在导体中，自由电子的平均自由时间为什么与外电场强度无关？
首先，我们必须明白，导体中的“自由电子”并不是真的在真空中自由自在地运动，而是处于一种复杂的、动态的环境中。这些电子是在金属晶格的周期性势场中运动的。尽管如此，在没有外场的情况下，它们的状态可以近似地用自由电子模型来描述，具有一定的动量和能量。
当一个外电场被施加到导体上时，这个电场会对自由电子施加一个作用力（洛伦兹力），试图加速它们。这个力的大小是 $F = qE$，其中 $q$ 是电子的电荷（负值），$E$ 是外电场强度。按照经典力学的直觉，这个力会使得电子持续加速。
然而，导体中的电子并非孤立存在。它们会与构成晶格的离子（原子核和内层电子）发生碰撞。这些碰撞是导致电子失去动量并随机改变方向的关键。正是由于这些碰撞，电子才无法无限地被电场加速，从而形成一个稳定的平均漂移速度。
现在，问题的核心在于，为什么平均自由时间 $ au $（或者等效地说，电子的平均自由路径 $ lambda $，因为 $ lambda = v_{avg} au $，其中 $ v_{avg} $ 是电子的平均速度）不随着电场强度 $ E $ 的变化而显著变化。
1. 电子能量主要来源于其本身的动能： 在导体中，自由电子的动能并非完全由外加电场提供。在没有外场的情况下，由于热力学的原因，电子本身就拥有一个非常高的平均速度，这个速度被称为费米速度 ($v_F$)。费米速度是非常高的，通常在 $10^6$ 米/秒量级。这个速度远大于电子在外电场作用下获得的平均漂移速度。因此，电子与晶格的碰撞，其主要的能量损失和动量交换，是与它们自身的高动能有关，而不是与电场施加的额外动能。
2. 碰撞机制的非线性： 电子与晶格的碰撞，主要是通过散射实现的。这种散射可以是弹性散射，也可以是部分非弹性的。散射的概率和方式取决于电子的动量、能量以及晶格的振动（声子）。
声子散射： 当温度升高时，晶格原子振动更剧烈，产生更多的声子。电子与声子的相互作用是导致电阻的主要原因之一。在这个过程中，电子会将部分动量和能量传递给声子（或从声子吸收能量）。
缺陷散射： 晶格中的缺陷（如杂质、空位、位错）也会引起电子散射。
关键是，即使外加电场增强，导致电子的平均动量有所增加，但它们的总能量（主要由费米能量决定）并没有发生根本性的改变。电子的平均能量主要还是费米能量，而散射截面（也就是碰撞的概率）通常对能量的依赖程度，在一定范围内，不如对温度或晶格结构缺陷敏感。
3. 漂移速度是微小的叠加： 当施加外电场时，电子的运动变成一个复杂的叠加。它们依然以接近费米速度的速度运动，并在其间发生散射。电场的作用是给电子的随机运动叠加了一个微小的、平均的定向漂移。想象一下，电子在两次碰撞之间，会沿着电场方向加速一小段距离，然后被散射，其动量方向改变，然后又被电场加速，如此循环。
如果电场很弱，电子在两次散射之间加速的距离和动量增加量很小，平均漂移速度也很小。
如果电场增强，电子在两次散射之间可以获得更大的动量增量，并且可能在散射前运动更长的距离（平均自由路径）。
然而，平均自由时间 $ au $ 定义的是电子在两次 有效 散射之间经历的时间。即使电场增强，电子在散射前可以飞行得更远，或者获得更高的速度，但一旦发生散射，它们就会被“重置”。散射事件的频率（即 $1/ au$）并没有直接与电场强度成正比。
4. 量子力学描述： 在更精确的量子力学描述下，电子的运动是在晶格的周期性势场中进行的，它们具有 Bloch 波的形式。电子的动量和能量由波矢 $ k $ 和能量 $ E(k) $ 描述。电场会改变波矢 $ k $ 的演化：$ hbar frac{dk}{dt} = qE $。
