如何计算如图极限？
好的，我们来详细拆解一下如何计算你提供的这个极限，我会尽量以一种非常清晰且循序渐进的方式来讲解，就像和朋友一起研究题目一样。
首先，让我们看看这个极限长什么样子：
$$ lim_{x o infty} left( frac{x+1}{x1} ight)^{x+2} $$
看到这个形式，我们的第一反应是：当 $x$ 趋向于无穷大时，里面的底数 $frac{x+1}{x1}$ 是多少？指数 $x+2$ 是多少？
第一步：观察底数和指数的趋势
底数 $frac{x+1}{x1}$： 当 $x o infty$ 时，我们可以把 $x$ 看作一个非常大的数。此时，加减的常数 $1$ 和 $1$ 相对于 $x$ 来说变得微不足道。所以，$frac{x+1}{x1}$ 大致上就像 $frac{x}{x}$，也就是 $1$。
更严谨一点地说，我们可以对底数进行一些代数变形：
$$ frac{x+1}{x1} = frac{(x1) + 2}{x1} = frac{x1}{x1} + frac{2}{x1} = 1 + frac{2}{x1} $$
当 $x o infty$ 时，$frac{2}{x1} o 0$。所以，底数的确趋向于 $1$。
指数 $x+2$： 当 $x o infty$ 时，显然 $x+2$ 也趋向于无穷大。
所以，我们遇到了一个经典的“1 的无穷次方”不定式形式。这种形式的极限不能直接代入计算，需要我们进一步处理。
第二步：将问题转化为 $e$ 的形式
当遇到“1 的无穷次方”不定式时，一个非常有用的技巧是利用指数的定义或者它与自然对数的关系。我们知道，如果我们要计算 $y = f(x)^{g(x)}$ 形式的极限，并且它是一个不定式，我们可以尝试：
1. 取自然对数：$ln y = ln (f(x)^{g(x)}) = g(x) ln f(x)$
2. 计算 $lim_{x o infty} g(x) ln f(x)$ 的极限。
3. 如果这个极限是 $L$，那么原来的极限就是 $e^L$。
让我们应用这个方法：
令 $y = left( frac{x+1}{x1} ight)^{x+2}$
那么，
$$ ln y = (x+2) ln left( frac{x+1}{x1} ight) $$
现在，我们要计算 $lim_{x o infty} (x+2) ln left( frac{x+1}{x1} ight)$。
第三步：计算 $ln y$ 的极限
我们已经知道 $frac{x+1}{x1} = 1 + frac{2}{x1}$。代入 $ln y$ 中：
$$ ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) $$
我们又要面对一个极限形式：当 $x o infty$ 时，$(x+2) o infty$，而 $ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) o ln(1+0) = ln 1 = 0$。
所以，这个 $ln y$ 的极限又变成了 “无穷大乘以零” 的不定式形式。
第四步：处理“无穷大乘以零”的不定式
处理“无穷大乘以零”通常有两种方法：
1. 转化为“零除以零”或“无穷大除以无穷大”，然后使用洛必达法则。
2. 利用重要的等价无穷小或无穷大关系。
我们先看看第二种方法，因为它通常更简洁。
有一个非常重要的等价无穷小关系是：当 $u o 0$ 时，$ln(1+u) sim u$。
在我们的表达式中，令 $u = frac{2}{x1}$。
当 $x o infty$ 时，$x1 o infty$，所以 $u = frac{2}{x1} o 0$。
因此，我们可以用 $u$ 来替换 $ln(1+u)$：
$$ ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) sim frac{2}{x1} $$
现在，将这个等价关系代回 $ln y$ 的表达式中：
$$ ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) sim (x+2) left( frac{2}{x1} ight) $$
现在，我们来计算这个新的极限：
$$ lim_{x o infty} (x+2) left( frac{2}{x1} ight) $$
将 $(x+2)$ 乘进去：
$$ lim_{x o infty} frac{2(x+2)}{x1} = lim_{x o infty} frac{2x+4}{x1} $$
这是一个关于 $x$ 的有理函数，当 $x o infty$ 时，极限值等于最高次项系数之比。分子最高次项是 $2x$，分母最高次项是 $x$。
所以，这个极限是 $frac{2}{1} = 2$。
