矢量的点乘为什么可以求导？
向量的点乘本身是一个数，它不像向量那样具有方向性，而是一个纯粹的数量。我们平常说的“求导”，通常是指对一个函数进行求导，以了解其随某个变量变化的速率。那么，当提到“向量的点乘为什么可以求导”时，实际上是在问：如果向量的组成部分是变量的函数，那么它们的点乘作为这些函数的结果，这个“结果”（一个标量）如何进行求导？
打个比方，点乘就像是一个“计算器”，它接收两个向量作为输入，然后吐出一个数字。如果这两个输入向量的每个分量都随着某个外部参数（比如时间 `t`）而变化，那么这个计算器吐出的数字也会随着 `t` 变化。我们自然就会想知道，这个输出的数字，它的变化率是多少，也就是对 `t` 求导。
让我们来详细拆解一下这个过程：
点乘的本质：两个向量分量乘积之和
假设我们有两个向量，它们的分量都依赖于一个变量 `t`。
向量 $mathbf{a}(t) = [a_1(t), a_2(t), a_3(t)]$
向量 $mathbf{b}(t) = [b_1(t), b_2(t), b_3(t)]$
（这里我们以三维向量为例，但这个原理适用于任意维度）。
这两个向量的点乘定义为：
$mathbf{a}(t) cdot mathbf{b}(t) = a_1(t)b_1(t) + a_2(t)b_2(t) + a_3(t)b_3(t)$
注意，这里的点乘结果是一个标量（一个数字），记作 $S(t)$：
$S(t) = a_1(t)b_1(t) + a_2(t)b_2(t) + a_3(t)b_3(t)$
既然 $S(t)$ 是一个关于变量 `t` 的函数（因为它由其他关于 `t` 的函数组合而成），那么它当然可以被求导！
如何对点乘求导？—— 运用导数的基本法则
要对 $S(t)$ 求导，我们只需要应用导数中最基本、也是最重要的法则之一：乘积法则 (Product Rule)。
乘积法则告诉我们，如果有一个函数是两个函数的乘积，比如 $f(t) = u(t)v(t)$，那么它的导数是：
$f'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)$
现在，我们把这个法则应用到 $S(t)$ 的每一个分项上：
$S'(t) = frac{d}{dt} [a_1(t)b_1(t) + a_2(t)b_2(t) + a_3(t)b_3(t)]$
由于导数是线性的（对和求导等于对每一项分别求导再相加），我们可以这样展开：
$S'(t) = frac{d}{dt}[a_1(t)b_1(t)] + frac{d}{dt}[a_2(t)b_2(t)] + frac{d}{dt}[a_3(t)b_3(t)]$
对每一项应用乘积法则：
$frac{d}{dt}[a_1(t)b_1(t)] = a_1'(t)b_1(t) + a_1(t)b_1'(t)$
$frac{d}{dt}[a_2(t)b_2(t)] = a_2'(t)b_2(t) + a_2(t)b_2'(t)$
$frac{d}{dt}[a_3(t)b_3(t)] = a_3'(t)b_3(t) + a_3(t)b_3'(t)$
将这些结果代回 $S'(t)$：
$S'(t) = (a_1'(t)b_1(t) + a_1(t)b_1'(t)) + (a_2'(t)b_2(t) + a_2(t)b_2'(t)) + (a_3'(t)b_3(t) + a_3(t)b_3'(t))$
将求导结果重新组织成向量形式
我们注意到，这个展开后的结果可以被重新组合。我们可以把所有带有 $a_i'(t)$ 的项放在一起，和所有带有 $b_i'(t)$ 的项放在一起。
$S'(t) = [a_1'(t)b_1(t) + a_2'(t)b_2(t) + a_3'(t)b_3(t)] + [a_1(t)b_1'(t) + a_2(t)b_2'(t) + a_3(t)b_3'(t)]$
观察这两组方括号里的内容，它们正是两个向量的点乘的定义形式：
第一组方括号：$a_1'(t)b_1(t) + a_2'(t)b_2(t) + a_3'(t)b_3(t)$ 是向量 $mathbf{a}'(t) = [a_1'(t), a_2'(t), a_3'(t)]$ 与向量 $mathbf{b}(t) = [b_1(t), b_2(t), b_3(t)]$ 的点乘。
第二组方括号：$a_1(t)b_1'(t) + a_2(t)b_2'(t) + a_3(t)b_3'(t)$ 是向量 $mathbf{a}(t) = [a_1(t), a_2(t), a_3(t)]$ 与向量 $mathbf{b}'(t) = [b_1'(t), b_2'(t), b_3'(t)]$ 的点乘。