当电场作用时，电子的波矢 $ k $ 会沿着电场方向移动。
然而，由于晶格的周期性势场，电子的运动最终会遇到“布洛赫振荡”的效应，即在周期性势场中，电子会被“周期性地”加速和减速，并最终回到原来的状态。但是，在实用的金属导体中，由于杂质和声子散射的存在，这种纯粹的布洛赫振荡会被散射过程所打破。
碰撞（散射）是导致电子波矢 $ k $ 发生大幅度随机改变的过程。这个过程的发生概率（即平均自由时间 $ au $）主要取决于电子的能量以及散射中心的密度和类型，而不是电场的大小。
即使电场增强，电子波矢 $ k $ 的改变速度加快，但散射事件的发生，取决于电子的能量是否能与允许的散射过程（例如，吸收或发射声子，或者被杂质散射）相匹配。在大多数情况下，电子的能量变化（相对于费米能量）在电场作用下仍然是相对较小的，不足以显著改变其散射截面。
总结一下：
平均自由时间 $ au $ 主要由电子与晶格（包括声子和缺陷）的相互作用强度和频率决定。电子本身具有很高的费米速度，在没有外场时就已经在高速运动和碰撞。外加电场虽然给电子施加了一个定向的力，试图加速它们，但它对电子总能量的影响相对较小，不足以显著改变电子的散射截面。电子在两次碰撞之间获得的速度增量，以及在碰撞前飞行的距离，确实会随着电场增强而增加，但“散射事件的发生频率”本身（也就是平均自由时间）并不是电场强度的直接函数。
你可以这样理解：电子就像一个在布满障碍物的房间里奔跑的人。房间的障碍物（晶格和缺陷）是固定的。这个人本来就有一定的奔跑速度（费米速度）。现在，你推他一下（施加电场）。他会跑得更快一些，并且在碰到障碍物之前可以跑得更远或更久。但是，每次碰到障碍物，他的速度和方向都会被“重置”。这个“重置”的平均时间间隔（平均自由时间）主要取决于他碰到障碍物的频率，而这个人本身奔跑的速度（费米速度）是主要因素，他被推了一下（电场），虽然会让他暂时跑得更快，但并不会改变他撞到障碍物的“固有”频率。
只有当电场非常强，以至于电子在两次散射之间获得的能量足以显著改变其与晶格相互作用的概率（例如，能量高到可以激发更高能级的声子，或者打破某些特定的散射通道），或者电场本身就能够直接引起其他非线性效应（如电致击穿），平均自由时间才可能受到影响。但在通常情况下，导体中的电场强度远未达到那个阈值。
网友意见
这个问题很适合做科普的引子，题主可能没意识到这个问题有多重要！往大了说，这个问题的解答其实关系着历史的行程、人类的命运！
（走近科学腔）
- 为什么人类追求越来越小的晶体管？
- 摩尔定律缘何离奇失效？
- 为什么昔日巨头Intel辉煌不再？
- 硅半导体产业最终是死是活？
- 微电子产业的技术红利还能吃多久？人类将何去何从？“和平与发展”的世代会成为历史吗？
问题的关键只有一个！电子的平均自由时间与外场强度是有关的！
先简单地回答问题，只有在弱场条件下，电子的平均自由时间与外场无关，在强场条件下这并不成立。那么什么是弱场，什么是强场呢？我们知道，如果平均自由时间与外场强度无关的话，其平均迁移速度和场强呈线性关系，所以我们可以用更严格的语言重述前面的命题——平均迁移速度和场强呈线性关系的区间，为线性响应区间，适用弱场近似，此区间又称作欧姆区间；否则，则适用强场条件，此时平均迁移速度和场强的关系有很多种可能，最为广泛关注的半导体硅，在强场条件下，展现出饱和速度的特性，也就是说，达到一定阈值后，继续增加场强，载流子迁移速度几乎不再增加。
上图是Ge（Si是类似的）在不同温度下的场强-迁移速度曲线[1]，可以看到场强较低时各曲线斜率一致，皆为线性，不同截距取决于不同温度下的（弱场）迁移率；场强较高时趋于饱和。
