问题

一个同时有内切椭圆和外接椭圆的多边形满足什么条件?

回答
一个同时拥有内切椭圆和外接椭圆的多边形,在几何学上满足一些非常有趣的条件。这涉及到多边形与椭圆之间的相互关系,以及它们之间的几何约束。让我们详细地探讨这些条件。

核心概念:

1. 内切椭圆 (Inscribed Ellipse): 椭圆与多边形的所有边都相切,并且椭圆完全位于多边形内部。
2. 外接椭圆 (Circumscribed Ellipse): 椭圆通过多边形的所有顶点,并且多边形完全位于椭圆内部。

多边形同时拥有内切椭圆和外接椭圆的条件:

多边形要同时拥有内切椭圆和外接椭圆,其顶点和边必须以一种非常特殊的方式与这两个椭圆相关联。 最核心的条件是:

如果一个多边形同时存在内切椭圆和外接椭圆,那么这个多边形必然是中心对称的,并且它拥有一个唯一的(或一组中心对称的)内切椭圆和一个唯一的(或一组中心对称的)外接椭圆。

让我们分解并详细解释:

1. 中心对称性是关键:

原因: 考虑一个多边形的内切椭圆。 由于椭圆的切点在多边形的每条边上,并且椭圆是光滑的,这意味着椭圆的“中心”与多边形的某种“中心”是重合的。同样,外接椭圆通过多边形的每个顶点,也意味着外接椭圆的中心与多边形的某种“中心”重合。
中心对称的定义: 一个多边形是中心对称的,如果存在一个点(称为对称中心),使得多边形上的任意一点 P,经过该点对称变换后得到的点 P' 也在多边形上。换句话说,多边形绕其对称中心旋转 180 度后能够与其自身重合。
对于多边形而言,中心对称意味着:
边和角的配对: 如果一个多边形有 $2n$ 条边,那么它必须有 $n$ 对相对的边。这些相对的边是平行的,并且它们之间的距离相等。同样,它有 $n$ 对相对的角,这些角的大小相等。
顶点和边的配对: 对于中心对称的多边形,如果顶点 $V_i$ 是多边形的一个顶点,那么经过对称中心变换后的点 $V'_i$ 也是一个顶点。类似地,如果边 $E_i$ 是多边形的一条边,那么经过对称中心变换后的边 $E'_i$ 也是一条边。
与椭圆的关系:
内切椭圆的中心: 如果一个多边形有内切椭圆,那么这个内切椭圆的中心必然是多边形的对称中心(如果多边形是中心对称的)。这个中心也是所有内切椭圆的中心。
外接椭圆的中心: 同理,如果一个多边形有外接椭圆,那么这个外接椭圆的中心也必然是多边形的对称中心。

因此,任何拥有内切和外接椭圆的多边形,其本身必须是中心对称的。

2. 内切椭圆的性质(在中心对称多边形中):

唯一性: 对于一个中心对称的多边形,它拥有一个唯一的(主)内切椭圆,称为 Steiner 内切椭圆。这个椭圆的切点位于多边形各边上的中点。
中心: Steiner 内切椭圆的中心就是多边形的对称中心。
特殊情况: 如果多边形是正多边形,那么 Steiner 内切椭圆就是其内切圆。

3. 外接椭圆的性质(在中心对称多边形中):

唯一性: 对于一个中心对称的多边形,它拥有一个唯一的(主)外接椭圆,称为 Steiner 外接椭圆。这个椭圆通过多边形的所有顶点。
中心: Steiner 外接椭圆的中心就是多边形的对称中心。
特殊情况: 如果多边形是正多边形,那么 Steiner 外接椭圆就是其外接圆。

4. 同时拥有内切椭圆和外接椭圆的充要条件:

基于以上分析,一个多边形能够同时拥有内切椭圆和外接椭圆的充要条件是:

