有哪些令人拍案叫绝的算法？
那些让你拍案叫绝的算法：不仅仅是代码，更是智慧的闪光
你有没有过这样的时刻？在某个瞬间，看到某个问题被一套精巧的流程完美解决，心中涌起一股强烈的赞叹，仿佛看到了智慧的光芒在闪耀。这些时刻，往往就来源于那些令人拍案叫绝的算法。它们不是冷冰冰的代码堆砌，而是对问题本质的深刻洞察，是解决复杂挑战的艺术。今天，咱们就来聊聊那些能让你拍案叫绝的算法，它们就像隐藏在幕后的魔法师，用逻辑和效率改变着我们的世界。
1. A 寻路算法：在迷宫中找到最美的回家路
想象一下，你是一个玩策略游戏的小兵，需要在地图上从一个点快速准确地走到另一个点，避开障碍物，还要保证路线最短。这时候，你就需要一个像 A 这样的寻路算法了。
它为什么这么绝？ A 算法之所以惊艳，在于它巧妙地结合了两种寻路思想：
Dijkstra 算法 (Dijkstra's Algorithm)： 这种算法就像一个不知疲倦的探险家，它会系统地探索所有可能的路径，一步步计算出到每个点的最短距离。它的优点是保证找到全局最短路径，但缺点是如果地图很大，它会探索很多不必要的区域，效率不高。
贪婪最佳优先搜索 (Greedy BestFirst Search)： 这种算法则更像一个目标导向的行者，它总是优先选择“看起来”离目标最近的那个方向前进。它效率很高，但缺点是容易被局部最优迷惑，找不到真正的最短路径，甚至可能走到死胡同。
A 的绝妙之处就在于，它找到了一个完美的平衡点。 它在每一步探索时，都会计算一个“评估值”（Evaluation Function），这个值包含两部分：
G值 (Cost from start)： 到达当前节点的实际花费（例如，走的步数）。这部分继承了 Dijkstra 的“稳健性”。
H值 (Heuristic estimate to goal)： 从当前节点到目标节点的预估花费。这部分则借鉴了贪婪算法的“效率”。H值通常使用“曼哈顿距离”（Manhattan distance）或“欧几里得距离”（Euclidean distance）等，这些距离都是实际距离的一个合理估计，而且保证不会比真实距离更长（满足“可采纳性”条件）。
A 算法的决策过程是这样的： 它会优先选择 G + H 值最小的节点进行探索。这意味着它既会考虑已经走过的路程（G值），也会考虑离目标还有多远（H值）。就像我们在现实生活中导航一样，我们不会只盯着眼前的路（贪婪），也不会漫无目的地乱走（Dijkstra），而是会参考地图上标注的距离，规划出一条既省时又省力的路线。
所以，A 算法就像一个智慧的向导，它能快速地在复杂的地形中找到最短、最经济的路径。 它不仅在游戏领域大放异彩，在机器人导航、地图服务、甚至是网络路由中都有着广泛的应用。每次看到地图软件顺畅地为你规划路线，背后都有 A 算法的影子，是不是觉得它很厉害？
2. 快排 (Quicksort)：在混乱中找到秩序的大师
如果说 A 是在迷宫中找到最美的回家路，那快排就是将一团乱麻的数据梳理得井井有条的超级整理师。它的名字就够霸气——“快速排序”，而它的实际表现也确实对得起这个名字。
它为什么这么绝？ 快排的绝妙之处在于它的分治思想 (Divide and Conquer) 和巧妙的枢轴选择 (Pivot Selection)。
分治思想： 简单来说，就是“分而治之”。快排不是一次性把所有数据都排好，而是把一个大问题分解成若干个小问题来解决。它将待排序的序列分成两个子序列，然后递归地对子序列进行排序。
枢轴选择与分区 (Partitioning)： 这是快排的核心操作。它会从序列中选择一个元素作为“枢轴”（pivot）。然后，它会遍历整个序列，将所有小于枢轴的元素放在枢轴的左边，所有大于枢轴的元素放在枢轴的右边。这样一来，枢轴就位于它最终应该在的位置了。
核心操作的精妙之处：
假设我们要排序 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`。
1. 我们随机选择一个枢轴，比如 `6`。