第五步：回到原极限
我们计算得到 $lim_{x o infty} ln y = 2$。
由于我们最开始设了 $y = left( frac{x+1}{x1} ight)^{x+2}$，并且我们计算的是 $ln y$ 的极限，所以原极限就是 $e$ 的这个极限值：
$$ lim_{x o infty} y = e^{lim_{x o infty} ln y} = e^2 $$
另一种处理“无穷大乘以零”的方法：使用洛必达法则
如果我们选择洛必达法则，就需要将 $ln y$ 的表达式转化为分数形式。
$$ ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) $$
我们可以写成：
$$ ln y = frac{ln left( 1 + frac{2}{x1} ight)}{frac{1}{x+2}} $$
现在，当 $x o infty$ 时，分子 $ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) o ln(1) = 0$，分母 $frac{1}{x+2} o 0$。
这是一个“零除以零”的不定式，我们可以使用洛必达法则。
对分子求导：
令 $f(x) = ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) = ln left( frac{x+1}{x1} ight)$
求导 $f'(x)$：
$$ f'(x) = frac{1}{frac{x+1}{x1}} cdot frac{d}{dx}left(frac{x+1}{x1} ight) $$
我们之前算过 $frac{d}{dx}left(frac{x+1}{x1} ight)$，实际上是 $frac{d}{dx}left(1 + frac{2}{x1} ight) = 0 + 2 cdot (1)(x1)^{2} = frac{2}{(x1)^2}$。
所以，
$$ f'(x) = frac{x1}{x+1} cdot frac{2}{(x1)^2} = frac{2}{(x+1)(x1)} = frac{2}{x^21} $$
对分母求导：
令 $g(x) = frac{1}{x+2} = (x+2)^{1}$
$$ g'(x) = 1 cdot (x+2)^{2} = frac{1}{(x+2)^2} $$
根据洛必达法则，极限等于导数之比的极限：
$$ lim_{x o infty} frac{f'(x)}{g'(x)} = lim_{x o infty} frac{frac{2}{x^21}}{frac{1}{(x+2)^2}} = lim_{x o infty} frac{2(x+2)^2}{x^21} $$
展开 $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$：
$$ lim_{x o infty} frac{2(x^2 + 4x + 4)}{x^21} = lim_{x o infty} frac{2x^2 + 8x + 8}{x^21} $$
再次处理这个有理函数的极限，取最高次项系数之比：
$$ frac{2}{1} = 2 $$
通过洛必达法则，我们也得到了 $lim_{x o infty} ln y = 2$。
所以，原极限仍然是 $e^2$。
总结一下整个过程，用更简洁的方式来回顾：
1. 识别不定式： 发现这是一个“1 的无穷次方”形式 $left( frac{infty}{infty} ight)^infty$ 的不定式。
2. 转化思路： 将 $y = f(x)^{g(x)}$ 转化为 $ln y = g(x) ln f(x)$，然后计算 $lim ln y$。
3. 化简底数： 将底数写成 $1 + ext{小量}$ 的形式：$frac{x+1}{x1} = 1 + frac{2}{x1}$。
4. 代入计算 $ln y$： $ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight)$。
5. 利用等价无穷小： 当 $u o 0$ 时，$ln(1+u) sim u$。在这里，$u = frac{2}{x1} o 0$。
6. 计算 $ln y$ 的极限： $lim_{x o infty} (x+2) left( frac{2}{x1} ight) = lim_{x o infty} frac{2x+4}{x1} = 2$。
7. 得出原极限： 原极限是 $e^{lim ln y} = e^2$。
这个计算过程相对来说是比较标准的处理这类极限的方法。关键在于识别出不定式类型，并选择合适的方法（比如等价无穷小或者洛必达法则）来化简。等价无穷小通常更直接快捷。