多边形必须是中心对称的。

为什么是充要条件?
必要性(如果存在,则为中心对称): 我们已经证明了,如果一个多边形同时拥有内切和外接椭圆,那么这两个椭圆的中心必须重合,并且这个中心也必须是多边形的对称中心。因此,多边形必须是中心对称的。
充分性(如果是中心对称,则一定存在): 对于任何一个中心对称的多边形,都可以构造出其 Steiner 内切椭圆和 Steiner 外接椭圆。
Steiner 内切椭圆: 这个椭圆与多边形的所有边在这些边的中点处相切,并且完全位于多边形内部。
Steiner 外接椭圆: 这个椭圆通过多边形的所有顶点。
由于多边形是中心对称的,因此这两个 Steiner 椭圆的中心都恰好是多边形的对称中心,它们是唯一的(或者说,唯一的中心对称的)。

更深入的细节和解释:

多边形的存在性:
偶数条边: 最常见拥有内切和外接椭圆的多边形是那些拥有偶数条边的多边形,特别是平行四边形。
平行四边形: 所有的平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)都是中心对称的。
内切椭圆: 平行四边形存在内切椭圆当且仅当它是菱形。如果它是菱形,则内切椭圆是唯一的,且切点是各边的中点。
外接椭圆: 所有平行四边形都有外接椭圆(通过四个顶点)。
同时存在: 那么,菱形就是同时拥有内切椭圆和外接椭圆的特殊平行四边形。它的内切椭圆和外接椭圆的中心就是它的对称中心。
更普遍的例子: 如果我们将条件放宽,不要求内切椭圆的切点必须是中点,那么许多其他中心对称的多边形也可以同时拥有内切和外接椭圆。
奇数条边: 奇数边多边形通常不具备中心对称性。例如,一个正五边形不是中心对称的。
正五边形: 正五边形有内切圆(特殊的内切椭圆)和外接圆(特殊的外接椭圆),但这两个圆的中心是同一个点,也是正五边形的中心。但是,正五边形不具有中心对称性。
误解的澄清: 这里的关键在于“内切椭圆”和“外接椭圆”的定义。对于正多边形,它们的内切圆和外接圆是特殊的椭圆。许多几何学文献在讨论 Steiner 椭圆时,通常会强调其与中心对称性的关联。

更严谨的数学表述:

M. Steiner 定理: 最著名的定理是关于 Steiner 椭圆的。对于一个凸多边形,存在一个唯一的(主)内切椭圆,其切点是各边中点。存在一个唯一的(主)外接椭圆,通过所有顶点。如果多边形是中心对称的,那么这两个 Steiner 椭圆的中心是重合的,并且就是多边形的对称中心。
一般情况: 对于一个多边形,如果它既存在一个内切椭圆,也存在一个外接椭圆,并且它们的中心是重合的,那么这个多边形必然是中心对称的。反之,任何中心对称的多边形,都至少存在一对中心重合的内切和外接椭圆。

总结

一个多边形同时拥有内切椭圆和外接椭圆(且这两个椭圆的中心重合)的根本条件是:

该多边形必须是中心对称的。

为什么? 因为内切椭圆和外接椭圆的中心都必须与多边形的“中心”相符。只有当多边形本身具有中心对称性时,才能保证这两个椭圆的中心能够重合,并且与多边形的对称中心一致。
例子:
菱形: 菱形是中心对称的,它有内切椭圆(为菱形内切圆,切点为中点)和外接椭圆。
矩形: 矩形是中心对称的,它有外接椭圆,但除非是正方形,否则它没有内切椭圆(除非我们允许椭圆与边相切于非中点,并且切点是唯一的)。
正方形: 正方形既是菱形又是矩形,它是中心对称的,它有内切圆(特殊的内切椭圆)和外接圆(特殊的外接椭圆)。
更一般的平行四边形: 非菱形的平行四边形有外接椭圆,但没有内切椭圆(除非我们允许切点不在中点,并且椭圆是唯一的)。

重要提示:

