随手画线段，其长度最有可能是有理数还是无理数？
打个比方，想象一下你手里拿着一支铅笔，然后你在纸上随手划了一条线。这条线，我们直观上认为它是有长度的。那么，这个长度，用数字来表示的话，它更可能是个有理数，还是个无理数呢？
先来梳理一下“有理数”和“无理数”是什么意思。
有理数： 简单来说，就是能写成两个整数的比的数。比如 1/2，3/4，5（可以写成5/1），0.75（可以写成3/4）。这些数的小数表示要么是有限的，要么是循环的。
无理数： 就是不能写成两个整数的比的数。它们的特点是，小数表示既不有限，也不循环。我们熟悉的例子有 $pi$（圆周率）和 $sqrt{2}$（根号二）。
现在回到“随手画线段”这件事。
当我们说“随手画线段”时，这本身就带有一些不精确和主观性。
1. 我们手中的工具（铅笔/画笔）： 即使是最精密的笔尖，它也有一个物理的宽度。你画出的线，实际上是一个非常非常细的“墨迹带”，而不是一个理论上无限细的几何线段。这个宽度本身就不是无限精确的。
2. 我们的手和大脑： 我们的手是活动的，大脑的指令也是基于视觉和触觉的“近似”判断。我们说“画一条10厘米的线”，但实际上你很难做到绝对精确。你的手腕、你的眼睛，甚至你当时的心情，都会对最终的长度产生微小的影响。
3. 纸张的表面： 纸张的纤维也不是绝对平整的，显微镜下你会看到凹凸不平。
从这个角度来看，我们“随手画”出来的线段，它的“真实”长度，理论上可以是什么？
在纯粹的数学概念里，线段的长度是可以是任何正实数，包括有理数和无理数。但是，一旦我们把数学概念“映射”到物理世界，就引入了测量和物理限制。
为什么说“最有可能是有理数”？
测量工具的限制： 我们在生活中用来测量长度的工具，比如尺子，它的刻度是有限的。尺子上的刻度要么是整数，要么是小数，这些我们都能用有理数来表示。我们不会看到一把尺子上标着 $sqrt{2}$ 厘米这样的刻度。当我们用尺子去“读取”一个长度时，我们实际上是在进行一个近似，并且我们倾向于将这个近似值表示为尺子刻度上最接近的有理数。
人类的认知和表达习惯： 我们的大脑和语言习惯于用简单的、可重复的形式来描述事物。有理数，特别是那些看起来“整齐”的，比如整数、简单的分数、有限小数，更容易被我们感知和交流。比如，“大概3.5厘米”比“大概 $sqrt{12.25}$ 厘米”要直观得多。
制造和操作的便利性： 很多时候，我们画线是为了实际用途，比如在图纸上标记尺寸，或者在手工制作中作为指导。这些应用场景往往需要一个易于理解和复制的数值，而有理数在这方面有着天然的优势。
那无理数就完全不可能了吗？
不是的。理论上，如果你能制造出能够精确画出 $sqrt{2}$ 长度的装置，并且你的“随手画”也恰好落在了这个理论值上，那么它就是无理数。
但是，“随手画”这个前提，强调的是一种非刻意、非精确的行为。在这种情况下，我们不太可能“不小心”就画出一条精确的 $pi$ 厘米长的线段，或者精确的 $sqrt{3}$ 厘米长的线段。
总结一下：
在我们实际操作中，由于测量工具的限制、我们自身感知和操作的局限性，以及我们表达和理解的习惯，我们“随手画”的线段的长度，最有可能会被我们用一个有理数来近似或描述。即使这条线段在某种理论上的“精确”定义下可能是一个无理数，但我们感知、测量和表达它的方式，使得有理数成为了更自然的选项。
这就像问，你随手丢出去的石头，它落地的精确位置有理数还是无理数？从物理学的角度，它会落在某个具体的位置，这个位置可以通过坐标来描述。但从我们“随手丢”这个行为的意图和结果来看，我们更关心的是它大概在哪里，而不是它和某个理论上无法精确表达的点的距离。
所以，“随手”这个词，是关键。它暗示了一种近似和不刻意追求精确的状态。在这种状态下，我们倾向于使用我们最熟悉、最方便的工具和数值来描述，而这些恰恰是有理数。
网友意见
随手在纸上画一条线的话，这条线的长度肯定不能表达成一个数学上的精确的式子…你把这条线放大之后，将会看见它的末端是一些松散的构成墨水和纸张的原子，在布朗运动中互相搅合在纸上，在空间上并没有一个确定的起始点…换言之，这条线的长度将取决于你的观测方式和能力…
更：如果要从纯数学角度上说的话，相当于随机生成一个数。这样的话生成无理数的概率是1，而生成有理数的概率是0。
首先，这是一个非常有趣的问题！
先说答案，有理数的概率不只是比1/2小，实际上是0.