希望这样的讲解够详细，也足够清晰！如果你有其他问题或者想进一步探讨某个步骤，随时告诉我！
首先，让我们看看这个极限长什么样子：
$$ lim_{x o infty} left( frac{x+1}{x1} ight)^{x+2} $$
看到这个形式，我们的第一反应是：当 $x$ 趋向于无穷大时，里面的底数 $frac{x+1}{x1}$ 是多少？指数 $x+2$ 是多少？
第一步：观察底数和指数的趋势
底数 $frac{x+1}{x1}$： 当 $x o infty$ 时，我们可以把 $x$ 看作一个非常大的数。此时，加减的常数 $1$ 和 $1$ 相对于 $x$ 来说变得微不足道。所以，$frac{x+1}{x1}$ 大致上就像 $frac{x}{x}$，也就是 $1$。
更严谨一点地说，我们可以对底数进行一些代数变形：
$$ frac{x+1}{x1} = frac{(x1) + 2}{x1} = frac{x1}{x1} + frac{2}{x1} = 1 + frac{2}{x1} $$
当 $x o infty$ 时，$frac{2}{x1} o 0$。所以，底数的确趋向于 $1$。
指数 $x+2$： 当 $x o infty$ 时，显然 $x+2$ 也趋向于无穷大。
所以，我们遇到了一个经典的“1 的无穷次方”不定式形式。这种形式的极限不能直接代入计算，需要我们进一步处理。
第二步：将问题转化为 $e$ 的形式
当遇到“1 的无穷次方”不定式时，一个非常有用的技巧是利用指数的定义或者它与自然对数的关系。我们知道，如果我们要计算 $y = f(x)^{g(x)}$ 形式的极限，并且它是一个不定式，我们可以尝试：
1. 取自然对数：$ln y = ln (f(x)^{g(x)}) = g(x) ln f(x)$
2. 计算 $lim_{x o infty} g(x) ln f(x)$ 的极限。
3. 如果这个极限是 $L$，那么原来的极限就是 $e^L$。
让我们应用这个方法：
令 $y = left( frac{x+1}{x1} ight)^{x+2}$
那么，
$$ ln y = (x+2) ln left( frac{x+1}{x1} ight) $$
现在，我们要计算 $lim_{x o infty} (x+2) ln left( frac{x+1}{x1} ight)$。
第三步：计算 $ln y$ 的极限
我们已经知道 $frac{x+1}{x1} = 1 + frac{2}{x1}$。代入 $ln y$ 中：
$$ ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) $$
我们又要面对一个极限形式：当 $x o infty$ 时，$(x+2) o infty$，而 $ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) o ln(1+0) = ln 1 = 0$。
所以，这个 $ln y$ 的极限又变成了 “无穷大乘以零” 的不定式形式。
第四步：处理“无穷大乘以零”的不定式
处理“无穷大乘以零”通常有两种方法：
1. 转化为“零除以零”或“无穷大除以无穷大”，然后使用洛必达法则。
2. 利用重要的等价无穷小或无穷大关系。
我们先看看第二种方法，因为它通常更简洁。
有一个非常重要的等价无穷小关系是：当 $u o 0$ 时，$ln(1+u) sim u$。
在我们的表达式中，令 $u = frac{2}{x1}$。
当 $x o infty$ 时，$x1 o infty$，所以 $u = frac{2}{x1} o 0$。
因此，我们可以用 $u$ 来替换 $ln(1+u)$：
$$ ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) sim frac{2}{x1} $$
现在，将这个等价关系代回 $ln y$ 的表达式中：
$$ ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) sim (x+2) left( frac{2}{x1} ight) $$
现在，我们来计算这个新的极限：
$$ lim_{x o infty} (x+2) left( frac{2}{x1} ight) $$
将 $(x+2)$ 乘进去：
$$ lim_{x o infty} frac{2(x+2)}{x1} = lim_{x o infty} frac{2x+4}{x1} $$
这是一个关于 $x$ 的有理函数，当 $x o infty$ 时，极限值等于最高次项系数之比。分子最高次项是 $2x$，分母最高次项是 $x$。
所以，这个极限是 $frac{2}{1} = 2$。
第五步：回到原极限
我们计算得到 $lim_{x o infty} ln y = 2$。