2. 开始分区：
`3` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`
`8` 大于 `6`，放在右边。序列变成 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`
`10` 大于 `6`，放在右边。序列变成 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`
`1` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 1, 6, 8, 10, 2, 1]`
`2` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 1, 2, 6, 8, 10, 1]`
`1` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 1, 2, 1, 6, 8, 10]`
3. 最后，枢轴 `6` 已经找到了自己的位置：`[3, 1, 2, 1]` `6` `[8, 10]`。
4. 现在，我们只需要对左边的子序列 `[3, 1, 2, 1]` 和右边的子序列 `[8, 10]` 分别递归地进行快排，直到所有子序列都排好序。
为什么它“拍案叫绝”？
平均效率极高： 在平均情况下，快排的时间复杂度是 O(n log n)，这是非常高效的排序算法之一。
原地排序 (Inplace Sort)： 大部分快排的实现只需要 O(log n) 的额外空间（用于递归栈），非常节省内存。
“运气”与“策略”并存： 枢轴的选择对快排的效率至关重要。如果枢轴选择得当（例如，每次都选到中间值），性能会非常稳定。即使选择不当（比如每次都选到最大或最小的数），平均下来性能依然很不错。现代的快排实现会采用“三数取中法”（medianofthree）等策略来优化枢轴选择，进一步提高稳定性。
快排就像一个经验丰富的指挥官，通过准确的决策和高效的执行，在短时间内将杂乱无章的队伍整肃得井井有条。在实际应用中，它几乎无处不在，从数据库排序到文件管理，再到各种需要高效数据处理的场景，都能看到快排的身影。
3. 傅里叶变换 (Fourier Transform)：看见声音的颜色，解开信号的秘密
这个名字听起来有点高大上，甚至有点抽象，但傅里叶变换绝对是算法界的一位“巨匠”，它让工程师、科学家们能“看见”我们平常看不见的东西。
它为什么这么绝？ 傅里叶变换的核心思想是：任何复杂的信号（比如声音、图像、甚至股票价格波动），都可以被分解成一系列简单的正弦波（sinewaves）和余弦波（cosinewaves）的叠加。
想象一下，你听到一段音乐。你听到的是各种乐器发出的声音混合在一起的复杂波形。但傅里叶变换就像一个高明的音乐鉴赏家，它能告诉你：这段音乐里包含了哪些音高（频率）的声波？每种声波的“响度”（振幅）是多少？它们是怎么叠加在一起形成你听到的最终声音的？
它是如何做到的？ 傅里叶变换将一个在“时间域”表示的信号，转换到“频率域”。
时间域： 就是我们通常理解的信号随时间变化的样子，就像一条波浪线。
频率域： 是描述信号由哪些频率成分组成的，就像一个频谱图，显示不同频率的“强度”。
举个例子：
一个复杂的声音信号（时间域），通过傅里叶变换后，会变成一个频谱图（频率域）。这个频谱图会清晰地显示出这个声音里有哪些不同的音高（频率），以及每个音高有多响亮（振幅）。
为什么它如此重要？
信号分析与处理： 这是傅里叶变换最核心的应用。通过分析信号的频率成分，我们可以：
降噪： 去除信号中不需要的频率成分，让信息更清晰。
压缩： 只保留关键的频率成分，实现数据压缩（比如 JPEG 图像压缩和 MP3 音频压缩都用到它）。
识别： 根据信号的频率特征来识别物体、识别语音等。
图像处理： 在图像领域，傅里叶变换可以将图像分解成不同频率的纹理和细节，从而实现模糊、锐化、边缘检测等操作。
