矢量的外积（叉乘）最早为什么这样定义？
vec(a) × vec(b) = |vec(a)| |vec(b)| sin(theta) vec(n)
其中，theta 是 vec(a) 和 vec(b) 之间的夹角，vec(n) 是一个垂直于 vec(a) 和 vec(b) 的单位向量，其方向由右手定则确定。
之所以这样定义，主要是为了满足物理学中的一些基本需求。
力与位移的关系: 在物理学中，做功 W = F · d，其中 F 是力，d 是位移。当力 F 作用于一个物体上，使其产生一个位移 d 时，如果 F 和 d 不平行，那么它们会在一个平面上。这时，如果我们想计算力 F 产生的“旋转效应”或者“扭矩”，就需要一个能够同时考虑力的大小、位移的大小以及它们之间夹角的新运算。
角动量: 类似地，在描述物体的转动时，角动量 L = r × p，其中 r 是位置向量，p 是动量。角动量的方向通常与转动轴的方向一致。外积运算正好能够捕捉到这种“垂直于两个向量所在的平面”的特性。
旋转和对称性: 在许多物理现象中，旋转和对称性扮演着至关重要的角色。外积的定义，尤其是其右手定则，能够很好地描述三维空间中的旋转和方向关系，这使得它在描述电磁学、流体力学等领域中的旋转现象时非常有用。
数学上的便利性: 外积的定义也带来了很多数学上的便利。例如，外积的结果是一个向量，这个向量的方向和大小都包含了原始两个向量的丰富信息。此外，外积也满足一些重要的代数性质，比如反对称性 (vec(a) × vec(b) = vec(b) × vec(a)) 和分配律 (vec(a) × (vec(b) + vec(c)) = vec(a) × vec(b) + vec(a) × vec(c))，这使得在进行向量运算和推导时更加方便。
总而言之，矢量的外积（叉乘）的定义并非凭空而来，而是为了解决物理学中描述力、位移、转动等现象的实际需求，并由此发展出了一套在数学上具有优美性质的运算方式，从而成为描述三维空间中旋转和方向关系的强大工具。
其中，theta 是 vec(a) 和 vec(b) 之间的夹角，vec(n) 是一个垂直于 vec(a) 和 vec(b) 的单位向量，其方向由右手定则确定。
之所以这样定义，主要是为了满足物理学中的一些基本需求。
力与位移的关系: 在物理学中，做功 W = F · d，其中 F 是力，d 是位移。当力 F 作用于一个物体上，使其产生一个位移 d 时，如果 F 和 d 不平行，那么它们会在一个平面上。这时，如果我们想计算力 F 产生的“旋转效应”或者“扭矩”，就需要一个能够同时考虑力的大小、位移的大小以及它们之间夹角的新运算。
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数学上的便利性: 外积的定义也带来了很多数学上的便利。例如，外积的结果是一个向量，这个向量的方向和大小都包含了原始两个向量的丰富信息。此外，外积也满足一些重要的代数性质，比如反对称性 (vec(a) × vec(b) = vec(b) × vec(a)) 和分配律 (vec(a) × (vec(b) + vec(c)) = vec(a) × vec(b) + vec(a) × vec(c))，这使得在进行向量运算和推导时更加方便。
总而言之，矢量的外积（叉乘）的定义并非凭空而来，而是为了解决物理学中描述力、位移、转动等现象的实际需求，并由此发展出了一套在数学上具有优美性质的运算方式，从而成为描述三维空间中旋转和方向关系的强大工具。
网友意见
看了文中链接的内容，我发现叉乘的历史最早只能追溯到1840年。德国人Grassmann（路径积分里Grassmann代数那个）最早在流体力学相关研究中想到了叉乘。但他没有明确叉乘是把两个向量乘积得到第三个向量的运算，而是自行发明了一套代数系统，称之为“几何量”。而在1843年，英国数学家哈密顿发表了他十几年的工作总结，提出了四元数。两个四元数的乘积是现代矢量的点乘和叉乘之和。另外同时代还有五个人的工作与此相关：
Hamilton was not alone in creating a vectorial system during the period around 1843. In fact, in that period six other authors from four countries were developing systems that were more or less vectorial in character. The six men were August Ferdinand Möbius, Giusto Bellavitis, Comte de Saint-Venant, Augustin Cauchy, Matthew O’Brien, and above all Hermann Günther Grassmann.
不看不知道，原来矢量分析是十九世纪晚期才发明的。而且又是数学家走在前边，哈密顿发明四元数，麦克斯韦在他的工作里大力宣传四元数。后来工程师Heaviside和“美国第一个物理学家”吉布斯发明了简单版“矢量分析”，至今大行其道。
这里有一个比较严肃的相关历史的科普/科学史讲义：
四元数推广介绍可以看 @愛物理的无双麓叶 近期推广内容。
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