由于我们最开始设了 $y = left( frac{x+1}{x1} ight)^{x+2}$，并且我们计算的是 $ln y$ 的极限，所以原极限就是 $e$ 的这个极限值：
$$ lim_{x o infty} y = e^{lim_{x o infty} ln y} = e^2 $$
另一种处理“无穷大乘以零”的方法：使用洛必达法则
如果我们选择洛必达法则，就需要将 $ln y$ 的表达式转化为分数形式。
$$ ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) $$
我们可以写成：
$$ ln y = frac{ln left( 1 + frac{2}{x1} ight)}{frac{1}{x+2}} $$
现在，当 $x o infty$ 时，分子 $ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) o ln(1) = 0$，分母 $frac{1}{x+2} o 0$。
这是一个“零除以零”的不定式，我们可以使用洛必达法则。
对分子求导：
令 $f(x) = ln left( 1 + frac{2}{x1} ight) = ln left( frac{x+1}{x1} ight)$
求导 $f'(x)$：
$$ f'(x) = frac{1}{frac{x+1}{x1}} cdot frac{d}{dx}left(frac{x+1}{x1} ight) $$
我们之前算过 $frac{d}{dx}left(frac{x+1}{x1} ight)$，实际上是 $frac{d}{dx}left(1 + frac{2}{x1} ight) = 0 + 2 cdot (1)(x1)^{2} = frac{2}{(x1)^2}$。
所以，
$$ f'(x) = frac{x1}{x+1} cdot frac{2}{(x1)^2} = frac{2}{(x+1)(x1)} = frac{2}{x^21} $$
对分母求导：
令 $g(x) = frac{1}{x+2} = (x+2)^{1}$
$$ g'(x) = 1 cdot (x+2)^{2} = frac{1}{(x+2)^2} $$
根据洛必达法则，极限等于导数之比的极限：
$$ lim_{x o infty} frac{f'(x)}{g'(x)} = lim_{x o infty} frac{frac{2}{x^21}}{frac{1}{(x+2)^2}} = lim_{x o infty} frac{2(x+2)^2}{x^21} $$
展开 $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$：
$$ lim_{x o infty} frac{2(x^2 + 4x + 4)}{x^21} = lim_{x o infty} frac{2x^2 + 8x + 8}{x^21} $$
再次处理这个有理函数的极限，取最高次项系数之比：
$$ frac{2}{1} = 2 $$
通过洛必达法则，我们也得到了 $lim_{x o infty} ln y = 2$。
所以，原极限仍然是 $e^2$。
总结一下整个过程，用更简洁的方式来回顾：
1. 识别不定式： 发现这是一个“1 的无穷次方”形式 $left( frac{infty}{infty} ight)^infty$ 的不定式。
2. 转化思路： 将 $y = f(x)^{g(x)}$ 转化为 $ln y = g(x) ln f(x)$，然后计算 $lim ln y$。
3. 化简底数： 将底数写成 $1 + ext{小量}$ 的形式：$frac{x+1}{x1} = 1 + frac{2}{x1}$。
4. 代入计算 $ln y$： $ln y = (x+2) ln left( 1 + frac{2}{x1} ight)$。
5. 利用等价无穷小： 当 $u o 0$ 时，$ln(1+u) sim u$。在这里，$u = frac{2}{x1} o 0$。
6. 计算 $ln y$ 的极限： $lim_{x o infty} (x+2) left( frac{2}{x1} ight) = lim_{x o infty} frac{2x+4}{x1} = 2$。
7. 得出原极限： 原极限是 $e^{lim ln y} = e^2$。
这个计算过程相对来说是比较标准的处理这类极限的方法。关键在于识别出不定式类型，并选择合适的方法（比如等价无穷小或者洛必达法则）来化简。等价无穷小通常更直接快捷。
希望这样的讲解够详细，也足够清晰！如果你有其他问题或者想进一步探讨某个步骤，随时告诉我！
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