需要区分的是,是否存在“任何”内切椭圆和“任何”外接椭圆,还是特指“Steiner 椭圆”。通常情况下,当提到“同时有内切椭圆和外接椭圆”时,隐含了对椭圆的某些“自然”或“最优”性质的要求,而 Steiner 椭圆就是最自然的。如果允许任意的内切和外接椭圆(只要存在),那么条件可能会变得更加复杂,并且可能涉及多边形的对称性之外的其他性质。

但在大多数标准几何语境下,中心对称性是满足这一条件的决定性因素。

网友意见

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帕斯卡定理+布列安桑定理。也就是说,若为满足条件的六边形:三对对边的交点共线;三条对角线共点。若为 n 边形,任取外椭圆上 6 个点,依然满足帕斯卡定理。这个就不赘述了。

在圆中研究

利用仿射变换的性质(将圆映为椭圆、结合性),不妨将题目中的椭圆换成正圆来研究。构造一个切于内圆、首尾接于外圆的 m 条弦序列,如下图 m=11。不失一般性,我们将外圆的中心与半径固定,只让内圆在其内变化(自变量),并观察所引起的弦变化(因变量)。易证,这一系列变化在适当的范围内是连续的,下面的动图生动地反映了这些事实。观察内圆半径递减(增)的过程:弦序列会在一些临界位置发生重合现象,形成多边形、多角星形。

n 角星的记法:例如五角星,就可以记成(5,2),意思是 5 个点围成一圈,从某点开始顺(逆)时针、与其相邻的第2个点相连,重复这一过程直至所有点被连接起来。特别地, n 边形记为(n,1)。

https://www.zhihu.com/video/1129725509973807104

下面是我记录的变化次序:


寻找恰当的自变量

请原谅我暂时的跑题(也可能是永久性地跑题),因为我对上面动图中出现的 n 角星的先后次序产生了兴趣。如果我能搞清楚多边形出现的条件,也算是从某种意义上回答了问题了。

我起初是以内圆半径渐升的次序作图,不过后来我个人认为还是考虑反向会更方便分析;并且研究非同心圆的情况略复杂,尤其是在内圆迫近外圆边界的时候,有些弦长变得太短,不易辨认。为了获得一个清晰完整变化过程,最终我选择了同心圆。将星形二元数组作为坐标,形成的点图如下:

放了很多烟雾弹啊(事实上都是我走过弯路)。

按照上述分析,如果直接使用内圆的半径作为自变量,也不是不行,只是计算量很大,许多直观性可能会被埋没在复杂的表达式中。于是我选择我认为比较恰当的变量——弦序列的旋转指标 ,这个拓扑概念大家不会陌生,直观地讲,就是弦序列缠绕了几圈,大家可以拿下图练练手。

答案:

以下是 n 角星对应的弦序列旋转指标

看到什么规律了吗——

完全吻合!

证明:只需证明

容易想到 的几何意义,就是动点经过一条弦的旋转指标,那么经过 条弦后,得到的就是弦序列整体的旋转指标。

旋转指标取值的规律

最后需要说明的是上表中关于旋转指标取值为何看上去不均匀?其实他是数论意义上的“均匀”——

还记得这个点阵吧?它可以表示为

前一个括号表示坐标,后者表示求最大公约数。事实上 型星存在的充要条件是 与 互素,否则就不能遍历 个点、会在一个更小的周期内死循环。另外根据定义

如果把 这些点补充上去,就是不超过 11 所有互素对。当然推广到任意 都是成立的。

搞清楚 的取值,自然也就明白旋转指标的取值规律:

这个集合可以赋予通常的全序关系,即 。

回归题目

我以为我圆不回来了。

事实上,我们发现内外圆不是本质的,把它替换为椭圆就可以了。如何寻找满足题目的多边形,可以归结为寻找恰当的弦序列,使得其旋转指标满足题意。而弦序列又是由内椭圆上的第一个切点的位置所决定的,牵一发而动全身。

在同心圆的情况中,可以给出任意 n 边形,但是除此之外的情况呢?这是关于度量的问题:当内圆迫近外圆之前,内圆能给出的弦序列所形成的 n 边形的是否存在上界?我后面有机会给出证明。

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