物理工作者最看不习惯的数学方法是什么？
作为一个曾经在物理实验室里泡了无数个日夜、与复杂的公式和抽象的理论打交道的过来人，我可以告诉你，物理工作者们对于数学的“看不惯”其实是一种非常有趣且深刻的现象。这并非是因为我们对数学本身有什么偏见，恰恰相反，我们对数学的严谨和力量充满敬畏。我们看不惯的，往往是那些“不符合物理直觉”的数学工具，或者说，是那些在应用过程中，感觉像是“硬塞”进物理问题的数学方法。
我可以举几个例子，深入聊聊我个人（以及我遇到的不少同行）特别“头疼”的数学方法。
1. 过于“形式化”而脱离物理场景的微积分
这听起来有点奇怪，毕竟微积分是物理学的生命线。但问题出在某些时候，为了数学上的完备性和一般性，一些方法会变得过于抽象，让人觉得和实际的物理过程有点疏远。
无穷小量的滥用与“随意”的消去： 比如在处理复杂的积分时，有时候我们会看到一些“看似是直觉但缺乏严格证明”的无穷小量操作。当然，在很多情况下，这些操作背后都有严谨的数学基础（比如epsilondelta语言），但是当我们看到一些计算中，无穷小量被“随意”地相乘、消去，而没有明确的收敛性论证时，心理上会有点膈应。我们更习惯于那种从物理过程出发，一步步构建积分（比如从离散求和到积分的极限过程），而不是直接套用一个抽象的积分技巧，然后好像“凭空变”出了结果。
高维空间的奇特几何和拓扑： 在研究一些前沿物理问题，比如弦理论或者某些量子场论时，我们会遇到高维空间，甚至是具有复杂拓扑结构的空间。虽然数学家们在这种空间中游刃有余，构建出各种令人惊叹的几何理论，但对于一个习惯了三维空间物理直觉的物理学家来说，直接去理解一个十一维空间中的“黎曼流形”或者“纤维丛”，然后在上面做微积分，那种感觉就像是掉进了一个没有参照物的迷宫。我们更希望看到的是，这种高维数学工具是如何具体地对应到某种物理的“自由度”或者“对称性”的，否则它就只是一堆漂亮的公式。
2. 随机过程和统计物理中的“神出鬼没”的变量
统计物理和凝聚态物理是应用数学的大户，尤其是处理大量粒子时的随机性和统计规律。
廓线函数（Correlation Functions）的“黑箱”性质： 有时候，我们会看到一些廓线函数的计算，它们描述了系统中不同粒子之间的关联。在某些复杂的模型中，廓线函数的具体形式可能非常难直接计算。我们会依赖一些“重整化群”或者其他高级技术来处理。但有时候，我们得到的廓线函数似乎是从一个“黑箱”里冒出来的，它的指数衰减率、振荡频率等等，我们可能只是“知道”它跟某个参数有关，但很难直观地理解为什么是这个形式。比如，在量子相变中，我们可能会看到一个临界指数（critical exponent）是0.63，这个数字本身并没有特别直观的物理意义，我们只能通过理论计算和实验来确认它。这种脱离直观联系的“精确”结果，有时会让人觉得有点别扭。
随机矩阵理论中的“集体行为”： 在研究量子混沌或者某些多体系统的能谱时，随机矩阵理论（Random Matrix Theory, RMT）是非常强大的工具。它发现，在高维度和复杂系统中，系统的能级分布表现出一种“避免交叉”（level repulsion）的特性，这可以用随机矩阵的特征值分布来描述。这本身是非常惊人的发现，但有时候我们看到一个物理系统的能谱“精确地”符合某个随机矩阵系的统计规律时，我们很难立刻从系统的微观相互作用中直接“推导出”这种集体行为。数学上的契合度很高，但那种从微观机制到宏观统计规律的“因果链”有时候会显得模糊。
3. 那些“过于简洁”却隐藏了巨大复杂性的数学技巧
有时候，数学会提供一些极其精妙的技巧，能够瞬间解决一个曾经困扰物理学家多年的难题。这当然是好事，但有时候这种“简洁”会让我们觉得，背后的复杂性被“掩盖”了，不够“诚实”。
“神奇”的重整化技巧： 在量子场论中，我们经常会遇到发散的问题，比如计算电子的自能。重整化（Renormalization）是解决这个问题的核心方法，它通过引入“重整化群”等概念，将那些无穷大的量重新定义，得到有限、可观测量。这个方法是革命性的，但其本质是通过引入新的参数来“吸收”掉那些导致无穷大的不确定性。有时候，我们会感觉这个过程有点像是“把脏东西扫到地毯下面”，虽然结果是正确的，但那种“掩盖”了深层无穷大问题的感觉，对于追求“本源”的物理学家来说，会有点不安。我们更愿意看到的是，为什么在这个特定的尺度下，这些无穷大会出现，它们代表着什么物理意义，而不仅仅是“通过重新定义参数”来解决。