也许你会感到意外，但仔细读下来你会欣然接受。
概率何去何从-有限到无限
0. 确定问题-从逻辑角度
首先，我觉得你应该是逻辑层面的意思(而不是从操作层面，即物理角度)，即从数学角度考虑这个问题。
如果是这样，为了不发生歧义，我将问题重新组织一下。
在单位区间 中，随机选取一个实数，则其为有理数的概率是多大？
构造区间 上的函数:
其实这就是狄利克雷(Dirichlet)函数。
假设区间 上有均匀概率分布P, 即 .
(此时概率P就类似区间 上长度的概念。)
于是上述狄利克雷(Dirichlet)函数成为此区间上的一个随机变量。
因此，你的问题可以描述为：求概率 ，即该随机变量取值为1时的概率.
先说答案，不只是比 小，实际上是0.
下面，我先给你一个相对严格和理性的证明，然后再来直观的解释一下。
1. 严格证明
首先，有理数集是可数的，即跟正整数集一样多。
这里简短讲下。
通过构造从有理数集到正整数集的双射(一一对应)。
令映射射 ,其中
很容易验证，这是个双射。
这个构造看上去很复杂，其实是很直观的。
令 .则正有理数集 . 把集合 的元素放在第i行，从小到大左右排列。
如此就把正有理数集排成了一个 的无穷大的矩阵了。
沿着从西南往东北的方向从上到下数，给正有理数标号就是上述双射。
更多关于“个数”的精彩数学详见专栏文章：
其次，概率的可数可加性。
对两两不交的区间 的子集序列 ,我们有
这是概率公理条件中最重要的一条。
另外，单点集的概率是0。
你可以简单理解为，一个点的长度是0.
严格证明的思路就是：
对任意充分小的
由于 的任意性，很快得到
上述三条加起来，就得到了：
其实，从这个例子中就可以看出一些概率公理化的动机和思路。
通常我们讲的概率是离散类型的。
比如给你一个6面均匀的骰子，那么转出1的概率是1/6。
这个之所以简单以及能从直观上很容易理解是，因为总共就只有有限种(6种)情况。
而本问题，显然有无限种可能，而且还不仅仅是可数，它是连续的，稠密的，有实数个数那么多种情况，这被称为连续型概率问题。
2. 概率公理化的动机
对于连续型的情况，要怎么严格定义概率呢？
这就是概率公理化的重要动机之一！
严格定义一个数学概念，在人类史或者数学史上出现过多次，每次都有大事发生。
比如无理数，古希腊的时候毕达哥拉斯的一个学生因为利用毕达哥拉斯定理(我们叫勾股定理)发现 后，
证明了它不是当前知道的任何一个数(就是我们后来称为有理数的东西), 被老师的一大帮追随者扔到海里喂鱼了。
就现在，很多人的认识都只停留在了毕达哥拉斯时代。
后来大家发现这种奇怪的数，到处都是。
经过数学家的努力，后来就利用有理数列的极限严格定义了实数，也就是大家学习的实数的(无穷)小数表示。
牛顿，莱布尼茨他们发现了微积分，用导函数来求速度，切线等物理，几何问题，用积分来求位移，面积等物理，几何问题。
但是他们没有严格定义，于是就有了后来的包括柯西等数学家的极限的严格定义。
有了极限的概念，微积分就容易定义了。
这两个故事，其实就是数学历史上的所谓的三次危机的前两次。
回到正题，我们来讲下要如何严格定义概率？
有几点是我们很自然就会想到的。
首先，它应该是从一个大集合(比如这里的[0,1])的一些子集构成的集合到实数集的一个映射。
其次，其概率值应该是非负的。这就是公理化的第一条，非负性。
另外，大集合的概率值应该是1，因为它包含了所有的可能。这就是公理化的第二条，归一性。
最后，有限可加性。即两个无交集的事件之并的概率值应该是两个事件的概率值之和。这就是公理化第三条(可数可加性)的前身。
以上三条就是概率公理化的三条。
其实，本题就可以很好的解释从有限可加性到可数可加性的过渡。
本题中我们的概率其实就是区间 上长度的概念。
我们通常求的是里面一个更短的区间
[a, b]的长度(概率)是多少？
很直观，应该是b-a.
但是，万一问到，这里的区间 上的所有有理数的长度(概率)是多少呢？
这时，我们就傻了，我们发现有限可加性已经不够用了。
于是就想到了可数可加性。
3. 直观解释-心理障碍
a. 虽然我们的有理数在实数中是稠密的。
比如任何两个不同的实数中间都必然存在一个有理数，实际上存在无限个有理数。
又比如，对任何一个实数都可找到一个有理数列收敛于它。
b. 无理数的个数跟实数一样多，都比有理数的个数大很多很多，虽然有理数有无限个。
c. 还有今天的，在一段实数，比如[0,1]上随机挑一个数出来, 挑到有理数的可能性是0.
