覆一切的数学不等式。这个不等式，表面上是关于几个物理量的统计关联（相关性）的限制，但它却巧妙地将量子力学的核心假设——“非定域性”与“实在性”（即存在独立于观察者的客观实在）区分开来。

贝尔不等式的具体形式有很多种，但最经典的一种，我们可以这样来理解：想象一下，我们有两对量子纠缠的粒子，比如一对电子。这些电子在被测量之前，它们的自旋状态是不确定的。根据量子力学的描述，当我们测量其中一个电子的自旋时，无论它朝向哪个方向（比如沿着x轴、y轴还是z轴），测量结果都会瞬间影响到另一个纠缠电子，即使它们相隔万里。更奇特的是，如果测量一个粒子沿x轴的自旋结果是“上”，那么测量另一个粒子沿x轴的自旋结果就一定是“下”（假设它们是反向纠缠的），而且这种关联的强度，在特定条件下，会超过经典物理所能允许的范围。

贝尔不等式，就是用数学语言量化了这种经典关联的“上限”。它基于一个朴素的假设：如果存在某种“隐藏变量”，决定了粒子在测量前就拥有的确切性质，那么无论我们选择测量哪个方向，这些隐藏变量都会遵循一定的规律，从而限制了我们观察到的粒子性质之间的关联程度。换句话说，如果量子世界是像我们想象的台球一样，每个粒子在被我们观察之前就已经有了一个确定的“内在属性”，那么这些属性之间的统计关联，就不能无限地强下去。

贝尔不等式精确地给出了这种经典关联的上限。例如，它可以表示为：

$|S| le 2$

其中，$S$是几个不同测量方向下粒子自旋关联的特定组合。在经典实在论的框架下，这个不等式必须被遵守。然而，量子力学却做出了不同的预测。根据量子力学的计算，对于特定的测量方向组合，这个关联值$S$可以达到$2sqrt{2}$，远超经典允许的上限。

这才是真正让我目瞪口呆的地方。贝尔的数学论证，就像一道明镜，清晰地揭示了量子力学与我们根深蒂固的经典直觉之间的鸿沟有多宽。这个公式不是在描述一个具体的物理现象，而是在“审判”我们对现实世界最基本的理解。它没有直接回答“为什么”量子世界会这样，但它有力地表明，“隐藏变量”的朴素解释，是无法同时满足“实在性”和“定域性”这两个概念的。

后来的实验，比如由阿兰·阿斯佩（Alain Aspect）等人进行的实验，一次又一次地证实了量子力学的预测，一次又一次地打破了贝尔不等式的限制。这些实验结果的出现，就好像是给那个看似无懈可击的“经典实在论”判了死刑。我们必须接受，量子世界就是如此怪异，要么放弃“实在性”（即相信粒子在测量前没有确定的性质），要么放弃“定域性”（即接受“鬼魅般的超距作用”是真实的，尽管爱因斯坦对此深恶痛绝）。

贝尔不等式的美妙，不仅在于其数学的严谨和洞察力，更在于它将一个抽象的哲学争论，转化为可以进行精确实验验证的科学问题。它像一座桥梁，连接了理论物理的抽象思维和实验验证的严谨求证，最终帮助我们更加深入地理解了宇宙最底层的运作机制。每当我想起它，我都会感到一阵敬畏，那是对人类智慧能够剖析出如此深邃的现实奥秘的由衷赞叹。它不仅仅是一个公式，它是一场革命性的思想实验，是对我们理解“现实”的根本性挑战。

网友意见

我们平时使用的透镜大多都是球面的，往往会存在球差。球差本身不难校正，但材料又同时存在色散，所以要在宽波段内同时校正球差和色差，往往需要多片不同光学材料的镜片组合使用。

但理论上来说，针对某种具体的材料，可以通过面型的设计，是可以实现单片透镜宽波段消除色球差的目的，但从来没人这样做过。来自墨西哥的Rafael González推导了相关公式，表示如果面型按以下公式设计，即可以实现该目的：

看得我目瞪口呆……但还是要多说一句，其实光学设计中最难的并不是把面型、间距等几何参数计算出来，而是要综合考虑公差分配、体积、重量、成本等众多复杂因素，这是一个典型的戴着一堆镣铐跳舞的过程。所以这个面型公式，对现实设计光学系统的意义并不大……

而且要精确的实现这类复杂面型的加工，是一件极其困难的事情。与其死磕这种技术，还不如转头去做metalens呢，天然无球差，色差也分分钟解决，而且重量更轻、厚度极薄，不香吗？

不过虽然确实用处不大，但很佩服这位同学的数学能力和死磕的毅力！……我要向他学习！

不止见过，我推过一个。。。是当年玩钓鱼闲的蛋疼，试图计算甩竿距离而列的式子

【摘要：如何把饵扔远】

饵扔的远近有四个要素：

1.初始速度（v）

2.线的阻力（f_l）

3.空气阻力（f_a）

4.初始角度（a）

跟炮弹弹道有点儿像，只是增加了线的拉着的阻力、线的重量、线的摩擦力等因素。

【细节】

1.初始速度由两个速度叠加

1.1弹性线速度（v1）

也就是在往后引杆往前抛出的时候，饵的拉力所造成的杆的形变所储存的弹性势能（PE）。

在杆的行程的后半段转化为特定质量（m）的饵的动能（KE）对应的饵的速度（v1）：

v1 = sqrt ( 2 * KE / m) = sqrt ( 2 * PE / m)