因此，我们可以写出向量点乘的求导法则：
$frac{d}{dt}[mathbf{a}(t) cdot mathbf{b}(t)] = mathbf{a}'(t) cdot mathbf{b}(t) + mathbf{a}(t) cdot mathbf{b}'(t)$
总结一下为什么向量点乘“可以”求导：
1. 点乘结果是标量： 向量的点乘运算的最终输出是一个纯粹的数值（标量），而不是一个具有方向的向量。
2. 分量是函数： 当向量的组成部分本身是某个变量（如时间 `t`）的函数时，这个点乘的结果也成为一个关于 `t` 的函数。
3. 运用标准的导数法则： 对一个函数求导，无论是多么复杂的函数，都可以通过应用基本的导数法则（如链式法则、乘积法则、和法则等）来完成。在向量点乘的情况下，其本质是多个函数乘积之和，因此直接应用导数的乘积法则和和法则即可推导出其求导规律。
所以，我们不是在对“向量本身”求导（这更多是指对向量的每个分量分别求导，得到一个新的向量），而是在对由向量点乘运算产生的那个标量结果这个函数求导。这个过程完全是基于对标量函数的求导规则进行的，没有什么特别之处，只是将这些规则应用到了由向量点乘构成的特定函数形式上。
打个比方，点乘就像是一个“计算器”，它接收两个向量作为输入，然后吐出一个数字。如果这两个输入向量的每个分量都随着某个外部参数（比如时间 `t`）而变化，那么这个计算器吐出的数字也会随着 `t` 变化。我们自然就会想知道，这个输出的数字，它的变化率是多少，也就是对 `t` 求导。
让我们来详细拆解一下这个过程：
点乘的本质：两个向量分量乘积之和
假设我们有两个向量，它们的分量都依赖于一个变量 `t`。
向量 $mathbf{a}(t) = [a_1(t), a_2(t), a_3(t)]$
向量 $mathbf{b}(t) = [b_1(t), b_2(t), b_3(t)]$
（这里我们以三维向量为例，但这个原理适用于任意维度）。
这两个向量的点乘定义为：
$mathbf{a}(t) cdot mathbf{b}(t) = a_1(t)b_1(t) + a_2(t)b_2(t) + a_3(t)b_3(t)$
注意，这里的点乘结果是一个标量（一个数字），记作 $S(t)$：
$S(t) = a_1(t)b_1(t) + a_2(t)b_2(t) + a_3(t)b_3(t)$
既然 $S(t)$ 是一个关于变量 `t` 的函数（因为它由其他关于 `t` 的函数组合而成），那么它当然可以被求导！
如何对点乘求导？—— 运用导数的基本法则
要对 $S(t)$ 求导，我们只需要应用导数中最基本、也是最重要的法则之一：乘积法则 (Product Rule)。
乘积法则告诉我们，如果有一个函数是两个函数的乘积，比如 $f(t) = u(t)v(t)$，那么它的导数是：
$f'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)$
现在，我们把这个法则应用到 $S(t)$ 的每一个分项上：
$S'(t) = frac{d}{dt} [a_1(t)b_1(t) + a_2(t)b_2(t) + a_3(t)b_3(t)]$
由于导数是线性的（对和求导等于对每一项分别求导再相加），我们可以这样展开：
$S'(t) = frac{d}{dt}[a_1(t)b_1(t)] + frac{d}{dt}[a_2(t)b_2(t)] + frac{d}{dt}[a_3(t)b_3(t)]$
对每一项应用乘积法则：
$frac{d}{dt}[a_1(t)b_1(t)] = a_1'(t)b_1(t) + a_1(t)b_1'(t)$
$frac{d}{dt}[a_2(t)b_2(t)] = a_2'(t)b_2(t) + a_2(t)b_2'(t)$
$frac{d}{dt}[a_3(t)b_3(t)] = a_3'(t)b_3(t) + a_3(t)b_3'(t)$
将这些结果代回 $S'(t)$：
$S'(t) = (a_1'(t)b_1(t) + a_1(t)b_1'(t)) + (a_2'(t)b_2(t) + a_2(t)b_2'(t)) + (a_3'(t)b_3(t) + a_3(t)b_3'(t))$
将求导结果重新组织成向量形式
我们注意到，这个展开后的结果可以被重新组合。我们可以把所有带有 $a_i'(t)$ 的项放在一起，和所有带有 $b_i'(t)$ 的项放在一起。