以上三个问题实际上分别对应数学的三个不同分支的基本知识。
他们分别是：
- 实数的拓扑结构
高数，数学分析，点集拓扑，分析类的课程都会讲。
- 集合论的势
在集合论，实变函数等会讲到。
- 测度的可数可加性
在实变函数，测度论，数学系的概率论等课程会讲。
之所以大家在面对以上三个方面的事实时会感到困惑，或者说有不少心理障碍。
比如说：
有人会问有理数跟无理数你中有我，我中有你，凭什么说无理数比有理数多？
也有人会问明明[0,1]上有无限个有理数，你却告诉我，在[0,1]上随机挑一个数出来, 挑到有理数的可能性是0？
这其中的原因是：
当你会问这些问题时，基本上你不是学霸就是好奇心很强。
从自然语言(比如汉语)表面上看，这些问题似乎很简单。
实际上是很复杂的。
这些复杂问题用逻辑语言表达成数学模型时，有些你原先直观上的感受可能会出现偏差。
比如在用严格的数学逻辑解决之前，你的直观是整数比自然数多了很多，而用了集合的势的这种严格的数学概念后，你会发现整数和自然数集的势相等(即一样多)。
这个与你想象中的感觉是否完全一致呢？
不知道，每个人感受都不太一样，但是感觉和直观是不那么靠谱的，它可以辅助你获得灵感，但是不像逻辑，数学这么硬(solid)，这么可靠。
再比如本题中概率的可数可加性，你觉得有无限个相加还是有点不靠谱。
假设你只接受有限可加性。
如果是这样的话，那本题中的挑中有理数的概率就算不出来了。
事情就卡在那，停滞不前。
但是采用可数可加性呢，
一是可以解决问题继续前行，
二是由此得到的解答，除了这一点不符合您的感受，你有关概率的其它感受或者直观几乎都照顾到了。
那么我们的数学或者自然科学的发展，应该怎么取舍呢？
就是你怎么知道要放弃或者推广有限可加性这个感受，而不去放弃其它的呢？
比如你也可以让概率取个负数值啊之类的。
这个问题是真的问到点子上了。
这只有那些走在最前面的开创者们，比如概率论公理化的创建者，前苏联数学家柯尔莫果洛夫Kolmogorov，他们才真正知道。
顺便安利一下，概率论公理化的创建者，前苏联数学家柯尔莫果洛夫Kolmogorov：
我们的世界就是由他们这些少数人极大地推动向前的。
讲到这里，你还有心理上的不舒服吗？
4. 不用概率公理化的常规解释-编后语
从评论中的反馈来看，主要的困惑焦点集中在如下两个问题, 我这里从舒缓大家心理的角度来解释一下，因为严谨的方法我已经在文中写过了。
Q1： 单位区间[0,1]中明明包含某个点，比如0, 为何取到它的概率为0呢？
A1： 有这种「能取到某个样本就认为取到它的概率大于0」根深蒂固的观点，主要原因还是停留在有限样本空间太久的缘故。
即使按照有限样本的做法，假设取到一个点的权重是1，那整个单位区间的权重肯定是无穷大，而且还是比可数大很多的那种无穷大。
此时，取到「0」的概率为：
Q2： 单位区间[0,1]中包含无数个有理数，为何取到有理数的概率为0呢？
A2： 同样用按照有限样本的做法，分子分母都是无穷大，但是分母是更高阶的无穷大。
此时，取到「有理数」的概率为：
有人又要问了，为什么把有理数看成 ，而实数就成了 .
好，我再满足一下你的好奇心。
采用二进制，我们依然有实数的小数表示，而且有理数的定义依然等价于有限位或者无限循环小数。
由于是二进制，每一个位上不是0，就是1，因此一个实数只要选定哪些位放1，那剩下的都自然是0了。
于是只要选定正整数集的一个子集即可，在那些位上放1。
有理数集和正整数集有相同的个数，记为可数。
于是实数的个数等同于正整数集的所有子集的个数，即正整数集的幂集的个数。
如此实数的个数就是 .
这里再解释一下一个命题：
若集合A为有限集，假设个数为n, 则其幂集的个数为2的n次方。
只要看如下的二项式展开就可得到这个问题的两个证明方法：
因为A的幂集就是A的所有子集构成的集合。
因此看右边就是对A的子集个数进行分类，子集个数为k的子集一共有 个，加起来就是所有的子集个数。
看左边的话，要确定一个A的子集，只需要对A的每个元素确定它是不是在此子集中即可。
因此对于A中的n个元素，每个元素都有两种情况，在或者不在此子集中。
利用乘法原理，我们便得到一共有2的n次方种情况，即有2的n次方个子集。
正是由于以上事实，当集合A是无限集时，假设势为a(a非有限), 我们采用记号 来表示A的幂集的势。
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从物理的角度来说，长度是有理数和无理数的叠加态，是为薛定谔的线。
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