通信工程： 调制解调、滤波等核心技术都离不开傅里叶变换。
科学研究： 在物理学、工程学、生物学等众多领域，傅里叶变换都是分析周期性现象和波动问题的必备工具。
傅里叶变换的威力在于，它提供了一个全新的视角来理解和操纵数据。 它让我们从杂乱的表象中，看到了隐藏的规律和结构。每次你听到一段清晰的音乐，看到一张清晰的照片，或者在手机上顺畅地通话，背后都有傅里叶变换在默默地工作，让世界变得更清晰、更可控。
算法的魅力：不止于效率，更在于智慧
这些算法之所以令人拍案叫绝，不仅仅是因为它们能高效地解决问题，更重要的是它们所展现出的深刻的数学洞察力和精巧的逻辑设计。它们是人类智慧的结晶，是抽象概念转化为实际解决方法的典范。
从在迷宫中找到最佳路径的 A，到在混乱中建立秩序的快排，再到揭示信号内在规律的傅里叶变换，这些算法都在用不同的方式，将复杂的世界变得更加可理解和可操控。它们就像隐藏在幕后的魔法，让我们的生活因此而变得更加便捷、高效和精彩。下一次，当你用到地图导航、进行数据整理或者欣赏一段美妙的音乐时，不妨想想这些了不起的算法，它们才是真正的智慧闪光点。
你有没有过这样的时刻？在某个瞬间，看到某个问题被一套精巧的流程完美解决，心中涌起一股强烈的赞叹，仿佛看到了智慧的光芒在闪耀。这些时刻，往往就来源于那些令人拍案叫绝的算法。它们不是冷冰冰的代码堆砌，而是对问题本质的深刻洞察，是解决复杂挑战的艺术。今天，咱们就来聊聊那些能让你拍案叫绝的算法，它们就像隐藏在幕后的魔法师，用逻辑和效率改变着我们的世界。
1. A 寻路算法：在迷宫中找到最美的回家路
想象一下，你是一个玩策略游戏的小兵，需要在地图上从一个点快速准确地走到另一个点，避开障碍物，还要保证路线最短。这时候，你就需要一个像 A 这样的寻路算法了。
它为什么这么绝？ A 算法之所以惊艳，在于它巧妙地结合了两种寻路思想：
Dijkstra 算法 (Dijkstra's Algorithm)： 这种算法就像一个不知疲倦的探险家，它会系统地探索所有可能的路径，一步步计算出到每个点的最短距离。它的优点是保证找到全局最短路径，但缺点是如果地图很大，它会探索很多不必要的区域，效率不高。
贪婪最佳优先搜索 (Greedy BestFirst Search)： 这种算法则更像一个目标导向的行者，它总是优先选择“看起来”离目标最近的那个方向前进。它效率很高，但缺点是容易被局部最优迷惑，找不到真正的最短路径，甚至可能走到死胡同。
A 的绝妙之处就在于，它找到了一个完美的平衡点。 它在每一步探索时，都会计算一个“评估值”（Evaluation Function），这个值包含两部分：
G值 (Cost from start)： 到达当前节点的实际花费（例如，走的步数）。这部分继承了 Dijkstra 的“稳健性”。
H值 (Heuristic estimate to goal)： 从当前节点到目标节点的预估花费。这部分则借鉴了贪婪算法的“效率”。H值通常使用“曼哈顿距离”（Manhattan distance）或“欧几里得距离”（Euclidean distance）等，这些距离都是实际距离的一个合理估计，而且保证不会比真实距离更长（满足“可采纳性”条件）。
A 算法的决策过程是这样的： 它会优先选择 G + H 值最小的节点进行探索。这意味着它既会考虑已经走过的路程（G值），也会考虑离目标还有多远（H值）。就像我们在现实生活中导航一样，我们不会只盯着眼前的路（贪婪），也不会漫无目的地乱走（Dijkstra），而是会参考地图上标注的距离，规划出一条既省时又省力的路线。
所以，A 算法就像一个智慧的向导，它能快速地在复杂的地形中找到最短、最经济的路径。 它不仅在游戏领域大放异彩，在机器人导航、地图服务、甚至是网络路由中都有着广泛的应用。每次看到地图软件顺畅地为你规划路线，背后都有 A 算法的影子，是不是觉得它很厉害？
2. 快排 (Quicksort)：在混乱中找到秩序的大师