然后说原因，其实定性地讲并不复杂，就像前面有人说过的，对于硅来说，即便场强高达，电子的平均迁移速度也不过，远低于电子的热速度，因而几乎不影响电子的平均自由时间。聪明的知友已经想到了，那场强再高点会怎么样？没错！硅的电子饱和速度就是，正好和电子的热速度一个数量级，也就是说，当场强强到电子平均迁移速度与热运动速度可比时，（如同大家期望的一样）会使电子的平均自由时间显著变短，以至于继续提升电场，其平均迁移速度不再升高。
（当然准确地讲，热电子速度只是设定了饱和速度的最上限，在到达这个速度之前还会遇到其它的限制，在半导体硅的例子里这个限制来自电子和光学声子的散射。）
下面说一说这个饱和速度是怎么影响历史的行程的。我们都知道，为了在单位面积集成电路上集成更多晶体管，我们希望晶体管的尺寸尽可能小，问题就在于，同样的电压下，尺度越小，电场强度越大。在晶体管尺度达到nm级的今天，其中电场强度早已经超过弱场区间，其间的电子的迁移速度也就达到（甚至超过）了饱和速度，这意味着什么呢？
这要从半导体物理讲起，关注计算机性能的人都知道，CPU的一个决定性的参数是其时钟频率，这个频率由很多因素决定，而其中最基本的便是组成CPU的单个晶体管的开关频率，以最为常见的场效应晶体管（MOSFET）为例，其工作原理是栅极（gate）接通电压，来控制源极（source）和漏极（drain）的通断，以形成开关。那么单个MOSFET的极限开关切换速度是多少？在这里最简化、最理想的物理图像（过于简化，学过半导体物理的就不必在这里吐槽了）便是将其看做栅极电容的充放电过程，充电速度正比于电子的饱和迁移速度（比例系数即载流子数密度），充电量正比于栅极长度（电压一定，电容正比于电容板面积，而宽度一定）。于是便有了半导体物理中的一个重要公式——
，即晶体管特征频率，v即饱和速度，L即栅极长度。想要继续提升CPU性能，v和L两个指标是绕不过去的。
在过去的几十年里，半导体工业界主要关注的是栅极长度，大家常常讨论的，Intel、台积电、三星谁先上马XX纳米制程，华为、高通新发布的手机芯片采用XX纳米制程，说的就是这个栅极长度。然而到了10纳米附近，大家发现进一步缩短栅极长度已然举步维艰，想继续为摩尔定律续命，不得不考虑提升饱和速度。对于硅半导体来说，其饱和速度早在很久之前就已经发掘殆尽，没什么提升空间了。于是产业界学术界将注压在三个方向，一是继续挖掘硅基材料的其他方面潜力，放弃追逐摩尔定律，接受缓慢的技术革新，例如说降低能耗；二是另起炉灶，寻找新材料；三是完全抛弃过去的思路，采用全新原理（自旋电子学，量子计算等等）。于是可以联系到最开始的问题了，“为什么昔日巨头Intel辉煌不再？”——因为第一种方向的代表就是Intel，但大家并不看好。（虽然Intel也不会坐守其成，但相关投入尚未转化为真实的竞争力。）
最后讲一下另起炉灶，寻找新材料的几个代表吧，一是III-V族半导体，如InP、GaAs，这类材料迁移率以及饱和速度明显高于硅，但现在大家还舍不得将发展成熟的硅基CMOS产业链做更新，去换不成熟的III-V族半导体；二是碳纳米管和石墨烯，这两者的开关频率的物理上限就高到不知哪里去了，然而其它各种物理特性和一般半导体多有不同，工艺也要彻底重新研发。
回到最初的问题，“微电子产业的技术红利还能吃多久？”恐怕很少有人能给出准确回答，但本文希望指出的是，微电子产业还能繁荣多久，其决定因素之一便是，人类对“电子的平均自由时间”的掌控如何。
[1]Ottaviani G., C. Canali, F. Nava, and J. W. Mayer, J. Appl. Phys. 44, 6 (1973) 2917-2918.
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