$S'(t) = [a_1'(t)b_1(t) + a_2'(t)b_2(t) + a_3'(t)b_3(t)] + [a_1(t)b_1'(t) + a_2(t)b_2'(t) + a_3(t)b_3'(t)]$
观察这两组方括号里的内容，它们正是两个向量的点乘的定义形式：
第一组方括号：$a_1'(t)b_1(t) + a_2'(t)b_2(t) + a_3'(t)b_3(t)$ 是向量 $mathbf{a}'(t) = [a_1'(t), a_2'(t), a_3'(t)]$ 与向量 $mathbf{b}(t) = [b_1(t), b_2(t), b_3(t)]$ 的点乘。
第二组方括号：$a_1(t)b_1'(t) + a_2(t)b_2'(t) + a_3(t)b_3'(t)$ 是向量 $mathbf{a}(t) = [a_1(t), a_2(t), a_3(t)]$ 与向量 $mathbf{b}'(t) = [b_1'(t), b_2'(t), b_3'(t)]$ 的点乘。
因此，我们可以写出向量点乘的求导法则：
$frac{d}{dt}[mathbf{a}(t) cdot mathbf{b}(t)] = mathbf{a}'(t) cdot mathbf{b}(t) + mathbf{a}(t) cdot mathbf{b}'(t)$
总结一下为什么向量点乘“可以”求导：
1. 点乘结果是标量： 向量的点乘运算的最终输出是一个纯粹的数值（标量），而不是一个具有方向的向量。
2. 分量是函数： 当向量的组成部分本身是某个变量（如时间 `t`）的函数时，这个点乘的结果也成为一个关于 `t` 的函数。
3. 运用标准的导数法则： 对一个函数求导，无论是多么复杂的函数，都可以通过应用基本的导数法则（如链式法则、乘积法则、和法则等）来完成。在向量点乘的情况下，其本质是多个函数乘积之和，因此直接应用导数的乘积法则和和法则即可推导出其求导规律。
所以，我们不是在对“向量本身”求导（这更多是指对向量的每个分量分别求导，得到一个新的向量），而是在对由向量点乘运算产生的那个标量结果这个函数求导。这个过程完全是基于对标量函数的求导规则进行的，没有什么特别之处，只是将这些规则应用到了由向量点乘构成的特定函数形式上。
网友意见
笑了, 其实这类问题我当年也碰到过.
就大一的时候, 我发现怎么力学中好像放个屁都要用微积分, 然而高数却还你吗在讲极限··· 我直接无语, 然后就开始通过凭空臆测来自制微积分了. 什么无穷小量的比值、微元法之类的··· 只要是能让我自圆其说的东西我全都参考了一遍, 这是我使用野鸡数学的开端.
结果才刚强行搞出华强北式的微积分, 却又听说力学中使用的是什么矢量微积分··· 翻了一下发现整本高数书上都没讲过这类东西. 但其实不用担心, 因为矢量的微积分和标量的微积分在一组正交基矢下算起来没有任何本质区别.
这是因为三个正交基矢 都是常矢量, 所以有
然后其它任何矢量, 比如说速度 , 都可做分解
这么一来, 速度矢量的运算就全都归结到 上了, 就是三个标量的运算嘛.
但这还只是第一层, 后面会发现其实很多时候都可以不用坐标的.
那矢量的点乘为啥可以求导呢?
你要说将矢量的内积定义为一个标量函数, 那这个函数能求导数简直太正常了.
但为啥 呢? 我记得当年有人说这是因为
然后一堆人就··· 噢, 想通了! 可我寻思 也不显然啊···
这让我想起教量子力学的教授讲的一个笑话, 就是说解决物理问题的办法有两个:
(1). [我忘了, 因为我有更好的办法所以就没记住他说的啥. ]
(2). 别去想, 你不深究就没问题了[1].
实际上就直接拆开运算:
有人说求和记号就很显然有
那其实 好像并不是很显然的一件事吧? 事实上这还真是直角坐标所特有的.
然而我最后还想进一步扩展到极坐标甚至不用坐标的情况:
有了上面这一套, 的问题就又有新解了.
你会发现其实矢量就是模长与方向单位矢的乘积, 于是这个问题就便乘了下面这样:
总之就是, 至少在你学量子力学之前, 物理学中都不会出现任何形迹可疑的东西.
如果你觉得一个东西不显然, 那就把它显然[2]掉.
或者你就别去想它了.
别去想的道理就在于, 很多东西即使你现在搞得一清二楚, 最后也就是忘得一干二净.
那什么内容才算这类呢? 这就得看个人悟性了.
或者去看我的新系列:
这个系列的其中的一个目的就是告诉你哪些问题值得我们花时间去给它显然掉.
参考
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