使用民科模型把弹性势能简单化为由弹性系数（k）和形变量（Y）决定：

PE = 0.5 k Y^2

k是杆子的固有属性，Y由甩杆动作饵的重量杆的软硬等多个因素决定，还没有推倒出个Y的公式来。

总之弹性线速度：

v1= Y * sqrt ( k / m )

如果饵太轻杆太硬，饵跟着杆走，k/m足够大，但形变Y太小。

如果饵太重杆太软，形变Y足够大，但k/m太小。

要想获得大的v1，杆的硬度和饵的重量得匹配。

怎么叫匹配？杆上标着呢，取个上下阈值的中间值左右总没错。

1.2基本线速度（v2）

也就是甩杆角速度（w）在杆的长度（R）的尽头体现出来的线速度，这个简单：

v2 = w * R

要想获得大的v2，杆要长，甩的要猛。

(1.3)能量

通过两个速度饵获得了初始动能KE_i：

KE_i = 0.5 * m * ( v1 + v2 ) ^ 2

初始动能会被下文的两个阻力消耗掉两部分(FE1，FE2)。

2.线的阻力f_l有三部分

2.1.弹性势能阻力f1

也就是把线从缠绕状态变为伸展状态所需要克服的弹性势能（PE2），在民科模型里还是：

PE2 = 0.5 k2 L^2

FE1 = PE2

L是抛出的线的长度，弹性系数k2是线的固有属性。

要想减小阻力f1减小阻力能量损失FE1，就得减小k2因为你不想减小L，就得用更细的线，就得用更软的线。

2.2.摩擦阻力f2

也就是线从轮上（注意到这里才第一次提到轮）出仓的时候的摩擦阻力（f2）。

以spinning为例这部分可能包括，线摩擦轮的外沿的阻力，线绕的不好导致出线时线之间的阻力，等等。

这部分消耗的能量：

FE2 = f2 * L

f2实际上是个函数而不是常量，比如说出线点在线仓里越深，也就是余线越少，摩擦f2就越大。

要想减小阻力f2减小阻力能量损失FE2，就得减小f2因为你不想减小L。

比如说，轮外沿被石头碰的坑坑洼洼的话要打磨平了（或是换新轮，嘿嘿），线仓要相对比较满。

2.3.“重量阻力”FE3

也就是已经出仓的线必须跟着饵走所需要的线本身的动能（KE2）：

KE2 = 0.5 * m2 * v ^ 2

其中质量取决于线的线密度p和出线长度L：

m2 = p * L

速度

v = v1 + v2

而

FE3 = KE2

这部分实际上不是“阻力”，只是因为完全是线引起的且效果像阻力所以归在这里面。

要想减小FE2，就得用更轻的线（通常也是更细的线）。

3.空气阻力f_a

这个有两部分，饵的空气阻力和线的空气阻力。

这个简单，要想减少这部分，饵的迎风面积要小，线要细。

比如说其他条件相同的情况下扔个铅坠和同等重量的大crankbait，这个就是主要区别了。

4.初始角度a

这个理论上复杂实践起来简单，理论上取决于以上所有因素在某个值a_max把D最大化。

实践起来，凭手感就行了。

【结论】

要想扔的远（按重要程度排序）：

1.饵的重量和杆的软硬要合适搭配

2.在保证可以支撑引杆拉力的情况下用软线细线轻线

3.用长的杆

4.用有接近满仓线的滑溜的轮

5.多加练习达到最佳角度和释放时机

6.增加力量

（以上纯属娱乐，切勿当真）

甩竿场景大概是这个感觉：

有知友评论钓鱼的事儿，我继续闲的蛋疼一下，以前钓鱼经常记录和统计其种类和时间分布，比如：

贴几张钓的鱼的照片：

建议学习偏微分方程。

能用式子写出来的，应该复杂不到哪去……

前面有回答给出了粒子物理标准模型的拉氏量，那个的确复杂，毕竟描述的是人类已知的所有微观原理。然而，这种复杂性不是整体的复杂性，把它拆解后每一项拿出来都有自己的意义，都能独立拿来算东西。我上本科时候是做rogue wave的理论研究的，经常会遇到非线性波动方程的有理数解。我觉得这个东西更让我目瞪口呆，因为它一大长串式子是一个整体，一堆看上去杂乱无章的东西共同构成了方程的一个解。比如这个NLS方程的七阶rogue wave解，描述了七个基本的rogue wave分量无相移地相互作用的过程（来自Journal of Modern Physics, 2013, 4, 246-266）：

这一大长串公式说到底就是rogue wave的波形随距离演化的一个二元函数，函数图像如下：

这还只是无相移的解。现实中的波之间的相互作用都是有相移的，如果考虑到相移的话，七阶解可以引入十几个相移因子，这样一来恐怕一百页都写不完一个解。另外，上面这个解是最简单的非线性波动方程NLS方程的，如果考虑更复杂的波动方程，解的长度还会大大增长。

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