“奇点”的处理： 在广义相对论中，我们知道黑洞的中心存在一个奇点，在那里时空曲率无穷大，我们现有的物理定律失效。数学上，奇点是一个“不受欢迎”的存在，因为它破坏了数学的解析性。物理学家当然知道奇点的存在意味着什么，但有时候在一些理论推导中，我们会看到数学家们会巧妙地“规避”奇点，或者用一些特殊的数学结构来描述它（比如球形对称的奇点）。虽然这是必要的数学手段，但那种“处理”一个物理上的根本性问题而不真正“解决”它（至少在当前框架内），总会让人觉得哪里不对劲。
为什么会有这种“看不惯”？
归根结底，物理工作者们对数学方法的“看不惯”，源于我们工作的核心——理解和描述物理世界。我们希望数学工具不仅在形式上是正确的，更重要的是，它要能映射到我们所观察到的物理现象，并且能揭示其背后的机理。
直觉的引导作用： 物理学的发展很大程度上依赖于物理直觉，它能够指导我们选择正确的方向，排除错误的路径。当一个数学方法过于抽象，或者其推导过程完全违背了我们对物理过程的直观理解时，我们就会感到不适应。
对“物理意义”的追求： 物理学家不只是在做数学游戏，我们总想知道这些数学符号背后到底代表着什么物理实在。如果一个数学方法只是提供了一个“壳”，而里面缺乏清晰的物理内涵，我们会觉得它不够“实在”。
对简约性和解释力的渴望： 我们希望数学能够以一种相对简约的方式，解释复杂现象，并且能提供深刻的洞察。如果一个数学方法过于繁复，或者需要引入大量未经直接观测的假设才能奏效，我们就会对其“有效性”和“普适性”产生疑问。
当然，随着物理学的不断深入，我们也在不断地学习和接受新的、更强大的数学工具。很多曾经让我们觉得“看不惯”的方法，在经过深入研究和对物理意义的理解后，反而变成了我们手中最锋利的利刃。这种“看不惯”，其实是一种良性的张力，它促使我们不断地去思考数学与物理的内在联系，去寻找更深刻、更具解释力的理论框架。
我可以举几个例子，深入聊聊我个人（以及我遇到的不少同行）特别“头疼”的数学方法。
1. 过于“形式化”而脱离物理场景的微积分
这听起来有点奇怪，毕竟微积分是物理学的生命线。但问题出在某些时候，为了数学上的完备性和一般性，一些方法会变得过于抽象，让人觉得和实际的物理过程有点疏远。
无穷小量的滥用与“随意”的消去： 比如在处理复杂的积分时，有时候我们会看到一些“看似是直觉但缺乏严格证明”的无穷小量操作。当然，在很多情况下，这些操作背后都有严谨的数学基础（比如epsilondelta语言），但是当我们看到一些计算中，无穷小量被“随意”地相乘、消去，而没有明确的收敛性论证时，心理上会有点膈应。我们更习惯于那种从物理过程出发，一步步构建积分（比如从离散求和到积分的极限过程），而不是直接套用一个抽象的积分技巧，然后好像“凭空变”出了结果。
高维空间的奇特几何和拓扑： 在研究一些前沿物理问题，比如弦理论或者某些量子场论时，我们会遇到高维空间，甚至是具有复杂拓扑结构的空间。虽然数学家们在这种空间中游刃有余，构建出各种令人惊叹的几何理论，但对于一个习惯了三维空间物理直觉的物理学家来说，直接去理解一个十一维空间中的“黎曼流形”或者“纤维丛”，然后在上面做微积分，那种感觉就像是掉进了一个没有参照物的迷宫。我们更希望看到的是，这种高维数学工具是如何具体地对应到某种物理的“自由度”或者“对称性”的，否则它就只是一堆漂亮的公式。
2. 随机过程和统计物理中的“神出鬼没”的变量
统计物理和凝聚态物理是应用数学的大户，尤其是处理大量粒子时的随机性和统计规律。
廓线函数（Correlation Functions）的“黑箱”性质： 有时候，我们会看到一些廓线函数的计算，它们描述了系统中不同粒子之间的关联。在某些复杂的模型中，廓线函数的具体形式可能非常难直接计算。我们会依赖一些“重整化群”或者其他高级技术来处理。但有时候，我们得到的廓线函数似乎是从一个“黑箱”里冒出来的，它的指数衰减率、振荡频率等等，我们可能只是“知道”它跟某个参数有关，但很难直观地理解为什么是这个形式。比如，在量子相变中，我们可能会看到一个临界指数（critical exponent）是0.63，这个数字本身并没有特别直观的物理意义，我们只能通过理论计算和实验来确认它。这种脱离直观联系的“精确”结果，有时会让人觉得有点别扭。