如果说 A 是在迷宫中找到最美的回家路，那快排就是将一团乱麻的数据梳理得井井有条的超级整理师。它的名字就够霸气——“快速排序”，而它的实际表现也确实对得起这个名字。
它为什么这么绝？ 快排的绝妙之处在于它的分治思想 (Divide and Conquer) 和巧妙的枢轴选择 (Pivot Selection)。
分治思想： 简单来说，就是“分而治之”。快排不是一次性把所有数据都排好，而是把一个大问题分解成若干个小问题来解决。它将待排序的序列分成两个子序列，然后递归地对子序列进行排序。
枢轴选择与分区 (Partitioning)： 这是快排的核心操作。它会从序列中选择一个元素作为“枢轴”（pivot）。然后，它会遍历整个序列，将所有小于枢轴的元素放在枢轴的左边，所有大于枢轴的元素放在枢轴的右边。这样一来，枢轴就位于它最终应该在的位置了。
核心操作的精妙之处：
假设我们要排序 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`。
1. 我们随机选择一个枢轴，比如 `6`。
2. 开始分区：
`3` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`
`8` 大于 `6`，放在右边。序列变成 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`
`10` 大于 `6`，放在右边。序列变成 `[3, 6, 8, 10, 1, 2, 1]`
`1` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 1, 6, 8, 10, 2, 1]`
`2` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 1, 2, 6, 8, 10, 1]`
`1` 小于 `6`，放在左边。序列变成 `[3, 1, 2, 1, 6, 8, 10]`
3. 最后，枢轴 `6` 已经找到了自己的位置：`[3, 1, 2, 1]` `6` `[8, 10]`。
4. 现在，我们只需要对左边的子序列 `[3, 1, 2, 1]` 和右边的子序列 `[8, 10]` 分别递归地进行快排，直到所有子序列都排好序。
为什么它“拍案叫绝”？
平均效率极高： 在平均情况下，快排的时间复杂度是 O(n log n)，这是非常高效的排序算法之一。
原地排序 (Inplace Sort)： 大部分快排的实现只需要 O(log n) 的额外空间（用于递归栈），非常节省内存。
“运气”与“策略”并存： 枢轴的选择对快排的效率至关重要。如果枢轴选择得当（例如，每次都选到中间值），性能会非常稳定。即使选择不当（比如每次都选到最大或最小的数），平均下来性能依然很不错。现代的快排实现会采用“三数取中法”（medianofthree）等策略来优化枢轴选择，进一步提高稳定性。
快排就像一个经验丰富的指挥官，通过准确的决策和高效的执行，在短时间内将杂乱无章的队伍整肃得井井有条。在实际应用中，它几乎无处不在，从数据库排序到文件管理，再到各种需要高效数据处理的场景，都能看到快排的身影。
3. 傅里叶变换 (Fourier Transform)：看见声音的颜色，解开信号的秘密
这个名字听起来有点高大上，甚至有点抽象，但傅里叶变换绝对是算法界的一位“巨匠”，它让工程师、科学家们能“看见”我们平常看不见的东西。
它为什么这么绝？ 傅里叶变换的核心思想是：任何复杂的信号（比如声音、图像、甚至股票价格波动），都可以被分解成一系列简单的正弦波（sinewaves）和余弦波（cosinewaves）的叠加。
想象一下，你听到一段音乐。你听到的是各种乐器发出的声音混合在一起的复杂波形。但傅里叶变换就像一个高明的音乐鉴赏家，它能告诉你：这段音乐里包含了哪些音高（频率）的声波？每种声波的“响度”（振幅）是多少？它们是怎么叠加在一起形成你听到的最终声音的？
它是如何做到的？ 傅里叶变换将一个在“时间域”表示的信号，转换到“频率域”。