随机矩阵理论中的“集体行为”： 在研究量子混沌或者某些多体系统的能谱时，随机矩阵理论（Random Matrix Theory, RMT）是非常强大的工具。它发现，在高维度和复杂系统中，系统的能级分布表现出一种“避免交叉”（level repulsion）的特性，这可以用随机矩阵的特征值分布来描述。这本身是非常惊人的发现，但有时候我们看到一个物理系统的能谱“精确地”符合某个随机矩阵系的统计规律时，我们很难立刻从系统的微观相互作用中直接“推导出”这种集体行为。数学上的契合度很高，但那种从微观机制到宏观统计规律的“因果链”有时候会显得模糊。
3. 那些“过于简洁”却隐藏了巨大复杂性的数学技巧
有时候，数学会提供一些极其精妙的技巧，能够瞬间解决一个曾经困扰物理学家多年的难题。这当然是好事，但有时候这种“简洁”会让我们觉得，背后的复杂性被“掩盖”了，不够“诚实”。
“神奇”的重整化技巧： 在量子场论中，我们经常会遇到发散的问题，比如计算电子的自能。重整化（Renormalization）是解决这个问题的核心方法，它通过引入“重整化群”等概念，将那些无穷大的量重新定义，得到有限、可观测量。这个方法是革命性的，但其本质是通过引入新的参数来“吸收”掉那些导致无穷大的不确定性。有时候，我们会感觉这个过程有点像是“把脏东西扫到地毯下面”，虽然结果是正确的，但那种“掩盖”了深层无穷大问题的感觉，对于追求“本源”的物理学家来说，会有点不安。我们更愿意看到的是，为什么在这个特定的尺度下，这些无穷大会出现，它们代表着什么物理意义，而不仅仅是“通过重新定义参数”来解决。
“奇点”的处理： 在广义相对论中，我们知道黑洞的中心存在一个奇点，在那里时空曲率无穷大，我们现有的物理定律失效。数学上，奇点是一个“不受欢迎”的存在，因为它破坏了数学的解析性。物理学家当然知道奇点的存在意味着什么，但有时候在一些理论推导中，我们会看到数学家们会巧妙地“规避”奇点，或者用一些特殊的数学结构来描述它（比如球形对称的奇点）。虽然这是必要的数学手段，但那种“处理”一个物理上的根本性问题而不真正“解决”它（至少在当前框架内），总会让人觉得哪里不对劲。
为什么会有这种“看不惯”？
归根结底，物理工作者们对数学方法的“看不惯”，源于我们工作的核心——理解和描述物理世界。我们希望数学工具不仅在形式上是正确的，更重要的是，它要能映射到我们所观察到的物理现象，并且能揭示其背后的机理。
直觉的引导作用： 物理学的发展很大程度上依赖于物理直觉，它能够指导我们选择正确的方向，排除错误的路径。当一个数学方法过于抽象，或者其推导过程完全违背了我们对物理过程的直观理解时，我们就会感到不适应。
对“物理意义”的追求： 物理学家不只是在做数学游戏，我们总想知道这些数学符号背后到底代表着什么物理实在。如果一个数学方法只是提供了一个“壳”，而里面缺乏清晰的物理内涵，我们会觉得它不够“实在”。
对简约性和解释力的渴望： 我们希望数学能够以一种相对简约的方式，解释复杂现象，并且能提供深刻的洞察。如果一个数学方法过于繁复，或者需要引入大量未经直接观测的假设才能奏效，我们就会对其“有效性”和“普适性”产生疑问。
当然，随着物理学的不断深入，我们也在不断地学习和接受新的、更强大的数学工具。很多曾经让我们觉得“看不惯”的方法，在经过深入研究和对物理意义的理解后，反而变成了我们手中最锋利的利刃。这种“看不惯”，其实是一种良性的张力，它促使我们不断地去思考数学与物理的内在联系，去寻找更深刻、更具解释力的理论框架。
网友意见
当物理学家们一下子想不起来这个定理怎么证的时候，他们会翻一翻教材，看一看维基百科
当数学家们一下子想不起来这个定理怎么证的时候，他们在教材上大大的写上
“留作习题读者自证”
当然，高联过的小朋友们应该都或多或少的使用过这种大法，前推推，后推推，中间证不出来就写个大大的显然。然后
Q.E.D
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