时间域： 就是我们通常理解的信号随时间变化的样子，就像一条波浪线。
频率域： 是描述信号由哪些频率成分组成的，就像一个频谱图，显示不同频率的“强度”。
举个例子：
一个复杂的声音信号（时间域），通过傅里叶变换后，会变成一个频谱图（频率域）。这个频谱图会清晰地显示出这个声音里有哪些不同的音高（频率），以及每个音高有多响亮（振幅）。
为什么它如此重要？
信号分析与处理： 这是傅里叶变换最核心的应用。通过分析信号的频率成分，我们可以：
降噪： 去除信号中不需要的频率成分，让信息更清晰。
压缩： 只保留关键的频率成分，实现数据压缩（比如 JPEG 图像压缩和 MP3 音频压缩都用到它）。
识别： 根据信号的频率特征来识别物体、识别语音等。
图像处理： 在图像领域，傅里叶变换可以将图像分解成不同频率的纹理和细节，从而实现模糊、锐化、边缘检测等操作。
通信工程： 调制解调、滤波等核心技术都离不开傅里叶变换。
科学研究： 在物理学、工程学、生物学等众多领域，傅里叶变换都是分析周期性现象和波动问题的必备工具。
傅里叶变换的威力在于，它提供了一个全新的视角来理解和操纵数据。 它让我们从杂乱的表象中，看到了隐藏的规律和结构。每次你听到一段清晰的音乐，看到一张清晰的照片，或者在手机上顺畅地通话，背后都有傅里叶变换在默默地工作，让世界变得更清晰、更可控。
算法的魅力：不止于效率，更在于智慧
这些算法之所以令人拍案叫绝，不仅仅是因为它们能高效地解决问题，更重要的是它们所展现出的深刻的数学洞察力和精巧的逻辑设计。它们是人类智慧的结晶，是抽象概念转化为实际解决方法的典范。
从在迷宫中找到最佳路径的 A，到在混乱中建立秩序的快排，再到揭示信号内在规律的傅里叶变换，这些算法都在用不同的方式，将复杂的世界变得更加可理解和可操控。它们就像隐藏在幕后的魔法，让我们的生活因此而变得更加便捷、高效和精彩。下一次，当你用到地图导航、进行数据整理或者欣赏一段美妙的音乐时，不妨想想这些了不起的算法，它们才是真正的智慧闪光点。
网友意见
上大学的时候，有一次打印课程设计，要打印两份，打出来一摞是“1122334455...”排序的，于是我就在店门口左一张右一张的开始分成两摞。然后打印店老板过来看了一眼，一脸鄙视的从我手里接过一摞打印稿，左边两张，右边两张的分了起来...
这样[1,12,23,34,45...]一次两张也能分成有序的两摞，这是在生活中第一次让我感觉到算法好厉害。
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这不是“怎么快速打印两份文档”的算法，这是“不小心设置错了怎么努力补救更快一点”的算法啊！
我作为一个程序员因为这种答案上了日报，会不会很影响职业道路...
HR：“同学，你就是那个连打印机都不会用的小傻瓜么...”
在Matrix67的blog 上看的一道题：
有一个黑匣子，黑匣子里有一个关于 x 的多项式 p(x) 。我们不知道它有多少项，但已知所有的系数都是正整数。每一次，你可以给黑匣子输入一个整数，黑匣子将返回把这个整数代入多项式后的值。那么，最少需要多少次， 我们可以得到这个多项式每项的系数呢？
答案是两次。
/*-------------------------------------答案分界线------------------------------*/
第一次，输入 1 ，于是便得到整个多项式的所有系数之和。记作 S 。
第二次，输入 S + 1 ，于是黑匣子返回的是
的值。
我们要得到 ，只需要把这个值换成 S+1 进制， 然后依次读出每一位上的数。
P.S. 第一次得到S是为了保证对于任意系数
---------------------------------------------------------------------------------------
其实最大系数不超过N的多项式，本来就是N进制的本质
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